辽宁省朝阳市建平县2021-2022学年八年级下学期期末数学试题(解析版)

这是一份辽宁省朝阳市建平县2021-2022学年八年级下学期期末数学试题(解析版)，共22页。试卷主要包含了本试卷分第Ⅰ卷两部分等内容，欢迎下载使用。

建平县2021—2022年第二学期八年级质量测试题
数学试卷
（考试时间120分钟，满分120分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1. 若，则下列式子中正确的是（ ）．
A. B. C. D.
2. 剪纸艺术是中华民族的瑰宝，下面四幅剪纸作品中，是中心对称图形的为（ ）．
A. B.
C. D.
3. 如果把分式中的和都扩大3倍，那么分式的值（ ）．
A. 扩大3倍 B. 缩小3倍 C. 不变 D. 扩大9倍
4. 正多边形的一个外角为60°，则这个多边形的边数为（ ）
A 5 B. 6 C. 7 D. 8
5. 在下列各式中，一定能用平方差公式因式分解的是（ ）．
A. B. C. D.
6. 不等式组的解集在数轴上表示为（ ）．
A. B.
C. D.
7. 如图，将绕着点O顺时针旋转，得到（点C落在外），若，，则最小旋转角度是（ ）

A. 20° B. 30° C. 40° D. 50°
8. 下列命题是假命题的是（ ）
A. 等腰三角形底边上的中线垂直于底边
B. 等腰三角形的一边长为4，另一边长为9，则这个三角形的周长为17
C. 若代数式有意义，则x的取值范围是
D. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形
9. 如图，在中，，，以点为圆心，适当长度为半径作弧，分别交，于点，，再分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，交的延长线于点，则的长度为（ ）

A B. 2 C. D. 3
10. 如图中，，，点F是延长线上一点，过点F作，交延长线于点D，点E是中点，若，则的长是（ ）

A. 3 B. 5 C. 6.5 D. 6
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11. 约分：____________．
12. 若，，则______．
13. 如图，在平行四边形中，，点E，F分别是，的中点，则的长为_________．

14. 如图，函数和的图象交于点，则不等式的解集是_____．

15. 如图，在平行四边形中，，，相交于点O，过点O作，交于点E，若平行四边形的周长为10，则的周长为____________．

16. 如图，，，若，则线段长为______．

三、解答题（满分72分）
17. 因式分解：（1）； （2）．
18. 解不等式组，并写出不等式组的非负整数解．
19. 在疫情期间，学校购买甲、乙两种消毒液，已知购买3桶甲种消毒液和4桶乙种消毒液共需170元，购买2桶乙种消毒液比购买3桶甲种消毒液少用50元．
（1）求购买甲、乙两种消毒液每桶各需多少元？
（2）若要购买甲、乙两种消毒液共21桶，且总费用不超过540元，求至多可购进甲种消毒液多少桶？
20. 先化简，再求值：，其中．
21. 如图，四边形中，，相交于点，点是的中点，．

（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，且，求的长．
22. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(1，1)，B(4，2)，C(3，4)．

（1）将△ABC沿x轴方向向左平移6个单位，画出平移后得到△A1B1C1（点A的对应点为A1，点B的对应点为B1，点C的对应点为C1）；
（2）将△ABC绕着点O顺时针旋转180°，画出旋转后得到的△A2B2C2（点A的对应点为A2，点B的对应点为B2，点C的对应点为C2），此时四边形BCB2C2的形状是________；
（3）在平面内有一点D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，则符合条件的所有点D的坐标是________．
23. [定义]有一组对角是直角的四边形是垂美四边形．
[理解]如图①，将一对相同直角三角尺按如图所示的方式拼成四边形ABCD， 每个三角尺三个内角的度数都是 30°、60°和 90°．四边形ABCD是什么四边形，∠ABC+∠ADC等于多少度；
[探究]如图②，四边形ABCD是垂美四边形．∠A=90°．∠B=80°，E 是边 AD延长线上一点，求∠C和∠CDE的度数．
[应用]如图③，四边形 ABCD 是垂美四边形，∠A=90°，BE 和DF分别是∠ABC和∠ADC的平分线，交 AD.BC 于点 E.F．试说明 BE∥DF．

