河南省平顶山市鲁山县2022-2023学年八年级下学期期末数学试卷（含答案）

2022-2023学年河南省平顶山市鲁山县八年级（下）期末数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  国家宝藏节目立足于中华文化宝库资源，通过对文物的梳理与总结，演绎文物背后的故事与历史，让更多的观众走进博物馆，让一个个馆藏文物鲜活起来下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列从左到右的变形，属于因式分解且正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

3.  下列各式：，，，，，，中，分式有个．(    )

A.  B.  C.  D.

4.  不等式组的解集在数轴上表示正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  如图，跷跷板的支柱经过它的中点，且垂直于地面于点，当它的一端着地时，另一端离地面的高度为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  反证法是从反面思考问题的证明方法．乐乐想运用反证法证明下面这个命题：已知，求证：，第一步他应先假设成立．(    )

A.  B.
C.  D. 且

7.  某服装店购进一批甲、乙两种款型衬衫，甲种款型共用了元，乙种款型共用了元，甲种款型的件数是乙种款型件数的倍，甲种款型每件的进价比乙种款型每件的进价少元．问甲、乙两种款型的衬衫各购进多少件？设乙种款型的衬衫购进件，所列方程为(    )

A.  B.
C.  D.

8.  生活中，我们所见到的地面、墙面、服装面料等，常常是由一种或几种性质相同的图形拼接而成的．像这样的用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙，不重叠地铺成一片，就是平面图形的镶嵌．如果只用一种几何图形镶嵌整个地面，下列哪一种不能单独镶嵌成一个平面图形(    )

A. 正三角形 B. 正方形 C. 正五边形 D. 正六边形

9.  已知，在中，，根据以下各图所保留的作图痕迹，一定能使点到三边距离相等的是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，平行四边形的对角线、交于点，平分交于点，，，连接下列结论：；平分；；垂直平分其中正确的个数有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  若分式的值为，则______ ．

12.  因式分解：______．

13.  已知一个等腰三角形，其中一条腰上的高与另一条腰的夹角为，则该等腰三角形的顶角为______ ．

14.  如图所示，若正比例函数和一次函数的图象相交于点，下面四个结论中：当时，；当时，；不等式的解集是；其中正确的是______填写序号

15.  如图，已知的面积为，点在线段上，点在线段的延长线上，且，四边形是平行四边形，则图中阴影部分的面积是______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
解不等式：；
解分式方程：．

17.  本小题分
先化简：，然后从中选一个你认为合适的整数作为的值代入求值．

18.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，、、三点的坐标分别为、、．
画出三角形，并求其面积；
如图，是由经过平移得到的已知点为内的一点，则点在内的对应点的坐标是______ ．

19.  本小题分
观察“探究性学习”小组甲、乙两名同学进行的因式分解：
甲：
分成两组
直接提公因式
．
乙：
分成两组
直接运用公式
再用平方差公式
请你在他们解法的启发下，把下列各式分解因式：
．
．

20.  本小题分
问题情境：在数学活动课上，老师出示了这样一个问题：如图，中，平分，垂直平分试判断与的数量关系．
探究展示：智慧小组发现，与互为补角，并展示了如下的证明方法：
证明：如图，作交的延长线于点，于点，
平分，，依据
垂直平分，，依据

反思交流：
上述证明过程中的“依据”“依据”分别是指什么？
请按照上面的证明思路，完整写出该题证明过程．

21.  本小题分
在中，、分别是、的中点，交的延长线于，连接．
求证：四边形为平行四边形；
探究：当时，的大小．

22.  本小题分
年是中国农历癸卯兔年春节前，某商场进货员打算进货“吉祥兔”和“如意兔”两种布偶，发现用元购进的“吉祥兔”的数量是用元购进的“如意兔”的倍，且每件“吉祥兔”的进价比“如意兔”贵了元．
“吉祥兔”、“如意兔”每件的进价分别是多少元？
为满足消费者需求，该超市准备再次购进“吉祥兔”和“如意兔”两种布偶共个，“吉祥兔”售价定价为元，“如意兔”售价为元，若总利润不低于元，问最少购进多少个“吉祥兔”？

23.  本小题分
如图，在四边形中，，，，若动点从点出发，以每秒的速度沿线段向点运动；点从点出发以每秒的速度沿方向运动，当点到达点时，动点、同时停止运动，设点、同时出发，并运动了秒，求当为多少秒时，四边形变为平行四边形．
如图，若四边形变为平行四边形，，动点从点出发，以每秒的速度沿线段向点运动；动点从点出发以每秒的速度在间往返运动，当点到达点时，动点、同时停止运动，设、两点同时出发，并运动了秒，求当为多少秒时，以、、、四点组成的四边形是平行四边形．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、不是中心对称图形，故选项错误，不符合题意；
B、是中心对称图形，故选项正确，符合题意；
C、不是中心对称图形，故本选项错误，不符合题意；
D、不是中心对称图形，故本选项错误，不符合题意．
故选：．
根据中心对称图形的定义和图案特点即可解答．
本题考查中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
 

