湖南省衡阳师范学院祁东附属中学2023届高三下学期考前适应性考试数学试题（含解析）

湖南省衡阳师范学院祁东附属中学2023届高三下学期考前适应性考试数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知集合，集合，则（    ）

A． B． C． D．

2．规定运算，若复数满足，则的值为（    ）

A． B． C． D．

3．设等差数列的前n项和为，，，则满足的正整数n的最大值为（    ）

A．16 B．15 C．12 D．8

4．已知定义在上的偶函数，若正实数a、b满足，则的最小值为（    ）

A． B．9 C． D．8

5．已知函数的导函数的图像如图所示，记，则下列说法正确的是（    ）

A．的最小正周期为2π B．

C． D．在上单调递增

6．基本再生数与世代间隔是新冠肺炎的流行病学基本参数，基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：（其中是自然对数的底数）描述累计感染病例数随时间（单位：天）的变化规律，指数增长率与，近似满足.有学者基于已有数据估计出，，据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加倍需要的时间约为（    ）（参考数据：，）

A．天 B．天 C．天 D．天

7．已知函数，且，则的最小值为（    ）

A．1 B．e C． D．

8．如图，平面四边形ABCD中，，为正三角形，以AC为折痕将折起，使D点达到P点位置，且二面角的余弦值为，当三棱锥的体积取得最大值，且最大值为时，三棱锥外接球的体积为（    ）

A． B． C． D．

二、多选题

9．已知点，，，则下列说法正确的是（    ）

A． B．若，则

C．若，则 D．若，的夹角为锐角，则且

10．在中，角所对的边分别为，已知，则下列结论正确的是（    ）

A．

B．为钝角三角形

C．若，则的面积是

D．若外接圆半径是，内切圆半径为，则

11．如图，在正方体中，分别为的中点，点在线段上，则下列结论正确的是（    ）

A．直线平面EFG

B．直线和平面所成的角为定值

C．异面直线和所成的角不为定值

D．若直线平面EFG，则点为线段的中点

12．定义在上的函数的导函数为，当时，，函数 满足：为奇函数，且对于定义域内的所有实数，都有．则（    ）

A．是周期为2的函数 B．为偶函数

C． D．的值域为

三、填空题

13．的展开式中的系数为_________．

14．数据23，76，45，37，58，16，28，15的25百分位数是__________．

15．点在函数的图象上，当，则的取值范围为______.

16．设分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线左支上存在一点，使得在以线段为直径的圆上，且，则该双曲线的离心率为__________．

四、解答题

17．如图，在中，内角的对边分别为，，，过点作，交线段于点，且，.

(1)求；

(2)求的面积.

18．为进一步加强学生的文明养成教育，推进校园文化建设，倡导真善美，用先进人物的先进事迹来感动师生，用身边的榜样去打动师生，用真情去发现美，分享美，弘扬美，某校以争做最美青年为主题，进行“最美青年”评选活动，最终评出了10位“最美青年”，其中6名女生4名男生。学校准备从这10位“最美青年”中每次随机选出一人做事迹报告.

(1)若每位“最美青年”最多做一次事迹报告，记第一次抽到女生为事件A，第二次抽到男生为事件B，求，；

(2)根据不同需求，现需要从这10位“最美青年”中每次选1人，可以重复，连续4天分别为高一、高二、高三学生和全体教师做4场事迹报告，记这4场事迹报告中做报告的男生人数为X，求X的分布列和数学期望.

19．已知数列中，，且.

(1)求证：数列是等差数列；

(2)记数列，求数列的前项和.

20．如图，是等腰直角三角形，，四边形是直角梯形，，，且，平面平面．

(1)求证：；

(2)若点E是线段上的一动点，问点E在何位置时，三棱锥的体积为?

21．已知函数，．

(1)当，求的单调递减区间；

(2)若在恒成立，求实数a的取值范围．

22．已知椭圆的离心率为，且过点.

(1)求椭圆的方程；

(2)设直线与轴交于点，过作直线交于两点，交于两点.已知直线交于点，直线交于点.试探究是否为定值，若为定值，求出定值；若不为定值，说明理由.

参考答案：

1．B

【分析】求函数的定义域，解不等式，借助数轴即可求出交集.

【详解】由解得，由解得，故.

故选：B.

2．D

【分析】根据所给运算及复数代数形式的乘法运算化简即可.

【详解】因为，所以，

即，所以.

故选：D

3．B

【分析】根据等差数列的通项公式及求和公式求解，再求解不等式得出结果.

【详解】设等差数列公差为d，则，解得，

所以，．

由，得，

即，解得1<n<16，

所以正整数n的最大值为15．

故选：B．

4．A

【分析】根据偶函数的对称性可得，由题意分析可得，结合基本不等式分析运算.

