2023届湖南省衡阳师范学院祁东附属中学高三上学期期中数学试题含解析

2023届湖南省衡阳师范学院祁东附属中学高三上学期期中数学试题

一、单选题

1．集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据一元二次不等式可得,进而根据集合的补运算和交运算即可求解.

【详解】由题意得或，，

所以，

故选：B

2．“”是“”的（    ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可；

【详解】解：若，则不成立，故不具有充分性，因为单调递减，若，所以，故有必要性，

故选：B.

3．已知函数则（    ）

A． B．3 C．1 D．19

【答案】B

【分析】根据解析式代入求解即可

【详解】

故选：B

4．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：：I(t) = ert （其中r为指数增长率）描述累计感染病例数I(t)随时间t（单位：天）的变化规律.有学者基于已有数据估计出累计感染病例数增加1倍需要的时间约为2天，据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，指数增长率r的值约为（      ）（参考数值：ln20.69）

A．0.345 B．0.23 C．0.69 D．0.831

【答案】A

【解析】由题设可知第天感染病例数为，则第天的感染感染病例数为,由感染病例数增加1倍需要的时间约为2天，则，解出即可得出答案.

【详解】由题设可知第天感染病例数为，则第天的感染感染病例数为

由感染病例数增加1倍需要的时间约为2天，则

所以，即

所以

故选：A

5．已知函数与函数的值域相同，则实数a的取值范围是（   ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由分析知的值域为，当时，，要使的值域为，则，且，即可求出a的取值范围.

【详解】因为的值域为，所以的值域为.

当时，.

当时，①若，即，，此时不满足条件.

②若，即，，此时的值域不可能为.

③若，即，，要使的值域为，则，即

解得：或，又因为，所以.

故选：B.

6．设，，为正数，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】令，可得，，，然后利用对数函数的图象即得；或利用换底公式及对数函数的性质即得.

【详解】令，则，，，，

在平面直角坐标系中画出，，的图象及直线，结合图象知．

方法二  令，则，

易得，，，

又当时，函数在上单调递增，且，

∴，

∴，即．

故选：D.

7．若函数与函数有公切线，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C．  D．

【答案】B

【分析】分别求出导数，设出各自曲线上的切点，得出两个切线方程，由两个切线方程可整理成关于一个变量的函数，利用导数求出函数的取值范围即可求解.

【详解】设公切线与函数切于点，

，切线的斜率为，

则切线方程为，即

设公切线与函数切于点，

，切线的斜率为，

则切线方程为，即

所以有

因为，所以，可得，，即，

由可得：，

所以，

令，则，，

设，则，

所以在上为减函数，

则，所以，

所以实数的取值范围是，

故选：B．

【点睛】方法点睛：求曲线过点的切线的方程的一般步骤是：

（1）设切点

（2）求出在处的导数，即在点处的切线斜率；

（3）构建关系解得；

（4）由点斜式求得切线方程.

8．设函数f（x）是定义在区间上的函数，f'（x）是函数f（x）的导函数，且，则不等式 的解集是

A． B．（1，＋∞） C．（－∞，1） D．（0，1）

【答案】D

【分析】构造函数，求导，结合，可得在上单调递增，则不等式，可变为，则，结合单调性即可求解．

【详解】构造函数，则，由，所以，即在上单调递增．因为，则不等式，可变为，则，所以，所以，故选D

【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查学生发散思维和计算能力，属中档题．解题的关键在于根据给出的条件，构造新函数，求导可应用题中条件，得到新函数的单调性，把问题转化为根据单调性解不等式问题，进而得到答案．

二、多选题

9．下列说法正确的是（    ）

A．“”是“”的充分不必要条件

B．“”是“”的必要不充分条件

C．“对任意一个无理数，也是无理数”是真命题

D．命题“，”的否定是“，”

【答案】AD

【分析】利用不等式的基本性质结合特殊值法以及充分条件、必要条件的定义可判断A选项；利用特殊值法结合充分条件、必要条件的定义可判断B选项；利用特殊值法可判断C选项；利用存在量词命题的否定可判断D选项.

【详解】对于A选项，若，则，由不等式的性质可得，即“”“”，

若，取，则，即“”“”，

故“”是“”的充分不必要条件，A对；

对于B选项，若，不妨取，，则，即“”“”，

若，取，，则，即“”“”，

所以，“”是“”的既不充分也不必要条件，B错；

对于C选项，取为无理数，则为有理数，C错；

对于D选项，命题“，”的否定是“，”，D对.

故选：AD.