2.【答案】 

【解析】解：、，故此选项错误，不符合题意；
B、，不属于因式分解，故此选项错误，不符合题意；
C、，故选项错误，不符合题意；
D、，正确，符合题意；
故选：．
直接利用提取公因式法以及公式法分解因式进而判断即可．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：，，，的分母中含有字母，因此是分式，故分式有个．
故选：．
判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．
本题主要考查了分式的定义，注意判断一个式子是否是分式的条件是：分母中是否含有未知数，如果不含有字母则不是分式．
 

4.【答案】 

【解析】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为，
故选：．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：过点作交的延长线于，
，
，
，
，
是的中位线，
，
故选：．
过点作交的延长线于，根据三角形中位线定理解答即可．
本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：求证：运用反证法证明这个命题时，第一步应假设，
故选：．
根据反证法的一般步骤判断即可．
本题考查的是反证法，反证法的一般步骤是：假设命题的结论不成立；从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．
 

7.【答案】 

【解析】解：购进甲种款型的件数是乙种款型件数的倍，且乙种款型的衬衫购进件，
甲种款型的衬衫购进件，
依题意得：．
故选：．
根据购进两种款型衬衫数量间的关系，可得出甲种款型的衬衫购进件，利用进货单价进货总价进货数量，结合甲种款型每件的进价比乙种款型每件的进价少元，即可得出关于的分式方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了平面镶嵌，掌握平面镶嵌的条件是解题的关键．正多边形镶嵌有三个条件限制：边长相等；顶点公共；在一个顶点处各正多边形的内角之和为判断一种或几种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角，若能构成，则说明能够进行平面镶嵌，反之则不能．
【解答】
解：选项，等边三角形的内角为，个，所以个等边三角形可以在一个顶点处实现内角之和等于，不符合题意；
选项，正方形的内角为，个，所以个正方形可以在一个顶点处实现内角之和等于，不符合题意；
选项，正五边形的内角为，，所以正五边形不能在一个顶点处实现内角之和等于，符合题意；
选项，正六边形的内角为，个，所以个正六边形可以在一个顶点处实现内角之和等于，不符合题意；
故选C．  

9.【答案】 

【解析】解：到三边距离相等的点是三角形三个内角角平分线的交点，
只有选项的点是角平分线的交点，
故选：．
根据等腰三角形的性质和角平分线的定义以及线段垂直平分线的性质即可得到结论．
本题考查作图复杂作图，角平分线的性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，灵活运用所学知识解决问题．
 

10.【答案】 

【解析】解：，，平分，
，
是等边三角形，
，
是的中点，
，
，
，即，
，故正确；
，，
，
平分，故正确；
中，，
，故错误；
是的中点，是的中点，
是的中位线，
，
，
，
，
垂直平分故正确．
故选：．
证得是等边三角形，由等边三角形的性质得出，求得，即，即可得到；依据，，可得，进而得出平分；依据中，，即可得到；由三角形的中位线定理可得出，则可得出，则可得出结论．
本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，平行四边形的面积公式以及三角形的中位线定理的综合运用，熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：由题意得：，且，
解得：．
故答案为：．
利用分式值为零的条件可得，且，再解方程和不等式即可．
此题主要考查了分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．
注意：“分母不为零”这个条件不能少．
 

12.【答案】 

【解析】解：原式
，
故答案为：．
原式提取，再利用平方差公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
 

13.【答案】或 

【解析】解：如图，等腰三角形为锐角三角形，

，，
，
即顶角的度数为．
如图，等腰三角形为钝角三角形，

，，
，
．
故答案为或．
首先根据题意画出图形，一种情况等腰三角形为锐角三角形，即可推出顶角的度数．另一种情况等腰三角形为钝角三角形，由题意，即可推出顶角的度数．
本题主要考查直角三角形的性质，等腰三角形的性质，关键在于正确的画出图形，认真的进行计算．
 

14.【答案】 

【解析】解：正比例函数和一次函数的图象相交于点，
，，
正比例函数经过原点，且随的增大而增大，
当时，，故正确；
与轴的交点为，且随的增大而减小，
当时，，故正确；
当时，正比例函数在一次函数图象上方，
不等式的解集是，故正确；
故答案为：．
根据正比例函数和一次函数的性质判断即可．
此题考查一次函数与一元一次不等式，关键是根据正比例函数和一次函数的性质判断．
 

