2022-2023学年山西省忻州市宁武县八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年山西省忻州市宁武县八年级（下）期中数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 下列电视台的台标，是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2. 在分式ba+2b中，如果a、b都扩大为原来的3倍，则分式的值将( )
A. 扩大3倍B. 不变C. 缩小3倍D. 缩小6倍
3. 下列根式中，不能与 3合并的是( )
A. 13B. 3 3C. 23D. 27
4. 如图，小红在作线段AB的垂直平分线时，是这样操作的：分别以点A，B为圆心，大于线段AB长度一半的长为半径画弧，相交于点C，D，则直线CD即为所求.连接AC，BC，AD，BD，根据她的作图方法可知，四边形ADBC一定是( )
A. 矩形
B. 正方形
C. 菱形
D. 平行四边形
5. 对于函数y=6x，下列说法错误的是( )
A. 它的图象分布在第一、三象限B. 它的图象与直线y=−x无交点
C. 当x>0时，y的值随x的增大而增大D. 当x<0时，y的值随x的增大而减小
6. 某一景点改造工程要限期完成，甲工程队独做可提前一天完成，乙工程队独做要误期6天，现由两工程队合做4天后，余下的由乙工程队独做，正好如期完成，若设工程期限为x天，则下面所列方程正确的有个( )
①4x+1+xx−6=1②4x−1=6x+6③1x−1=xx+6④4x−1+xx+6=1
A. 1B. 2C. 3D. 4
7. 若实数a满足|2016−a|+ a−2017=a，则a−20162=( )
A. 2016B. 2017C. 4033D. 1
8. 如图所示，正方形ABCD的顶点B，C在x轴的正半轴上，反比例函数y=kx(k≠0)在第一象限的图象经过顶点A(m,m+3)和CD上的点E，且OB−CE=1，过点E的直线l交x轴于点F，交y轴于点G(0,−3)，则OF的长为( )
A. 4.5B. 5C. 5.4D. 6
二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）
9. 写出一个有一个根为−2的一元二次方程：______ .(答案不唯一，只要符合要求即可)
10. 反比例函数y=kx的图象经过点(−2,3)，则k的值为______．
11. 等腰三角形，腰长为5cm，它的周长是12cm，则它的中位线长为______ cm．
12. 如果m为整数，那么使分式m+3m+1的值为整数的m的值为______ .(写出两个即可)
13. 如果 x+5x−1有意义，那么字母x的取值范围是______ ．
14. 若矩形ABCD的两邻边长分别为一元二次方程x2−7x+12=0的两个实数根，则矩形ABCD的对角线长为______．
15. 已知 a−3+ 2−b=0，则1 a+ 6 b=______．
16. 若一元二次方程ax2−bx−2016=0有一根为x=−1，则a+b=______．
17. 关于x的分式方程2x−ax+1=1的解为负数，则字母a的取值范围为 ．
18. 若一元二次方程ax2=b(ab>0)的两个根分别是m+2与2m−5，则ba= ______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题8.0分)
计算：
(1) 32+5 325+4 12− 12；
(2) 24× 13−4× 18．
20. (本小题8.0分)
解方程：
(1)(x−1)2=3(x−1)；
(2)x2−4x+1=0．
21. (本小题8.0分)
已知x=2 3−1，求x2+2x−3的值．
22. (本小题8.0分)
先化简再求值：m−2m2−1÷(m−1−2m−1m+1)，其中m是方程x2−x=2016的解．
23. (本小题8.0分)
我市某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种在自然光照且温度为18℃的条件下生长最快的新品种．如图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度y(℃)随时间x(小时)变化的函数图象，其中BC段是双曲线y=kx的一部分．请根据图中信息解答下列问题：
(1)恒温系统在这天保持大棚内温度18℃的时间有多少小时？
(2)求k的值；
(3)当x=16时，大棚内的温度约为多少度？
24. (本小题8.0分)
如图，正方形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，AF=DE，AF和DE相交于点G，
(1)观察图形，写出图中所有与∠AED相等的角．
(2)选择图中与∠AED相等的任意一个角，并加以证明．
25. (本小题8.0分)
一次作业中，小明做了这样一题，以下是他的解题过程：
题目：当m为何值时，关于x的方程x2+(m+2)x+2m−1=0的两根互为相反数？
解：因为：关于x的方程x2+(m+2)x+2m−1=0的两根互为相反数；
所以：设这个方程的两个根为k与−k；
所以：k2+(m+2)k+2m−1=0(1)(−k)2+(m+2)(−k)+2m−1=0(2)
(1)式减(2)式得：
所以：m=−2或k=0；把k=0，2(m+2)k=0代入(1)式，得m=12
所以：m=−2或m=12
(1)请你代入原方程进行检验；说明小明同学解题过程是否正确？
(2)如果解题过程正确，请你给予适当的评价，如果不正确，请指出错误，并给予纠正．
26. (本小题8.0分)
如图，直线l：y=x+1与x轴、y轴分别交于A、B两点，点C与原点O关于直线l对称.反比例函数y=kx的图象经过点C，点P在反比例函数图象上且位于C点左侧，过点P作x轴、y轴的垂线分别交直线l于M、N两点．
