2022-2023学年黑龙江省大庆实验中学实验三部高二下学期期末考试数学试题含答案

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2022-2023学年黑龙江省大庆实验中学实验三部高二下学期期末考试数学试题

一、单选题
1．已知集合，则（    ）
A． B． C．0， D．
【答案】C
【分析】先求集合B，再求.
【详解】∵，
∴.
故选：C
2．设是定义在上的奇函数，则（    ）
A．-1 B．0 C．1 D．-2
【答案】B
【分析】由奇函数的性质可求出的值，即可求出.
【详解】因为是定义在上的奇函数，
所以，解得：，
所以，则，
则.
故选：B.
3．安排4名男生和3名女生去参加甲、乙两个不同的社团活动，每个社团至少3人，且社团甲的男生数不少于社团乙的男生数，则不同的参加方法种数是（    ）
A．31 B．53 C．61 D．65
【答案】B
【分析】分社团甲有3人和4人讨论即可.
【详解】以社团甲中的人数为分类标准，则可分为两类：第一类是社团甲有3人，第二类是社团甲有4人.
当社团甲有3人时，可以分为2男1女和3男0女两种情况，
所以此时不同的参加方法有（种）；
当社团甲有4人时，可以分为2男2女、3男1女和4男0女三种情况，
所以此时不同的参加方法有（种）.
由分类加法计数原理可得，满足条件的不同的参加方法种数是.
故选：B.
4．已知．若p为假命题，则a的取值范围为(   )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据命题为假，则命题的否定为真，转化为恒成立问题，列不等式求参.

【详解】因为p为假命题，所以，为真命题，
故当时，恒成立．
因为当时，的最小值为，
所以，即a的取值范围为．
故选：A.

5．函数图象如图所示，可以判断，，分别满足（    ）

A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】A
【分析】根据题意，分析函数的定义域和函数值的符号，由此分析、、的取值，综合可得答案．
【详解】解：根据题意，函数，必有且，
对于函数图象，假设虚线为，
设，结合函数的图象，在区间，，在区间和上，，
则有，，则，
当时，，，必有，
即，，；
故选：A．
6．已知定义域为的函数满足，且在区间上还满足：①当时，都有；②；③.则等于（    ）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【分析】由，结合，分别取和可求和，在中分别取和和可求，．利用，又结合非减函数的概念求，代入后答案可求．
【详解】由，，
令，所以有,
令，所以有，
由得
故，
，
由；令，有,
令，有，
令，有．
由时，都有，
，有，
．
，
故选：B
7．已知均为正实数，为自然对数的底数，若，则下列不等式一定成立的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用特殊值法当时，，排除选项A，B，C；再证明选项D成立.
【详解】已知均为正实数，,
当时，，满足成立，
对于A，，故A错误；
对于B，，故B错误；
对于C，，故C错误，
对于D，由已知，则，.
由 则，
所以，即，得，，即.
下面证明，.
设，，所以在区间上单调递增，
所以>，即.
所以，故D正确，
故选：D.
8．对于函数，若存在，则称点与点是函数的一对“隐对称点”．若时，函数的图象上恰有2对“隐对称点”，则实数m的取值范围为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由题意可得，函数关于原点对称的图象与函数的图象有两个交点，再次转化为与的图象有2 个交点，然后画出图象，根据图象可求得答案.
【详解】由题意可得，函数关于原点对称的图象与函数的图象有两个交点，
即方程有两个根，即，
令，则，
当时，，当时，，
所以在上递增，在上递减，
的图象恒过点，的图象也过点，
因为，所以在处的切线方程为，
由图可知当或时，与的图象有2 个交点，
即有两个根，
所以实数m的取值范围为，
故选：D
  
【点睛】关键点点睛：此题考查函数与方程的综合应用，考查导数的几何意义，考查函数的新定义，解题有关键是对新定义的正确理解，从而将问题转化为方程有2个根，然后构造函数，利用函数图象求解，考查数学转化思想和数形结合的思想，属于较难题.

