专题1.10 预备知识（能力提升卷）-2023-2024学年高一数学常考考点训练（北师大版2019必修第一册）

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专题1.10 预备知识（能力提升卷）考试时间：120分钟；满分：150分姓名：___________班级：___________考号：___________考卷信息：本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！一．    选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．（2021·全国·高考真题）设集合，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据交集、补集的定义可求.【详解】由题设可得，故，故选：B.2．（2021·河北·石家庄市第四十四中学高一阶段练习）设为实数，且，则下列不等式正确的是（       ）A． B．C． D．【答案】D【分析】题目考察不等式的性质，A选项不等式两边同乘负数要变号；B,C选项可以通过举反例排除；D选项根据已知条件变形可得【详解】已知,对各选项逐一判断：选项A：因为,由不等式的性质，两边同乘负数，不等式变号，可得,所以选项A错误.选项B：取,,,,则,,此时,所以选项B错误. 选项C：取,,,,则,,此时,所以选项C错误.选项D：因为,所以,所以,即,所以选项D正确.故选：D.3．（2022·湖南·株洲市南方中学高一阶段练习）2022年3月21日，东方航空公司MU5735航班在广西梧州市上空失联并坠毁．专家指出：飞机坠毁原因需要找到飞机自带的两部飞行记录器（黑匣子），如果两部黑匣子都被找到，那么就能形成一个初步的事故原因认定.3月23日16时30分左右，广西武警官兵找到一个黑匣子，虽其外表遭破坏，但内部存储设备完整，研究判定为驾驶员座舱录音器．则“找到驾驶员座舱录音器”是“初步事故原因认定”的（    ）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】因为两部黑匣子都被找到，就能形成一个初步的事故原因认定，根据充分与必要条件的定义即可判断出结果．【详解】因为两部黑匣子都被找到，就能形成一个初步的事故原因认定，则“找到驾驶员座舱录音器”不能形成“初步事故原因认定”；而形成“初步事故原因认定”则表示已经“找到驾驶员座舱录音器”，故“找到驾驶员座舱录音器”是“初步事故原因认定”的必要不充分条件，故选：C．4．（2022·江西·赣州市厚德外国语学校高一阶段练习）若不等式成立的充分条件为，则实数a的取值范围是（    ）A． B． C． D． 【答案】A【分析】由已知中不等式成立的充分条件是，令不等式的解集为A，可得，可以构造关于a的不等式组，解不等式组即可得到答案.【详解】解：不等式成立的充分条件是，设不等式的解集为A，则，当时，，不满足要求；当时，，若，则，解得.故选：A.5．（2022·全国·高一课时练习）在下列命题中，是真命题的是（    ）A．B．C．D．已知，则对于任意的，都有【答案】B【分析】可通过分别判断选项正确和错误，来进行选择/【详解】选项A，，即有实数解，所以，显然此方程无实数解，故排除；选项B，，，故该选项正确；选项C，，而当，不成立，故该选项错误，排除；选项D，，当时，当取得6的正整数倍时，，所以，该选项错误，排除.故选：B.6．（2022·河南安阳·高一期末（文））已知，且，则的最小值为（    ）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【解析】依题意可得，则，再利用基本不等式计算可得；【详解】解：因为且，所以，所以当且仅当，即，时取等号；所以的最小值为故选：C【点睛】利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方7．（2022·江苏·金陵中学高一阶段练习）已知且，不等式恒成立，则正实数m的取值范围是（　　）A．m≥2 B．m≥4 C．m≥6 D．m≥8【答案】D【分析】由条件结合基本不等式可求的范围，化简不等式可得，利用二次函数性质求的最大值，由此可求m的取值范围.【详解】不等式可化为，又，，所以，令，则，因为，，所以，当且仅当时等号成立，又已知在上恒成立，所以因为，当且仅当时等号成立，所以m≥8，当且仅当，或，时等号成立，所以m的取值范围是m≥8，故选：D.8．（2022·全国·高一单元测试）若正数、满足，设，则的最大值是A．12 B．-12 C．16 D．-16【答案】A【分析】根据则，将式子换元成关于的二次函数，利用二次函数的性质求最值，值得注意的取值范围.【详解】解：，、，解得，，，，当且仅当时取得最大值故选：【点睛】本题考查二次函数的性质，重要不等式的应用，属于中档题. 二．    