24. 深圳某学校为做好课后延时服务工作，购买了一批数量相等的象棋和围棋供参加这些社团的学生使用，其中购买象棋用了2500元，购买围棋用了3500元，已知每副围棋比每副象棋贵20元．
（1）求每副围棋和象棋分别是多少元？
（2）自课后延时服务后，该校发现想参加象棋和围棋社团的人越来越多、决定再次购买同种围棋和象棋共60副，其中购买象棋的数量不超过围棋的数量的2倍、该校再次购买象棋和围棋各多少副，才能使总费用最小？最小费用是多少元？
25. 如图，和都是等腰直角三角形，．

（1）猜想：如图1，点在上，点在上，线段与的数量关系是______，位置关系是______；
（2）探究：把绕点旋转到如图2的位置，连接，，（1）中的结论还成立吗？说明理由；
（3）拓展：把绕点在平面内自由旋转，若，，当，，三点在同一直线上时，则的长是______．




参考答案及解析
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1. 【答案】A
【解析】
根据不等式的性质：（1）不等式的两边同时加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号的方向不变；（2）不等式两边同时乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式两边同时乘(或除以)同一个负数，不等式的方向改变；据此判断即可．
A.由可得，正确，符合题意；
B.由可得，错误，不符合题意；
C.由可得，错误，不符合题意；
D.由可得，错误，不符合题意．
故选：A．
【点拨】本题主要考查不等式的性质，熟知不等式的性质是解决本题的关键．
2. 【答案】B
【解析】
根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
A.不是中心对称图形．故本选项不合题意；
B.是中心对称图形，故本选项符合题意；
C.不是中心对称图形．故本选项不合题意；
D.不是中心对称图形．故本选项不合题意．
故选B．
【点拨】本题考查了中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
3. 【答案】C
【解析】
先根据题意得出算式，再根据分式的基本性质进行化简即可．
根据题意，得，
∴分式的值不变．
故选C．
【点拨】本题考查了分式的基本型性质，能熟记分式的基本性质是解此题的关键．
4. 【答案】B
【解析】
根据正多边形的外角和以及一个外角的度数，求得边数．
解：正多边形的一个外角等于60°，且外角和为360°，
则这个正多边形的边数是：360°÷60°=6，
故选：B．
【点拨】本题主要考查了多边形的外角和定理，解决问题的关键是掌握多边形的外角和等于360度．
5. 【答案】B
【解析】
直接利用平方差公式： ，进而分解因式判断即可．
A.，无法分解因式，故此选项不合题意；
B.，能用平方差公式分解，故此选项符合题意；
C.，无法分解因式，故此选项不合题意；
D.，无法分解因式，故此选项不合题意．
故选B．
【点拨】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用乘法公式是解题关键．
6. 【答案】D
【解析】
先求出不等式组的解集，然后根据“大于向右，小于向左，包括端点用实心，不包括端点用空心”的原则将不等式组的解集在数轴上表示出来，再比较得到答案．
解：不等式组
故此不等式组的解集为：．
在数轴上表示为：
故选：D．
【点拨】把每个不等式的解集在数轴上表示出来(向右画；向左画)，数轴上的点把数轴分为若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集，有几个就要几个，在表示解集时，“”，“”要用实心圆点表示；“”，“”要用空心圆点表示．
7. 【答案】C
【解析】
直接利用已知得出∠AOC的度数，再利用旋转的性质得出对应边之间夹角，得出答案即可．
∵∠AOB= 30°，∠BOC = 10°，
∴∠AOC=∠AOB+∠COB = 30°+ 10°= 40°
∵将△AOB绕着点O顺时针旋转，得到△COD，
∴最小旋转角为∠AOC = 40°．
故选： C．
【点拨】此题主要考查了旋转的性质，正确得出∠AOC的度数是解题关键．
8. 【答案】B
【解析】
根据等腰三角形的性质、分式有意义的条件以及平行四边形的判定逐一判断即可．
解：A.根据等腰三角形三线合一性质可得“等腰三角形底边上的中线垂直于底边”，故A为真命题；
B.当等腰三角形的腰为4时，则三边分别为：4，4，9，则，不能构成三角形；
当等腰三角形的腰为9时，则三边分别为：9，9，4，则，则周长为：，故B为假命题；
C.若代数式有意义，则，解得，故C为真命题；
D.根据平行四边形的判定“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”，故D为真命题，
故选：B．
【点拨】本题考查了真假命题的判断，涉及等腰三角形的性质、分式有意义的条件以及平行四边形的判定，熟练掌握有关，定理及基础知识是解题的关键．
9. 【答案】D
【解析】
利用基本作图得到∠ABE=∠CBF，再根据平行四边形的性质得AB=CD=6，AB∥CF，接着证明∠F=∠CBF得到CF=CB=9，然后计算CF-CD即可．
由作图可知，平分，，
∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选D．
【点拨】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作已知角的角平分线）．也考查了平行四边形的性质．
10. 【答案】C
【解析】
延长FE交BC于G，根据平行线的性质及利用可得，根据全等三角形的性质可得FE=GE，CG=DF=5，进而可得BG的长，再利用勾股定理求出FG即可求得答案．
解：延长FE交BC于G，如图所示：

