2021-2022学年陕西省渭南市韩城市高二上学期期末数学（理）试题（解析版）

2021-2022学年陕西省渭南市韩城市高二上学期期末数学（理）试题

一、单选题

1．已知点，则它的极坐标是

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】由计算即可．

【详解】在相应的极坐标系下，由于点位于第四象限，且极角满足，所以.

故选C.

【点睛】本题考查极坐标与直角坐标的互化，属于简单题．

2．设，则有（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用作差法计算与比较大小即可求解.

【详解】因为，，

所以，

所以，

故选：A.

3．已知等比数列的各项均为正数，且，则（    ）

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】A

【分析】根据等比数列的性质可得，，再根据对数知识可求出结果.

【详解】根据等比数列的性质可得，

又，所以，

所以.

故选：A

4．命题“，有”的否定形式为（    ）

A．，有 B．，有

C．，使 D．，使

【答案】C

【分析】根据全称命题的否定是特称命题得到答案.

【详解】全称命题的否定是特称命题.

故“，有”的否定形式为：，使

故选：

【点睛】本题考查了全称命题的否定，意在考查学生的推断能力.

5．若，则下列不等关系正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】利用作差法比较即可得到答案.

【详解】因为，所以，，，

所以，即，

，

所以.

故选：A

6．如果方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由椭圆的标准方程特征即可得到进而可求解.

【详解】由椭圆方程可知.

故选:D

7．设，则“”是“直线与平行”的（    ）

A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要的条件

【答案】C

【分析】由直线与平行，可得且，解出即可判断出．

【详解】解：直线与平行，

则且，解得，

因此“”是“直线与”平行的充要条件.

故选：C.

8．若实数x，y满足不等式组，则的最小值是（    ）

A． B．0 C．4 D．

【答案】A

【解析】画出不等式组所表示的平面区域，再根据目标函数的几何意义，利用数形结合的方法，即可求出结果.

【详解】作出约束条件表示的平面区域如下（阴影部分），

因为可化为，

所以表示直线在轴的截距，

由图象可得，当直线过点时，其在轴的截距最小，

由可得，即，

因此.

故选：A.

9．已知命题：若直线的方向向量与平面的法向量垂直，则；命题：等轴双曲线的离心率为，则下列命题是真命题的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先判断出p、q的真假，再分别判断四个选项的真假.

【详解】因为“若直线的方向向量与平面的法向量垂直，则或”，所以p为假命题；

对于等轴双曲线，，所以离心率为，所以q为真命题.

所以为假命题，故A错误；

为假命题，故B错误；

为假命题，故C错误；

为真命题，故D正确.

故选：D

10．若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（    ）

A．，， B．，，

C．，， D．，，

【答案】B

【分析】根据空间向量的基本定理和空间向量的基底，依次判断每个选项即可.

【详解】由空间向量基本定理得：

对于A，因为，所以，，三个向量共面；

对于B，设，，三个向量共面，

则，

所以，此时x､y不存在，所以，，三个向量不共面；

对于C，因为，所以､､三个向量共面；

对于D，因为，所以､､三个向量共面.

故选：B.

11．在正方体中，棱，的中点分别为，，则直线与平面所成角的正弦值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求出直线EF与平面所成角的正弦值．

【详解】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，

设正方体的棱长为2，

则E（2，1，0），F（1，0，2），，

因为y轴与垂直，

则平面的一个法向量，

设直线EF与平面所成角为θ，

则．

∴直线EF与平面所成角的正弦值为．

故选：C．

【点睛】本题考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．

12．设分别为双曲线的左､右焦点，双曲线上存在一点使得，则该双曲线的离心率为（    ）

A． B．3 C． D．

【答案】A

【分析】设P点在双曲线右支上，由双曲线定义，，解得，，代入，化简得到，从而求得离心率.

【详解】设P点在双曲线右支上，由双曲线定义知，，

则由题知，，

则，

化简得，则，

则，离心率

故选：A

二、填空题

13．不等式的解集是__________．

【答案】

【分析】根据一元二次不等式的解法进行求解即可

【详解】解：或,

所以不等式解集为，

故答案为：

14．若，，且，则实数的值是________

【答案】

【分析】根据空间向量垂直，则数量积为零，以及向量的线性运算，列式计算即可.

【详解】因为，，

故可得.

因为，

故可得，

即，解得.

故答案为：.

【点睛】本题考查空间向量的线性运算，数量积运算，以及向量垂直的坐标公式，属综合基础题.

15．已知在数列中，，，，则________．

【答案】##0.5

【分析】由递推关系依次求出数列的前几项，归纳出周期后可得结论．

【详解】由题意，，，，

所以数列是周期数列，周期为3，所以．

故答案为：．

16．设，直线和圆（为参数）相切，则的值为____.

