2022-2023学年陕西省渭南市韩城市高二下学期期末数学（理）试题含答案

2022-2023学年陕西省渭南市韩城市高二下学期期末数学（理）试题

一、单选题

1．若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据复数的除法运算即可.

【详解】由，

得.

故选：C.

2．已知函数，若，则（    ）

A．6 B．5 C．4 D．3

【答案】B

【分析】依题意有，对函数求导即可求出的值.

【详解】根据导数的定义得：，即，

因为，所以，解得.

故选：.

3．已知某物体的运动方程为（时间单位：s，位移单位：m），当时，该物体的瞬时速度为，则的值为（    ）

A．2 B．6 C．7 D．8

【答案】D

【分析】对求导，再利用瞬时速度的意义求解即可.

【详解】因为，，

当时，该物体的瞬时速度为，

则，解得：.

故答案为：D.

4．下列导数运算正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据导数公式判断各项正误即可.

【详解】由，，，，

所以A、B、D错，C对.

故选：C

5．已知函数，则=（    ）

A．8 B．6 C．3 D．1

【答案】B

【分析】先求得导函数，然后求得.

【详解】，

所以.

故选：B

6．随机变量的所有可能的取值为，且，则的值为（    ）

A． B． C．30 D．15

【答案】B

【分析】根据随机变量的概率和为1，列出方程即可求解.

【详解】随机变量的所有可能的取值为，且，

.

故选：B.

7．若 的展开式中，所有的二项式系数之和为64，则该展开式中的常数项为（    ）

A．10 B．20 C． D．

【答案】D

【分析】首先利用求出，然后再利用二项式展开式的通项即可求解.

【详解】根据题意可得，解得，

则展开式的通项为，

令，得，

所以常数项为：.

故选：D.

8．为了提升全民身体素质，学校十分重视学生体育锻炼，某校篮球运动员进行投篮练习．如果他前一球投进则后一球投进的概率为；如果他前一球投不进则后一球投进的概率为.若他第球投进的概率为，则他第球投进的概率为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】记事件为“第球投进”，事件为“第球投进”，由全概率公式可求得结果.

【详解】记事件为“第球投进”，事件为“第球投进”，

，，，

由全概率公式可得.

故选：B.

【点睛】关键点点睛：本题考查利用全概率公式计算事件的概率，解题的关键就是弄清第球与第球投进与否之间的关系，结合全概率公式进行计算.

9．如图， “天宫空间站”是我国自主建设的大型空间站，其基本结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱三个部分. 假设有6名航天员(4男2女) 在天宫空间站开展实验，其中天和核心舱安排4人，问天实验舱与梦天实验舱各安排1人， 且两名女航天员不在一个舱内，则不同的安排方案种数为（    ）

A．14 B．18 C．30 D．36

【答案】B

【分析】先求出总的安排方案数，再求出两名女航天员在一个舱内的方案数，两者相减即可.

【详解】将6名航天员安排在3个实验舱的方案数为

其中两名女航天员在一个舱内的方案数为

所以满足条件的方案数为种.

故选:B.

10．甲、乙两盒中各放有除颜色外其余均相同的若干个球，其中甲盒中有4个红球和2个白球乙盒中有2个红球和3个白球，现从甲盒中随机取出1球放入乙盒，再从乙盒中随机取出球.记“从甲盒中取出的球是红球”为事件A，“从甲盒中取出的球是白球”为事件B，“从乙盒中取出的球是红球”为事件C，则下列结论错误的是（    ）

A．A与B互斥 B．

C．A与C独立 D．

【答案】C

【分析】根据互斥事件、相互独立事件、条件概率等知识确定正确答案.

【详解】A选项，“从甲盒中取出的球是红球”与“从甲盒中取出的球是白球”不能同时发生，

所以与互斥，A选项正确.

B选项，在发生“从甲盒中取出的球是红球”的事件的情况下，

“从乙盒中取出的球是红球”的概率为，B选项正确.

D选项，，D选项正确.

C选项，由于，

，

所以与不是相互独立事件，C选项错误.

