2022-2023学年黑龙江省佳木斯市富锦市第一中学高二上学期期末考试数学试题

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2022--2023学年度第一学期高二学年期末考试 数 学 试 卷 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分满分150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷(选择题，共60分)选择题：（本大题共8小题，每题5分，共计40分，在每题给出的四个选项中，只有一个是正确的）1、抛物线的准线方程是（ ）A.B． C． D．2、《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现一月（按30天计）共织390尺”，则从第2天起每天比前一天多织（）A.尺布 B. 尺布 C. 尺布 D. 尺布3、已知直线交椭圆于A，B两点，且线段AB的中点为（-1,1），则直线的斜率为（ ）A．-2 B． C.2 D．4、若双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（）A. B. C. D. 5、函数的图象可能是（ ）A． B．C． D．6、已知函数在(1,2)上单调递减，则实数的取值范围是（ ）A．或 B． C．或 D．7、设是定义在R上的可导函数，且满足，对任意的正数，下面不等式恒成立的是（ ）A． B． C． D．8、已知是定义在R上的偶函数，当时，，且，则不等式的解集是（ ）A．B．C． D．二、选择题：（本题共4小题，每题5分，共计20分。在每小题给出的四个选项中，有多符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的不得分，部分选对的得3分）9、下列导数运算正确的有（ ）A． B．C． D．10、已知双曲线的渐近线方程为，则（ ）A．虚轴长是实轴长的2倍B．离心率是或C．过焦点且与实轴垂直的直线被双曲线截得的线段长是虚轴长的2倍D．焦点到渐近线的距离等于虚半轴长11、已知数列是递减等差数列，其前项和为，且，则下列结论正确的有（ ）A．最大 B．最小 C． D．12、已知椭圆的左右焦点分别为，，点P在E上，若是直角三角形，则的面积可能为（）A. 5 B. 4 C. D. 第Ⅱ卷（共90分）填空题：(本大题共4小题，每题5分，共计20分)13、已知椭圆的一个焦点为(1,0)，则C的离心率为________.14、设曲线在点(3,2)处的切线与直线垂直，则_______.15、若数列的通项公式是，则___________.16、已知F为抛物线的焦点，过F作两条互相垂直的直线，直线与C交于A、B两点，直线与C交于D、E两点，则的值为_______．四、解答题：（本大题共6小题，共计70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17、等差数列中，，．（1）求数列的通项公式；（2）设，求的值．18、已知直线与圆.（1）求证：直线必过定点，并求该定点；（2）当圆截直线所得弦长最小时，求的值.19、已知数列满足，．（1）求证：数列为等比数列，并求出；（2）求数列的前项和．20、已加圆的短轴长为2，且离心率为．（1）求椭圆C的方程；（2）若过P(0,1)作斜率分别为，的两条直线PA，PB，分别交椭圆于点A，B，且，证明：直线AB经过定点．21、已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）设，求证：当时，恒成立.22、已知A()，B()为抛物线上不同的两点.（1）若，求直线AB的倾斜角；（2）若，且AB的中点为，求到轴距离的最小值.参考答案一、单项选择1、【答案】D【解析】分析：把给定方程化为标准形式即可得解.详解：由得，此抛物线的焦点，所以抛物线的准线方程为.故选：D2、【答案】D【解析】设该女子第尺布，前天工织布尺，则数列为等差数列，设其公差为，由题意可得，解得.故选：D.3、【答案】D【解析】分析：设出坐标，列出坐标所满足的方程，将两方程相减得到的斜率与中点坐标的关系，由此求解出直线的斜率.详解：设，因为都在椭圆上，所以，所以，所以，所以，又因为，，所以，故选：D.【点睛】结论点睛：关于直线与圆锥曲线相交的中点弦的有关结论（已知直线与圆锥曲线交于两点，且的中点为），（1）当曲线是椭圆 时，；（2）当曲线是双曲线，；（注：双曲线中利用点差法求解中点弦所在直线的斜率时，要将结果带回原方程进行验证）（3）当曲线是抛物线时，.4、【答案】A【解析】由，可得，可解的故双曲线的渐近线方程为，故选：A.5、【答案】B【解析】解：由得，，故排除AC，，令，则，当时，，所以函数在上递减，所以在上恒成立，即在上恒成立，所以函数在上递减，故排除D.故选：B.6、【答案】D【解析】由函数得，，∴在恒成立，∴即在恒成立，∴.故选：D.7、【答案】B【解析】解：是定义在上的可导函数，可以令，，，，，为增函数，正数，所以，所以.故选：B8、【答案】C【解析】解：∵是定义在上的偶函数，当时，，∴为增函数，为偶函数，为奇函数，∴在上为增函数，∵，若，，所以；若，，在上为增函数，可得，综上得，不等式的解集是.故选：C.