二、多选题
9．已知二项式的展开式中各项系数之和是，则下列说法正确的有（    ）
A．展开式共有6项
B．二项式系数最大的项是第4项
C．展开式的常数项为540
D．展开式的有理项共有5项
【答案】BC
【分析】利用二项式定理的通项公式以及二项式系数的性质求解即可.
【详解】对于选项A，令得，解得，所以展开式共有7项，故选项A错误；
对于选项B，因为，所以中间一项二项式系数最大，即二项式系数最大项是第4项，故选项B正确；
对于选项C，二项展开式的通项公式，
令，解得，所以常数项为，故选项C正确；
对于选项D，由于，若为整数，则可得，可得展开式的有理项共有4项，故选项D错误；
故选：.
10．已知一容器中有A、B两种菌，且在任何时刻A、B两种菌的个数乘积为定值，为了简单起见，科学家用来记录A菌个数的资料，其中为A菌的个数，来记录B菌个数的资料，其中为B菌的个数．下列说法正确的是（参考数据：）（    ）
A．
B．若今天的值比昨天的值增加1，则今天的A菌个数比昨天的A菌个数多90
C．假设科学家将B菌的个数控制为5千个，则此时
D．无论A，B两种菌的个数分别为多少，的值不可能超过25
【答案】CD
【分析】对于A通过取特殊值即可排除，对于BC直接带入计算即可；由基本不等式可判断D.
【详解】当时，，故A错误；
今天的，则，昨天的，则，
若今天的值比昨天的值增加1，则今天的A菌个数比昨天的A菌个数多，故B错误；
B菌的个数为，因为A、B两种菌的个数乘积为定值，
∴，∴.
又∵，∴，故C正确；
，
当且仅当时取等，故D正确.
故选：CD．
11．若一条直线与两条或两条以上的曲线均相切，则称该直线为这些曲线的公切线，已知直线：为曲线：和：的公切线，则下列结论正确的是（    ）
A．曲线的图象在轴的上方
B．当时，
C．若，则
D．当时，和必存在斜率为的公切线
【答案】ABD
【分析】由函数解析式可直接判断A，利用导数研究曲线的切线方程，可用含的式子表示出切点的坐标，再将其代入直线，即可判断B，设，，利用，并结合斜率的计算公式，可得判断C，若和存在斜率为的公切线，则存在和使得，，再结合选项B中所得，求出和的值判断D．
【详解】选项A，由，得，可知曲线的图象在轴的上方，故A正确；
选项B，当时，：，：，
对于：，有，
因为直线：为曲线的切线，
所以，即，此时，
所以切点坐标为，将其代入切线方程中，
有，整理得，可得，即B正确；
选项C，当时，公切线为，
设，，则，，
所以，，解得，，故C错误；
选项D，当时，，，则，，
若和存在斜率为的公切线，则存在和使得，，
由选项B可知，，即，
所以，，即，，符合题意，
故当时，和必存在斜率为的公切线，即D正确．
故选：ABD．
12．已知函数的两个极值点分别是，，则下列结论正确的是（    ）
A．或
B．
C．
D．不存在实数a，使得
【答案】BCD
【分析】求出函数的导数，由有两个零点求出a范围判断A；根据选项BCD的特征结合韦达定理表示成a的函数，再利用导数推理作答即可.
【详解】对于A，函数的定义域为，求导得，依题意，，
即在上有两个不等的实根，因此，
解得，故A错误；
对于B，因为，由韦达定理得，则，故B正确；
对于C，，令，
，令，，
即函数在上单调递减，
，则函数在上单调递减，
于是，所以，故C正确；
对于D，，
令，，即函数在上单调递减，
，因此恒成立，故D正确.
故选：BCD
【点睛】思路点睛：不等式恒成立或存在型问题，可构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.

三、填空题
13．已知变量x和y的统计数据如下表：
x
6
7
8
9
10
y
3.5
4
5
6
6.5
若由表中数据得到经验回归直线方程为，则时的残差为 ．
【答案】/
【分析】先求出回归直线方程，代入得到估计值后可得残差.
【详解】，
，
故，得，
当时，，
故残差为：，
故答案为：.
14．若函数在区间上单调递减，则a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】按值对函数 进行分类讨论，再结合函数 的性质求解作答.
【详解】由于函数在区间上单调递减，
①当时，函数，在区间上单调递减，符合题意；
②当时，开口向下，对称轴为，则，可得函数在区间上单调递减，符合题意；
③当时，开口向上，对称轴为，在区间上单调递减需满足，因此．
综上所述，a的取值范围是．
故答案为：
15．已知函数，若在区间上的最大值和最小值分别为M，N，则函数的图像的对称中心为 ．
【答案】/
【分析】利用函数的奇偶性的定义及性质，结合函数的对称性即可求解.
【详解】由题意可知，
所以.
故函数在定义域内为非奇非偶函数，
令，则，
所以在定义域内为奇函数.
设在上的最大值为，则最小值为，
所以在上的最大值为，最小值为，
所以.
.
因为，
所以图象的对称中心为.
故答案为：.
16．已知函数，，设方程的3个实根分别为，且，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】利用导数研究的图象，令根据的图象以及已知条件可知，，且，进而可以求出的取值范围.
【详解】由已知可得的定义域为，，令，
得，令，得，所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，当趋近于时，趋近于正无穷，当趋近于负无穷时，趋近于，且存在零点，
所以的图象如图所示，
  