∵，
∴，
又∵点E是DC的中点，
∴DE=CD，
在△DFE和△CGE中，
，
∴，
∴FE=GE，CG=DF=5，
∴BG=BC-CG=10-5=5，
在Rt△FBG中，∠B=90°，
∴，
∴，
故选：C．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定及性质，平行线的性质，勾股定理的应用，熟练掌握的判定及性质综合及勾股定理的应用是解题的关键．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11. 【答案】
【解析】
直接将分子与分母约去公因式即可．
解：．
故答案为：．
【点拨】本题主要考查了约分，掌握约分定义是解题关键．
12. 【答案】12
【解析】
将提公因式化解为，然后将已知式子的值代入计算即可．
解：∵，，
∴．
故答案为： 12．
【点拨】此题考查了因式分解的运用，有公因式时，要先考虑提取公因式；注意运用整体代入法求解．
13. 【答案】15
【解析】
由平行四边形的性质可得AD=BC=30，由三角形的中位线定理可求解．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=30，
∵点E，F分别是BD，CD的中点，
∴EF=BC=15
故答案为：15．
【点拨】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，掌握三角形中位线定理是解题的关键．
14. 【答案】
【解析】
观察图象，写出直线在直线的下方所对应的自变量的范围即可．
解：观察图象得：当时，，
即不等式的解集为．
故答案为：．
【点拨】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的解集．
15. 【答案】5
【解析】
由平行四边形性质可得AB+AD=5，根据OB=OD且OE⊥BD，可知OE为BD的垂直平分线，根据垂直平分线的性质“垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等”可得BE=DE，继而可求得△ABE的周长为AB+AD．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，AB=CD，AD=BC，
∵平行四边形ABCD的周长是10，
∴，
∵OE⊥BD，OB=OD，
∴OE是BD的垂直平分线，
∴BE=DE，
∴△ABE的周长为：AB+AE+BE=AB+AE+DE=AB+AD=5．
故答案为：5．
【点拨】此题考查了平行四边形的性质以及线段垂直平分线的判定与性质．此题比较简单，得出BE=DE是解题的关键．
16. 【答案】8
【解析】
过点D作DH⊥AC于H，由等腰三角形的性质可得AH=HC，∠DAC=∠DCA=30°，由直角三角形的性质可证DH=CF，由“AAS”可证△DHE≌△FCE，可得EH=EC，即可求解．
解：如图，过点D作DH⊥AC于H，






