专题1.9 预备知识（基础巩固卷）-2023-2024学年高一数学常考考点训练（北师大版2019必修第一册）

专题1.9 预备知识（基础巩固卷）

考试时间：120分钟；满分：150分

姓名：___________班级：___________考号：___________

考卷信息：

本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！

一．    选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）

1．（2022·重庆市育才中学高一阶段练习）若集合，则的子集个数为（    ）

A．3 B．4 C．7 D．8

【答案】D

【分析】先求得集合A,然后根据子集的个数求解即可.

【详解】解： ，则的子集个数为个，

故选：D.

2．（2022·河南南阳·高一阶段练习）不等式的解集为（    ）

A．或 B．

C．或 D．

【答案】A

【分析】根据二次不等式的解法求解即可.

【详解】可化为，

即，即或．

所以不等式的解集为或.

故选：A

3．（2022·上海·高一单元测试）若集合中的元素是△ABC的三边长，则△ABC一定不是（    ）

A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形

【答案】D

【分析】根据集合元素的互异性即可判断.

【详解】由题可知，集合中的元素是的三边长，

则，所以一定不是等腰三角形．

故选：D．

4．（2020·全国·高考真题（理））设集合A={x|x2–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|–2≤x≤1}，则a=（    ）

A．–4 B．–2 C．2 D．4

【答案】B

【分析】由题意首先求得集合A,B，然后结合交集的结果得到关于a的方程，求解方程即可确定实数a的值.

【详解】求解二次不等式可得：，

求解一次不等式可得：.

由于，故：，解得：.

故选：B.

【点睛】本题主要考查交集的运算，不等式的解法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

5．（2022·广东·东莞实验中学高一阶段练习）已知集合，集合，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】通过对集合的化简即可判定出集合关系，得到结果.

【详解】因为集合，

集合，

因为时，成立，

所以.

故选：C.

6．（2022·江苏省如皋中学高一阶段练习）2022年3月21日，东方航空公司MU5735航班在广西梧州市上空失联并坠毁．专家指出：飞机坠毁原因需要找到飞机自带的两部飞行记录器（黑匣子），如果两部黑匣子都被找到，那么就能形成一个初步的事故原因认定.3月23日16时30分左右，广西武警官兵找到一个黑匣子，虽其外表遭破坏，但内部存储设备完整，研究判定为驾驶员座舱录音器．则“找到驾驶员座舱录音器”是“初步事故原因认定”的（    ）

A．充要条件 B．充分不必要条件

C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】因为两部黑匣子都被找到，就能形成一个初步的事故原因认定，根据充分与必要条件的定义即可判断出结果．

【详解】因为两部黑匣子都被找到，就能形成一个初步的事故原因认定，

则“找到驾驶员座舱录音器”不能形成“初步事故原因认定”；

而形成“初步事故原因认定”则表示已经“找到驾驶员座舱录音器”，

故“找到驾驶员座舱录音器”是“初步事故原因认定”的必要不充分条件，

故选：C．

7．（2022·湖北·麻城市博达学校高一阶段练习）某班共有学生名，在乒乓球、篮球、排球三项运动中每人至少会其中的一项，有些人会其中的两项，没有人三项均会．若该班人不会打乒乓球，人不会打篮球，人不会打排球，则该班会其中两项运动的学生人数是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】设只会打乒乓球、篮球、排球的学生有人，同时会打乒乓球和篮球、排球和篮球、乒乓球和排球的学生分别为，根据题目条件列出等式，解之可得结论．

【详解】设只会打乒乓球、篮球、排球的学生有人，同时会打乒乓球和篮球、排球和篮球、乒乓球和排球的学生分别为，

由题意知：，，，，

第一个式子乘减去后面三个式子得：，

即该班会其中两项运动的学生人数是人．

故选：D.

8．（2022·全国·高一课时练习）设实数满足，函数的最小值为（    ）

A． B． C． D．6

【答案】A

【解析】将函数变形为，再根据基本不等式求解即可得答案.

【详解】解：由题意，所以，

所以

，

当且仅当，即时等号成立，

所以函数的最小值为.

故选：A．

【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方

二．    多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）

9．（2022·辽宁·沈阳市第九中学高一开学考试）设，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】BC

【分析】根据题意先用列举法表示出集合B，然后直接判断即可.

