2022-2023学年河南省平顶山市叶县八年级下学期期末数学试题及答案

这是一份2022-2023学年河南省平顶山市叶县八年级下学期期末数学试题及答案，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1.
要使分式?+2有意义，?的取值应满足()
?+1
A.? ≠ −1B.? ≠ −1且? ≠ −2
C.? ≠ −2D.? = −1
2022年4月16日，神舟十三号载人飞船圆满完成全部既定任务，顺利返回地球家园．六个月的飞天之旅展现了中国航天科技的新高度．下列航天图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是()
中国探火B.中国火箭
C.中国行星探测D.航天神舟
下列由左到右的变形，属于因式分解的是()
(?+ 2)(?−2) = ?2−4B.?2+4?−2=?(?+4)−2
C.?2−4=(?+2)(?−2)D.?2−4+3?=(?+2)(?−2)+3?
下列说法正确的是()
平行四边形是轴对称图形B.平行四边形的邻边互相垂直
C.平行四边形的对角线相等D.平行四边形的对角线互相平分
若关于?的分式方程? + 4= 3?
+ 2有增根，则?的值为()
?−3?−3
A.2B.3C.4D.5
如图所示，正五边形?????的顶点?，?在射线??上，顶点?在射线
??上，∠??? = 2∠???，则∠?的度数为()
80°
72°
60°
50°
“爱劳动，劳动美．”甲、乙两同学同时从家里出发，分别到距家6??和10??的实践基地参加劳动．若甲、乙的速度比是3：4，结果甲比乙提前20???到达基地，求甲、乙的速度．设甲的速度为3? ??/ℎ，则依题意可列方程为()
6+1
3?3
=10
4?
6
3?
+ 20=
10
4?
6
3?
101
−4?=3
6
3?
10
−4?
= 20
如图，▱????中，要在对角线??上找点?、?，使四边形????为平行四边形，现有甲、乙、丙三种方案，则正确的方案是()
甲：只需要满足?? = ??乙：只需要满足?? = ??丙：只需要满足??//??
A.甲、乙、丙都是 B.只有甲、丙才是 C.只有甲、乙才是 D.只有乙、丙才是
如图所示，一次函数? = ?? + ?(?,?是常数，? ≠ 0)与正比例函数? = ??(?是常数，? ≠
0)的图象相交于点?(1,2)，下列判断错误的是()
关于?的方程?? = ?? + ?的解是? = 1
关于?的不等式?? ≥ ?? + ?的解集是? >1
当? < 0时，函数? = ?? + ?的值比函数? = ??的值大
? −? ?= 0?= 1
关于?，?的方程组{?−?? = ?的解是{? = 2
、
如图，在 △ ???中，∠? = 90°，∠? = 30°，以?为圆心，任意长为半径画弧分别交??、??于点?和点?，再分别以??为圆心，以大于1??的长为半径画弧，两弧交于点?，连结??并延长交??于点?，则下列说
2
法：
①??是∠???的平分线；
②?? = 2??；
③点?在??的中垂线上；
④?△???：?△??? = 1：2．其中正确的个数有()
A.4个B.3个C.2个D.1个
二、填空题（本大题共 5 小题，共 15.0 分）
因式分解：2?2+ 4? + 2 = ．
16
化简−的结果是．
?−3?2−9
如图，平行四边形????的对角线??、??相交于点?，?、?分别是线段??、??的中点，若?? + ?? = 24??，△ ???的周长是18??，则?? = ??．
如图，直角三角形???的周长为2023，在其内部有5个小直角三角形，则这5个小直角三角形周长的和是．
下列结论：
①若等腰三角形有一个角为50°，则其顶角为100°；
②一条直角边和一斜边分别相等的两个直角三角形全等；
③三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等；
④用反证法证明“三角形中至少有一个内角不小于60°”，应先假设“这个三角形中每一个
内角都小于60°”；⑤命题“等腰三角形的两底角相等”的逆命题是“两底角相等的三角形是等腰三角形”．
其中正确的有.(填写出所有正确结论的序号)
三、解答题（本大题共 8 小题，共 75.0 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
(本小题8.0分)
题目：将(2? + ?)2−(? + 2?)2分解因式
小彬：
原式= (4?2 + 4?? + ?2)−(?2 + 4?? + 4?2)
……第1步
= 3?2−3?2……第2步
= 3(? + ?)(?−?)……第3步
小颖：
原式= (2? + ? + ? + 2?)(2? + ?−? + 2?)
