2022-2023学年陕西省宝鸡市金台区高二下学期期末数学（理）试题含答案

2022-2023学年陕西省宝鸡市金台区高二下学期期末数学（理）试题

一、单选题

1．若，则（    ）

A．5 B．6 C．7 D．8

【答案】A

【分析】根据排列数的计算方法列出关于m的一元二次方程即可解得.

【详解】,化解得

解得：m=（舍）或m=5

故选：A

【点睛】本题考查了排列数的计算方法，属于简单题，解题中只需准确应用排列数公式即可.

2．书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的动漫书，第3层放有2本不同的地理书，从书架上任取1本书，不同的取法总数为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据分类加法计算原理即可求解．

【详解】根据题意可得从书架上任取1本书，有种不同的取法．

故选：C．

3．若，则（    ）

A． B．1 C．15 D．16

【答案】D

【分析】令计算可得.

【详解】因为，

令可得.

故选：D

4．如图所示的五个区域中，中心区域是一幅图画，现要求在其余四个区域中涂色，有四种颜色可供选择，要求每个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据题意可知每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，分类研究，不同色；

同色两大类，结合分步乘法计数原理和分类加法计数原理可得答案．

【详解】由题意知，分两种情况：

(1)不同色，先涂区域有种方法，再涂区域有种方法，再涂区域有种方法，再涂区域有种方法，由分步乘法计数原理可得有种；

(2) 同色；先涂区域有种方法，再涂区域有种方法，再涂区域有种方法，再涂区域有种方法，由分步乘法计数原理可得有种．

由分类加法计数原理，共有种，

故选：A．

5．若的展开式中第3项与第9项的系数相等，则展开式中二项式系数最大的项为（     ）

A．第4项 B．第5项 C．第6项 D．第7项

【答案】C

【分析】根据二项展开式可知，计算出，即可知二项式系数最大为，即为第6项.

【详解】由二项式定理可得第3项与第9项的系数分别为和，

即，由二项式系数性质可得；

因此展开式中二项式系数最大的项为，是第6项.

故选：C

6．设随机变量X的分布列为P(X=)=ak(k=1，2，3，4)，a为常数，则

A．a= B．P(X>)= C．P(X<4a)= D．E(X)=

【答案】B

【分析】利用概率的性质列方程可求得，根据分布列和期望公式可求出、、，从而可得答案.

【详解】因为a(1+2+3+4)=1，所以a=，

所以P(X>)=+，

P(X<4a)=P(X<)=，

E(X)=×+×+×+×.

故选：B.

【点睛】本题考查了概率的性质，考查了离散型随机变量的分布列和数学期望，属于基础题.

7．已知三个正态分布密度函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（     ）

A．，

B．，

C．，

D．，

【答案】B

【分析】结合正态分布密度函数中参数表示其均值大小，表示离散程度，利用图象形状即可判断出结论.

【详解】根据正态分布密度函数中参数的意义，

结合图象可知，对称轴位置相同，所以可得；

且都在的右侧，即，

比较和图像可得，其形状相同，即，

又的离散程度比和大，所以可得；

故选：B

8．某人共有三发子弹，他射击一次命中目标的概率是，击中目标后射击停止，射击次数X为随机变量，则期望（     ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由题意得，根据相互独立事件同时发生的概率公式求解概率并列出分布列，根据离散型随机变量的数学期望公式求得结果.

【详解】由题意知，

；；.

的分布列为

.

故选：A.

9．教育扶贫是我国重点扶贫项目，为了缩小教育资源的差距，国家鼓励教师去乡村支教，某校选派了5名教师到A、B、C三个乡村学校去支教，每个学校至少去1人，每名教师只能去一个学校，不同的选派方法数有（     ）种

A．25 B．60 C．90 D．150

【答案】D

【分析】按照分类分步计数原理可先将5人分成3组，再将3组人员分配到3个学校去，即可计算出结果.

【详解】由题意可知，先将5人分成三组有2类分法，

第一类：各组人数分别为1，1，3，共有种分法；

第二类：各组人数分别为1，2，2，共有种分法，

再将三组人员分配到A、B、C三个乡村学校去，共有种，

所以不同的选派方法共有种.

故选：D

10．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》就给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.以下关于杨辉三角的猜想中错误的是（    ）

A．由“与首末两端‘等距离’的两个二项式系数相等”猜想：Cnm＝Cnn－m

B．由“在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它‘肩上’两个数的和”猜想：

C．由“第n行所有数之和为2n”猜想：Cn0＋Cn1＋Cn2＋…＋Cnn＝2n

D．由“111＝11，112＝121，113＝1331”猜想：115＝15101051

【答案】D

【解析】由组合数及二项式系数的性质可判断A、B、C，由二项式定理运算可判断D.

