选择性必修 第二册第四章 数列4.2 等差数列第一课时当堂检测题

4.2　等差数列

4.2.1　等差数列的概念

第1课时　等差数列的概念及通项公式

课后·训练提升

基础巩固

1.已知数列{an}的通项公式为an=2n+5,则此数列(　　)

A.是公差为2的等差数列

B.是公差为5的等差数列

C.是首项为5的等差数列

D.是公差为n的等差数列

答案:A

解析:由题意,可知an+1-an=2(n+1)+5-(2n+5)=2,a1=2×1+5=7,故{an}是首项为7,公差为2的等差数列.

2.已知数列{an}是无穷数列,则“2a2=a1+a3”是“数列{an}为等差数列”的(　　)

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

答案:B

解析:若“数列{an}为等差数列”成立,则必有“2a2=a1+a3”,而仅有“2a2=a1+a3”成立,不能断定“数列{an}为等差数列”成立,必须满足对任何的n∈N*,都有2an+1=an+an+2成立才可以,故“2a2=a1+a3”是“数列{an}为等差数列”的必要不充分条件.

3.已知等差数列{an}的前三项依次为x,1-x,3x,则a2 022的值为(　　)

A.672 B.673 

C.674 D.675

答案:C

解析:依题意,x,1-x,3x成等差数列,

所以2(1-x)=x+3x,解得x=,

所以数列{an}的公差d=(1-x)-x=,

所以a2022=a1+(2022-1)×d==674.

4.已知数列{an}满足a1=2,an+1-an+1=0,则数列{an}的通项公式an等于(　　)

A.n2+1 B.n+1 C.1-n D.3-n

答案:D

解析:由题意,可得an+1-an=-1,即数列{an}是公差d=-1的等差数列,故an=a1+(n-1)d=2+(n-1)×(-1)=3-n.

5.等差数列20,17,14,11,…中的第一个负数项是(　　)

A.第7项 B.第8项 C.第9项 D.第10项

答案:B

解析:根据题意,可知首项a1=20,公差d=-3,故an=20+(n-1)×(-3)=23-3n,可得a7=2>0,a8=-1<0.即第一个负数项是第8项.

6.若5,x,y,z,21成等差数列,则x+y+z的值为(　　)

A.26 B.29 C.39 D.52

答案:C

解析:∵5,x,y,z,21成等差数列,

∴y既是5和21的等差中项,也是x和z的等差中项,

∴5+21=2y,∴y=13,x+z=2y=26,

∴x+y+z=39.

7.在等差数列{an}中,a5=33,a45=153,则201是该数列的第(　　)项.

A.60 B.61 C.62 D.63

答案:B

解析:设数列{an}的公差为d.

∵{an}为等差数列,

∴解得

∴an=21+3(n-1)=3n+18.

令3n+18=201,得n=61.

8.-1与+1的等差中项是　　　　　. 

答案:

解析:设等差中项为a,则有2a=(-1)+(+1)=2,得a=.

9.在等差数列{an}中,a1=1,a5=4a3,则数列{an}的通项公式为　　　　　　　　. 

答案:an=-n+

解析:因为数列{an}为等差数列,设公差为d,由a5=4a3,得a1+4d=4(a1+2d),联立a1=1可得d=-,所以an=1+(n-1)=-n+.

10.已知数列{an}中,a1=1,an-1-an=an·an-1(n≥2),则a10=　　　　　. 

答案:

解析:由题意,可知an≠0,由于数列{an}满足an-1-an=an·an-1(n≥2),则

=1(n≥2),故数列是等差数列,公差为1,首项为1,即=1+9=10,故a10=.

11.在数列{an}中,a1=1,an+1=2an+2n,设bn=.

(1)证明:数列{bn}是等差数列;

(2)求数列{an}的通项公式.

(1)证明:由已知an+1=2an+2n,得bn+1=+1=bn+1.

由于b1=a1=1,因此{bn}是首项为1,公差为1的等差数列.

(2)解:由(1)知数列{bn}的通项公式为bn=n,

因为bn=,所以数列{an}的通项公式为an=n·2n-1.

