2022-2023学年黑龙江省佳木斯市富锦市第一中学高二上学期期末考试数学试题（解析版）

2022-2023学年黑龙江省佳木斯市富锦市第一中学高二上学期期末考试数学试题

一、单选题

1．抛物线的准线方程是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】把给定方程化为标准形式即可得解.

【详解】由得，此抛物线的焦点，

所以抛物线的准线方程为.

故选：D

2．《张丘建算经》卷上第题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织尺布，现一月（按天计）共织尺”，则从第天起每天比前一天多织（    ）

A．尺布 B．尺布 C．尺布 D．尺布

【答案】D

【分析】设该女子第尺布，前天工织布尺，则数列为等差数列，设其公差为，根据，可求得的值.

【详解】设该女子第尺布，前天工织布尺，则数列为等差数列，设其公差为，

由题意可得，解得.

故选：D.

3．已知直线交椭圆于A，B两点，且线段AB的中点为，则直线的斜率为（    ）

A．-2 B． C．2 D．

【答案】D

【分析】设出A，B坐标，列出坐标所满足的方程，将两方程相减得到l的斜率与线段AB中点坐标的关系，由此求解出直线l的斜率.

【详解】设，，因为A，B都在椭圆上，

所以，两式相减，得，

得，

又因为线段AB中点坐标为，，，

所以，

故选：D.

4．若双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用，转化，即得解

【详解】由，可得

可解的，

故双曲线的渐近线方程为，

故选：A.

5．函数的图象可能是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】判断当的符号，可排除AC，求导，判断函数在上的单调性，可排除D，即可得出答案.

【详解】解：由得，

，故排除AC，

，

令，则，

当时，，

所以函数在上递减，

所以在上恒成立，

即在上恒成立，

所以函数在上递减，故排除D.

故选：B.

6．已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（    ）

A．或 B． C．或 D．

【答案】C

【分析】由题可求导函数，利用导函数与单调性的关系可得在恒成立，即求.

【详解】由题意，在恒成立，则，

又，

∴在恒成立，

∴即在恒成立，∴，

综上，或.

故选：C.

7．设是定义在上的可导函数，且满足，对任意的正数，下面不等式恒成立的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】构造函数，利用导数研究函数的单调性，利用单调性比较大小即可.

【详解】构造函数，则，

因为，所以，故，

因此在上单调递增，

所以对于任意的正数，有，即，即，

又因为，所以，结合选项可知B正确，

故选：B

8．已知是定义在上的偶函数，当时，，且，则不等式的解集是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】是定义在上的偶函数，说明奇函数，若时，，可得为增函数，若，为增函数，根据，求出不等式的解集；

【详解】解：∵是定义在上的偶函数，当时，，

∴为增函数，为偶函数，为奇函数，

∴在上为增函数，

∵，

若，，所以；

若，，在上为增函数，可得，

综上得，不等式的解集是.

故选：C.

二、多选题

9．下列导数运算正确的有（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BC

【分析】根据导数的运算法则逐项运算排除可得答案.

【详解】对于A，，故错误；

对于B， ，故正确；

对于C， ，故正确；

对于D， ，故错误.

故选：BC.

10．已知双曲线的渐近线方程为，则（    ）

A．虚轴长是实轴长的2倍

B．离心率是或

C．过焦点且与实轴垂直的直线被双曲线截得的线段长是虚轴长的2倍

D．焦点到渐近线的距离等于虚半轴长

【答案】BD

【解析】焦点在，轴两种情况，分别求出，再由抛物线的性质判断ABC，再由点到直线的距离公式判断D.

【详解】当焦点在轴上时，，即，即虚轴长是实轴长的2倍

，

焦点到渐近线的距离为

过焦点且与实轴垂直的直线被双曲线截得的线段长为

当焦点在轴上时，，即虚轴长是实轴长的倍

由得出

焦点到渐近线的距离为

过焦点且与实轴垂直的直线被双曲线截得的线段长为

综上，只有BD正确

故选：BD

【点睛】关键点睛：在判断CD选项时，关键是利用通径以及点到直线的距离公式进行判断.