【详解】若函数为偶函数，则，

即，可得，

整理得，故，解得，

∴.

若正实数a、b满足，即，可得，

可得，

当且仅当，即时，等号成立，

∴的最小值为.

故选：A.

5．C

【分析】根据三角函数的图象与性质及复合函数求导法则计算即可逐一判定.

【详解】解：∵，由并结合图像知，∴，

又，且在上单调递减，

∴，

又，∴，，

∴，

∴．

故选：C．

6．B

【分析】根据所给模型求得，令，求得，根据条件可得方程，然后解出即可．

【详解】把，代入，可得，，

当时，，则，两边取对数得，解得．

故选：B.

7．A

【分析】根据展开得到的解析式，根据导数求出解析式单调性继而判断解析式的取值范围，即可得到答案.

【详解】由，得，化简整理得，

因为g（x）的值域，f（x），g（x）的定义域均为R，所以的取值范围也是R，

令，令，解得.

当时，，即h（x）在（-∞，0）上单调递减；

当时，，即（x）在（0，+∞）上单调递增；

所以，故

故选：A.

8．D

【分析】过点作平面，垂足为，作，垂足为，连接，则为二面角的补角，为的中点，设，根据二面角的余弦值可求得，再根据三棱锥的体积取得最大值结合基本不等式求出，再利用勾股定理求出三棱锥外接球的半径，根据球的体积公式即可得解.

【详解】过点作平面，垂足为，作，垂足为，连接，

因为平面，平面，所以，

又平面，

所以平面，

因为平面，所以，

则为二面角的补角，故，

因为，所以为的中点，

设，则，

在中，，则，，

由，

得当取得最大值时，三棱锥的体积取得最大值，

，

当且仅当时，取等号，

所以，解得，

则，

设三棱锥外接球的球心为，则平面，

设，

由得，解得，

则三棱锥外接球的半径，

所以三棱锥外接球的体积为.

故选：D.

【点睛】方法点睛：求空间多面体的外接球半径的常用方法：

①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；

②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径；

③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可；

④坐标法：建立空间直角坐标系，设出外接球球心的坐标，根据球心到各顶点的距离相等建立方程组，求出球心坐标，利用空间中两点间的距离公式可求得球的半径.

9．AC

【分析】根据向量的模长，垂直，平行和夹角大小的定义，对下列各项逐一判断，即可得到本题答案.

【详解】因为，，，

所以，，

选项A：，所以A正确；

选项B：因为，所以，所以，所以，所以B错误；

选项C：因为，所以，所以，所以C正确；

选项D：因为，的夹角为锐角，且，所以，解得

，所以D错误.

故选：AC

10．BD

【分析】由正弦定理得到A选项；由大边对大角确定C最大，由余弦定理求出得到答案；C选项，由角C的余弦求出角C的正弦，再用面积公式求解；D选项，正弦定理求出外接圆半径,设出内切圆半径，利用面积列出方程，求出内切圆半径.

【详解】设，则，

对于A ，，故A不正确；

对于B ，c最大，所以C最大，，故B正确；

对于C，若，则，，所以，

所以的面积是，故C不正确；

对于D，若正弦定理，

的周长，，所以内切圆半径为，

所以.故D正确.

故选：BD

11．AD

【分析】由平面截正方体的截面为正六边形，根据，证得平面，可判定A正确；过作，得到直线和平面所成的角为，设，得到，可判定B错误；由，证得平面，得到，可判定C错误；证得平面，得到，得到点为线段的中点，可判定D正确.

【详解】对于A中：如图（1）所示，平面截正方体的截面图形为正六边形，其中分别为，，的中点，

因为，平面，平面，

所以平面，所以A正确；

对于B 中，如图（2）所示，过作交于点，

在正方体，可得平面平面，

且平面，平面平面，所以平面，

则直线和平面所成的角为，且，

设，正方体的棱长为1，

则，，

所以，所以直线CP和平面ABCD所成的角不为定值，故B错误；

对于C中，在正方体，连接，

因为平面，且平面，所以，

又由正方形，可得,

又因为且平面，所以平面，

因为，所以平面，

又因为平面，所以，所以C错误；

对于D中，在正方体中，可得且，

所以四边形为平行四边形，所以，

设，，则平面平面，

因为平面，平面，所以，

又在平面内，可得，，所以点为线段的中点，

所以D正确，

故选：AD．

12．BC

【分析】对求导，根据条件求得对称性，并求得定义域上的单调性及周期性，从而对选项一一分析.