二、多项选择题9、【答案】BC【解析】分析：根据导数的运算法则逐项运算排除可得答案.详解：对于A，，故错误；对于B， ，故正确；对于C， ，故正确；对于D， ，故错误.故选：BC.10、【答案】BD【解析】分析：焦点在，轴两种情况，分别求出，再由抛物线的性质判断ABC，再由点到直线的距离公式判断D.详解：当焦点在轴上时，，即，即虚轴长是实轴长的2倍，焦点到渐近线的距离为过焦点且与实轴垂直的直线被双曲线截得的线段长为当焦点在轴上时，，即虚轴长是实轴长的倍由得出焦点到渐近线的距离为过焦点且与实轴垂直的直线被双曲线截得的线段长为综上，只有BD正确故选：BD【点睛】关键点睛：在判断CD选项时，关键是利用通径以及点到直线的距离公式进行判断.11、【答案】ACD【解析】分析：由数列前项和定义，及得出，再由数列是递减数列，得，然后由等差数列的性质得前项和，从而判断各选项．详解：因为，所以，又数列是递减的等差数列，所以，，所以，所以，，，最大，，，故选：ACD．12、【答案】BC【解析】由可得，，所以，根据对称性只需考虑或，当时，将代入可得，如图：，，所以的面积为，当时，由椭圆的定义可知：，由勾股定理可得，因为，所以，解得：，此时的面积为，综上所述：的面积为或.故选：BC.三、填空题13、【答案】【解析】分析：由椭圆的简单性质，利用椭圆的焦点坐标得到的值，再根据求得的值，最后代入离心率公式计算出结果.详解：椭圆：的一个焦点为，可得，解得，所以椭圆的离心率为：故答案为：14、【答案】【解析】，则过点切线的斜率为，而直线的斜率为，根据两直线存在斜率且垂直时，斜率乘积为，所以有.15、【答案】30【解析】由题意，数列的通项公式是，则，所以.故答案为:30.16、【答案】【解析】分析：由题意可设：，：，联立抛物线方程，若，，，可得、，结合抛物线的定写出、，根据垂直关系即可求.详解：由题设，知：，且，的斜率一定存在，可令：，：，，，，将它们联立抛物线方程，∴，整理得，显然，则，即由抛物线定义知：，，整理得，显然，则，即由抛物线定义知：，∵，有，∴.故答案为：.【点睛】关键点点睛：根据直线、抛物线的位置关系，应用韦达定理并结合抛物线定义求相交弦的弦长.四、解答题17、【答案】（1）；（2）【解析】（Ⅰ）设等差数列的公差为．由已知得，解得．所以．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得．所以．18、【答案】（Ⅰ）证明见解析，；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）证明：直线方程可化为：，对上式中,当时，不论取何值，等式恒成立，所以直线恒过点（Ⅱ）将圆的方程化为：，圆心为，半径由（Ⅰ）知，直线恒过点，当圆截直线所得弦长最小时，则垂直于直线，即，，，所以当圆截直线所得弦长最小时，的值为19、【答案】（1）证明见解析，；（2）．【解析】证：（1），，又，得，故，从而，数列为首项为3，公比为3的等比数列，从而，．（2）令，所以可由错位相加法得：，，两式相减：，．20、【答案】（1）；（2）证明见解析．【解析】分析：（1）待定系数法求椭圆的标准方程；（2）当直线AB斜率存在时，设直线方程为，设，，用“设而不求法”表示出和，根据得到，代入直线方程，整理为点斜式，判断过定点；当直线AB斜率不存在时，设直线方程为，验证直线AB也过．详解：解析（1）由题意得，，解得，由离心率为，又由，解得，所求椭圆方程为．（2）当直线AB斜率存在时，设直线方程为，，，联立方程组得，则，，则，将式代入化简可得：，得，或m=1（舍）代入直线AB方程为，即，恒过定点．当直线AB斜率不存在时，设直线方程为，则，，则，，所以，解得，此时直线AB也过．综上，直线AB过定点．【点睛】（1）待定系数法可以求二次曲线的标准方程；（2）“设而不求”是一种在解析几何中常见的解题方法，可以解决直线与二次曲线相交的问题.21、【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）由题意得：定义域为，；①当时，，则在上恒成立，的单调递减区间为，无单调递增区间；②当时，令，解得：，当时，；当时，；的单调递增区间为，单调递减区间为；综上所述：当时，的单调递减区间为，无单调递增区间；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.（2）由得：；令，则，，当时，，在上单调递增，，，，使得，当时，；当时，；在上单调递减，在上单调递增，又，，，即在上恒成立，当时，恒成立.22、【答案】（1）；（2）.【解析】分析：（1）利用斜率公式，和抛物线的方程，利用点差法求得斜率；（2）考虑到直线的斜率可能不存在，但不可能为零，设方程为设的形式，与抛物线的方程联立，利用判别式求得t,m满足的条件，利用弦长公式求得t,m的关系，利用中点公式求得Q到y轴的距离关于t,m的表达式，化为关于t的函数表达式，适当配凑，利用对勾函数的单调性求得最小值.详解：（1）∴直线的倾斜角为；（2）设,代入抛物线方程，并整理得：,,,,,,Q到y轴的距离,当时取等号，到轴的距离的最小值为.【点睛】本题主要考查抛物线中的弦长和距离最值问题，属较难试题，关键是利用弦长公式得到t,m的关系，求得Q到y轴的距离关于m的函数表达式后，要适当配凑，换元(将当成一个整体，利用对勾函数在时的单调递增特性求得最小值，若用基本不等式求最值，这里将取不到等号.