的定义域为，令，则，可知必有两个不相等的实数根，
不妨设，因为，所以，，要使有三个不等的实根，则，，即，
解得，
由于，则，，
，
故答案为：.
【点睛】解决嵌套函数零点个数问题的方法就是换元法令，先解决外层函数，再解决内层函数，不断分析，层层递进即可求解.

四、解答题
17．已知函数，．
(1)当，时，求的最小值；
(2)若不等式 的解集是区间的子集，求实数a的取值范围．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1），令，可得并配方，根据二次函数单调性得到最小值；
（2）变换得到，设，画出函数图象，计算，，根据图象得到答案.
【详解】（1），令，则，
函数在上单调递增，故最小值为，所以的最小值为；
（2），即，设，
画出的函数图象，如图所示：，，
因为不等式的解集是区间的子集，
故.

18．设为实数，函数，.
(1)求的极值；
(2)对于，，都有，试求实数的取值范围.
【答案】(1)极大值，极小值
(2)

【分析】（1）利用导数分析函数的单调性，由此可求得函数的极大值和极小值；
（2）分析可知，利用导数求得函数在上的最小值，求出函数在上的最大值，可得出关于实数的不等式，由此可解得实数的取值范围.
【详解】（1）解：函数的定义域为，，
令，可得或，列表如下：













增
极大值
减
极小值
增
故函数的极大值为，极小值为.
（2）解：对于，，都有，则.
由（1）可知，函数在上单调递减，在上单调递增，
故当时，，
因为，且，则且不恒为零，
故函数在上单调递增，故，
由题意可得，故.
19．某公司为了丰富员工的业余生活，举行了乒乓球比赛，比赛采用七局四胜制，即先赢四局者获胜．每局比赛胜一球得1分，先得11分的参赛者该局为胜方，若出现10平比分，双方轮流发球，则以先多得2分者为胜方．甲、乙两名员工进行单打比赛．
(1)已知甲发球得1分的概率为，乙发球得1分的概率为，若某局出现10平比分后甲先发球，求甲以获胜的概率；
(2)若每局比赛甲获胜的概率均为，比赛局数为X，求X的分布列和数学期望．
【答案】(1)
(2)分布列见解析，

【分析】（1）由题意可知，获胜的可能情况有：①第一场甲输，第二场甲赢，第三场甲赢，第四场甲赢，②第一场甲赢，第二场甲输，第三场甲赢，第四场甲赢，即可求出概率，
（2）由题意可得X的可能取值为4，5，6，7，然后求出相应的概率，从而可求出X的分布列和数学期望
【详解】（1）当甲以获胜时，还需进行四场比赛，发球方分别为甲、乙、甲、乙，
甲获胜的可能情况有：①第一场甲输，第二场甲赢，第三场甲赢，第四场甲赢，②第一场甲赢，第二场甲输，第三场甲赢，第四场甲赢，
所以甲以获胜的概率为

（2）由题意可得X的可能取值为4，5，6，7，则
,
,
,
,
所以的分布列为

4
5
6
7





所以
20．2022年12月份以来，全国多个地区纷纷采取不同的形式发放多轮消费券，助力消费复苏.记发放的消费券额度为x（百万元），带动的消费为y（百万元）.某省随机抽查的一些城市的数据如下表所示.
x
3
3
4
5
5
6
6
8
y
10
12
13
18
19
21
24
27
(1)根据表中的数据，请用相关系数说明y与x有很强的线性相关关系，并求出y关于x的线性回归方程.
(2)（ⅰ）若该省A城市在2023年2月份准备发放一轮额度为10百万元的消费券，利用（1）中求得的线性回归方程，预计可以带动多少消费？
（ⅱ）当实际值与估计值的差的绝对值与估计值的比值不超过10％时，认为发放的该轮消费券助力消费复苏是理想的.若该省A城市2月份发放额度为10百万元的消费券后，经过一个月的统计，发现实际带动的消费为30百万元，请问发放的该轮消费券助力消费复苏是否理想？若不理想，请分析可能存在的原因.
参考公式：，，.当时，两个变量之间具有很强的线性相关关系.
参考数据：.
【答案】(1)具有很强的线性相关关系,
(2)（ⅰ）35.25百万元
（ⅱ）不理想，理由见解析，答案不唯一

