专题1.10 预备知识（能力提升卷）-2023-2024学年高一数学常考考点训练（北师大版2019必修第一册）

专题1.10 预备知识（能力提升卷）

考试时间：120分钟；满分：150分

姓名：___________班级：___________考号：___________

考卷信息：

本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！

一．    选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）

1．（2021·全国·高考真题）设集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据交集、补集的定义可求.

【详解】由题设可得，故，

故选：B.

2．（2021·河北·石家庄市第四十四中学高一阶段练习）设为实数，且，则下列不等式正确的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】题目考察不等式的性质，A选项不等式两边同乘负数要变号；B,C选项可以通过举反例排除；D选项根据已知条件变形可得

【详解】已知,对各选项逐一判断：

选项A：因为,由不等式的性质，两边同乘负数，不等式变号，可得,所以选项A错误.

选项B：取,,,,则,,此时,所以选项B错误.

选项C：取,,,,则,,此时,所以选项C错误.

选项D：因为,所以,所以,即,所以选项D正确.

故选：D.

3．（2022·湖南·株洲市南方中学高一阶段练习）2022年3月21日，东方航空公司MU5735航班在广西梧州市上空失联并坠毁．专家指出：飞机坠毁原因需要找到飞机自带的两部飞行记录器（黑匣子），如果两部黑匣子都被找到，那么就能形成一个初步的事故原因认定.3月23日16时30分左右，广西武警官兵找到一个黑匣子，虽其外表遭破坏，但内部存储设备完整，研究判定为驾驶员座舱录音器．则“找到驾驶员座舱录音器”是“初步事故原因认定”的（    ）

A．充要条件 B．充分不必要条件

C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】因为两部黑匣子都被找到，就能形成一个初步的事故原因认定，根据充分与必要条件的定义即可判断出结果．

【详解】因为两部黑匣子都被找到，就能形成一个初步的事故原因认定，

则“找到驾驶员座舱录音器”不能形成“初步事故原因认定”；

而形成“初步事故原因认定”则表示已经“找到驾驶员座舱录音器”，

故“找到驾驶员座舱录音器”是“初步事故原因认定”的必要不充分条件，

故选：C．

4．（2022·江西·赣州市厚德外国语学校高一阶段练习）若不等式成立的充分条件为，则实数a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由已知中不等式成立的充分条件是，令不等式的解集为A，可得，可以构造关于a的不等式组，解不等式组即可得到答案.

【详解】解：不等式成立的充分条件是，

设不等式的解集为A，则，

当时，，不满足要求；

当时，，

若，则，解得.

故选：A.

5．（2022·全国·高一课时练习）在下列命题中，是真命题的是（    ）

A．

B．

C．

D．已知，则对于任意的，都有

【答案】B

【分析】可通过分别判断选项正确和错误，来进行选择/

【详解】选项A，，即有实数解，所以，显然此方程无实数解，故排除；

选项B，，，故该选项正确；

选项C，，而当，不成立，故该选项错误，排除；

选项D，，当时，当取得6的正整数倍时，，所以，该选项错误，排除.

故选：B.

6．（2022·河南安阳·高一期末（文））已知，且，则的最小值为（    ）

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】C

【解析】依题意可得，则，再利用基本不等式计算可得；

【详解】解：因为且，所以，所以

当且仅当，即，时取等号；

所以的最小值为

故选：C

【点睛】利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方

7．（2022·江苏·金陵中学高一阶段练习）已知且，不等式恒成立，则正实数m的取值范围是（　　）

A．m≥2 B．m≥4 C．m≥6 D．m≥8

【答案】D

【分析】由条件结合基本不等式可求的范围，化简不等式可得，利用二次函数性质求的最大值，由此可求m的取值范围.

【详解】不等式可化为，又，，

所以，

令，则，

因为，，所以，当且仅当时等号成立，

又已知在上恒成立，所以

因为，当且仅当时等号成立，

所以m≥8，当且仅当，或，时等号成立，

所以m的取值范围是m≥8，

故选：D.

8．（2022·全国·高一单元测试）若正数、满足，设，则的最大值是

A．12 B．-12 C．16 D．-16

【答案】A

【分析】根据则，将式子换元成关于的二次函数，利用二次函数的性质求最值，值得注意的取值范围.

【详解】解：，

、，

解得，，，，

当且仅当时取得最大值

故选：

【点睛】本题考查二次函数的性质，重要不等式的应用，属于中档题.

二．    多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）

9．（2022·安徽省桐城中学高一阶段练习）已知全集，集合，，则使成立的实数的取值范围可以是（　　）

A． B．

C． D．

【答案】ABC

【分析】讨论和时，计算，根据列不等式，解不等式求得的取值范围，再结合选项即可得正确选项.

【详解】当时，，即，此时，符合题意，

当时，，即，

由可得或，

因为，所以或，可得或，

因为，所以，

所以实数的取值范围为或，

所以选项ABC正确，选项D不正确；

故选：ABC.

