专题2.2 函数的基本性质-2023-2024学年高一数学常考考点训练（北师大版2019必修第一册）

专题2.2 函数的基本性质

【考点1：函数的单调性及单调区间】

【考点2：已知函数的单调性求参或求自变量】

【考点3：利用函数的单调性求最值】

【考点4：判断或证明函数的奇偶性】

【考点5：函数奇偶性的应用】

【考点6：函数单调性与奇偶性的综合应用】

【考点1：函数的单调性及单调区间】

【知识点：函数的单调性及单调区间】

1、函数单调性的定义

2．复合函数单调性的规律

若两个简单函数的单调性相同，则它们的复合函数为增函数；若两个简单函数的单调性相反，则它们的复合函数为减函数．即“同增异减”．

3．函数单调性的性质

(1)若f(x)，g(x)均为区间A上的增(减)函数，则f(x)＋g(x)也是区间A上的增(减)函数．更进一步，有增＋增→增，增－减→增，减＋减→减，减－增→减．

(2)若k>0，则kf(x)与f(x)单调性相同；若k<0，则kf(x)与f(x)单调性相反．

(3)在公共定义域内，函数y＝f(x)(f(x)≠0)与y＝－f(x)，y＝单调性相反；函数y＝f(x)(f(x)≥0)与y＝单调性相同．

1．（2021秋•东海县期中）函数f（x）的单调减区间是（　　）

A．（0，+∞） B．（﹣∞，0） 

C．（﹣∞，0）∪（0，+∞） D．（﹣∞，0）和（0，+∞）

2．（2021秋•邗江区期中）下列函数中，在（﹣∞，0）上为减函数的是（　　）

A． B．y＝2x+1 C．y＝x2 D．y＝x0

（多选）3．（2021秋•滦南县校级月考）下列函数中满足“对任意x1，x2∈（0，+∞），都有0”的是（　　）

A．f（x） B．f（x）＝﹣3x+1 

C．f（x）＝x2+4x+3 D．f（x）＝x﹣1

4．（2021秋•滦南县校级月考）函数的单调递增区间是 　　．

5．（2021秋•朝阳区校级月考）已知函数f（x）＝x|x|﹣2x的单调增区间为　　．

6．（2021秋•鼓楼区校级月考）已知函数．

（1）讨论函数f（x）在（﹣2，+∞）上的单调性，并用定义证明；

（2）当m∈（﹣2，2）时，有f（﹣2m+3）＜f（m2），求m的范围．

【考点2：已知函数的单调性求参或求自变量】

【知识点：已知函数的单调性求参或求自变量】

1．（2021•河北区学业考试）已知函数f（x）＝x2﹣kx﹣8在区间[5，20]上具有单调性，则实数k的取值范围是（　　）

A．（﹣∞，10]∪[40，+∞） B．（﹣∞，﹣40]∪[﹣10，+∞） 

C．[10，+∞） D．[40，+∞）

2．（2021秋•河西区期末）若函数f（x）在区间（﹣2，+∞）上单调递增，则实数k的取值范围是（　　）

A．（﹣∞，﹣1） B．{﹣2} C．（﹣∞，﹣2] D．（﹣∞，﹣2）

3．（2021秋•辽宁期中）已知函数是R上的增函数，则实数a的取值范围是（　　）

A．（0，） B．（0，] C．（0，1） D．（0，1]

4．（2021秋•凉山州期末）已知f（x）＝ax2+1是定义在R上的函数，若对于任意1≤x1＜x2≤3，都有，则实数a的取值范围是（　　）

A．{0} B．[0，+∞） C． D．

5．（2021秋•滦南县校级月考）若函数f（x）＝x2+（2a﹣1）x+1在区间（﹣∞，2]单调递减，则实数a的取值范围为 　　．

6．（2021秋•武汉期末）若函数f（x）＝ax2+2x﹣1在区间（﹣∞，6）上单调递增，则实数a的取值范围是 　　．

【考点3：利用函数的单调性求最值】

【知识点：利用函数的单调性求最值】

1．函数的最值

2.函数最值存在的两条结论

(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取到．

(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大值或最小值．

1．（2022春•爱民区校级期末）若函数在区间[0，1]上的最大值为，则实数m＝（　　）

A．3 B． C．2 D．或3

2．（2022春•阎良区期末）设函数在区间[3，4]上的最大值和最小值分别为M，m，则M+m＝（　　）

A．4 B．6 C．10 D．24

3．（2021秋•南充期末）函数在[4，5]上的最大值为1，则k的值为 　　．

4．（2021秋•山西期末）函数f（x），x∈[2，6]的最大值为　　．

5．（2022春•渭滨区校级期中）已知函数．

（1）求f（x）的单调区间；

（2）求f（x）在[﹣2，2]上的最大值与最小值．

【考点4：判断或证明函数的奇偶性】

【知识点：判断或证明函数的奇偶性】

1．函数的奇偶性

2.判断函数奇偶性的方法：

(1)定义法：

(2)图象法：函数是奇(偶)函数⇔函数图象关于原点(y轴)对称.