多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）9．（2022·安徽省桐城中学高一阶段练习）已知全集，集合，，则使成立的实数的取值范围可以是（　　）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】讨论和时，计算，根据列不等式，解不等式求得的取值范围，再结合选项即可得正确选项.【详解】当时，，即，此时，符合题意，当时，，即，由可得或，因为，所以或，可得或，因为，所以，所以实数的取值范围为或，所以选项ABC正确，选项D不正确；故选：ABC.10．（2022·吉林·辽源市田家炳高级中学校高一阶段练习）设M、N是两个非空集合，定义M⊗N＝{（a，b）|a∈M，b∈N}．若P＝{0，1，2}，Q＝{﹣1，1，2}，则P⊗Q中元素的个数不可能是（    ）A．9 B．8 C．7 D．6【答案】BCD【分析】根据定义，直接写出P⊗Q中元素的个数．【详解】解：因为P＝{0，1，2}，Q＝{﹣1，1，2}，所以a有3种选法，b有3种取法，可得P⊗Q中元素为.所以P⊗Q中元素的个数是9（个）．故选：BCD．11．（2022·全国·高一课时练习）已知集合，，且、，，则下列判断正确的是（    ）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】本题首先可根据题意得出表示奇数集，表示偶数集，、是奇数，是偶数，然后依次对、、、进行判断，即可得出结果.【详解】因为集合，，所以集合表示奇数集，集合表示偶数集，、是奇数，是偶数，A项：因为两个奇数的积为奇数，所以，A正确；B项：因为一个奇数与一个偶数的积为偶数，所以，B正确；C项：因为两个奇数的和为偶数，所以，C正确；D项：因为两个奇数与一个偶数的和为偶数，所以，D错误，故选：ABC.12．（2021·湖北·襄阳五中高一期中）已知，均为正实数，且，则（    ）A．的最大值为 B．的最小值为C．的最小值为 D．的最小值为【答案】ACD【分析】对A，利用基本不等式即可解得；对B，将2换成，进而利用基本不等式得到答案；对C，将原式化简为，进而根据代换，然后得到答案；对D，将原式变化为，进而化简，然后设，而后用进行代换，最后用基本不等式得到答案.【详解】因为，均为正实数，且，对A, ，当且仅当时取“=”，正确；对B， ，当且仅当时取“=”，错误；对C，，当且仅当时取“=”，正确；对D，，设，则上式，当且仅当时取“=”，正确；故选：ACD. 三．    填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（2021·辽宁·大连市第十五中学高一阶段练习）已知集合，集合，则集合的子集个数为________．【答案】4【分析】先求得，由此求得集合的子集个数.【详解】，，，共有个元素，故集合的子集个数为个.故答案为：414．（2022·上海·高一单元测试）设非空集合，当中所有元素和为偶数时（集合为单元素时和为元素本身），称是的偶子集，若集合，则其偶子集的个数为___________.【答案】【分析】对集合中奇数和偶数的个数进行分类讨论，确定每种情况下集合的个数，综合可得结果.【详解】集合中只有个奇数时，则集合的可能情况为：、、、、、，共种，若集合中只有个奇数时，则集合，只有一种情况，若集合中只含个偶数，共种情况；若集合中只含个偶数，则集合可能的情况为、、，共种情况；若集合中只含个偶数，则集合，只有种情况.因为是的偶子集，分以下几种情况讨论：若集合中的元素全为偶数，则满足条件的集合的个数为；若集合中的元素全为奇数，则奇数的个数为偶数，共种；若集合中的元素是个奇数个偶数，共种；若集合中的元素为个奇数个偶数，共种；若集合中的元素为个奇数个偶数，共种；若集合中的元素为个奇数个偶数，共种；若集合中的元素为个奇数个偶数，共种；若集合中的元素为个奇数个偶数，共种.综上所述，满足条件的集合的个数为.故答案为：.15．（2021·全国·高一专题练习）已知当时，不等式恒成立，则的取值范围为___________.【答案】【分析】将问题转化成关于的函数，则对任意恒成立，只要区间端点的函数值均小于0即可；【详解】由题意，因为当时，不等式恒成立，可转化为关于的函数，则对任意恒成立，则满足解得.故答案为：.16．（2021·河南·邓州市第一高级中学校高一阶段练习）高二某班共有人，每名学生要从物理、化学、生物、历史、地理、政治这六门课程中选择门进行学习.已知选择物理、化学、生物的学生各有至少人，这三门学科均不选的有人.这三门课程均选的有人，三门中任选两门课程的均至少有人.三门中只选物理与只选化学均至少有人，那么该班选择物理与化学但未选生物的学生至多有________人.【答案】8【解析】把学生60人看出一个集合，选择物理科的人数组成为集合，选择化学科的人数组成集合，选择生物科的人数组成集合，根据题意，作出韦恩图，结合韦恩图，即可求解.