2022-2023学年黑龙江省佳木斯市富锦市第一中学高二下学期期末数学试题含答案

2022-2023学年黑龙江省佳木斯市富锦市第一中学高二下学期期末数学试题

一、单选题

1．若、为实数，则“”是“或”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】利用不等式的基本性质、特殊值法结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.

【详解】若，若，则，此时有，

若，则，此时有，

所以，若，则“或”，

即“”“或”；

若“或”，若，不妨取，，则；

若，不妨取，，则.

所以，“”“或”.

因此，“”是“或”的充分不必要条件.

故选：A.

2．函数的图象大致形状是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据的奇偶性和当时可选出答案.

【详解】由，

得，

则函数是奇函数，图象关于原点中心对称，排除A，B，

当时，排除C，

故选：D.

3．设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)=，则当x<0时，f(x)=

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】先把x<0，转化为-x>0,代入可得，结合奇偶性可得.

【详解】是奇函数， 时，．

当时，，，得．故选D．

【点睛】本题考查分段函数的奇偶性和解析式，渗透了数学抽象和数学运算素养．采取代换法，利用转化与化归的思想解题．

4．设均为正数，且，，．则（　　）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】试题分析：在同一坐标系中分别画出，， 的图象，

与 的交点的横坐标为， 与的图象的交点的横坐标为 ，与 的图象的交点的横坐标为，从图象可以看出．

【解析】指数函数、对数函数图象和性质的应用．

【方法点睛】一般一个方程中含有两个以上的函数类型，就要考虑用数形结合求解，在同一坐标系中画出两函数图象的交点，函数图象的交点的横坐标即为方程的解．

【详解】5．2021年10月12日，习近平总书记在《生物多样性公约》第十五次缔约方大会领导人峰会视频讲话中提出：“绿水青山就是金山银山．良好生态环境既是自然财富，也是经济财富，关系经济社会发展潜力和后劲．”某工厂将产生的废气经过过滤后排放，已知过滤过程中的污染物的残留数量P（单位：毫克/升）与过滤时间t（单位：小时）之间的函数关系为，其中k为常数，，为原污染物数量．该工厂某次过滤废气时，若前4个小时废气中的污染物恰好被过滤掉90%，那么再继续过滤2小时，废气中污染物的残留量约为原污染物的（    ）

A．5% B．3% C．2% D．1%

【答案】B

【分析】根据前4小时废气中的污染物恰好被过滤掉90%，求出，再计算经过6小时，空气中剩余污染物的残留量，可得答案.

【详解】由题可得，前4小时，废气中的污染物恰好被过滤掉90%，

故由得，所以，即，

由再过滤2小时，即共6小时，空气中剩余污染物为

，

，故污染物所剩比率约为,

故选：B

6．年某省高考体育百米测试中，成绩全部介于秒与秒之间，抽取其中个样本，将测试结果按如下方式分成六组：第一组，第二组，，第六组，得到如下频率分布直方图．则该名考生的成绩的平均数和中位数保留一位小数分别是（    ）

A．   B．   C．   D．  

【答案】C

【分析】利用中间值作代表求解平均数，先求出中位数在第四组，在根据频率列出方程，求出中位数．

【详解】名考生成绩的平均数，

因为前三组频率直方图面积和为，前四组频率直方图面积和为，

所以中位数位于第四组内，设中位数为，则，

解得:，

故选：C．

7．若是的增函数,则的取值范围是

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用函数是上的增函数，保证每支都是增函数，还要使得两支函数在分界点处的函数值大小，即，然后列不等式可解出实数的取值范围．

【详解】由于函数是的增函数，

则函数在上是增函数，所以，，即；

且有，即，得，

因此，实数的取值范围是，故选A.

【点睛】本题考查分段函数的单调性与参数，在求解分段函数的单调性时，要注意以下两点：

（1）确保每支函数的单调性和原函数的单调性一致；

（2）结合图象确保各支函数在分界点处函数值的大小关系．

8．已知函数的定义域为 ，且函数的图象关于点对称，对于任意的，总有成立，当时，，函数（），对任意，存在，使得成立，则满足条件的实数构成的集合为（   ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】由的特性结合函数图象平移变换可得是奇函数，由可得函数的周期，由此探讨出的值域，再将所求问题转化为不等式在上有解即可.