在△DHE和△FCE中，






故答案为8．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
三、解答题（满分72分）
17. 【答案】（1）；（2）
【解析】
（1）直接提取公因式2m，进而利用公式法分解因式即可；
（2）直接提取公因式a，进而利用公式法分解因式即可．
详解】（法1）解：原式．
（法2）解：原式．．
（2）（法1）解：原式．
（法2）解：原式．
【点拨】此题主要考查了公式法以及提取公因式法分解因式，正确运用公式法分解因式是解题关键．
18. 【答案】，非负整数解为0、1
【解析】
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
解不等式，得：，
解不等式，得，
则不等式组的解集为，
∴不等式组的非负整数解为0、1．
【点拨】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
19. 【答案】（1）购买甲种消毒液每桶需30元，乙种消毒液每桶需20元
（2）12
【解析】
分析】(1) 设甲种消毒液每桶x元，乙种消毒液每桶y元，根据题意，列方程组求解即可．
(2) 设购买甲种消毒液x桶，则购买乙种消毒液(21-x)桶，根据题意，列出不等式求解即可．
【小问1详解】
设甲种消毒液每桶x元，乙种消毒液每桶y元，根据题意，得
，
解得，
故购买甲种消毒液每桶需30元，乙种消毒液每桶需20元．
【小问2详解】
设购买甲种消毒液x桶，则购买乙种消毒液(21-x)桶，根据题意，得
30x+20(21-x)≤540，
解得x≤12，
∵x是正整数，
∴至多可购进甲种消毒液12桶．
【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，熟练掌握方程组的求解，不等式整数解的求解是解题的关键．
20. 【答案】
【解析】
先计算括号，后运用平方差公式，完全平方公式，因式分解，约分化简即可.
解：原式，
当时，
原式．
【点拨】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式混合运算的基本顺序，灵活运用公式法因式分解，约分是解题的关键．
21. 【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
（1）由已知条件易证△AOD≌△COB，由此可得OD=OB，进而可证明四边形ABCD是平行四边形；
（2）根据平行四边形的性质得出AC=2OA，利用勾股定理即可解决问题．
（1）证明：∵是的中点，∴，
∵，∴，
在和中，，
∴≌，∴，
∵，∴四边形是平行四边形．

（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，∴，
∴．
【点拨】本题考查平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是证明四边形ABCD是平行四边形，属于中考常考题型．
22. 【答案】（1）见解析 （2）图见解析，平行四边形
（3）（2，－1）或（0，3）或（6，5）
【解析】
（1）根据平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1，并连线作图即可；
（2）根据中心对称的性质分别作出A，B，C的对应点A2，B2，C2，并连线作图即可；
（3）有三种情形，画出平行四边形，并根据平移坐标的变化求解即可．
【小问1详解】
解：如图，△A1B1C1，即为所求．
【小问2详解】
解：如图，△A2B2C2，即为所求．

将△ABC绕着点O顺时针旋转180°得到的△A2B2C2，
，
四边形BCB2C2是平行四边形，
故答案为：平行四边形；
【小问3详解】
解：如下图：

①当BC为对角线时，，
平移到是向右平移2个单位长度，向上平移3个单位长度，
经过平移，可得；
②当AB为对角线时，，
平移到是向右平移1个单位长度，向下平移2个单位长度，
经过平移，可得；
③当AC为对角线时，，
平移到是向左平移1个单位长度，向上平移2个单位长度，
经过平移，可得；
综上，D的坐标是（2，－1）或（0，3）或（6，5）．
故答案为：（2，－1）或（0，3）或（6，5）．
【点拨】本题考查作图一旋转变换，平移变换，平移坐标的变化，平行四边形的判定和性质等知识，熟练掌握知识点是解题的关键．
23. 【答案】[理解]垂美，180；[探究]∠C=90°，∠CDE=80°；[应用] 见解析．
【解析】
[理解]根据垂美四边形的定义即可解决问题；
[探究]根据垂美四边形的定义，四边形内角和定理即可解决问题；
[应用]利用等角的余角相等，证明∠AEB=∠ADF即可解决问题．
[理解]如图①中，∵∠A=∠C=90°，∴四边形ABCD是垂美四边形，∴∠ABC+∠ADC=360°﹣90°﹣90°=180°．
故答案为垂美，180；
[探究]如图②中，∵四边形ABCD是垂美四边形，∴∠C=∠A=90°．
∵∠A+∠B+∠C+∠ADC=360°，且∠B=80°，∴∠ADC=360°﹣90°﹣90°﹣80°=100°．
∵∠ADC+∠CDE=180°，∴∠CDE=80°；
[应用]如图③中，由探究可知，∠ABC+∠ADC=180°．
∵BE和DF分别是∠ABC和∠ADC的平分线，∴∠ABE=∠ABC，∠ADF=∠ADC，∴∠ABE+∠ADF=（∠ABC+∠ADC）=90°．
∵∠A=90°，∴∠ABE+∠AEB=90°，∴∠AEB=∠ADF，∴BE∥DF．