11．已知数列是递减等差数列，其前项和为，且，则下列结论正确的有（    ）

A．最大 B．最小 C． D．

【答案】ACD

【分析】由数列前项和定义，及得出，再由数列是递减数列，得，然后由等差数列的性质得前项和，从而判断各选项．

【详解】因为，所以，又数列是递减的等差数列，所以，，

所以，

所以，，，最大，

，

，

故选：ACD．

12．已知椭圆：的左､右焦点分别为，，点在上，若是直角三角形，则的面积可能为（    ）

A．5 B．4 C． D．

【答案】BC

【分析】根据对称性只需考虑或，当时，求出的长，再由面积公式即可求面积，当时，结合，求出，再由面积公式即可求面积.

【详解】由可得，，所以，

根据对称性只需考虑或，

当时，将代入可得，

如图：，，所以的面积为，

当时，由椭圆的定义可知：，

由勾股定理可得，

因为，

所以，解得：，

此时的面积为，

综上所述：的面积为或.

故选：BC.

三、填空题

13．已知椭圆的一个焦点为，则C的离心率为___________.

【答案】

【分析】由椭圆的简单性质，利用椭圆的焦点坐标得到的值，再根据求得的值，最后代入离心率公式计算出结果.

【详解】椭圆：的一个焦点为，可得，解得，所以椭圆的离心率为：

故答案为：

14．设曲线在点处的切线与直线垂直，则_____________

【答案】

【分析】对函数进行求导，然后把代入导函数中，求得过点切线的斜率，利用两直线存在斜率且垂直时，斜率之间的关系求出的值.

【详解】，则过点切线的斜率为，而直线的斜率为，根据两直线存在斜率且垂直时，斜率乘积为，所以有.

【点睛】本题考查了利用导数求曲线切线斜率，考查了两直线存在斜率且垂直时，直线斜率之间的关系，考查了数学运算能力.

15．若数列的通项公式是，则等于___________.

【答案】30

【分析】由通项公式可得，从而数列项两两结合进行求和.

【详解】解：由题意，数列的通项公式是，

则，

所以.

故答案为:30.

【点睛】方法点睛:

求和的常见方法有：等差、等比数列公式法；错位相减法；裂项相消法；并向求和法等.

16．已知为抛物线：的焦点，过作两条互相垂直的直线，，直线与交于、两点，直线与交于、两点，则的值为_______．

【答案】

【分析】由题意可设：，：，联立抛物线方程，若，，，可得、，结合抛物线的定义写出、，根据垂直关系即可求.

【详解】由题设，知：，且，的斜率一定存在，可令：，：，，，，将它们联立抛物线方程，

∴，整理得，显然，则，即由抛物线定义知：，

，整理得，显然，则，即由抛物线定义知：，

∵，有，

∴.

故答案为：.

【点睛】关键点点睛：根据直线、抛物线的位置关系，应用韦达定理并结合抛物线定义求相交弦的弦长.

四、解答题

17．等差数列中，，．

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求的值．

【答案】（1）；（2）

【详解】（Ⅰ）设等差数列的公差为．

由已知得，

解得．

所以．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得．

所以

．

【解析】1、等差数列通项公式；2、分组求和法．

18．已知直线与圆.

（Ⅰ）求证：直线必过定点，并求该定点；

（Ⅱ）当圆截直线所得弦长最小时，求的值.

【答案】（Ⅰ）证明见解析，；（Ⅱ）.

【分析】（Ⅰ）直线可化为，可知直线恒过点；

（Ⅱ）当圆截直线所得弦长最小时，可知，根据点坐标求出的斜率，利用两直线垂直斜率的关系可求出的值.

【详解】（Ⅰ）证明：直线方程可化为：，

对上式中,当时，不论取何值，等式恒成立，

所以直线恒过点

（Ⅱ）将圆的方程化为：，圆心为，半径

由（Ⅰ）知，直线恒过点，当圆截直线所得弦长最小时，则垂直于直线，即

，，，

所以当圆截直线所得弦长最小时，的值为

【点睛】关键点点睛：本题考查直线与圆位置关系的证明、根据直线被圆截得的弦长求解参数值的问题；解题关键是能够明确直线被圆截得的弦所在的直线与直线垂直时,截取的弦长最短，利用两直线垂直求斜率，考查学生的运算能力，属于一般题.