故选：C

11．函数的定义域为，它的导函数的部分图像如图所示，则下列结论正确的是（    ）

A．是的极小值点

B．

C．函数在上有极大值

D．函数有三个极值点

【答案】B

【分析】根据导函数与原函数的关系，结合极值点和极大值的定义逐一判断即可.

【详解】当时，，单调递增，

当时，，单调递减，

所以有，因此选项B正确；

当时，，单调递增，

所以在上没有极大值，因此选项C不正确；

当时，，单调递增，

因此不是的极值点，只有当时，函数有极值点，

所以选项A不正确，选项D不正确，

故选：B

12．已知，则（　　）

A．b＞c＞a B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．c＞a＞b

【答案】B

【分析】构造函数，利用其单调性判断.

【详解】解：设，

则，

当时，，递减；

当时，，递增；

又，

即，

则，

∴f（π）＞f（4）＞f（5），即b＞a＞c．

故选：B．

二、填空题

13．已知，，则的最小值为         .

【答案】

【分析】利用向量法求得的最小值.

【详解】由于，，

所以是单位圆上的两个点，

所以，

当时等号成立，

所以的最小值为.

故答案为：

14．立德幼儿园王老师和李老师给小朋友发水果，王老师的果篮有草莓，苹果，芒果3种水果.李老师的果蓝里有苹果，樱桃，香蕉，猕猴桃4种水果，小华可以在两个老师的果篮里分别选一个水果，小华拿到两种不同的水果的情况有         种.

【答案】11

【分析】根据题意，由于苹果是重复的，按照先分类后分步的情况，结合加法计数原理即可得到结果.

【详解】王老师有3种水果，李老师有4种水果，其中苹果是重复的，所以应该先分类后分步.

第一类，如果小华在王老师那里拿到苹果，那么在李老师那里只能从剩下的3种水果中拿，共有种情况；

第二类，如果小华在王老师那里拿到的不是苹果，那么就有2种情况，在李老师那里有4种情况，共有种情况.

根据分类加法计数原理，小华拿到两种不同水果总共有种情况.

故答案为：11

15．若函数在在上单调递增,则实数的取值范围是          ．

【答案】

【详解】分析：由函数在上单调递增，所以在上恒成立，进而得到在上恒成立，利用二次函数的性质，即可得到实数的取值范围．

详解：由函数，则

函数在上单调递增，所以在上恒成立，

即，即在上恒成立，

又由，当时，，

所以，即实数的取值范围是．

点睛：利用导数研究不等式恒成立或解不等式问题，通常首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题．

16．给定函数，若函数恰有两个零点，则a可取的一个值是         .

【答案】（答案不唯一）

【分析】利用分离常数法，构造函数法，结合导数求得的取值范围，进而求得正确答案.

【详解】由得，

设，

所以在区间单调递减，

在区间单调递增，，

当时，；当时，，

由此画出的大致图象如下图所示，

由于函数恰有两个零点，

所以的取值范围是.

所以的一个值为.

故答案为：（答案不唯一）

【点睛】利用导数研究含有参数的函数的零点问题，可利用分离常数法，分离常数后，通过构造函数，然后利用导数研究所构造函数的单调性、极值、最值等，由此来求得参数的取值范围.同时可结合图象来进行判断.

三、解答题

17．为了有针对性地提高学生体育锻炼的积极性，某校需要了解学生是否经常进行体育锻炼与性别因素的相关性，为此随机对该校100名学生进行问卷调查，得到如下列联表.

已知从这100名学生中任选1人，经常进行体育锻炼的学生被选中的概率为.

(1)完成上面的列联表；

(2)根据列联表中的数据，判断能否有95%的把握认为该校学生是否经常进行体育锻炼与性别因素有关.

附：，其中.

【答案】(1)列联表见解析

(2)有95%的把握认为该校学生是否经常进行体育锻炼与性别因素有关

【分析】（1）设这100名学生中经常进行体育锻炼的学生有x人，则，解得.，即可完成列联表；

（2）求出，与3.841比较大小即可得结论.

【详解】（1）设这100名学生中经常进行体育锻炼的学生有x人，则，解得.