……第1步
= (3? + 3?)(? + 3?)……第2步
= 3(? + ?)(? + 3?)……第3步
在分解因式时，小彬和小颖对同一道题产生了分歧，下面是他们的解答过程，请认真阅读并完成相应的任务．
任务：
经过讨论，他们发现小彬的解答正确，他第1步依据的乘法公式用字母表示为，小颖的解答错误，从第步开始出错，错误的原因是．
按照小颖的思路，写出正确的解答过程．
(本小题10.0分)
解答下列各题．
−1) ÷
化简求值：(2?−2
?
?2−4? + 4，其中? = 4；
?2−?
解方程
3−?=1−2．
：?−44−?
(本小题12.0分)
解答下列各题．
(1)小明解不等式1−? + 1≤ ?−1的过程如下，请认真阅读并完成相应任务：
23
解：去分母得1−3(? + 1) ≤ 2(?−1)………第一步去括号得1−3?−3 ≤ 2?−2………第二步
移项得−3?−2? ≤ −2−1 + 3第三步
合并同类项得−5? ≤ 0……第四步系数化1得? ≥ 0………第五步
任务一：①以上求解过程中，去分母的依据是；
②第步开始出现错误，错误的原因是．
任务二：求出该不等式的正确解集(写出解答过程并配上必要的文字说明)．
任务三：请你根据平时的学习经验，就解不等式需要注意的事项给其他同学提一条建议．
(2)解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
4? −2 ≤ 3(?+ 1)
{?−1?
(本小题8.0分)
1−2<4
如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，在建立平面直角坐标系后，
△ ???的顶点均在格点上，点?的坐标(1,2)，点?的坐标(2,1)．
画出△ ???关于原点?对称的△ ??1?1(?,?的对称点分别为?1，?1).
画出△ ???关于原点?按逆时针方向旋转90°所得的△ ??2?2(?,?的对应点分别为?2，?2
)，并写出?2，?2的坐标．
若将点?1向上平移ℎ个单位，使其落在△ ??2?2的内部，请直接写出ℎ的取值范围．
(本小题6.0分)
如图，在△ ???中，?? = ??．
利用尺规作图作线段??的垂直平分线，交??于点?，交??于点?(不写作法但保留作图痕迹)
若△ ???的底边长5，周长为21，求△ ???的周长．
(本小题10.0分)
如图，在▱????中，?是??的中点，?是??延长线上一点，且?? = 1??，连接??、??．
2
(1)求证：四边形????是平行四边形；
(2)若?? = 4，?? = 6，∠? = 60°，求??的长．
(本小题11.0分)
某中学开展了关于“构建书香校园”的读书活动，以建设书香校园、和谐校园为目标，引领广大师生“走进五千年文明，品读祖国经典文章”.学校计划采购两类图书，通过市场了解到每套?类图书的价格是每套?类图书价格的1.5倍，用4000元购买的?类图书比用3000元购买的?类图书多20套．
?、?两类图书每套分别是多少元？
现学校计划采购60套图书，且?类图书的数量不低于?类图书数量的一半，该校应该如何采购两类图书才能使得总费用最低，并求出最低费用．
(本小题10.0分)
如图，在?? △ ???中，∠? = 90°，?? = 10，∠? = 30°，点?从点?出发沿??方向以每秒2个单位长度的速度向点?匀速运动，同时点?从点?出发沿??方向以每秒1个单位长度的速度向点?匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动.设点?、?运动的时间是?秒(
? > 0)，过点?作?? ⊥ ??于点?，连接??、??．
(1)?? = ；(用含?的代数式表示) (2)求证：四边形????是平行四边形；
当?为何值时， △ ???是等边三角形？说明理由；
当?为何值时， △ ???为直角三角形？(请直接写出?的值)．
答案和解析
【答案】?