10．下列说法正确的有（     ）

A．若，则的最大值是

B．若x，y，z都是正数，且，则的最小值是3

C．若，，，则的最小值是2

D．若实数x，y满足，则的最小值是

【答案】ABD

【分析】对于A，凑分母，结合基本不等式，可得答案；对于B，根据基本不等式，结合“1”的妙用，可得答案；对于C，根据基本不等式的变式，整理出关于所求整式的二次不等式，可得答案；对于D，采用整体思想进行换元，分离常数，结合基本不等式，可得答案.

【详解】对于A，因为，所以，所以，所以，当且仅当，即时等号成立，所的最大值为，故A正确；

对于B，因为x，y，z都是正数，且，所以，，，所以，

所以，

，当且仅当，即，即时等号成立，所以的最小值为3，故B正确；

对于C，因为，，所，即（当且仅当时等号成立），因为，所以，所以，所以，解得（舍去）或，当且仅当时等号成立，所以的最小值为4，故C错误；

对于D，令，，则，，因为，所以x，y同号，则s，t同号，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最大值是，当且仅当时，等号成立，故D正确．

故选：ABD.

11．已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（    ）

A．

B．函数的图象关于点对称

C．，

D．函数在上无最小值

【答案】BC

【分析】由图可知，，进而结合待定系数得，再依次讨论各选项即可得答案.

【详解】解：由图可知，，，

所以，即，所以，

再将代入得，即，

所以，即，

因为，所以，即，故A选项错误；

令，解得，即函数的对称中心为，所以当时，函数的图象关于点对称，故B正确；

因为，，即函数关于对称，由函数图像易知正确，故C正确；

当时，，所以当，即时函数取得最小值，故D错误.

故选：BC

12．已知函数是定义在R上的奇函数，当时，．则下列结论正确的是（    ）

A．当时，

B．函数有两个零点

C．若方程有三个解，则实数的取值范围是

D．

【答案】AC

【分析】根据函数是奇函数，求出时的解析式，可判断A；

利用导数求出函数在上的单调区间及极值，再结合是奇函数，可作出函数在R上的大致图象，从而可逐项判断B、C、D．

【详解】对A，设，则，所以，

又函数是定义在R上的奇函数，所以，

所以，即

故A正确．

对B，当时，，所以，

令，解得，

当时，；当时，，

所以函数在上单调递增，在上单调递减，

故当时，函数取得极小值，

当时，，又，故函数在仅有一个零点．

当时，，所以函数在没有零点，

所以函数在上仅有一个零点，函数是定义在上的奇函数，

故函数在上仅有一个零点，又，

故函数在上有3个零点．

故B错误．

对C，作出函数的大致图象，由图可知

若关于的方程有解，由B中的单调性可得，实数的取值范围是.

故C正确．

由图可知，对，

故D错误．

故选：AC．

三、填空题

13．已知，，且，则的最小值为______.

【答案】1

【分析】构造，展开，利用基本不等式即可求解.

【详解】因为，所以，

即，

因为，，所以，

，

当且仅当，即时取等号.

所以的最小值为1.

故答案为：1

14．已知,则__．

【答案】

【分析】根据诱导公式和二倍角的余弦公式可求出结果.

【详解】∵，

∴

.

故答案为：.

15．若点P是曲线上一动点，则点P到直线的最小距离为________.

【答案】

【分析】利用导数求出与直线平行且与曲线相切的直线，切点到直线的距离即为最小距离.

【详解】设，，

设直线与曲线相切，切点为，且直线与直线平行，

则有，得，，即

如图所示：

此时到直线的距离最小，.

故答案为：

16．设若方程有四个不相等的实根，且，则的取值范围为___________.

【答案】

【分析】画出函数的图象，根据对数函数的性质与运算及对称性可得，将转化为关于的代数式，利用换元法，根据的范围结合二次函数的性质即可求解.

【详解】解：∵时，，

∴在上的图象与上的图象关于对称，

不妨设，如图：

可得，.

∴.

∴

，.

令，

则原式化为，其对称轴为，开口向上，

∴在上单调递增.∴.

∴的取值范围为.

故答案为：.

四、解答题

17．已知集合，.

(1)若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围；

(2)若，求的取值范围.

【答案】(1)

(2).

【分析】(1)根据“”是“”的充分不必要条件得出真包含于可求解;(2)分类讨论结合集合的数轴表示可求的取值范围.

【详解】（1）由题意,,即，解得，

所以.

由“”是“”的充分不必要条件，得真包含于，

则 ，

解得.

（2）当时，得，即，符合题意.

当时，得，即.

由，得或，解得或，

所以或.

【点睛】综上所述，的取值范围为.

18．设函数．

(1)若曲线在点处的切线方程为，求；

(2)求函数的单调区间．

【答案】(1)

(2)答案见解析

【分析】（1）求出，建立方程关系，即可求出结论；

（2）对分类讨论，求出的单调区间.