【答案】

【分析】根据圆的参数方程确定圆的半径和圆心坐标，再根据直线与圆相切的条件得出满足的方程，解之解得．

【详解】圆化为普通方程为，

圆心坐标为，圆的半径为，

由直线与圆相切，则有，解得．

【点睛】直线与圆的位置关系可以使用判别式法，但一般是根据圆心到直线的距离与圆的半径的大小作出判断．

三、解答题

17．已知x>0，y>0，且2x+8y-xy=0，求：

(1)xy的最小值；

(2)x+y的最小值..

【答案】(1)64

(2)18

【分析】（1）利用基本不等式构建不等式即可得结果；

（2）将变形为分式型，利用“1”的代换和基本不等式可得结果.

【详解】（1）∵， ， ，

∴ ，当且仅当时取等号，

∴

∴，当且仅当时取等号，

故的最小值为64.

（2）∵，则 ，

又∵， ，

∴，

当且仅当时取等号，

故的最小值为18.

18．在等差数列中，．

(1)求等差数列的通项公式；

(2)设数列是首项为1，公比为2的等比数列，求数列的前项和．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）根据等差数列的通项公式列出方程组求解即可；

（2）设数列的通项公式为，由等比数列公式求出可得，

再由分组求和得解.

【详解】（1）设等差数列的公差为，

由题知，则，解得

．

（2）设数列的通项公式为，

则，

，

则

．

19．已知直线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

(1)求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；

(2)设点，若直线与曲线交于两点，求．

【答案】(1)；

(2)

【分析】（1）消去参数可得直线的普通方程，利用极坐标与直角坐标互化公式代换可得曲线曲线C的直角坐标方程；

（2）把直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，再利用直线参数方程参数t的几何意义即可得解.

【详解】（1）由（为参数）消去参数可得直线的普通方程为；

由，得，

又，

可得，

曲线的直角坐标方程为．

（2）把直线的参数方程（为参数）代入中，

得，

整理得：．

验证得点在直线上，设两点对应的参数分别为，

则，

易知均大于0，

．

20．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且．

(1)求抛物线的方程；

(2)过点且斜率存在的直线交抛物线于不同的两点，设为坐标原点，直线的斜率分别为，求证：为定值．

【答案】(1)

(2)见解析

【分析】（1）根据抛物线的焦半径公式求出，即可得解；

（2）设直线，联立方程，利用韦达定理求得，再结合斜率公式即可得出结论.

【详解】（1）解：点在抛物线上，且，

，解得，

抛物线的方程为；

（2）证明依题意，设直线，

联立，得，

则，

故为定值．

21．如图，已知四棱锥的底面为直角梯形，平面平面，且的中点分别是．请用空间向量知识解答下列问题：

(1)求证：平面；

(2)求二面角的余弦值．

【答案】(1)证明见解析；

(2).

【分析】（1）先证明两两相互垂直，再建立空间直角坐标系，向量法证明，再由线面垂直的判定定理得证；

（2）利用向量法求出二面角的余弦值即可.

【详解】（1）连接，由，知四边形是平行四边形，

又，所以，

因为，是的中点，所以，

又平面平面，是两平面交线，平面，

所以平面，

因为平面，所以，

即两两相互垂直，

以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的

空间直角坐标系，

，

则．

，

，

，

又，平面，

平面．

（2）由（1）知，又平面，平面，

所以，由，平面，

所以平面，

故平面的一个法向量为，

因为．

设平面的一个法向量为，

则即取，解得

故平面的法向量为，

设二面角的大小为，由图可知为锐角，

．

故二面角的余弦值为．

22．已知是椭圆C：的一个焦点，点在椭圆C上．

（1）求椭圆C的方程；

（2）若直线与椭圆C分别相交于A，B两点，且 (O为坐标原点)，求直线l的斜率的取值范围．

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）根据椭圆的定义，可得点M到两焦点的距离之和为，得到，进而求得，即可求得椭圆C的方程；

（2）当直线l的斜率不存在时，结合椭圆的对称性可知，，不符合题意．

故设直线l的方程为，联立方程组，根据根与系数的关系，求得，结合，求得，得到，再由，列出不等式，即可求解直线的斜率的取值范围.

【详解】（1）由题意，椭圆的左焦点为，

根据椭圆的定义，可得点M到两焦点的距离之和为，

即，所以，

又因为，可得，

所以椭圆C的方程为.

（2）当直线l的斜率不存在时，结合椭圆的对称性可知，，不符合题意．

故设直线l的方程为，

联立方程组，可得，

则，

所以，

因为，可得，所以，

又由，可得，所以，解得或，

综上可得，直线的斜率的取值范围是.

【点睛】直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用，通常联立直线方程与圆锥曲线）程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力．