3.函数奇偶性的常用结论

(1)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．

(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．

(3)在公共定义域内有：奇±奇→奇，偶±偶→偶，奇×奇→偶，偶×偶→偶，奇×偶→奇．

1．（2020秋•蓬江区期末）函数f（x）＝x（x≠0）是（　　）

A．奇函数，且在（2，+∞）上单调递增 

B．奇函数，且在（2，+∞）上单调递减 

C．偶函数，且在（2，+∞）上单调递增 

D．偶函数，且在（2，+∞）上单调递减

2．（2021秋•铜鼓县校级月考）下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递增的函数是（　　）

A．y＝x B．y＝|x| C．y＝﹣x2+1 D．

3．（2021秋•海安市校级月考）设函数f（x），则下列函数中为奇函数的是（　　）

A．f（x﹣2）﹣1 B．f（x﹣2）+1 C．f（x+2）﹣1 D．f（x+2）+1

4．（2022春•杨陵区校级期末）若函数f（x）＝ax2+bx+8（a≠0）是偶函数，则g（x）＝2ax3+bx2+9x是（　　）

A．奇函数 B．偶函数 

C．非奇非偶函数 D．既奇又偶函数

5．（2022春•云浮期末）已知f（x）为R上的奇函数，g（x）为R上的偶函数，且g（x）≠0，则下列说法正确的是（　　）

A．f（x）+g（x）为R上的奇函数 

B．f（x）﹣g（x）为R上的奇函数 

C．为R上的偶函数 

D．|f（x）g（x）|为R上的偶函数

【考点5：函数奇偶性的应用】

【知识点：函数奇偶性的应用】

利用奇偶性解题的类型及方法：

(1)求解析式：利用奇偶性将待求值转化到方程问题上，进而得解．

(2)求参数值：在定义域关于原点对称的前提下，根据奇函数满足f(－x)＝－f(x)或偶函数满足f(－x)＝f(x)列等式，根据等式两侧对应相等确定参数的值．特别要注意的是：若能够确定奇函数的定义域中包含0，可以根据f(0)＝0列式求解，若不能确定则不可用此法．　

1．（2021秋•滨海新区校级月考）定义在R上的奇函数，当时x＜0，f（x）＝2x2﹣x，则f（2）＝（　　）

A．6 B．10 C．﹣6 D．﹣10

2．（2021秋•高州市校级月考）已知函数f（x）＝ax3+bx2+cx+d是R上的奇函数，g（x）＝f（x）+1，已知g（2）＝5，则g（﹣2）＝（　　）

A．﹣5 B．5 C．﹣3 D．3

3．（2021•东湖区校级一模）已知f（x）＝ax2+bx是定义在[a﹣1，2a]上的偶函数，那么a+b的值是（　　）

A． B． C． D．

4．（2017秋•周村区期末）已知函数y＝f（x）在R上为奇函数，且当x≥0时，f（x）＝x2﹣2x，则当x＜0时，f（x）的解析式是（　　）

A．f（x）＝﹣x（x+2） B．f（x）＝x（x﹣2） 

C．f（x）＝﹣x（x﹣2） D．f（x）＝x（x+2）

5．（2018秋•南木林县校级期中）若函数f（x）（f（x）≠0）为奇函数，则必有（　　）

A．f（x）•f（﹣x）＞0 B．f（x）•f（﹣x）＜0 

C．f（x）＜f（﹣x） D．f（x）＞f（﹣x）

6．（2016秋•蕲春县期中）已知f（x）＝ax2（a，b∈R），且f（5）＝5，则f（﹣5）＝　　．

7．（2015秋•萧山区校级期中）函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x＜0时，f（x）＝x（x﹣1），则当x＞0时，f（x）＝　　．

8．（2018秋•太湖县校级期中）定义在R上的偶函数f（x）满足：对任意的x1，x2∈[0，+∞）（x1≠x2），有．则f（3），f（﹣2），f（1）的大小顺序是　　．

【考点6：函数单调性与奇偶性的综合应用】

【知识点：函数单调性与奇偶性的综合应用】

函数奇偶性与单调性综合的两种题型及解法：

1．（2021秋•美兰区校级月考）定义在[﹣1，1]上的函数y＝f（x）是减函数，且是奇函数，若f（a2﹣a﹣1）+f（4a﹣5）＞0，求实数a的取值范围．

2．（2021秋•顺义区校级月考）设y＝f（x）是偶函数，且x≥0时，f（x）＝x（x﹣2），求

（1）x＜0时，f（x）的解析式；

（2）画出f（x）的图象，并由图直接写出它的单调区间．

3．（2014秋•贞丰县期末）函数是定义在（﹣∞，+∞）上的奇函数，且．

（1）求实数a，b，并确定函数f（x）的解析式；

（2）用定义证明f（x）在（﹣1，1）上是增函数．

4．（2011•广东模拟）已知函数f（x）是定义在R上的单调奇函数，且f（1）＝﹣2．

（Ⅰ）求证函数f（x）为R上的单调减函数；

（Ⅱ）解不等式f（x）+f（2x﹣x2﹣2）＜0．