【详解】由函数的图象关于点对称知函数的图象关于原点对称，即函数是奇函数，

由任意的，总有成立，即恒成立，于是得函数的周期是4，

又当时，，则当时，，而是奇函数，当时，，

又，f(-2)=-f(2)，从而得，即时，，

而函数的周期是4，于是得函数在上的值域是，

因对任意，存在，使得成立，从而得不等式，即在上有解，

当时，取，成立，即得，

当时，在上有解，必有，解得，则有，

综上得，

所以满足条件的实数构成的集合为.

故选：A

二、多选题

9．已知二项式的展开式中共有8项，则下列说法正确的有（    ）

A．所有项的二项式系数和为128 B．所有项的系数和为1

C．二项式系数最大的项为第5项 D．有理项共3项

【答案】AB

【分析】二项式展开式共8项，则n＝7，然后利用二项式定理逐个选项分析即可得到答案﹒

【详解】二项式的展开式中共有8项，则，

选项A：所有项的二项式系数和为，故A正确；

选项B：令，则，所以所有项的系数的和为1，故B正确；

选项C：二项式系数最大的项为第4项和第5项，故C不正确；

选项D：二项式的展开式的通项为，

当时，二项式的展开式中对应的项均为有理项，所以有理项有4项，故D不正确．

故选：AB﹒

10．若一个三位数中十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都大，则称这个数为“凸数”，如231､354等都是“凸数”，用这五个数字组成无重复数字的三位数，则（    ）

A．组成的三位数的个数为30

B．在组成的三位数中，奇数的个数为36

C．在组成的三位数中，“凸数”的个数为24

D．在组成的三位数中，“凸数”的个数为20

【答案】BD

【分析】根据位置特殊限制的排列问题和“凸数”的概念分析，结合选项依次求解即可.

【详解】A：5个数组成无重复的三位数的个数为，故A错误；

B：奇数为个位数是1，3，5的三位数，个数为，故B正确；

C：“凸数”分为3类，①十位数为5，则有个；②十位数为4，则有个；

③十位数为3，则有个，所以共有个，故C错误；

D：由选项C的分析可知，D正确；

故选：BD.

11．下列说法正确的是（    ）

A．为了更好地开展创文创卫工作，需要对在校中小学生参加社会实践活动的意向进行调查，拟采用分层抽样的方法从该地区ABCD四个学校中抽取一个容量为400的样本进行调查，已知ABCD四校人数之比为7∶4∶3∶6，则应从B校中抽取的样本数量为80

B．6件产品中有4件正品，2件次品，从中任取2件，则至少取到1件次品的概率为0.6

C．已知变量x、y线性相关，由样本数据算得线性回归方程是，且由样本数据算得，则

D．箱子中有4个红球、2个白球共6个小球，依次不放回地抽取2个小球，记事件M={第一次取到红球}，N={第二次取到白球}，则M、N为相互独立事件

【答案】ABC

【分析】利用抽样比即可判断从B校中抽取的样本数量；利用对立事件及古典概型即可得到至少取到1件次品的概率；根据线性回归直线必过样本中心点，可得的值；根据相互独立的定义即可作出判断.

【详解】A.由分层抽样，应抽取人数为，A正确；

B.至少取到1件次品的概率为，B正确；

C.∵回归直线必过中心点，C正确；

D.由于第一次取到球不放回，因此会对第2次取球的概率产生影响，因此M、N不是相互独立事件.