【分析】（1）通过相关系数公式求得相关系数，利用回归直线方程的计算公式求得回归直线方程.
（2）（ⅰ）利用回归直线方程求得预测值.
（ⅱ）根据“理想”的定义进行分析，从而确定正确答案.
【详解】（1），
.
，
，
，
代入公式可得相关系数.
由于且r非常接近1，所以y与x具有很强的线性相关关系.
经计算可得，
.
所以所求线性回归方程为.
（2）（ⅰ）当时，，所以预计能带动的消费达35.25百万元.
（ⅱ）因为％，所以发放的该轮消费券助力消费复苏不是理想的.
发放消费券只是影响消费的其中一个因素，还有其他重要因素，
比如：A城市经济发展水平不高，居民的收入水平直接影响了居民的消费水平；
A城市人口数量有限、商品价格水平、消费者偏好、消费者年龄构成等因素一定程度上影响了消费总量.
（只要写出一个原因即可）.
21．为了检测新冠疫苗的效果，需要进行动物试验.研究人员将疫苗注射到200只小白鼠体内，一段时间后测量小白鼠的某项指标值，按分组，每组分别有10只，20只，40只，100只，30只.试验发现小白鼠体内没有产生抗体的共有40只，其中该项指标值小于60的有20只.假设小白鼠注射疫苗后是否产生抗体相互独立.
(1)完成如图所示列联表，并根据列联表及的独立性检验，判断能否认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关；
抗体
指标值
合计
小于60
不小于60
有抗体



没有抗体



合计



(2)用频率估计概率，以动物试验中小白鼠注射疫苗后产生抗体的频率作为注射疫苗后产生抗体的概率.记只小白鼠注射疫苗后产生抗体的数量为随机变量.试验后统计数据显示，当且仅当时，取最大值，求参加接种试验的小白鼠数量.
参考公式：（其中为样本容量）参考数据：
















【答案】(1)列联表答案见解析，能认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关
(2)参加接种试验的小白鼠数量

【分析】（1）先根据题中数据完成列联表，计算的数值，分析即可得出结果；
（2）不同小老鼠之间的实验显然无关，于是可近似看成二项分布，由题意可知
，解出的范围即可.
【详解】（1）零假设为：注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60无关联.
列联表如下：（单位：只）
抗体
指标值
合计
小于60
不小于60
有抗体
50
110
160
没有抗体
20
20
40
合计
70
130
200
根据列联表中数据，得
根据的独立性检验，推断不成立，即认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关，此推断犯错误的概率不大于.
（2）记产生抗体的概率为，则.不同小老鼠之间的实验显然无关，于是可近似看成二项分布，故
由题知：，即，

所以
22．设函数，，.
(1)求在上的单调区间；
(2)若在y轴右侧，函数图象恒不在函数的图象下方，求实数a的取值范围；
(3)证明：当时，.
【答案】(1)答案见解析
(2)a≤1
(3)证明见解析

【分析】（1）求得，分和，两种情况讨论，结合导数的符号，即可求解函数的单调区间；
（2）设函数，求得，令，求得，分和，两种情况讨论，求解函数的单调，进而求得的取值范围.
（3）取，由（2）知，令，，令，化简得到，进而证得结论.
【详解】（1）解：由函数，可得，
当，即时，，此时函数在上单调递增；
当，即时，令，解得；
令，解得，
函数在上单调递增，在上单调递减，
综上，当时，函数单调递增区间为；当时，单调递增区间为，递减区间为.
（2）解：设函数，则，
令，则，
当，即时，，即，
即，所以成立，此时符合题意；
当，即时，令，解得，所以在区间上单调递减，又由，此时在上单调递减，
所以，显然不满足题意.
综上可得，实数的取值范围为.
（3）证明：取，由（2）知，
因为，令，代入得到，
即，且，
令，，即，代入化简得到，
所以成立.
【点睛】方法总结：利用导数证明或判定不等式问题：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；
3、适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；
4、构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.