【解析】解：要使分式? + 2有意义，?的取值应满足? + 1 ≠ 0，
?+1
解得? ≠ −1，故选：?．
分式有意义的条件是分母不等于零．
本题主要考查了分式有意义的条件，解题时注意分式的分母不等于零，否则无意义．
【答案】?
【解析】解：选项 A、?、?均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形，
选项 B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形，
故选：?．
根据中心对称图形的定义进行判断，即可得出答案．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
本题考查中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【答案】?
【解析】解：?、(? + 2)(?−2) = ?2−4，是整式的乘法运算，故此选项错误；
B、?2 + 4?−2 = ?(? + 4)−2，不符合因式分解的定义，故此选项错误；
C、?2−4 = (? + 2)(?−2)，是因式分解，符合题意．
D、?2−4 + 3? = (? + 2)(?−2) + 3?，不符合因式分解的定义，故此选项错误；故选：?．
直接利用因式分解的定义分别分析得出答案．
此题主要考查了因式分解的意义，正确把握分解因式的定义是解题关键．
【答案】?
【解析】解： ∵ 平行四边形不是轴对称图形是轴对称图形，
∴ 选项 A 不符合题意，
∵ 平行四边形的邻边不一定互相垂直，
∴ 选项 B 不符合题意，
∵ 平行四边形的不一定对角线相等，
∴ 选项 C 不符合题意，
∵ 平行四边形的对角线互相平分，
∴ 选项 D符合题意，故选：?．
利用平行四边形的性质对每个选项进行分析，即可得出答案．
本题考查了平行四边形的性质，轴对称图形，掌握平行四边形的性质是解决问题的关键．
【答案】?
【解析】
【分析】
本题考查了分式方程的增根，理解增根产生的原因是解题的关键．
方程两边同时乘(?−3)，将分式方程转化为整式方程，求出方程的解，根据方程增根，得到? = 3，从而列出方程求出?的值．
【解答】
解：方程两边同时乘(?−3)得：? + 4 = 3? + 2(?−3)，
解得：? =
1?+2，
5
∵ 方程有增根，
∴ ?−3 = 0，
∴ ? = 3，
∴1?+2=3，
5
∴ ? = 5，故选：?． 6.【答案】?
【解析】解：由题意得，∠??? = 108°，∠??? = 72°．
∴∠??? + ∠??? = 180°−∠??? = 72°．
∵ ∠??? = 2∠???，
∴3∠??? = 72°．
∴∠??? = 24°．
∴∠??? = 48°．
∴ ∠? = 180°−∠???−∠??? = 180°−48°−72° = 60°．故选：?．
根据正多边形的性质以及多边形的外角和等于360度，得∠??? = 108°，∠??? = 72°，那么∠???
+ ∠??? = 180°−∠??? = 72°.由∠??? = 2∠???，得∠??? = 24°，从而推断出∠??? = 48°.再根据三角形的内角和定理，得∠? = 180°−∠???−∠??? = 180°−48°−72° = 60°．
本题主要考查多边形的外角和内角，熟练掌握正多边形的性质、多边形的外角和、三角形的内角和是解决本题的关键．
【答案】?
【解析】解：由题意可知，甲的速度为3???/ℎ，则乙的速度为4???/ℎ，
6+20=10，
3?604?
即 6+ 1= 10，
3?34?
故选：?．
根据甲、乙的速度比是3：4，可以设出甲和乙的速度，然后根据甲比乙提前20???到达基地，可以列出相应的方程．
本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程．
【答案】?
【解析】解： ∵ 四边形????是平行四边形，
∴ ??//??，?? = ??，
∴ ∠??? = ∠???，
甲：在△ ???和△ ???中，
{
? ?= ? ?
∠ ? ? ?= ∠ ? ? ?，
? ?= ??
∴△???≌△???(???)，
∴ ?? = ??，∠??? = ∠???，
∴ ∠??? = ∠???，
∴ ??//??，
∴ 四边形????为平行四边形，故甲正确；
乙：由?? = ??，不能证明△ ???≌ △ ???，不能四边形????为平行四边形，故乙不正确；丙： ∵ ??//??，
∴ ∠??? = ∠???，
∴ ∠??? = ∠???，
在△ ???和△ ???中，
{
∠ ? ? ?= ∠ ? ? ?