【详解】解：因为，所以，

在时，，

所以，所以，故在上单调递减．

因为为奇函数，所以，所以函数关于点中心对称，即；

又，所以函数关于直线对称，

所以在单调递增，且，

则，，

可得，是周期为的周期函数，A不正确．

因为，，结合草图可知

，C正确．

对于定义域内任一个，结合周期性可得，故为偶函数，B正确

而的函数最值无法确定，故D错误．

 故选：BC

13．5

【分析】根据给定条件，求出二项式展开式的通项，并求出含及的项，即可求解作答.

【详解】二项式的展开式通项公式为，

当时，，当时，，

因此展开式中含的项为，

所以所求系数为5.

故答案为：5

14．19.5/

【分析】将数据从小到大排列，利用25的百分位数的定义即可计算出结果.

【详解】解析：将数据从小到大排序：15，16，23，28，37，45，58，76共8个数据，，第2，3个数据分别为16,23，

因此，这些数据的25百分位数为．

故答案为：19.5或.

15．

【分析】把转化为与点所成直线的斜率，作出函数在部分图象上的动点，结合斜率公式，即可求解.

【详解】由表示与点所成直线的斜率，

又由是在部分图象上的动点，

如图所示：可得，则，

所以，即的取值范围为.

故答案为：.

16．/

【分析】由题得，设，求出即得解.

【详解】已知条件可知为直角三角形，且.

设，可得

故答案为：

17．(1)

(2)

【分析】（1）根据正弦定理和余弦定理可求出结果；

（2）根据，，推出，再根据，求出，再根据三角形面积公式可求出结果.

【详解】（1）由，

根据正弦定理可得，即，

根据余弦定理可得，

因为，所以；

（2）因为，且，所以，则，

所以，所以.

所以，即，

在三角形中，，，所以，

故.

18．(1)；

(2)分布列见解析；

【分析】（1）由题意求得，结合条件概率的公式，即可求解；

（2）被抽取的4次中男生人数X的取值，得到，求得相应的概率，列出分布列，利用期望公式，即可求解.

【详解】（1）解：由题意得，第二次抽到男生的概率为，

“在第一次抽到女生的条件下，第二次抽到男生”的概率就是事件发生的条件下，事件B发生的概率，

而，，所以.

（2）解：被抽取的4次中男生人数X的取值为0，1，2，3，4且.  

可得；；

；；

，

所以随机变量的分布列为：

所以随机变量的期望为：.

19．(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）利用等差数列的定义即可求解；

（2）根据（1）的结论及等差数列的通项公式，利用裂项相消法即可求数列的前项和.

【详解】（1）∵，

∴，即，

∴，.

∴是首项为2，公差为1的等差数列.

（2）由（1）知，是首项为2，公差为1的等差数列，

所以，

所以，，

所以，

.

20．(1)证明见解析

(2)E为线段上靠近点D的三等分点

【分析】（1）利用勾股定理证明，再根据面面垂直的性质可得平面，再根据线面垂直的性质即可得证；

（2）设，则E到平面的距离为到平面的距离的倍，再根据棱锥的体积公式求解即可.

【详解】（1）四边形是直角梯形，，，，

∴，

则，∴，

∵平面平面，平面平面，

平面，

平面，

又平面，；

（2）由（1）可知平面，，

设，则E到平面的距离为到平面的距离的倍，

即E到平面的距离，

是等腰直角三角形，，，，

，即，

，

E为线段上靠近点D的三等分点．

21．(1)单调递减区间为

(2)

【分析】（1）根据导函数和原函数的单调性关系，先设求得，得到函数单调区间；

（2）把在上恒成立, 转化为在上恒成立，令,即得恒成立求参即可.

【详解】（1）当时，，

所以，令，所以，

当时，，故为增函数；

当时，，故为减函数，

所以，即，

所以函数的单调递减区间为，无单调递增区间.

（2）因为，所以，

所以在上恒成立，

即在上恒成立，

转化为在上恒成立，

令，，则且

当时，恒成立，故在上为增函数，

所以，即时不满足题意；

当时，由，得，

若，则，故在上为减函数，在上为增函数，

所以存在，使得，即时不满足题意；

若，则，故在上为减函数，

所以，所以恒成立，

综上所述，实数的取值范围是.

22．(1)

(2)是，1

【分析】（1）由题设可得关于的方程组，求出其解后可得椭圆的方程.

（2）

【详解】（1）由题意，，解得，

代入点得，解得，

的方程为：；

（2）

由题意，，当斜率都不为0时，设，，

当时，由对称性得，

当时，联立方程，得

恒成立，，

同理可得：，

直线方程：，

令，得，

同理：，

，

，

当斜率之一为0时，不妨设斜率为0，则，

直线方程：，直线方程：，

令，得，

，

综上：.