广西专版2023_2024学年新教材高中数学第6章计数原理6.2第4课时组合的应用课件新人教版选择性必修第三册

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6.2　排列与组合第4课时　组合的应用课前·基础认知课堂·重难突破素养·目标定位随堂训练　素养•目标定位目 标 素 养1.进一步理解组合的定义,熟练掌握组合数公式的应用.2.能解决含有限制条件的组合问题,掌握常见的类型及解决策略.3.通过本节学习,进一步提升数学建模、数学运算的核心素养.知 识 概 览课前·基础认知微思考1应用组合知识解决实际问题的步骤是什么?提示:(1)判断:判断实际问题是不是组合问题.(2)方法:选择利用直接法还是间接法解题.(3)计算:利用组合数公式结合两个计数原理计算.(4)结论:根据计算结果写出方案个数.微训练(1)若把4张同样的参观券分给5个人,每人最多分一张,且全部分完,则分法一共有(　　)答案:D解析:由于4张同样的参观券分给5个人,每人最多分一张,从5个人中选4人满足分配要求,故有 种.(2)某施工小组有男工人7名,女工人3名,现要选1名女工人和2名男工人去支援另一施工小组,不同的选法有(　　)答案:D 2.组合与排列的异同点共同点:排列与组合都是从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素.不同点:排列与元素的顺序有关,组合与元素的顺序无关.微思考2解决先选后排问题时,应遵循哪些原则?提示:(1)先特殊后一般;(2)先组合后排列;(3)先分类后分步.课堂·重难突破一 有限制条件的组合问题典例剖析1.课外活动小组共13人,其中男生8人,女生5人,并且男、女生各有一名队长,现从中选5人主持某项活动,符合下列条件的选法各有多少种?(1)至少有一名队长入选;(2)至多有两名女生入选;(3)既要有队长,又要有女生入选;(4)至多有1名队长入选.互动探究(变问法)(1)队长都不入选;(2)队长恰有一人入选.规律总结 有限制条件的组合问题的解法(1)“含”与“不含”问题:常用直接分步法,即“含”的先取出,“不含”的可把所指元素去掉再取,分步计数.(2)“至多”与“至少”问题:常有两种解决思路:①直接分类法,但要注意分类不重不漏;②间接法,注意找准对立面,确保不重不漏.学以致用1.某社团共有35名学生,其中男生20名,女生15名,从中选出3名学生参加活动.(1)其中某一女生必须在内,不同的选法有多少种?(2)其中某一女生不能在内,不同的选法有多少种?(3)恰有2名女生在内,不同的选法有多少种?(4)至少有2名女生在内,不同的选法有多少种?(5)至多有2名女生在内,不同的选法有多少种?二 分组(分配)问题典例剖析2.(1)6本不同的书,按下列要求各有多少种不同的分配方法:①分给甲、乙、丙三人,每人2本;②分为三份,每份2本;③分为三份,一份1本,一份2本,一份3本;④分给甲、乙、丙三人,一人1本,一人2本,一人3本;⑤分给甲、乙、丙三人,每人至少1本.(2)6个相同的小球放入4个编号为1,2,3,4的盒子,求满足下列要求的放法各有多少种?①每个盒子都不空;②恰有一个空盒子;③恰有两个空盒子.(2)解:①首先把6个相同的小球排成一行,在首尾两球外侧放置一块隔板,然后在小球之间5个空隙中任选3个空隙各插一块隔板,有 =10种.即有10种不同的放法.②恰有一个空盒子,分两步进行.③恰有两个空盒子,分两步进行. 规律总结 1.分组、分配问题的求解策略(1)分组问题属于“组合”问题:①完全均匀分组,每组的元素个数均相等;②部分均匀分组,应注意不要重复,若有n组均匀,则必须除以n!;③完全非均匀分组,这种分组不考虑重复情况.(2)分配问题属于“排列”问题.分配问题可以按要求逐个分配,也可以先分组,再分配.2.相同元素分配问题的建模思想(1)隔板法:如果将放有小球的盒子紧挨着成一行放置,便可看作向排成一行的小球的空隙中插入了若干隔板,相邻两块隔板形成一个“盒”.每一种插入隔板的方法对应着小球放入盒子的一种方法,此法称之为隔板法.隔板法专门解决相同元素的分配问题.(2)将n个相同的元素分给m个不同的对象(n≥m,且每个对象都有),有 种方法.可描述为(n-1)个空中插入(m-1)块板.学以致用2.