【详解】依题意集合B的元素为集合A的子集，

所以

所以，，

所以AD错误，BC正确.

故选：BC

10．（2022·全国·高一单元测试）对任意实数，，，给出下列命题，其中假命题是（    ）

A．“”是“”的充要条件

B．“”是“”的充分条件

C．“”是“”的必要条件

D．“是无理数”是“是无理数”的充分不必要条件

【答案】ABD

【分析】根据充分、必要性的推出关系，判断各选项中条件间的关系，即可得答案.

【详解】A：由有，当不一定有成立，必要性不成立，假命题；

B：若时，充分性不成立，假命题；

C：不一定，但必有，故“”是“”的必要条件，真命题；

D：是无理数则是无理数，若是无理数也有是无理数，故为充要条件，假命题.

故选：ABD

11．（2022·浙江·宁波市北仑中学高一开学考试）下列说法中正确的是（    ）

A．若a>b，则

B．若-2<a<3，1<b<2，则-3<a-b<1

C．若a>b>0，m>0，则

D．若a>b，c>d，则ac>bd

【答案】AC

【分析】利用不等式的性质对各选项逐一分析并判断作答.

【详解】对于A，因c2+1>0，于是有>0，而a>b，由不等式性质得，A正确；

对于B，因为1<b<2，所以-2<-b<-1，同向不等式相加得-4<a-b<2，B错误；

对于C，因为a>b>0，所以，又因为m>0，所以，C正确；

对于D，且，而，即ac>bd不一定成立，D错误.

故选：AC

12．（2022·广东·珠海市第一中学高三阶段练习）（多选）下列说法正确的有（   ）

A．的最小值为2

B．已知x＞1，则的最小值为

C．若正数x、y满足x+2y＝3xy，则2x+y的最小值为3

D．设x、y为实数，若9x2+y2+xy＝1，则3x+y的最大值为

【答案】BCD

【分析】根据已知条件，结合不等式的性质，以及基本不等式的公式，即可求解.

【详解】解：对于A选项，当x=-1时，，故A选项错误，

对于B选项，当x＞1时，x﹣1＞0，

则，

当且仅当时，等号成立，故B选项正确，

对于C选项，若正数x、y满足x+2y＝3xy，

则，

，

当且仅当x＝y＝1时，等号成立，故C选项正确，

对于D选项，

，所以，可得，

当且仅当y＝3x时，等号成立，故3x+y的最大值为，D选项正确.

故选：BCD.

三．    填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）

13．（2022·湖南·雅礼中学高一阶段练习）已知集合，，，若，则___．

【答案】0

【分析】根据元素与集合间的关系，列方程求解即可.

【详解】集合，，，或，，或，，．

故答案为：0.

14．（2022·全国·高一单元测试）已知，则函数的最小值为_______.

【答案】7

【分析】由，得，构造导数关系，利用基本不等式即可得到.

【详解】法一：，，

，

当且仅当，即时等号成立，

故答案为：7.

法二：，令得或，

当时函数单调递减，

当时函数单调递增，

所以当时函数取得最小值为：，

故答案为：7.

【点晴】此题考基本不等式，属于简单题.

15．（2022·上海·高一单元测试）设非空集合，当中所有元素和为偶数时（集合为单元素时和为元素本身），称是的偶子集，若集合，则其偶子集的个数为___________.

【答案】

【分析】对集合中奇数和偶数的个数进行分类讨论，确定每种情况下集合的个数，综合可得结果.

【详解】集合中只有个奇数时，则集合的可能情况为：、、、、、，共种，

若集合中只有个奇数时，则集合，只有一种情况，

若集合中只含个偶数，共种情况；

若集合中只含个偶数，则集合可能的情况为、、，共种情况；

若集合中只含个偶数，则集合，只有种情况.

因为是的偶子集，分以下几种情况讨论：

若集合中的元素全为偶数，则满足条件的集合的个数为；

若集合中的元素全为奇数，则奇数的个数为偶数，共种；

若集合中的元素是个奇数个偶数，共种；

若集合中的元素为个奇数个偶数，共种；

若集合中的元素为个奇数个偶数，共种；

若集合中的元素为个奇数个偶数，共种；

若集合中的元素为个奇数个偶数，共种；

若集合中的元素为个奇数个偶数，共种.

综上所述，满足条件的集合的个数为.