10．（2022·吉林·辽源市田家炳高级中学校高一阶段练习）设M、N是两个非空集合，定义M⊗N＝{（a，b）|a∈M，b∈N}．若P＝{0，1，2}，Q＝{﹣1，1，2}，则P⊗Q中元素的个数不可能是（    ）

A．9 B．8 C．7 D．6

【答案】BCD

【分析】根据定义，直接写出P⊗Q中元素的个数．

【详解】解：因为P＝{0，1，2}，Q＝{﹣1，1，2}，

所以a有3种选法，b有3种取法，

可得P⊗Q中元素为.

所以P⊗Q中元素的个数是9（个）．

故选：BCD．

11．（2022·全国·高一课时练习）已知集合，，且、，，则下列判断正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABC

【分析】本题首先可根据题意得出表示奇数集，表示偶数集，、是奇数，是偶数，然后依次对、、、进行判断，即可得出结果.

【详解】因为集合，，

所以集合表示奇数集，集合表示偶数集，、是奇数，是偶数，

A项：因为两个奇数的积为奇数，所以，A正确；

B项：因为一个奇数与一个偶数的积为偶数，所以，B正确；

C项：因为两个奇数的和为偶数，所以，C正确；

D项：因为两个奇数与一个偶数的和为偶数，所以，D错误，

故选：ABC.

12．（2021·湖北·襄阳五中高一期中）已知，均为正实数，且，则（    ）

A．的最大值为 B．的最小值为

C．的最小值为 D．的最小值为

【答案】ACD

【分析】对A，利用基本不等式即可解得；

对B，将2换成，进而利用基本不等式得到答案；

对C，将原式化简为，进而根据代换，然后得到答案；

对D，将原式变化为，进而化简，然后设，而后用进行代换，最后用基本不等式得到答案.

【详解】因为，均为正实数，且，

对A, ，当且仅当时取“=”，正确；

对B， ，当且仅当时取“=”，错误；

对C，

，当且仅当时取“=”，正确；

对D，

，设，

则上式，

当且仅当时取“=”，正确；

故选：ACD.

三．    填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）

13．（2021·辽宁·大连市第十五中学高一阶段练习）已知集合，集合，则集合的子集个数为________．

【答案】4

【分析】先求得，由此求得集合的子集个数.

【详解】，，

，共有个元素，故集合的子集个数为个.

故答案为：4

14．（2022·上海·高一单元测试）设非空集合，当中所有元素和为偶数时（集合为单元素时和为元素本身），称是的偶子集，若集合，则其偶子集的个数为___________.

【答案】

【分析】对集合中奇数和偶数的个数进行分类讨论，确定每种情况下集合的个数，综合可得结果.

【详解】集合中只有个奇数时，则集合的可能情况为：、、、、、，共种，

若集合中只有个奇数时，则集合，只有一种情况，

若集合中只含个偶数，共种情况；

若集合中只含个偶数，则集合可能的情况为、、，共种情况；

若集合中只含个偶数，则集合，只有种情况.

因为是的偶子集，分以下几种情况讨论：

若集合中的元素全为偶数，则满足条件的集合的个数为；

若集合中的元素全为奇数，则奇数的个数为偶数，共种；

若集合中的元素是个奇数个偶数，共种；

若集合中的元素为个奇数个偶数，共种；

若集合中的元素为个奇数个偶数，共种；

若集合中的元素为个奇数个偶数，共种；

若集合中的元素为个奇数个偶数，共种；

若集合中的元素为个奇数个偶数，共种.

综上所述，满足条件的集合的个数为.

故答案为：.

15．（2021·全国·高一专题练习）已知当时，不等式恒成立，则的取值范围为___________.

【答案】

【分析】将问题转化成关于的函数，则对任意恒成立，只要区间端点的函数值均小于0即可；

【详解】由题意，因为当时，不等式恒成立，

可转化为关于的函数，

则对任意恒成立，则满足

解得.

故答案为：.

16．（2021·河南·邓州市第一高级中学校高一阶段练习）高二某班共有人，每名学生要从物理、化学、生物、历史、地理、政治这六门课程中选择门进行学习.已知选择物理、化学、生物的学生各有至少人，这三门学科均不选的有人.这三门课程均选的有人，三门中任选两门课程的均至少有人.三门中只选物理与只选化学均至少有人，那么该班选择物理与化学但未选生物的学生至多有________人.

【答案】8

【解析】把学生60人看出一个集合，选择物理科的人数组成为集合，选择化学科的人数组成集合，选择生物科的人数组成集合，根据题意，作出韦恩图，结合韦恩图，即可求解.