∠ ? ? ?= ∠ ? ? ?，
? ?= ? ?
∴△???≌△???(???)，
∴ ?? = ??，
∴ 四边形????为平行四边形，故丙正确；故选：?．
只要证明△ ???≌ △ ???，即可解决问题．
本题考查了平行四边形的判定与性质，平行线的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明△ ???≌ △ ???是解题的关键．
【答案】?
【解析】
【分析】
本题考查了一次函数与二元一次方程(组)，一次函数与一元一次不等式，一次函数的性质．方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．
根据条件结合图象对各选项进行判断即可．
【解答】
解：
∵ 一次函数? = ?? + ?(?,?是常数，? ≠ 0)与正比例函数? = ??(?是常数，? ≠ 0)的图象相交于点?(1,2)，
∴ 关于?的方程?? = ?? + ?的解是? = 1，选项 A判断正确，不符合题意；关于?的不等式?? ≥ ?? + ?的解集是? ≥ 1，选项 B 判断错误，符合题意；
? −? ?= ?
?= 2
当?<0时，函数? = ?? + ?的值比函数? = ??的值大，选项 C判断正确，不符合题意；关于?，?的方程组{? −? ? = 0的解是{? = 1，选项 D 判断正确，不符合题意；
故选：?．
【答案】?
【解析】解： ∵ ∠??? = 90°，∠? = 30°，
∴∠??? =90°−30° = 60°，
由图可知：??是∠???的平分线，故①正确，
∴∠??? = ∠??? = 30°，
∴∠? = ∠??? = 30°，
∴ ?? = ??，?? = 2??，故②正确，
∴ 点?在??的中垂线上，故3正确；
∵ ?? = ?? = 2??，
∴ ?△ ???：?△ ??? = 1：3，故④错误，故选：?．
根据角平分线的性质和含30°的直角三角形的性质解答即可．
本题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及作图−基本作图．解题时，需要熟悉等腰三角形的判定与性质．
11.【答案】2(? + 1)2
【解析】解：原式= 2(?2 + 2? + 1)
= 2(? + 1)2．
故答案为：2(? + 1)2．
原式提取2，再利用完全平方公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
12.
【答案】1
?+3
=? + 36
【解析】解：由题意，原式−
=
? + 3−6(?+3)(?−3)
=
?−3(?+3)(?−3)
= 1．
?+3
故答案为：1．
?+3
?2−9
?2−9
依据题意，直接利用异分母分式的加减运算法则计算得出答案．本题主要考查了分式的加减，正确化简分式是解题关键．
【答案】3
【解析】解： ∵ 四边形????是平行四边形，
∴ ?? = ??，?? = ??，又∵ ?? + ?? = 24??，
∴ ?? + ?? = 12??，
∵ △ ???的周长= ?? + ?? + ?? = 18??，
∴?? = 18−12= 6(??)，
∵ 点?，?分别是线段??，??的中点，
∴ ??是△ ???的中位线，
∴??=1??=3??．
2
故答案为：3．
由条件?? + ?? = 24??，根据平行四边形的性质可得出?? + ?? = 12??，由条件△ ???的周长
为18??，可求出??的长，再判断??是△ ???的中位线即可得出??的长度．
本题考查了平行四边形的性质和三角形的中位线定理，解答本题需要用到：平行四边形的对角线互相平分，三角形中位线的判定定理及性质．
【答案】2023
【解析】解：由题意得：
这5个小直角三角形周长的和等于直角三角形???的周长2023，故答案为：2023．
根据平移的性质可得，这5个小直角三角形周长的和等于直角三角形???的周长，即可解答．本题考查了生活中的平移现象，熟练掌握平移的性质是解题的关键．
【答案】②③④
【解析】解：①若等腰三角形有一个角为50°，则其顶角为50°或80°，故本小题说法错误；
②一条直角边和一斜边分别相等的两个直角三角形全等，说法正确；
③三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等，说法正确；
④用反证法证明“三角形中至少有一个内角不小于60°”，应先假设“这个三角形中每一个内角都小于60°”，说法正确；
