【全套精品专题】通用版八年级上数学 将军饮马（知识梳理+同步练习无答案）

将军饮马模型是求线段最值问题的最基础模型，在整个初中阶段时常有考查到，学生应理解并掌握。其证明方法主要是运用两点间线段最短和三角形的三边关系。

1.问题提出：将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的B地开会，应该怎样走才能使路程最短？从此，这个被称为“将军饮马”的问题广泛流传．

2.解决办法： 从A出发向河岸引垂线，垂足为D，在AD的延长线上，取A关于河岸的对称点A'，连接A'B，与河岸线相交于C，则C点就是饮马的地方，将军只要从A出发，沿直线走到C，饮马之后，再由C沿直线走到B，所走的路程就是最短的．

3.常见题型及解题方法：

（1）两点一线型

（2）角内含点型

例1.要在燃气管道l上修建一个泵站P，分别向A，B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？在图上画出P点位置，保留作图痕迹．

例2.如图，已知∠AOB，P是∠AOB内部的一个定点，点E、F分别是OA、OB上的动点，

（1）要使得△PEF的周长最小，试在图上确定点E、F的位置．

（2）若OP=4，要使得△PEF的周长为4，则∠AOB=___________．

变式1.尺规作图．用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．

如图，已知点A，点B和直线l．

（1）在直线l上求作一点P，使PA+PB最短；

（2）请在直线l上任取一点Q（点Q与点P不重合），连接QA和QB，试说明PA+PB＜QA+QB．

变式2.如图，在△ABC中，点A、B、C的坐标分别为（m，0）、（0，1）和（3，2），则当△ABC的周长最小时，m的值为（　　）

A．0 B．1 C．2 D．3

变式3.如图1，在等边△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，点E、F分别是线段BD，BC上的动点，则CE+EF的最小值等于（　　）

A．BD B．CD C．CE D．AC

变式4.如图2，∠AOB=30°，点P为∠AOB内一点，OP=2018．点M、N分别在OA、OB上，则△PMN周长的最小值为___________．

变式5.如图3，在等边△ABC中，AD⊥BC于D，若AB=4cm，AD=2cm，E为AB的中点，P为AD上一点，PE+PB的最小值为_________．

            图1                         图2                       图3

变式6.在某一地方，有条小河和草地，一天某牧民的计划是从A处的牧场牵着一只马到草地牧马，再到小河饮马，最后回到B处，你能为他设计一条最短的路线吗？（在N上任意一点即可牧马，M上任意一点即可饮马．）（保留作图痕迹，需要证明）

变式7.（2020年中雅变式第一次月考）如图4，在中，，，，是的角平分线，点、点分别是、边上的动点，点在上，且，则的最小值为         .

               图4                                      图5

变式8.（2020年青一八上期中）如图5，在△ABC中，∠A=50°，点O为△ABC内一点，过点O分别作AC，AB的垂线，垂足分别为M，N，点P为AM上一动点，点Q为AN上一动点，连接OP，OQ，PQ，当△OPQ的周长最小时，∠POQ的度数为         度。

变式9.已知点P在∠MON内．

（1）如图1，点P关于射线OM的对称点是G，点P关于射线ON的对称点是H，连接OG、OH、OP．

①若∠MON=50°，则∠GOH=__________；

②若PO=5，连接GH，请说明当∠MON为多少度时，GH=10；

（2）如图2，若∠MON=60°，A、B分别是射线OM、ON上的任意一点，当△PAB的周长最小时，求∠APB的度数．

例3.作图题：

（1）如图1，有分别过A、B两个加油站的公路l1、l2相交于点O，现准备在∠AOB内建一个油库，要求油库的位置点P满足到A、B两个加油站的距离相等，而且点P到两条公路l1、l2的距离相等．请用尺规作图作出点P（不写作法，保留作图痕迹）．

（2）探究：要在燃气管道L上修建一个泵站P，分别向A，B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？在图2上画出P点位置，保留痕迹．

例4.如图，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，3）和（2，0），点C是y轴上的一个动点，且A、B、C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时，点C的纵坐标是（　　）

A．0 B．1 C．2 D．3

例5.（1）问题发现：

如图1，点A、B是直线l外的任意两点，在直线l上，试确定一点P，使PA，PB最短．

作法如下：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交l于点P，则PA+PB=A′B最短．（不必证明）