故选：ABC

12．已知，设，其中则（    ）

A． B．

C．若，则 D．

【答案】AC

【分析】根据二项式定理判断A，利用组合数公式结合二项式定理判断B，设是中最大项，列不等式组，求解后判断C，举反例判断D．

【详解】A． ，A正确；

B．，

所以

（除非），B错；

C．设是中最大项，

，即，

注意到，，又，

不等式组可解为，所以，所以，C正确；

D．例如时，，，

，D错误．

故选：AC．

【点睛】方法点睛：本题考查二项式定理，掌握二项式定理是解题关键．处理方法：（1）组合数的变形公式，（2）求二项展开式中最大项（或最小项）的方法，设第项是，可设第项最大，则有，解此不等式可得．

三、填空题

13．的展开式中项的系数是      .

【答案】380

【分析】先利用的通项求出和，再得到项的系数.

【详解】因为，

的通项为，

令，得，

令，得，

所以项的系数为.

故答案为：380

14．某服装公司对1-5月份的服装销量进行了统计，结果如下：

若与线性相关，其线性回归方程为，则      ．

【答案】96

【分析】利用样本中心点一定在回归方程上，列方程求解即可.

【详解】由已知，可得，代入回归方程，得，

∴，

∴．

故答案为：96.

15．已知的二项展开式中，偶数项的二项式系数之和为16，则展开式中的系数为      ．

【答案】720

【分析】由偶数项的二项式系数之和为16，计算出，然后利用二项式展开式求特定项即可.

【详解】由偶数项的二项式系数之和为16，

则有，

所以展开式中的项为：，

则展开式中的系数为：720.

故答案为：720.

16．为了考查某校各班参加课外书法小组的人数，在全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的认为作为样本数据.已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互相不相同，则样本数据中的最大值为           .

【答案】10

【详解】试题分析：设样本数据为：

若样本数据中的最大值为11，不妨设，由于样本数据互不相同，与这是不可能成立的，若样本数据为4，6，7，8，10，代入验证知两式均成立，此时样本数据中的最大值为 10

【解析】1．总体分布的估计；2．极差、方差与标准差

17．设验血诊䉼某种疾病的误诊率为，即若用表示验血为阳性，表示受验者患病，则，若已知受检人群中有患此病，即，则一个验血为阳性的人确患此病的概率为           .

【答案】

【分析】结合条件概率的计算公式，得到，即可求解.

【详解】由题意，结合条件概率的计算公式，可得：

.

故答案为：.

四、解答题

18．已知.

(1)若，求的取值范围；

(2)若，不等式恒成立，求实数的取值范围

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）求函数的定义域，利用对数函数的性质可得，进而求的取值范围；

（2）根据函数单调性的定义判断，再由复合函数的单调性求最值，将问题转化为求参数范围.

【详解】（1）由解析式知：函数的定义域为，

由，可得：，解得，

综上，的取值范围是.

（2）令，

设，则，

又，，故，即，函数在单调递增.

∵在上单调递增﹐

∴在上单调递增，

由，即，为增函数.

故设，则在上单调递增，

∴，即有.

【点睛】关键点点睛：第二问，首先根据复合函数单调性的判断方法确定的单调性，并求其最值，再将恒成立问题化为求范围.

19．画糖是一种以糖为材料在石板上进行造型的民间艺术，常见于公园与旅游景点.某师傅制作了一种新造型糖画，为了进行合理定价先进行试销售，其单价（元）与销量（个）的相关数据如下表：

（1）已知销量与单价具有线性相关关系，求关于的线性相关方程；

（2）若该新造型糖画每个的成本为元，要使得进入售卖时利润最大，请利用所求的线性相关关系确定单价应该定为多少元？（结果保留到整数）

参考公式：线性回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计计算公式为，.

参考数据：.

【答案】（1）；（2）10.

【分析】（1）由表中数据计算，，再根据公式求出线性回归方程中斜率和截距，写出回归方程；（2）由题意写出利润函数，利用二次函数的性质求出为何值时函数值最大．

【详解】（1）由表中数据，计算可得，

则

，

所以关于的线性相关方程为.

（2）设定价为元，

则利润函数为，

则，

所以对称轴时，取最大值

故为使得进入售卖时利润最大，确定单价应该定为元.