⑤命题“等腰三角形的两底角相等”的逆命题是“两个角相等的三角形是等腰三角形”，故本小题说法错误；
故答案为：②③④．
根据等腰三角形的概念、全等三角形的判定定理、角平分线的性质、反证法判断即可．
本题考查的是命题的真假判断，掌握等腰三角形的概念、全等三角形的判定定理、角平分线的性质、反证法的一般步骤是解题的关键．
16.【答案】(? + ?)2 = ?2 + 2?? + ?21去括号时没有变号
【解析】解：(1)(? + ?)2 = ?2 + 2?? + ?2；
小颖的解答错从第1步开始出错，错误的原因是去括号时没有变号；故答案为：?2 + 2?? + ?2，1，去括号时没有变号；
(2)原式= (2? + ? + ? + 2?)(2? + ?−?−2?)，
= (3? + 3?)(?−?)，
= 3(? + ?)(?−?)．
按照分解因式的正确步骤对计算过程进行逐步检查即可；再正确写出完整的解答过程．
本题考查了因式分解的基本步骤，关键在于熟练掌握因式分解的算法，并对解题过程进行正确检验．
17.【答案】解：(1)原式 = 2?−2−?⋅ ?(?−1)
=?−2⋅?(?−1)
?(?−2)2
?(?−2)2
=?−1；
?−2
(2)去分母得，3−? = −1−2(?−4)，去括号得，3−? = −1−2? + 8，
移项得，−? + 2? = −1 + 8−3，合并同类项得，? = 4，
检验：当? = 4时，?−4 = 0，
故? = 4是分式方程的增根，原方程无解．
【解析】(1)先算括号里面的，再算除法即可；
(2)先去分母，再去括号，求出?的值，代入?−4进行检验即可．
本题考查的是分式的化简求值及解分式方程，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．
【答案】不等式的基本性质2一 去分母时，1漏乘6
【解析】解：(1)任务一：①以上求解过程中，去分母的依据是不等式的基本性质2；
②第一步开始出现错误；错误的原因是去分母时，1漏乘6；
故答案为：①不等式的基本性质2；②一；去分母时，1漏乘6；
任务二：1−? + 1≤ ?−1，
23
去分母：6−3(? + 1) ≤ 2(?−1)，去括号：6−3?−3 ≤ 2?−2，
移项：−3?−2? ≤ −2−6 + 3，合并同类项：−5? ≤ −5，
系数化为1：? ≥ 1；
任务三：根据平时的学习经验，解不等式还需要注意的事项有：移项时注意变号(答案不唯一)；
4? −2 ≤ 3(?+ 1)①
(2){1−?−124
解不等式①得：? ≤ 5，解不等式②得：? >2，
在同一数轴上表示不等式①②的解集：
，
∴ 不等式组的解集：2 < ? ≤ 5．
①根据不等式的基本性质，进行计算即可解答；
②按照解一元一次不等式的步骤，进行计算即可解答；
按照解一元一次不等式的步骤，即可解答．
本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．
【答案】解：(1)如图， △ ??1?1即为所求；
如图， △ ??2?2即为所求，点?2的坐标为(−2,1)，点?2的坐标为(−1,2)．
观察图象可知：2.5< ℎ <4．
【解析】本题考查作图−旋转变换，以及平移中的坐标变化． (1)根据中心对称的性质分别作出?，?的对应点?1，?1即可； (2)利用旋转变换的性质分别作出?，?的对应点?2，?2即可； (3)利用图象法判断即可．
【答案】解：(1)点?如图所示，
(2) ∵ ??垂直平分线线段??，
∴ ?? = ??，
∴ △ ???的周长= ?? + ?? + ?? = ?? + ?? + ?? = ?? + ??，
∵?? + ?? + ?? = 21，?? = 5，
∴ ?? = ?? = 8，
∴ △ ???的周长为13．
【解析】(1)利用线段垂直平分线的作法作图即可；
(2)首先根据等腰三角形的性质，得到?? = ?? = 8，再根据垂直平分线的性质可得?? = ??，进而可算出周长．
此题主要考查了基本作图，以及线段垂直平分线的作法，等腰三角形的性质，关键是掌握线段垂直平分线的作法．
【答案】解：(1)证明： ∵ 四边形????是平行四边形，
∴ ??//??，?? = ??，
又∵ ?是??的中点，
∴ ?? = 1??，
2
∴ ?? = ??，又∵ ??//??，
∴ 四边形????是平行四边形．
(2)过?作?? ⊥ ??于?，
1
∵? ?=2? ?
