专题7.5 统计案例（能力提升卷）-2023-2024学年高二数学必考考点各个击破（北师大版选择性必修第一册）

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姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！
选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（2023·全国·高三专题练习）下列命题是真命题的有（ ）
A．经验回归方程y=bx+a至少经过其样本数据点x1,y1,x2,y2,⋅⋅⋅,xn,yn中的一个
B．可以用相关系数r来刻画两个变量x和y线性相关程度的强弱，r的值越小，说明两个变量线性相关程度越弱
C．在回归分析中，决定系数R2=0.80的模型比决定系数R2=0.98的模型拟合的效果要好
D．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好
2．（2023·贵州贵阳·校联考模拟预测）根据如下样本数据得到回归直线方程y=bx+a，其中b=9，则x=7时y的估计值是（ ）
A．73.5B．64.5C．61.5D．57.5
3．（2023春·辽宁·高二辽宁实验中学校考期中）现在，很多人都喜欢骑“共享单车”，但也有很多市民并不认可.为了调查人们对这种交通方式的认可度，某同学从交通拥堵不严重的A城市和交通拥堵严重的B城市分别随机调查了20名市民，得到如下2×2列联表：
附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),n=a+b+c+d.
根据表中的数据，下列说法中正确的是（ ）
A．没有95%以上的把握认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”
B．有99%以上的把握认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”
C．可以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”
D．可以在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”
4．（2023·高二课时练习）某学校调查学生对2022年卡塔尔世界杯的关注是否与性别有关，随机抽样调查了110名学生，进行独立性检验，列联表及临界值表如下：
附：K2=nad−bc2a+bc+da+cb+d，其中n=a+b+c+d.
则下列说法中正确的是（ ）
A．有97.5%的把握认为学生对卡塔尔世界杯的关注与性别无关
B．男生不关注卡塔尔世界杯的比例低于女生关注卡塔尔世界杯的比例
C．在犯错误概率不超过1%的前提下可认为学生对卡塔尔世界杯的关注为性别有关
D．在犯错误概率不超过1%的前提下可认为学生对卡塔尔世界杯的关注与性别无关
5．（2017春·山东德州·高二统考期末）为大力提倡“厉行节约，反对浪费”，某市通过随机询问100名性别不同的居民是否能做到“光盘”行动，得到如下2×2列联表：
附：
K2=nad−bc2a+bc+da+cb+d参照附录，得到的正确结论是（ ）
A．在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”
B．在犯错误的概率不超过2.5%的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”
C．有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”
D．有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”
6．（2023·全国·高三专题练习）某大型企业开发了一款新产品，投放市场后供不应求，为了达到产量最大化，决定增加生产线．经过一段时间的生产，统计得该款新产品的生产线条数x与月产量y（件）之间的统计数据如下表：
由数据可知x，y线性相关，且满足回归直线方程y=bx+1，则当该款新产品的生产线为12条时，预计月产量为（ ）
A．73件B．79件C．85件D．90件
7．（2022春·全国·高二期中）从非洲蔓延到东南亚的蝗虫灾害严重威胁了国际农业生产，影响了人民生活．世界性与区域性温度的异常、旱涝频繁发生给蝗灾发生创造了机会．已知蝗虫的产卵量y与温度x的关系可以用模型y=c1ec2x（其中e为自然底数）拟合，设z=lny，其变换后得到一组数据：
由上表可得线性回归方程z=0.2x+a，则当x=40时，蝗虫的产卵量y的估计值为（ ）
A．e3B．e6C．3D．6
8．（2019·高二单元测试）两个分类变量X和Y，它们的取值分别为x1,x2和y1,y2，其样本频数分别是a=10,b=21,c+d=35，若X与Y有关系的可信程度不小于97.5%，则c等于( )
A．3B．4
C．5D．6
多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
9．（2022春·山东烟台·高二莱阳一中校考阶段练习）下列四个命题中正确的命题是（ ）
A．在回归模型中，预报变量y的值不能由解释变量x唯一确定
B．若变量x，y满足关系y=−0.1x+1，且变量y与z正相关，则x与z也正相关
C．在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高
D．以模型y=cekx去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设z=lny，将其变换后得到线性方程z=0.3x+4，则c=e4，k=0.3
10．（2022·高二课时练习）（多选）对甲、乙两个班级共105名学生的数学考试成绩按照优秀和不优秀统计人数后，得到下表：
已知在这105名学生中随机抽取1人，成绩优秀的概率为27，则（ ）
A．列联表中c的值为20，b的值为45
B．列联表中c的值为15，b的值为50