能力提升

1.(多选题)有两个等差数列2,6,10,…,190和2,8,14,…,200,由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列,则对这个新数列的说法正确的是(　　)

A.构成的新数列是等差数列,公差为10

B.构成的新数列是等差数列,公差为12

C.该数列共有16项

D.该数列共有18项

答案:BC

解析:等差数列2,6,10,…,190,公差为4,等差数列2,8,14,…,200,公差为6,

故由两个数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列,

其公差为12,首项为2,通项公式为an=12n-10.

由12n-10≤190,解得n≤,而n∈N*,则n的最大值为16,即新数列的项数为16.故选BC.

2.在数列{an}中,若a1=1,a2=,则该数列的通项公式为(　　)

A.an= B.an=

C.an= D.an=

答案:A

解析:由,得,则数列是首项为=1,公差为=2-1=1的等差数列,故=n,即an=.

3.现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面4节的容积共3升,下面3节的容积共4升,则第5节的容积为　　　　　升. 

答案:

解析:设此等差数列为{an},首项为a1,公差为d,

则

解得

故a5=a1+4d=+4×.

4.在等差数列{an}中,首项为33,若第12项为0,则数列的通项公式为　　　　　;若公差为整数,前7项均为正数,第7项以后各项都为负数,则数列的通项公式为　　　　　　　. 

答案:an=36-3n　an=38-5n

解析:设等差数列{an}的公差为d.

若a1=33,a12=0,则33+11d=0,得d=-3,这时an=33+(n-1)×(-3)=-3n+36.

若公差为整数,且前7项大于0,第7项以后均为负数,可得

解得-<d<-.

∵d∈Z,∴d=-5,

∴an=33+(n-1)×(-5)=38-5n.

5.已知数列{an}是首项为2,公差为3的等差数列,数列{bn}是首项为-2,公差为4的等差数列.若an=bn,则n的值为　　　　　. 

答案:5

解析:根据题意,可知an=2+(n-1)×3=3n-1,bn=-2+(n-1)×4=4n-6,

令an=bn,得3n-1=4n-6,故n=5.

6.已知等差数列{an}:3,7,11,15,….

(1)135,4m+19(m∈N*)是数列{an}中的项吗?请说明理由.

(2)若ap,aq(p,q∈N*)是数列{an}中的项,则2ap+3aq是数列{an}中的项吗?请说明理由.

解:由题意,可知等差数列{an}的首项a1=3,公差d=4,则an=a1+(n-1)d=4n-1.

(1)令an=4n-1=135,得n=34,

故135是数列{an}的第34项.

令an=4n-1=4m+19,则n=m+5,

所以4m+19是数列{an}的第m+5项.

(2)因为ap,aq是数列{an}中的项,

所以ap=4p-1,aq=4q-1.

则2ap+3aq=2(4p-1)+3(4q-1)=8p+12q-5=4(2p+3q-1)-1,

其中2p+3q-1∈N*,

故2ap+3aq是数列{an}的第2p+3q-1项.

7.已知数列{an}满足a1=10,a2=5,an-an+2=2,求数列{an}的通项公式.

解:由an-an+2=2知,数列{an}的奇数项和偶数项分别构成公差为-2的等差数列.

当n=2k-1(k∈N*)时,2k=n+1,a2k-1=a1+(k-1)·(-2)=12-2k,

故an=12-(n+1)=11-n(n为奇数).

当n=2k(k∈N*)时,a2k=a2+(k-1)·(-2)=5-2k+2=7-2k,

故an=7-n(n为偶数).

即an=

8.在数列{an}中,已知a1=5,且an=2an-1+2n-1(n≥2).

(1)求a2,a3的值.

(2)是否存在实数λ,使得数列为等差数列?若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由.

解:(1)因为a1=5,所以a2=2a1+22-1=13,a3=2a2+23-1=33.

(2)假设存在实数λ,使得数列为等差数列,

则成等差数列,

故2×,即,解得λ=-1.

当λ=-1时,

[(an+1-1)-2(an-1)]

=(an+1-2an+1)

=[(2an+2n+1-1)-2an+1]

=×2n+1=1.

综上可知,存在实数λ=-1,使得数列为等差数列.