故答案为：.

16．（2022·全国·高一单元测试）已知命题“存在，使”是假命题，则实数的取值范围是___________.

【答案】

【分析】转化为命题“，使得”是真命题，根据二次函数知识列式可解得结果.

【详解】因为命题“存在，使”是假命题，

所以命题“，使得”是真命题，

当时，得，故命题“，使得”是假命题，不合题意；

当时，得，解得.

故答案为：

【点睛】关键点点睛：转化为命题“，使得”是真命题求解是解题关键.

四．        解答题（共6小题，满分70分）

17．（2022·浙江省定海第一中学高一开学考试）已知集合或，，且，求m的取值范围．

【答案】或

【分析】因为，所以，分别讨论和两种情况然后求并集.

【详解】解：因为，所以，

当时，，解得：；

当时，或解得：或

所以或.

18．（2021·全国·高一专题练习）（1）用篱笆围一个面积为的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？

（2）用一段长为的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？

【答案】（1）当这个矩形菜园是边长为的正方形时，最短篱笆的长度为；（2）当这个矩形菜园是边长为的正方形时，最大面积是.

【解析】设矩形菜园的相邻两条边的长分别为、，篱笆的长度为.

（1）由题意得出，利用基本不等式可求出矩形周长的最小值，由等号成立的条件可得出矩形的边长，从而可得出结论；

（2）由题意得出，利用基本不等式可求出矩形面积的最大值，由等号成立的条件可得出矩形的边长，从而可得出结论.

【详解】设矩形菜园的相邻两条边的长分别为、，篱笆的长度为.

（1）由已知得，由，可得，所以，

当且仅当时，上式等号成立.

因此，当这个矩形菜园是边长为的正方形时，所用篱笆最短，最短篱笆的长度为；

（2）由已知得，则，矩形菜园的面积为.

由，可得，

当且仅当时，上式等号成立.

因此，当这个矩形菜园是边长为的正方形时，菜园的面积最大，最大面积是.

【点睛】本题考查基本不等式的应用，在运用基本不等式求最值时，充分利用“积定和最小，和定积最大”的思想求解，同时也要注意等号成立的条件，考查计算能力，属于基础题.

19．（2022·河北·武安市第一中学高一期末）已知集合，且．

（1）若，求m，a的值．

（2）若，求实数a组成的集合．

【答案】（1），；）（2）

【分析】（1）依题意可得，，即可求出，从而求出集合，则，即可求出；

（2）首先求出集合，依题意可得，对集合分类讨论，即可求出参数的取值；

【详解】解：（1）因为，且．，所以，，所以解得，所以，所以，所以，解得

（2）若，所以，因为，所以

当，则；

当，则；

当，则；

综上可得

20．（2022·辽宁·沈阳市第九中学高一开学考试）已知集合.

(1)若，求，的值；

(2)若，且，求，的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据题意可得，解方程组即可得出答案；

（2）易得，再根据，列出方程组，解之即可得解.

（1）解：若，

则有，解得；

（2）

解：，

因为，

所以，解得.

21．（2022·全国·高一单元测试）（1）已知，求的最小值．

（2）求关于x的不等式的解集：．

【答案】（1）8 ；（2）时，解集为；时，解集为；时，解集为；时，解集为；时，解集为.

【分析】（1）整理可得，结合基本不等式分析计算；（2）不等式分类讨论问题，结合本题，首先讨论最高项系数的符号；其次讨论两根的大小．

【详解】解：（1）因为，所以，

所以，

当且仅当，即时等号成立，

所以的最小值为8．

（2），

当时，不等式为，解集为，

时，不等式分解因式可得，

当时，故，此时解集为．

当时，，故此时解集为，

当时，可化为，又，

解集为．

当时，可化为，

又，解集为．

22．（2022·宁夏·青铜峡市宁朔中学高二开学考试）（1）已知一元二次不等式的解集为，求不等式的解集；

（2）若不等式在实数集R上恒成立，求m的范围.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）先将不等式问题转化为方程问题求出的值，然后就可以解不等式了；

（2）一元二次不等式恒成立，即考虑其判别式.

【详解】（1）因为的解集为，

所以与是方程的两个实数根，

由根与系数的关系得解得

不等式，

即，整理得，解得.

即不等式的解集为.

（2）由题意可得，，即，整理得，

解得.