【详解】对于A，由组合数的互补性质可得，故A正确；

对于B，由组合数的性质可得， 故B正确；

对于C，由二项式系数和的性质可得，故C正确；

对于D，，

故D错误.

故选：D.

【点睛】本题考查了数学文化及组合数、二项式定理、二项式系数的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.

11．甲、乙两位同学各自独立地解答同一个问题，他们能够正确解答该问题的概率分别是和，在这个问题已被正确解答的条件下，甲、乙两位同学都能正确回答该问题的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用独立事件及互斥事件的概率求法求解该问题被解答的概率，再利用条件概率计算公式求解即可.

【详解】设事件A表示“甲能回答该问题”，事件B表示“乙能回答该问题”，事件C表示“这个问题被解答”，

则，，故，

所以在这个问题已被解答的条件下，甲乙两位同学都能正确回答该问题的概率为：.

故选：D

12．有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（    ）

A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立

C．乙与丙相互独立 D．丙与丁相互独立

【答案】B

【分析】根据独立事件概率关系逐一判断

【详解】 ，

故选：B

【点睛】判断事件是否独立，先计算对应概率，再判断是否成立

二、填空题

13．的展开式中有          项.

【答案】24

【分析】根据分步乘法原理求解即可.

【详解】解：要得到项数分三步：

第一步，从第一个因式中取一个因子，有2种取法；

第二步，从第二个因式中取一个因子，有3种取法；

第三步，从第三个因式中取一个因子，有4种取法.

由分步计数原理知，共有2×3×4＝24(项).

故答案为：24

14．某企业生产的个产品中有个一等品、个二等品，现从这些产品中任意抽取个，则其中恰好有个二等品的概率为          .

【答案】

【分析】由题意可知该问题属于超几何分布，代入其公式计算即可求得结果.

【详解】根据题意可知，任意抽取个共有种抽法，

则其中恰好有个二等品的抽法共有种，

因此任意抽取个，则其中恰好有个二等品的概率为.

故答案为：

15．从1，2，3，4，7，9中任取2个不相同的数，分别作为对数的底数和真数，能得到        个对数值.

【答案】17

【分析】先根据对数函数底数和真数的要求，得到个选择，再减去重复的个数，得到答案.

【详解】因为中，底数且，故底数可从2，3，4，7，9中任取一个数，

而真数可从剩余的5个数中任取一个，共个，

当真数为1时，，且，，，，

故.

故答案为：17

16．下列四个命题中为真命题的是         .（写出所有真命题的序号）

①若随机变量服从二项分布，则其方差；

②若随机变量服从正态分布，且，则；

③已知一组数据的方差是3，则的方差也是3；

④对具有线性相关关系的变量，其线性回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是4；

【答案】①③

【分析】对于①，利用二项分布的方差公式分析判断，对于②，利用正态分布的性质分析判断，对于③，利用方差的性质分析判断，对于④，将样本中心点代入回归方程求解判断.

【详解】对于①，因为随机变量服从二项分布，所以，所以①正确，

对于②，因为随机变量服从正态分布，且，所以，

所以，

所以，所以②错误，

对于③，因为数据的方差是3，所以由方差的性质可知的方差不变，也是3，所以③正确，

对于④，因为线性回归方程为，样本点的中心为，所以，解得，所以④错误，

故答案为：①③

三、解答题

17．袋中装有2个红球和4个黑球，这些球除颜色外完全相同.

(1)现在有放回地摸3次，每次摸出一个，求“恰好摸出1次红球”的概率；

(2)现在不放回地摸3次，每次摸出一个，求“至少两次摸出红球”的概率.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）易得有放回地每次摸出红球的概率为，再利用独立重复试验求解；

（2）利用古典概型的概率求解.

【详解】（1）解：因为袋中装有2个红球和4个黑球，

所以有放回地每次摸出红球的概率为，

所以有放回地摸3次，每次摸出一个，求“恰好摸出1次红球”的概率为：

；

（2）由不放回地摸球，则至少两次摸出红球，即为一次摸出一个红球和2个红球，

所以不放回地摸3次，每次摸出一个，求“至少两次摸出红球”的概率为；

18．已知的二项展开式中，所有项的二项式系数之和等于．求：

(1)的值；

(2)展开式中第项；

(3)展开式中的常数项．

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）利用展开式二项式系数和可得出关于的等式，解之即可；

（2）根据二项展开式可求得展开式第项；

（3）写出展开式通项，令的指数为零，求出参数的值，代入通项即可得出常数项.

【详解】（1）解：展开式的二项式系数和为，则，解得：.

（2）解：展开式第项为.

（3）解：展开式通项为

，   

令，解得：，则展开式常数项为.