【详解】（1）由于切点在切线上，所以，函数通过点

又，根据导数几何意义，

；

（2）由可知

当时，则；

当时，则；

当时，的单调递减区间为，单调递增区间为

当时，单调递增区间为，单调递减区间为.

19．已知的角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足.

（1）求A；

（2）从下列条件中：①；②中任选一个作为已知条件，求周长的取值范围.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【答案】（1）；（2）选择①，；选择②，.

【分析】（1）根据正弦定理将角化边计算可得，最后可得结果.

（2）选①根据正弦定理以及辅助角公式化简可得周长，然后根据角度范围可得结果；选②可得，然后结合余弦定理以及不等式可得结果.

【详解】（1）因为

由正弦定理得，即  

由余弦定理得  

所以

（2）选择①.由正弦定理，

即周长

即周长的取值范围

选择②.，得，得.

由余弦定理得

即周长

，当且仅当时等号成立

即周长的取值范围

【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理以及面积公式解三角形，注意边角如何转化，以及求范围问题常会转化为三角函数或者不等式的应用，属中档题.

20．经过长期发展，我国的脱贫攻坚成功走出了一条中国特色的扶贫开发道路．某个农村地区因地制宜，致力于建设“特色生态水果基地”．经调研发现：某珍稀水果树的单株产量（单位：千克）与施肥量（单位：千克）满足函数关系：，且单株水果树的肥料成本投入为元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工费）为元．已知这种水果的市场售价大约为15元/千克，且销路畅通供不应求，记该水果树的单株利润为（单位：元）．

（1）求的函数关系式；

（2）当单株施肥量为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？

【答案】（1）；（2）当单株施肥量为4千克时，该水果树的单株利润最大，最大利润是720元．

【分析】（1）根据该水果树的单株利润为市场售价单株产量肥料成本其它成本，从而可求出的函数关系式；

（2）分两段进行讨论：第一段利用二次函数的性质求出最大值；第二段利用基本不等式求出函数的最大值，最后比较两个最大值即可得结论．

【详解】解：（1），

所以；

（2）当时，，

所以当时，取最大值为元，

当时，，

而，

当且仅当即时取等号，

所以元，

综上，当单株施肥量为4千克时，该水果树的单株利润最大，最大利润是720元．

21．已知函数是定义在上的偶函数.

（1）求的值；

（2）设，

①若对于恒成立，求的取值集合；

②若，使得不等式有解，求的取值集合.

【答案】（1）；（2）①；②.

【解析】（1）由函数为偶函数可得，代入即可求解.

（2）①将不等式转化为对于恒成立，求出在上的最小值，只需，解不等式即可；②不等式转化为在时有解，求出在上的最小值，只需即可求解.

【详解】（1）根据题意的定义域是

又是偶函数，

因此恒成立，故

（2）①

不等式等价于对于恒成立

因为在时是增函数，所以，

因此，解得

所以的取值集合为

②不等式在时有解，

等价于在时有解，

因为在时是增函数，所以，

所以，解得，

所以的取值集合为.

【点睛】关键点点睛：本题考查了函数的奇偶性求参数值，不等式恒成立、能成立问题，解题的关键是利用对数函数的单调性将不等式转化为求函数的最值问题，注意转化变量，考查了转化与化归的思想.

22．已知函数．

(1)讨论函数的单调性；

(2)若是的两个零点，求证：．

【答案】(1)答案见解析

(2)证明见解析

【分析】(1)求导，然后，对，进行分类讨论求解即可.

(2)对进行分类讨论，时，不符题意，考虑时的情况，此时，可设两零点，，进而把转化为证明成立，然后，利用证明极值点偏移的方法或换元法进行证明即可.

【详解】（1）定义域为．

当时，对均成立，∴在上单调递增

当时，令，解得；令，解得

∴在上单调递增，在上单调递减．

综上所述，时，在上单调递增：

时，在上单调递增，在上单调递减．

（2）是的两个零点，由（1）可知：

时，在上单调递增，最多存在一个零点，不合题意；

故只考虑的情况

此时在上单调递增，在上单调递减．

又∵是的两个零点，则必有一个在上，一个在上

不妨令，

要证

即证

即证即证

由题意有：

要证，即证

即证

法一：即证∵∴

又因为且在上单调递减

要证只需证而

即证

令

∵

时，∴

∴对都成立

∴在上单调递增，∴

从而命题得证．

法二：即证

由

即证即证

即证令，即证

令，

∴在上单调递增．∴

从而命题得证．

【点睛】关键点睛：解题的关键在于，把证明成立，转化为证明成立，然后，利用极值点偏移的方法，把证明转化为，最后，把问题转化为证明成立，本题也可以用换元法证明，本题主要考查学生的转化化归思想，属于难题