15.【答案】 

【解析】解：连接，过作交的延长线于，
四边形是平行四边形，
，，
，，
四边形是平行四边形，
的边上的高和边上的高相同，
的面积和的面积相等，
同理的面积和的面积相等，
即阴影部分的面积等于平行四边形的面积的一半，是，
的面积是，，
，
阴影部分的面积是，
故答案为：．
连接，过作交的延长线于，求出平行四边形，根据等底等高的三角形面积相等得出的面积和的面积相等，的面积和的面积相等，推出阴影部分的面积等于平行四边形的面积的一半，求出的值即可．
本题考查了平行四边形的性质和判定，三角形的面积的应用，正确得出阴影部分的面积等于平行四边形的面积的一半是解题关键．
 

16.【答案】解：去分母得：，
移项、合并同类项得：，
系数化为得：；
去分母得：，
解得：，
检验：把代入得：，
是增根，分式方程无解． 

【解析】不等式去分母，去括号，移项，合并同类项，把系数化为，即可求出解集；
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，解一元一次不等式，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．
 

17.【答案】解：

，
当，或时，原分式无意义，，
可以取整数或，
当时，原式． 

【解析】先算括号内的式子，再算括号外的除法，然后从中选一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子计算即可．
本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键，注意分式有意义的条件．
 

18.【答案】 

【解析】解：如图，即为所求，的面积；
，
故答案为：．

根据点的坐标画出三角形即可，利用割补法求出三角形面积即可；
利用平移变换的性质求解即可．
本题考查坐标与图形变化平移，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握平移变换的性质，属于中考常考题型．
 

19.【答案】解：原式；
原式． 

【解析】原式两项两项结合后，提取公因式即可；
原式前三项结合，利用完全平方公式变形，再利用平方差公式分解即可．
此题考查了因式分解分组分解法，此方法因式分解方法灵活，注意认真观察各项之间的联系．
 

20.【答案】解：依据：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；
依据：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；
证明：如图，作交的延长线于点，于点，
平分，
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等，
垂直平分，
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等，
，，
，
在与中
，
≌，
，
又，
，
与互为补角． 

【解析】作交的延长线于点，于点，角平分线性质、线段垂直平分线性质得到、后，根据证明≌即可解答．
本题考查角平分线性质、线段垂直平分线性质、直角三角形全等的判定和性质等知识点，解题关键是恰当作出辅助线．
 

21.【答案】证明：、分别是、的中点，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
四边形是平行四边形；
解：时，
是等腰三角形，
点是的中点，
，
，
四边形是平行四边形，
． 

【解析】根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形先判定四边形是平行四边形，得出，再判定四边形是平行四边形即可；
当时，是等腰三角形，点是的中点，则，根据平行四边形的对角相等即可求出．
本题考查了平行四边形的性质以及判定，能够熟练运用平行四边形的判定是解题的关键，平行四边形的判定；两组对边分别平行的四边形是平行四边形定义判定法；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形两组对边平行判定；对角线互相平分的四边形是平行四边形．
 

22.【答案】解：设每件“如意兔”的进价是元，则每件“吉祥兔”的进价是元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
．
答：每件“吉祥兔”的进价是元，每件“如意兔”的进价是元；
设购进个“吉祥兔”，则购进个“如意兔”，
根据题意得：，
解得：，
的最小值为．
答：最少购进个“吉祥兔”． 

【解析】设每件“如意兔”的进价是元，则每件“吉祥兔”的进价是元，利用数量总价单价，结合用元购进的“吉祥兔”的数量是用元购进的“如意兔”的倍，可得出关于的分式方程，解之经检验后，可得出每件“如意兔”的进价，再将其代入中，即可求出每件“吉祥兔”的进价；
设购进个“吉祥兔”，则购进个“如意兔”，利用总利润每个的销售利润销售数量，可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
 

23.【答案】解：当四边形为平行四边形时，
则，
，
解得，
时，四边形变为平行四边形；
由题意知，，，
，
当以，，，四点组成的四边形是平行四边形时，，
当时，，
解得舍去；
当时，，
，
解得；
当时，，
，
解得；
当时，，
，
解得，
综上所述：或或，以，，，四点组成的四边形是平行四边形． 

【解析】当四边形为平行四边形时，则，列出方程即可解决问题；
根据题意知，分或或三种情形，分别表示出的长，进而解决问题．
本题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的性质，运用分类思想分别表示出的长是解题的关键．