19．某市为了传承发展中华优秀传统文化，组织该市中学生进行了一次文化知识有奖竞赛，竞赛奖励规则如下：得分在内的学生获三等奖，得分在 内的学生获二等奖，得分在内的学生获一等奖，其他学生不得奖.为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取100名学生的竞赛成绩，并以此为样本绘制了如图所示的样本频率分布直方图.

(1)估计这100名学生的竞赛成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

(2)若该市共有10000名学生参加了竞赛，所有参赛学生的成绩近似服从正态分布，其中，为样本平均数的估计值，试估计参赛学生中成绩超过78分的学生人数（结果四舍五入到整数）.

附：若随机变量服从正态分布，则，，.

【答案】(1)64

(2)1587

【分析】（1）由频率分布直方图样本平均数计算方法可得.

（2）由原则可得参赛学生中成绩超过78分的概率，进而可得.

【详解】（1）由样本频率分布直方图得，样本平均数的估计值

（2）由题意所有参赛学生的成绩近似服从正态分布，

因，所以。  

故参赛学生中成绩超过分的学生数为.

20．甲盒中有3个黑球，3个白球，乙盒中有4个黑球，2个白球，丙盒中有4个黑球，2个白球，三个盒中的球只有颜色不同，其它均相同，从这三个盒中各取一球.

(1)求“三球中至少有一个为白球”的概率；

(2)设表示所取白球的个数，求的分布列.

【答案】(1)

(2)分布列见解析

【分析】（1）由题意，分别求出甲、乙、丙盒中取一球为白球事件的概率，再用间接法即可求得“三球中至少有一个为白球”的概率；

（2）由题意可得的可能取值为0，1，2，3.分别求出各个取值的概率，从而可列出离散型随机变量的分布列.

【详解】（1）记甲、乙、丙盒中取一球为白球事件分别为，三球中至少有一球为白球记为事件，

则；；.

；

（2）由题意可知，随机变量的可能取值为0，1，2，3.

，

，

，

.

所以，随机变量的分布列如下：

21．随着人们生活水平的提高，健康越来越成为当下人们关心的话题，因此，健身也成了广大市民的一项必修课.某健身机构统计了2022年1∼5月份某初级私人健身教练课程的月报名人数（单位：人）与该初级私人健身教练价格（单位：元/小时）的情况，如下表所示.

(1)求（，2，3，4，5）的相关系数r，并判断月报名人数y与价格x是否有很强的线性相关性?（当时，可以认为两个变量有很强的线性相关性；否则，没有很强的线性相关性）（精确到0.001）

(2)请建立关于的线性回归方程；（精确到0.001）

(3)当价格为每小时230元时，估计该课程的月报名人数为多少人?（结果保留整数）

参考公式：对于一组数据（，2，3，…，n），相关系数，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.

参考数据：.，，.

【答案】(1)-0.929，与有很强的线性相关性

(2)

(3)4人.

【分析】（1）利用公式求得相关系数判断；

（2）利用公式分别求得，，写出回归方程；

（3）将代入回归方程求解.

【详解】（1）解：由已知数据可得：

，

，                            

相关系数

因为，所以与有很强的线性相关性.

（2）因为，

，

所以关于的线性回归方程为.

（3）当时，，

故当价格为每小时230元时，估计该课程的月报名人数为4人.

22．某条街边有A，B两个生意火爆的早餐店，A店主卖胡辣汤、油条等，B店主卖煎饼果子、豆浆等，小明为了解附近群众的早餐饮食习惯与年龄的关系，随机调查了200名到这两个早餐店就餐的顾客，统计数据如下：

(1)判断是否有的把握认为附近群众的早餐饮食习惯与年龄有关．

(2)根据所给数据以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，某天有3名顾客到这两个早餐店就餐（每人只选一家），且他们的选择相互独立．设3人中到A店就餐的人数为X，求X的分布列和期望．

附：．

【答案】(1)有的把握认为附近群众的早餐饮食习惯与年龄有关

(2)分布列见解析，

【分析】（1）根据题中的已知条件，列出列联表，结合给出的公式判断即可；

（2）由题意知顾客选择到A店就餐的概率为，再根据题意列出离散型随机变量X的可能取值，根据二项分布的概率公式计算出各自的概率，列出分布列，进而计算出期望即可，也可利用二项分布的期望公式求解期望.

【详解】（1）

根据题意列出列联表，如上表，由公式可得，

由已知，

因为，

所以有的把握认为附近群众的早餐饮食习惯与年龄有关．

（2）由题意知顾客选择到A店就餐的概率为，

X的所有可能取值为0，1，2，3，       

则，，       

，．           

所以X的分布列如下：

故．

或由，.