【点睛】本题考查了线性回归方程的求法，根据给定函数类型解决实际问题，属于简单题．

20．由中央电视台综合频道（CCTV-1）和唯众传媒联合制作的《开讲啦》是中国首档青年电视公开课．每期节目由一位知名人士讲述自己的故事，分享他们对于生活和生命的感悟，给予中国青年现实的讨论和心灵的滋养，讨论青年们的人生问题，同时也在讨论青春中国的社会问题，受到了青年观众的喜爱．为了了解观众对节目的喜爱程度，电视台随机调查了A，B两个地区的100名观众，得到如下所示的2×2列联表．

已知在被调查的100名观众中随机抽取1名，该观众来自B地区且喜爱程度为“非常喜欢”的概率为0．35．

(1)现从100名观众中根据喜爱程度用分层抽样的方法抽取20名进行问卷调查，则应抽取喜爱程度为“非常喜欢”的A，B地区的人数各是多少？

(2)完成上述表格，并根据表格判断是否有95%的把握认为观众的喜爱程度与所在地区有关系．

(3)若以抽样调查的频率为概率，从A地区随机抽取3人，设抽到喜爱程度为“非常喜欢”的观众的人数为X，求X的分布列和期望．

附：，，

【答案】(1)从A地抽取6人，从B地抽取7人.

(2)没有95%的把握认为观众的喜爱程度与所在地区有关系.

(3)分布列见解析，期望为2.

【分析】（1）求出x的值，由分层抽样在各层的抽样比相同可得结果.

（2）补全列联表，再根据独立性检验求解即可.

（3）由题意知，进而根据二项分布求解即可.

【详解】（1）由题意得，解得，

所以应从A地抽取（人），从B地抽取（人）．

（2）完成表格如下：

零假设为：观众的喜爱程度与所在地区无关.

，

所以没有95%的把握认为观众的喜爱程度与所在地区有关系．

（3）从A地区随机抽取1人，抽到的观众的喜爱程度为“非常喜欢”的概率为，

从A地区随机抽取3人，则，X的所有可能取值为0，1，2，3，

则，

，

，

．

所以X的分布列为

方法1：．

方法2：.

21．为进一步激发青少年学习中华优秀传统文化的热情，某校举办了“我爱古诗词”对抗赛，在每轮对抗赛中，高二年级胜高三年级的概率为，高一年级胜高三年级的概率为，且每轮对抗赛的成绩互不影响．

(1)若高二年级与高三年级进行4轮对抗赛，求高三年级在对抗赛中至少有3轮胜出的概率；

(2)若高一年级与高三年级进行对抗，高一年级胜2轮就停止，否则开始新一轮对抗，但对抗不超过5轮，求对抗赛轮数X的分布列与数学期望．

【答案】(1)

(2)分布列见解析；期望为

【分析】（1）先求得高三年级胜高二年级的概率，再根据相互独立事件的概率计算公式求解即可；

（2）先确定出X的所有可能取值，分别求出相应概率，从而列出分布列，求得数学期望．

【详解】（1）由题意，知高三年级胜高二年级的概率为．

设高三年级在4轮对抗赛中有x轮胜出，“至少有3轮胜出”的概率为P，则

．

（2）由题意可知，3，4，5，

则，

，

，

，

故X的分布列为

．

22．已知函数在处的切线与直线平行

（1）求实数的值，并求的极值；

（2）若方程有两个不相等的实根，，求证：.

【答案】（1），极小值为；（2）证明见解析.

【分析】（1）求出函数的导数，利用切线的斜率求出的值，解关于导函数的不等式，分析函数的单调区间即可得到极值；

（2）令，，构造函数，原题转化为有两个实数根，，利用导数可得，再构造函数，利用导数可得，利用单调性，可得转化为即可求证.

【详解】（1）函数的定义域为，，

由题意知，

，令，则，

当时，；时，.

的极小值为

（2）由（1）知，由得，

即，

所以.

，不妨设

令，，

则原题转化为有两个实数根，，

又，令，得；令，得，

在上单调递减，在上单调递增，

又时，，，，

由图象可知，，.

设，

则.

当时，，则

在上单调递减.

又

时，，得到，即，

又，，

又，则，且，在上单调递增，

，即，即.