(1)某大学为提高数学系学生的数学素养,特开设了“古今数学思想”“世界数学通史”“几何原本”“数学原理”四门选修课程,要求数学系每名同学每学年至多选3门,大一到大三三学年必须将4门选修课程选完,则每名同学的不同选修方式有(　　)A.60种 B.78种 C.84种 D.144种答案:B(2)假如某大学给某市三所重点中学7个推荐名额,则每所中学至少分到一个名额的方法数为(　　)A.30 B.21 C.10 D.15答案:D解析:(1)根据题意,分两步进行分析:第1步,将4门选修课程分为3组,根据分步乘法计数原理,共有13×6=78种选修方式.故选B.三 组合在几何中的应用典例剖析3.平面内有12个点,其中有4个点共线,此外再无任何3点共线.以这些点为顶点,可构成多少个不同的三角形?规律总结 解答几何组合问题的策略(1)几何组合问题,主要考查组合的知识和空间想象能力,题目多以立体几何中的点、线、面的位置关系为背景.这类问题情境新颖,多个知识点交汇在一起,综合性强.(2)解答几何组合问题的思考方法与一般的组合问题基本一样,只要把图形的限制条件视为组合问题的限制条件即可.(3)计算时可用直接法,也可用间接法,要注意在限制条件较多的情况下,需要分类计算符合题意的组合数.学以致用3.(1)四面体的一个顶点为A,从其他顶点和各棱中点中取3个点,使它们和点A在同一平面上,有多少种不同的取法?(2)四面体的顶点和各棱中点共10个点,在其中取4个不共面的点,有多少种不同的取法?四 排列、组合的综合应用典例剖析4.有5名男生和3名女生,从中选出5人担任5门不同学科的课代表,求分别符合下列条件的选法种数:(1)有女生但人数必须少于男生;(2)某女生一定担任语文课代表;(3)某男生必须包括在内,但不担任数学课代表;(4)某女生一定要担任语文课代表,某男生必须担任课代表,但不担任数学课代表.规律总结 排列、组合综合问题的解题原则(1)按事情发生的过程进行分步.(2)按元素的性质进行分类.通常从以下三个途径考虑:①以元素为主考虑,即先满足特殊元素的要求,再考虑其他元素;②以位置为主考虑,即先满足特殊位置的要求,再考虑其他位置;③先不考虑附加条件,计算出排列数或组合数,再减去不符合要求的排列数或组合数.学以致用4.某大学派遣甲、乙、丙、丁、戊五位同学参加A,B,C三个地区的调研工作,每个地区至少去1人,且甲、乙两人约定去同一地区,则不同的派遣方案共有(　　)A.24种 B.36种 C.48种 D.64种答案:B随堂训练1.若从1,2,3,…,9这9个整数中同时取3个不同的数,使其和为奇数,则不同的取法共有(　　)A.30种 B.33种 C.37种 D.40种答案:D2.某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务,如果要求至少有1名女生,那么不同的选派方案种数为(　　)A.24 B.14 C.28 D.48答案:B3.(多选题)从6名男生和4名女生中选出4人去参加一项创新大赛,则下列说法正确的有(　　)A.如果选出的4人中男生、女生各有2人,那么有30种不同的选法B.如果男生中的甲和女生中的乙必须在内,那么有28种不同的选法C.如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内,那么有140种不同的选法D.如果4人中必须既有男生又有女生,那么有184种不同的选法答案:BC4.从7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动,若每天安排3人,则不同的安排方案共有　　　　　种. 答案:1405.正六边形顶点和中心共7个点,可组成　　　　　个三角形.答案:32解析:不共线的三个点可组成一个三角形,7个点中共线的是:正六边形过中心的3条对角线,即共有3种情况,故组成三角形的个数为 -3=32.6.如图,在以AB为直径的半圆周上,有异于A,B的六个点C1,C2,…,C6,线段AB上有异于A,B的四个点D1,D2,D3,D4.(1)以这10个点中的3个点为顶点可作多少个三角形?其中含C1点的有多少个?(2)以图中的12个点(包括A,B)中的4个点为顶点,可作出多少个四边形?7.5名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动,每名同学只去1个小区,每个小区至少安排1名同学,则不同的安排方法共有多少种?解:根据题意,分两步进行分析:第1步,将5名同学分为3组,若分为1,2,2的三组,