列联表完成如下：

（2）由（1）可知，，

∴有95%的把握认为该校学生是否经常进行体育锻炼与性别因素有关.

18．已知函数．

(1)若，求不等式的解集；

(2)若，求a的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据绝对值的定义，将不等式转化为三个不等式组，最后求它们解集的并集即可得出答案.

（2）由，推出，分和解不等式即可得出答案.

【详解】（1）当时，，

当时，不等式化为，，此时；

当时，不等式化为，恒成立，此时；

当时，不等式化为，，此时，

综上所述，不等式的解集为；

（2），

若，则，

当时，不等式恒成立；

当时，不等式两边平方可得，

解得，，

综上可得，a的取值范围是．

19．已知函数.

(1)求的极值；

(2)求在区间上的最大值和最小值.

【答案】(1)，

(2)最大值为，最小值为

【分析】（1）利用导数求出函数的单调区间，从而求出函数的极值；

（2）求出区间端点的函数值，结合极值，即可得到函数的最值.

【详解】（1）定义域为，又，

当时，，单调递增；

当时，，单调递减；

当时，，单调递增.

所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，

所以在处取极大值，在处取极小值，

∴， .

（2）由（1）知，当时单调递增；

当时，单调递减；当时，单调递增，

当时，取极大值；当时，取极小值.

又，，

∴在区间上的最大值为，最小值为.

20．甲、乙两名同学进行中国象棋比赛，每局比赛甲获胜的概率是，乙获胜的概是，规定：每一局比赛中胜方记1分，负方记0分，先得3分者获胜，比赛结束．

(1)求比赛结束时，恰好进行4局的概率．

(2)若甲以2：1领先乙时，记X表示比赛结束是还需要进行的局数，求X的分布列及数学期望．

【答案】(1)；

(2)

【分析】(1) 求出比赛结束时恰好打了4局，甲获胜的概率和乙获胜的概率，相加即为结果.

（2）分析可知X的可能取值为1，2，分别求出对应的概率，由此能求出X的分布列和.

【详解】（1）解：比赛结束时恰好打了4局，甲获胜的概率为，

恰好打了4局，乙获胜的概率为，

所以比赛结束时恰好打4局的概率为；

（2）X的可能取值为1，2，

，

，

所以X的分布列如下：

 故.

21．赤霉素在幼芽、幼根、未成熟的种子中合成，其作用是促进细胞的生长，使得植株变高，每粒种子的赤霉素含量x（单位：mg/g）直接影响该粒种子后天的生长质量.现通过生物仪器采集了赤霉素含量分别为10，20，30，40，50的种子各20粒，并跟踪每粒种子后天生长的情况，收集种子后天生长的优质数量y（单位：粒），得到的数据如下表：

(1)求y关于x的线性回归方程；

(2)利用（1）中的回归方程，估计1000粒赤霉素含量为60mg/g的种子后天生长的优质数量.

参考数据：，，，.

参考公式：线性回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为，.

【答案】(1)

(2)615粒

【分析】（1）根据最小二乘法可求出结果；

（2）将，代入，求出后可得结果.

【详解】（1）∵，，

∴，

又，，

∴，

故y关于x的线性回归方程为.

（2）将，代入，得到，

估计1000粒赤霉素含量为60mg/g的种子后天生长的优质数量为粒.

22．已知函数.

(1)若，求曲线在处的切线方程；

(2)若对任意的，恒成立，求实数m的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据导数几何意义可求得切线斜率，结合可得切线方程；

（2）参变分离可得，令，利用导数可求得，由此可得范围.

【详解】（1），

当时，，，

∴曲线的切线方程，

即.

（2）若在上恒成立，

则在上恒成立，

令，

则，

令，则.

当时，，

∴h（x）在上单调递增且，

故当时，单调递增；

当时，单调递减；

故当时，取得极小值，也是最小值，

∴实数m的取值范围为

【点睛】方法定睛：利用导数证明不等式的基本步骤

(1)作差或变形．

(2)构造新的函数h(x)．

(3)利用导数研究h(x)的单调性或最值．

(4)根据单调性及最值，得到所证不等式．

特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题．