在▱????中， ∵ ∠? = 60°，??//??，
∴∠??? = 60°，∵ ?? = 4，
∴ ?? = 4，
∴ ?? = 2，?? = 23，
∴ ?? = 1，
在?? △ ???中，?? =
??2+??2
=13．
【解析】(1)只要证明?? = ??，??//??即可解决问题；
(2)过?作?? ⊥ ??于?，想办法求出??、??即可解决问题；
本题考查平行四边形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
【答案】解：(1)设?种图书每套?元，则?种图书每套1.5?元，
40003000
根据题意得：
?
解得? = 100，
−1.5?
= 20，
经检验，? = 100是原方程的解，此时1.5? = 150，
答：?种图书每套150元，?种图书每套100元；
(2)设学校购买?种图书?套，则购买?种图书(60−?)套，购买图书的总费用为?元，由题意得：? = 150? + 100(60−?) = 50? + 6000，
∵ 50>0，
∴ ?随?的增大而增大，
∵ ?种图书数量不低于?种图书数量的一半，
∴ ? ≥ 1(60−?)，
2
解得? ≥ 20，
∴ 当? = 20时，?最小，最小值为7000，
此时60−20 = 40(套)，
答：学校购买?种图书20套，则购买?种图书40套时，总费用最低，最低费用为7000元．
【解析】(1)设?种图书每套?元，则?种图书每套1.5?元，根据用4000元购买的?种图书比用3000元购买的?种图书多20套列出方程，解方程即可，注意验根；
(2：设学校购买?种图书?套，则购买?种图书(60−?)套，购买图书的总费用为?元，根据总费用 =两种图书费用之和列出函数解析式，再根据?种图书数量不低于?种图书数量的一半求出?的取值范围，由函数的性质求最值．
本题考查一次函数的应用，分式方程的应用，二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，关键是找到数量关系列出函数解析式或方程和不等式．
【答案】?
【解析】(1)证明：在△ ???中，∠??? = 90°，∠? = 30°，?? = 2?，
∴ ?? = ?．故答案为：?；
∵ ?? = ?，
∴ ?? = ??，
∵ ??//??，
∴ 四边形????是平行四边形．
∵ 四边形????是平行四边形，
∴ 当△ ???是等边三角形．
∵∠? = 90°−∠? = 60°
∴ ?? = ??．
∵ ?? = ?，?? = ??−?? = 10−2?，
∴ ? = 10−2?，
∴ ? = 10，
3
∴ 当?为10时， △ ???是等边三角形．
3
∵ 四边形????是平行四边形，
当∠??? = 90°时，?? = 2??，即10−2? = 2?，
解得：? = 5；
2
当?为5时， △ ???为直角三角形．
2
在?? △ ???中，利用30度角的对边等于斜边的一半，即可得出??的长，此题得解；
根据平行四边形的性质解答即可；
易知当△ ???是等边三角形时， △ ???是等边三角形，由∠? = 60°可得出?? = ??，进而可得出关于?的一元一次方程，解之即可得出结论；
易知当△ ???是直角三角形，分∠??? = 90°，利用30度角的对边等于斜边的一半，可得出关于?的一元一次方程，解之即可得出结论．
本题考查了解含30度角的直角三角形、全等三角形的判定、等边三角形的性质以及解一元一次方程，解题的关键是：(1)在?? △ ???中，利用30度角的对边等于斜边的一半找出??的长；(2)利用 全等三角形的判定定理???证出△ ???≌ △ ???；(3)利用全等三角形的性质及等边三角形的性质，找出关于?的一元一次方程；(4)分∠??? = 90°利用30度角的对边等于斜边的一半找出关于?的一
元一次方程