C．有95%的把握认为成绩是否优秀与班级有关系
D．没有95%的把握认为成绩是否优秀与班级有关系
11．（2023春·高二单元测试）某地为响应“扶贫必扶智，扶智就扶知识、扶技术、扶方法”的号召，建立农业科技图书馆，供农民免费借阅，收集了近5年的借阅数据如下表：
根据上表，可得y关于x的经验回归方程为y=0.24x+a，则（ ）
A．a=4.68
B．借阅量4.9，5.1，5.5，5.7，5.8的上四分位数为5.7
C．y与x的线性相关系数r>0
D．2021年的借阅量一定不少于6.12万册
12．（2023春·高二单元测试）计算机显示的数字图像是由一个个小像素点组合而成的．处理图像时，常会通过批量调整各像素点的亮度，间接调整图像的对比度、饱和度等物理量，让图像更加美观．特别地，当图像像素点规模为1行n+1列时，设第i列像素点的亮度为xi，则该图像对比度计算公式为C{xi}=1ni=1n(xi−xi+1)2．已知某像素点规模为1行n+1列的图像第i列像素点的亮度xi∈[0,9](i=1,2,⋅⋅⋅,n+1)，现对该图像进行调整，有2种调整方案：①yi=axi+b(a>0,b>0,i=1,2,⋅⋅⋅,n+1)；②zi=clg(xi+1)(c>0,i=1,2,⋅⋅⋅,n+1)，则（ ）
A．使用方案①调整，当b=9时，yi>xi(i=1,2,⋅⋅⋅,n+1)
B．使用方案②调整，当c=9时，ziC．使用方案①调整，当C{xi}1
D．使用方案②调整，当xi=9(i−1)n(i=1,2,⋅⋅⋅,n+1)，c≤ln10时，C{xi}填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（2022·全国·高三专题练习）有人发现，多看手机容易使人近视，下表是调查机构对此现象的调查数据：
单位：人
则______（填“有”或“没有”）99.9%的把握认为近视与多看手机有关系．
14．（2022·全国·高二专题练习）2013年1月，北京经历了59年来雾霾天气最多的一个月.据气象局统计，北京市2013年从1月1日至1月30日这30天里有26天出现雾霾天气，《环境空气质量指数（AQI）技术规定（试行）》将空气质量指数分为六级，如表1：
表1
表2是某气象观测点记录的连续4天里AQI与当天的空气水平可见度y（km）的情况.
表2
设x=M100，其中M为AQI，根据表2的数据，那么y关于x的回归方程为______.
15．（2023·全国·模拟预测）某农业科研所在5块面积相同的长方形试验田中均种植了同-一种农作物，每一块试验田的施肥量x（单位：kg）与产量y（单位：kg）之间有如下关系：
已知y与x满足线性回归方程y=13x+a，则当施肥量为80kg时，残差为______.
16．（2023·全国·高三专题练习）针对“中学生追星问题”，某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关”作了一次调查，其中女生人数是男生人数的12，男生追星的人数占男生人数的13，女生追星的人数占女生人数的23，若有95%的把握认为中学生追星与性别有关，则男生至少有__________人.
参考数据及公式如下：
K2=nad−bc2a+bc+da+cb+d，n=a+b+c+d.
解答题（共6小题，满分70分）
17．（2021·全国·高考真题）甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：
（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少?
（2）能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异?
附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
18．（2022·四川成都·高三四川省成都市新都一中统考阶段练习）2022年7月6日~14日，素有“数学界奥运会”之称的第29届国际数学家大会，受疫情影响，在线上进行，世界各地的数学家们相聚云端、共襄盛举.某学校数学爱好者协会随机调查了学校100名学生，得到如下调查结果：男生占调查人数的55%，喜欢数学的有40人，其他的不喜欢数学；在调查的女生中，喜欢数学的有20人，其他的不喜欢数学.
(1)请完成下面2×2列联表；
(2)根据2×2列联表，判断是否有99.5%的把握认为该校学生喜欢数学与学生的性别有关？
参考公式：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d.
临界值表：
19．（2022春·河南南阳·高二南阳中学校考期中）某人新房刚装修完，为了监测房屋内空气质量的情况，每天在固定的时间测一次甲醛浓度（单位：mg/m3），连续测量了10天，所得数据绘制成散点图如下：
用yi表示第i（i=1，2，…，10）天测得的甲醛浓度，令zi=lnyi，经计算得i=110zi=12.8，i=110i2=385，i=110izi=60．
(1)由散点图可知，y与i可用指数型回归模型进行拟合，请利用所给条件求出回归方程；（系数精确到0.01）
(2)已知房屋内空气中的甲醛浓度的安全范围是低于0.08 mg/m3，则根据（1）中所得回归模型，该新房装修完第几天开始达到此标准？（参考数据：ln0.08≈−2.53）
20．（2022春·江苏镇江·高二江苏省镇江中学校考期末）机动车行经人行横道时，应当减速慢行；遇行人正在通过人行横道，应当停车让行，俗称“礼让行人”.下表是某市一主干道路口监控设备所抓拍的5个月内驾驶员不“礼让行人”行为统计数据：
（1）由表中看出，可用线性回归模型拟合违章人次y与月份x之间的关系，求y关于x的回归方程y=bx+a，并预测该路口7月份不“礼让行人”违规驾驶人次；
（2）交警从这5个月内通过该路口的驾驶员中随机抽查90人，调查驾驶员“礼让行人”行为与驾龄的关系，得到下表：
能否据此判断有90%的把握认为“礼让行人行为与驾龄有关？并用一句话谈谈你对结论判断的体会.