（2）解决问题：

如图2，等边△ABC的边长为4，E为AB的中点，AD⊥BC，P是AD上一点．

①在图中画出点P，使点B，E到点P的距离之和最短；（保留作图痕迹，不写作法）

②求这个最短距离．（提示：如果设直角三角形的两条直角边长度分别是a和b，斜边长度是c，那么a²+b²=c²（勾股定理））

（3）应用拓展：如图3，角形铁架∠MON=30°，A，D分别是OM，ON上的定点，且OA=7，OD=24，为实际设计的需要，需在OM和ON上分别找出点C，B，使AB+BC+CD的值最小．请在图中画出点B、C，则此时的最小值为_______（保留作图痕迹，不写作法）

变式1.如图所示，OB是一条河流，OC是一片菜田，张大伯每天从家（A点处）去河处流边挑水，然后把水挑到菜田处，最后回到家中．请你帮他设计一条路线，使张大伯每天行走的路线最短．下列四个方案中你认为符合要求的是（　　）

A． B． 

C． D．

变式2.如图，在等边三角形ABC中，BC边上的高AD=6，E是高AD上的一个动点，F是边AB的中点，在点E运动的过程中，存在EB+EF的最小值，则这个最小值是____     。

变式3.如图，已知等边△ABC的边长为6，点D为AC的中点，点E为BC的中点，点P为BD上一点，则PE+PC的最小值为_____（提示：如果设直角三角形的两条直角边长度分别是a和b，斜边长度是c，那么a²+b²=c²（勾股定理））

变式4.如图1，A村和B村在一条大河CD的同侧，它们到河岸的距离AC、BD分别为1千米和4千米，又知道CD的长为4千米．

现要在河岸CD上建一水厂向两村输送自来水，有两种方案备选择．

方案1：水厂建在C点，修自来水管道到A村，再到B村（即AC+AB）（如图2）；

方案2：作A点关于直线CD的对称点A'，连接A'B交CD于M点，水厂建在M点处，分别向两村修管道AM和BM（即AM+BM）（如图3）．

从节约建设资金方面考虑，将选择管道总长度较短的方案进行施工，请利用已有条件分别进行计算，判断哪种方案更合适．

1．如图，直线是一条河，、是两个新农村定居点．欲在上的某点处修建一个水泵站，向、两地供水．现有如下四种管道铺设方案，图中实线表示铺设的供水管道，则铺设管道最短的方案是　　

A．  B．  C．  D．

2．如图1，直线是中边的垂直平分线，点是直线上的一动点．若，，，则周长的最小值是　　

A．10 B．11 C．11.5 D．13

3．如图2，，点、分别是边、上的定点，点、分别是边、上的动点，记，，当最小时，则的值为　　

A． B． C． D．

4．如图3，点是内任意一点，，，点和点分别是射线和射线上的动点，则周长的最小值为　　

A．5 B．6 C．8 D．10

          图1                      图2                        图3

5．如图4，在中，，点在边上（不与、点重合），点、点分别是、边上的动点，当的周长最小时，则的度数为　　

A． B． C． D．

6．如图5，在中，，，是的两条中线，是上的一个动点，则下列线段的长等于最小值的是　　

A． B． C． D．

7．（2019年中雅八上期中）如图6，中，，，，为的中线，点、点分别为线段、上的动点，连接、，则的最小值为         .

               图4                       图5                   图6

8.（2019年长培八上期中）已知：如图7，内一点，分别是关于的对称点，交于，交于，，则的周长是（    ）

9.（2019年长梅八上期中）如图8，等腰三角形的底边长为，面积是，腰的垂直平分线分别交，边于，点.若点为边的中点，点为线段上一动点，周长的最小值为(    )

A.     B.     C.    D.

10.（2019年雅境八上第一次月考）如图9，已知，为内一定点，上有一点，上有一点，当的周长取最小值时，的度数是　　

A．                 B．              C．          D．

          图7             图8                 图9                   图10       

11.（2019年雅实、西雅、雅洋第一次联考）如图10，点P关于OA、OB的对称点分别是H、G，线段HG交OP于点C，若，则______________．

12.如图，在中，已知，的垂直平分线交于点，交于点，连接．

（1）若，则的度数是　  　度．

（2）若，的周长是．

①求的长度；

②若点为直线上一点，请你直接写出周长的最小值．