【点拨】本题是四边形综合题、考查了四边形内角和定理、垂美四边形的定义，角平分线的定义，平行线的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
24. 【答案】（1）每副象棋50元，每副围棋70元；（2）该校再次购买象棋40副和围棋20副才能使总费用最小，其最小费用是3400元
【解析】
（1）设每副象棋元，则每副围棋元，根据2500元买象棋的数量=3500元购买围棋的数量列出方程并解答；
（2）设购买象棋副，再次购买同种围棋和象棋总费用为元，则购买围棋副，根据题意列出不等式并解答．
（1）设每副象棋元，则每副围棋元，
依题意得：，解得，
经检验，是原方程的解，．
答：每副象棋50元，每副围棋70元．
（2）设购买象棋副，再次购买同种围棋和象棋总费用为元，
则购买围棋副，
根据题意，，
∵，∴随的增大而减小，
∵），∴．
∴当时，取最小值，此时，
围棋：．
答：该校再次购买象棋40副和围棋20副才能使总费用最小，其最小费用是3400元．
【点拨】本题考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的数量关系是解决问题的关键．
25. 【答案】（1），；（2）成立，理由见解析；（3）34或14
【解析】
（1）利用等腰直角三角形的性质得出BC=AC，EC=DC，在作差，得出BE=AD，再用∠ACB=90°，即可得出结论；
（2）先由旋转的旋转得出∠BCE=∠ACD，进而判断出△BCE≌△ACD（SAS），得出BE=AD，∠CBE=∠CAD，BE与AC的交点记作点H，BE与AD的交点记作点G，进而得出∠CAD+∠BHC=90°，即可得出结论；
（3）分两种情况，①当点E在线段AD上时，过点C作CM⊥AD于M，求出EM=CM=DE=10，再用勾股定理求出AM=24，即可得出结论；
②当点D在线段AD的延长线上时，过点C作CN⊥AD于N，求出EN=CN=DE=10，再由勾股定理求出根据勾股定理得，AN=24，即可得出结论．
解：（1）∵△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，
∴BC=AC，EC=DC，
∴BC-EC=AC-DC，
∴BE=AD，
∵点E在BC上，点D在AC上，且∠ACB=90°，
∴BE⊥AD，
故答案为BE=AD，BE⊥AD；
（2）（1）中结论仍然成立，理由：
由旋转知，∠BCE=∠ACD，
∵BC=AC，EC=DC，
∴△BCE≌△ACD（SAS），
∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，
如图2， BE与AC的交点记作点H，BE与AD的交点记作点G，

∵∠ACB=90°，
∴∠CBE+∠BHC=90°，
∴∠CAD+∠BHC=90°，
∵∠BHC=∠AHG，
∴∠CAD+∠AHG=90°，
∴∠AGH=90°，
∴BE⊥AD；
（3）①当点E在线段AD上时，如图3，过点C作CM⊥AD于M，

∵△CDE时等腰直角三角形，且DE=20，
∴EM=CM=DE=10，
在Rt△AMC中，AC=26，
根据勾股定理得，，
∴AE=AM-EM=24-10=14；
②当点D在线段AD的延长线上时，如图4，过点C作CN⊥AD于N，

∵△CDE时等腰直角三角形，且DE=20，
∴EN=CN=DE=10，
在Rt△ANC中，AC=26，
根据勾股定理得，
∴AE=AN+EN=24+10=34；
综上，AE的长为14或34，
故答案为14或34．
【点拨】此题是几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，旋转的旋转，全等三角形的判定和性质，勾股定理，作出辅助线构造出直角三角形是解本题的关键．