附：b=i=1nxi−xyi−yi=1nxi−x2=i=1nxiyi−nx yi=1nxi2−nx2，a=y−bx.
K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d.
21．（2022春·吉林长春·高二长春市第二中学校联考期末）北方的冬天室外温度极低，如果轻薄、保暖的石墨烯发热膜能用在衣服上，那么可爱的医务工作者们在冬季行动会更方便．石墨烯发热膜的制作：从石墨中分离出石墨烯；制成石墨烯发热膜．从石墨中分离石墨烯的一种方法是化学气相沉积法，使石墨升华后附着在材料上再结晶．现在有A材料、B材料可供选择，研究人员对附着在A材料、B材料上的石墨各做了50次再结晶试验，得到如下等高堆积条形图．
(1)根据等高堆积条形图，填写如下列联表，并依据α=0.01的独立性检验，分析试验结果与材料是否有关；
单位：次
(2)研究人员得到石墨烯后．再制作石墨烯发热膜有三个环节：①透明基底及UV胶层；②石墨烯层；③表面封装层．第一、二环节生产合格的概率均为12，第三环节生产合格的概率为23，且各生产环节相互独立．已知生产1吨石墨烯发热膜的固定成本为1万元，若生产不合格还需进行修复，第三环节的修复费用为3000元，其余环节修复费用均为1000元．试问如何定价，才能实现每生产1吨石墨烯发热膜获利不低于1万元的目标？
附：χ2=nad−bc2a+bc+da+cb+d，其中n=a+b+c+d．
22．（2023·全国·高三专题练习）规定抽球试验规则如下：盒子中初始装有白球和红球各一个，每次有放回的任取一个，连续取两次，将以上过程记为一轮．如果每一轮取到的两个球都是白球，则记该轮为成功，否则记为失败．在抽取过程中，如果某一轮成功，则停止；否则，在盒子中再放入一个红球，然后接着进行下一轮抽球，如此不断继续下去，直至成功．
(1)某人进行该抽球试验时，最多进行三轮，即使第三轮不成功，也停止抽球，记其进行抽球试验的轮次数为随机变量X，求X的分布列和数学期望；
(2)为验证抽球试验成功的概率不超过12，有1000名数学爱好者独立的进行该抽球试验，记t表示成功时抽球试验的轮次数，y表示对应的人数，部分统计数据如下：
求y关于t的回归方程y=bt+a，并预测成功的总人数（精确到1）；
(3)证明：122+1−122132+1−1221−132142+⋯+1−1221−132·⋯·1−1n21n+12<12．
附：经验回归方程系数：b=i=1nxiyi−nx⋅yi=1nxi2−nx2，a=y−bx；
参考数据：i=15xi2=1.46，x=0.46，x2=0.212（其中xi=1ti，x=15i=15xi）．x
2
3
4
5
y
25
38
50
55
A
B
总计
认可
13
5
18
不认可
7
15
22
总计
20
20
40
P（K2≥k）
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.001
k
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
男生
女生
合计
关注
50
不关注
20
合计
30
110
PK2≥k0
0.15
0.1
0.05
0.025
0.01
k0
2.072
2.076
3.841
5.024
6.635
做不到“光盘”
能做到“光盘”
男
45
10
女
30
15
PK2≥k
0.10
0.05
0.025
k
2.706
3.841
5.024
x
4
6
8
10
y
30
40
60
70
x
20
23
25
27
30
z
2
2.4
3
3
4.6
成绩情况班级
优秀
不优秀
总计
甲班
10
b
10+b
乙班
c
30
30+c
总计
10+c
30+b
40+b+c
年份
2016
2017
2018
2019
2020
年份代码x
1
2
3
4
5
年借阅量y（万册）
4.9
5.1
5.5
5.7
5.8
手机
视力
合计
近视
不近视
少看
20
38
58
多看
68
42
110
合计
88
80
168
AQI
组别
状况
0~50
Ⅰ
优
51~100
Ⅱ
良
101~150
Ⅲ
轻度污染
151~200
Ⅳ
中度污染
201~300
Ⅴ
重点污染
>300
Ⅵ
严重污染
AQI
900
700
300
100
空气水平可见度ykm
0.5
3.5
6.5
9.5
施肥量x/kg
20
40
50
60
80
产量y/kg
600
800
1200
1000
1400
PK2≥k0
0.050
0.010
0.001
k0
3.841
6.635
10.828
一级品
二级品
合计
甲机床
150
50
200
乙机床
120
80
200
合计
270
130
400
PK2≥k
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
喜欢数学
不喜欢数学
合计
男生
女生
合计
PK2≥k0
0.10
0.05
0.01
0.005
0.001
k0
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
月份
1
2
3
4
5
违章驾驶人次
125
105
100
90
80
不礼让行人
礼让行人
驾龄不超过2年
24
16
驾龄2年以上
26
24
PK2>k0
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
A材料
B材料
合计
试验成功
试验失败
合计
α
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
t
1
2
3
4
5
y
232
98
60
40
20