19．已知数列满足

（1）求证：数列为等比数列，并求出；

（2）求数列的前项和．

【答案】（1）证明见解析；；（2）．

【分析】(1)由，可构造数列，从而求解；

(2)由(1)代入之后可得是等差数列乘以等比数列，所以用错位相减法即可求解.

【详解】证：（1），，又，得，故，

从而，数列为首项为3，公比为3的等比数列，从而，；

（2）令 ，所以可由错位相加法得：

两式相减：

20．已加圆的短轴长为2，且离心率为．

（1）求椭圆C的方程；

（2）若过作斜率分别为，的两条直线PA，PB，分别交椭圆于点A，B，且，证明：直线AB经过定点．

【答案】（1）；（2）证明见解析．

【分析】（1）待定系数法求椭圆的标准方程；

（2）当直线AB斜率存在时，设直线方程为，设，，

用“设而不求法”表示出和，根据得到，代入直线方程，整理为点斜式，判断过定点；当直线AB斜率不存在时，设直线方程为，验证直线AB也过．

【详解】解析（1）由题意得，，解得，

由离心率为，又由，解得，

所求椭圆方程为．

（2）当直线AB斜率存在时，设直线方程为，，，

联立方程组得，

则，，

则，

将*式代入化简可得：，得，

代入直线AB方程为，

即，恒过定点．

当直线AB斜率不存在时，设直线方程为，则，，

则，，所以，解得，此时直线AB也过．

综上，直线AB过定点．

【点睛】（1）待定系数法可以求二次曲线的标准方程；

（2）“设而不求”是一种在解析几何中常见的解题方法，可以解决直线与二次曲线相交的问题.

21．已知函数.

（1）求函数的单调区间；

（2）设，求证：当时，恒成立.

【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.

【分析】（1）分别在和两种情况下，根据的正负可得单调区间；

（2）将问题转化为在上恒成立，利用导数可求得，由此可证得结论.

【详解】（1）由题意得：定义域为，；

①当时，，则在上恒成立，

的单调递减区间为，无单调递增区间；

②当时，令，解得：，

当时，；当时，；

的单调递增区间为，单调递减区间为；

综上所述：当时，的单调递减区间为，无单调递增区间；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.

（2）由得：；

令，则，，

当时，，在上单调递增，

，，，使得，

当时，；当时，；

在上单调递减，在上单调递增，

又，，，即在上恒成立，

当时，恒成立.

【点睛】关键点点睛：本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到含参数函数单调性的讨论、利用导数证明不等式的问题；证明不等式的关键是能够通过构造函数的方式，将问题转化为函数最大值的求解问题，通过导数得到函数单调性，进而确定最大值.

22．已知，为抛物线上不同的两点.

（1）若，求直线的倾斜角；

（2）若，且的中点为，求到轴距离的最小值.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）利用斜率公式，和抛物线的方程，利用点差法求得斜率；

（2）考虑到直线的斜率可能不存在，但不可能为零，设方程为设的形式，与抛物线的方程联立，利用判别式求得t,m满足的条件，利用弦长公式求得t,m的关系，利用中点公式求得Q到y轴的距离关于t,m的表达式，化为关于t的函数表达式，适当配凑，利用对勾函数的单调性求得最小值.

【详解】（1）

∴直线的倾斜角为；

（2）设,

代入抛物线方程，并整理得：

,

,

,

,

,

,

Q到y轴的距离

,

当时取等号，

到轴的距离的最小值为.

【点睛】本题主要考查抛物线中的弦长和距离最值问题，属较难试题，关键是利用弦长公式得到t,m的关系，求得Q到y轴的距离关于m的函数表达式后，要适当配凑，换元(将当成一个整体，利用对勾函数在时的单调递增特性求得最小值，若用基本不等式求最值，这里将取不到等号.