【详解】把学生60人看出一个集合，选择物理科的人数组成为集合，

选择化学科的人数组成集合，选择生物科的人数组成集合，记选择物理与化学但未选生物的学生组成集合

要使选择物理和化学这两门课程的学生人数最多，

除这三门课程都不选的有15人，这三门课程都选的有10人，

则其它个选择人数均为最少，即得到单选物理的最少6人，

单选化学的最少6人，单选化学、生物的最少6人，

单选物理、生物的最少6人，单选生物的最少3人，

以上人数最少52人，可作出如下图所示的韦恩图，

故区域至多8人，所以单选物理、化学的人数至多8人，

故答案为：8

【点睛】本题主要考查了集合的应用，其中解答中根据题意，画出集合运算的韦恩图是解答本题的关键，着重考查数形结合思想，以及分析问题和解答问题的能力.

四．        解答题（共6小题，满分70分）

17．（2022·全国·高一课时练习）判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断其真假．

(1)有理数都是实数；

(2)至少有一个整数，它既能被11整除，又能被9整除；

(3)∀x∈{x|x＞0}，x2．

【答案】(1)全称量词命题，且是真命题

(2)是存在量词命题，是真命题

(3)是全称量词命题，假命题

【分析】（1）（2）（3）根据特称命题和全称命题的定义判断即可．

（1）命题中隐含了全称量词“所有的”，所以此命题是全称量词命题，且是真命题．

（2）命题中含有存在量词“至少有一个”，所以此命题是存在量词命题，

举例99既能被11整除，又能被9整除，所以是真命题．

（3）命题中含有全称量词“∀”，所以此命题是全称量词命题，

因为当x＝1时，x2，所以命题是假命题．

18．（2022·全国·高一课时练习）设全集，集合，集合.

(1)若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围；

(2)若命题“，则”是真命题，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）将充分条件转化为子集关系，利用子集的定义即可列出不等式求解.

（2）将真命题转化成是的子集，然后分情况讨论集合为空集和非空集合，即可求解.

（1） 是的充分条件， ，

又，

，，，

实数的取值范围为.

（2）命题“，则”是真命题，①当时，，，；

②当时，，且是的子集.

，

，;

综上所述：实数的取值范围.

19．（2022·江苏·常州市西夏墅中学高一阶段练习）（1）已知，求的最小值；

（2）已知x，y是正实数，且，求的最小值．

【答案】（1）7；（2）.

【分析】（1）由题设知，利用基本不等式求最小值，注意等号成立的条件；

（2）利用基本不等式“1”的代换即可求最小值，注意等号成立条件.

【详解】（1）∵，即，

，

当且仅当，即时取等号，

∴的最小值为7．

，，．

当且仅当，即，时取等号．

∴的最小值为.

20．（2022·全国·高一）设全集U＝R，集合A＝{x|m﹣2＜x＜m+2，m∈R}，集合B＝{x|﹣4＜x＜4}．

（1）当m＝3时，求A∩B，A∪B；

（2）若命题p：x∈A，命题q：x∈B，若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．

【答案】（1）A∩B＝{x|1＜x＜4}，A∪B＝{x|﹣4＜x＜5}；（2）﹣2≤m≤2．

【分析】（1）m＝3时，得到集合A＝{1＜x＜5}，然后进行交集、并集的运算即可；

（2）根据p是q的充分不必要条件，得到A是B的真子集，得到不等式组，解出即可．

【详解】（1）当m＝3时，A＝{x|1＜x＜5}；

∴A∩B＝{x|1＜x＜4}，A∪B＝{x|﹣4＜x＜5}；

（2）若p是q的充分不必要条件，则A是B的真子集；

∴，解得：﹣2≤m≤2，

当时，，当时，，A是B的真子集都成立，

所以实数m的取值范围是：﹣2≤m≤2．

21．（2022·宁夏·青铜峡市宁朔中学高二开学考试）（1）已知一元二次不等式的解集为，求不等式的解集；

（2）若不等式在实数集R上恒成立，求m的范围.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）先将不等式问题转化为方程问题求出的值，然后就可以解不等式了；

（2）一元二次不等式恒成立，即考虑其判别式.

【详解】（1）因为的解集为，

所以与是方程的两个实数根，

由根与系数的关系得解得

不等式，

即，整理得，解得.

即不等式的解集为.

（2）由题意可得，，即，整理得，

解得.

22．（2022·广东·东莞实验中学高一阶段练习）已知集合，集合，集合．

(1)若，求实数a的值；

(2)若，，求实数a的值．

【答案】(1)；(2)

【分析】（1）求出集合，由，得到，由此能求出a的值，再注意检验即可；

（2）求出集合，由，，得，由此能求出a，最后同样要注意检验．

（1）因为集合，

集合，且，

所以，所以，即，

解得或．

当时，，，符合题意；

当时，，，不符合题意．

综上，实数a的值为．

（2）因为，，

，且，，所以，

所以，即，解得或．

当时，，满足题意；

当时，，不满足题意．

综上，实数a的值为．