【详解】把学生60人看出一个集合，选择物理科的人数组成为集合，选择化学科的人数组成集合，选择生物科的人数组成集合，记选择物理与化学但未选生物的学生组成集合要使选择物理和化学这两门课程的学生人数最多，除这三门课程都不选的有15人，这三门课程都选的有10人， 则其它个选择人数均为最少，即得到单选物理的最少6人，单选化学的最少6人，单选化学、生物的最少6人，单选物理、生物的最少6人，单选生物的最少3人，以上人数最少52人，可作出如下图所示的韦恩图，故区域至多8人，所以单选物理、化学的人数至多8人， 故答案为：8【点睛】本题主要考查了集合的应用，其中解答中根据题意，画出集合运算的韦恩图是解答本题的关键，着重考查数形结合思想，以及分析问题和解答问题的能力. 四．        解答题（共6小题，满分70分）17．（2022·全国·高一课时练习）判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断其真假．(1)有理数都是实数；(2)至少有一个整数，它既能被11整除，又能被9整除；(3)∀x∈{x|x＞0}，x2．【答案】(1)全称量词命题，且是真命题(2)是存在量词命题，是真命题(3)是全称量词命题，假命题【分析】（1）（2）（3）根据特称命题和全称命题的定义判断即可．（1）命题中隐含了全称量词“所有的”，所以此命题是全称量词命题，且是真命题．（2）命题中含有存在量词“至少有一个”，所以此命题是存在量词命题，举例99既能被11整除，又能被9整除，所以是真命题．（3）命题中含有全称量词“∀”，所以此命题是全称量词命题，因为当x＝1时，x2，所以命题是假命题．18．（2022·全国·高一课时练习）设全集，集合，集合.(1)若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围；(2)若命题“，则”是真命题，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）将充分条件转化为子集关系，利用子集的定义即可列出不等式求解.（2）将真命题转化成是的子集，然后分情况讨论集合为空集和非空集合，即可求解.（1） 是的充分条件， ，又，，，，实数的取值范围为.（2）命题“，则”是真命题，①当时，，，；②当时，，且是的子集.，，;综上所述：实数的取值范围.19．（2022·江苏·常州市西夏墅中学高一阶段练习）（1）已知，求的最小值；（2）已知x，y是正实数，且，求的最小值．【答案】（1）7；（2）.【分析】（1）由题设知，利用基本不等式求最小值，注意等号成立的条件；（2）利用基本不等式“1”的代换即可求最小值，注意等号成立条件.【详解】（1）∵，即， ，当且仅当，即时取等号，∴的最小值为7．，，．当且仅当，即，时取等号．∴的最小值为.20．（2022·全国·高一）设全集U＝R，集合A＝{x|m﹣2＜x＜m+2，m∈R}，集合B＝{x|﹣4＜x＜4}．（1）当m＝3时，求A∩B，A∪B；（2）若命题p：x∈A，命题q：x∈B，若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．【答案】（1）A∩B＝{x|1＜x＜4}，A∪B＝{x|﹣4＜x＜5}；（2）﹣2≤m≤2．【分析】（1）m＝3时，得到集合A＝{1＜x＜5}，然后进行交集、并集的运算即可；（2）根据p是q的充分不必要条件，得到A是B的真子集，得到不等式组，解出即可．【详解】（1）当m＝3时，A＝{x|1＜x＜5}；∴A∩B＝{x|1＜x＜4}，A∪B＝{x|﹣4＜x＜5}；（2）若p是q的充分不必要条件，则A是B的真子集；∴，解得：﹣2≤m≤2，当时，，当时，，A是B的真子集都成立，所以实数m的取值范围是：﹣2≤m≤2．21．（2022·宁夏·青铜峡市宁朔中学高二开学考试）（1）已知一元二次不等式的解集为，求不等式的解集；（2）若不等式在实数集R上恒成立，求m的范围.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）先将不等式问题转化为方程问题求出的值，然后就可以解不等式了；（2）一元二次不等式恒成立，即考虑其判别式.【详解】（1）因为的解集为，所以与是方程的两个实数根，由根与系数的关系得解得不等式，即，整理得，解得.即不等式的解集为.（2）由题意可得，，即，整理得，解得.22．（2022·广东·东莞实验中学高一阶段练习）已知集合，集合，集合．(1)若，求实数a的值；(2)若，，求实数a的值．【答案】(1)；(2)【分析】（1）求出集合，由，得到，由此能求出a的值，再注意检验即可；（2）求出集合，由，，得，由此能求出a，最后同样要注意检验．（1）因为集合，集合，且，所以，所以，即，解得或．当时，，，符合题意；当时，，，不符合题意．综上，实数a的值为．（2）因为，，，且，，所以，所以，即，解得或．当时，，满足题意；当时，，不满足题意．综上，实数a的值为．