(1)求∠ABO的度数；
(2)求反比例函数的解析式；
(3)求AN⋅BM的值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A、不是中心对称图形，故A选项不合题意；
B、不是中心对称图形，故B选项不合题意；
C、是中心对称图形，故C选项符合题意；
D、不是中心对称图形，故D选项不合题意．
故选：C．
根据中心对称图形的概念对各选项分析判断后求解．
本题考查了中心对称图形，掌握中心对称图形的概念：中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180°后与原图重合是解题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：∵a、b都扩大为原来的3倍，
∴分式ba+2b的分子变为3b，扩大为原来的3倍，
分式ba+2b的分母变为3(a+2b)，扩大为原来的3倍，
∴分式的值将不变．
故选：B．
如果a、b都扩大为原来的3倍，则分式ba+2b的分子和分母都扩大为原来的3倍，再根据分式的基本性质，可得分式的值将不变，据此解答即可．
此题主要考查了分式的基本性质：分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，要熟练掌握，解答此题的关键是判断出：如果a、b都扩大为原来的3倍，则分式ba+2b的分子和分母都扩大为原来的3倍．
3.【答案】C
【解析】解：A. 13= 33，能与 3合并，故不符合题意；
B. 3 3= 3，能与 3合并，故不符合题意；
C. 23= 63，不能与 3合并，故符合题意；
D. 27=3 3，能与 3合并，故不符合题意，
故选：C．
先把各二次根式化为最简二次根式，然后根据同类二次根式的定义分别进行判断即可得答案．
本题考查了同类二次根式，即：化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式，同类二次根式可以合并．
4.【答案】C
【解析】解：由作法得AC=AD=BC=BD，
所以四边形ADBC为菱形．
故选：C．
利用作法得到AC=AD=BC=BD，然后根据菱形的判定方法求解．
本题考查了尺规作图−作线段的垂直平分线，菱形的判定，熟练掌握菱形的判定方法是解答本题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：A、∵函数y=6x中k=6>0，∴此函数图象的两个分支分别在一、三象限，故本选项正确；
B、∵函数y=6x的图象位于一、三象限，y=−x经过二、四象限，∴两函数图象无交点，故本选项正确；
C、∵当x>0时，函数的图象在第一象限，∴y的值随x的增大而减小，故本选项错误；
D、∵当x<0时，函数的图象在第三象限，∴y的值随x的增大而减小，故本选项正确．
故选C．
根据反比例函数的性质对四个选项进行逐一分析即可．
本题考查的是反比例函数的性质，即反比例函数y=kx(k≠0)的图象是双曲线，当k>0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小．
6.【答案】B
【解析】解：设工程期限为x天，由题意可得：
4x−1+xx+6=1，
移项得，
4x−1=1−xx+6，
即4x−1=6x+6，
∴正确的是②④．
故选：B．
由甲工程队独做可提前一天完成，可得甲的工作效率是1x−1；由乙工程队独做要误期6天，可得乙的工作效率是1x+6；然后根据甲干的工作量+乙干的工作量=1列方程即可．
本题考查的是分式方程的应用有关知识．理解题意列出正确的分式方程是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：由二次根式的性质，可得
a−2017≥0，
即a≥2017，
由绝对值的性质，可得
|2016−a|=a−2016，
∴原式变形，可得a−2016+ a−2017=a，
整理，得
a−2017=2016，
两边同时平方，得
a−2017=20162，
∴a−20162=2017．
故选：B．
根据二次根式的性质可得到a的取值范围；接下来根据a的取值范围即可得到|2016−a|=a−2016，此时原式可化为a−2016+ a−2017=a；对上式进一步进行化简即可得到a−2017=20162，至此，a−20162的值也就可求了．
本题考查了二次根式有意义的条件，绝对值的化简，根据二次根式有意义的条件求出a的取值范围是解答本题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：∵A(m,m+3)，四边形ABCD是正方形，
∴OB=m，AB=BC=m+3，
∴OC=m+3+3=2m+3．
∵OB−CE=1，
∴CE=m−1，
∴E(2m+3,m−1)，
∵点A和点E都在反比例函数图象上，
∴m(m+3)=(2m+3)(m−1)，
解得m1=3，m2=−1(舍去)，
∴E(9,2)．
设直线GE的解析式为y=kx+b，
则b=−39k+b=2，
∴b=−3k=59，
∴y=59x−3，
当y=0时，0=59x−3，
解得x=5.4，
∴OF的长为5.4．
故选：C．
表示出点E的坐标，然后根据点A和点E都在反比例函数图象上列出关于m的方程，解方程求出m的值，再用待定系数法求出直线GE的解析式，然后可求出OF的长．
本题考查了正方形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求函数解析式，一次函数与坐标轴的交点，数形结合是解答本题的关键．
9.【答案】x2+3x+2=0
【解析】解：一元二次方程的一般形式为kx2+bx+c=0(k≠0)，一个根为−2的一元二次方程如x2+3x+2=0．
本题根据一元二次方程的根的定义，确定一元二次方程．
本题主要考查了一元二次方程的定义，x=−2只要满足所写的方程即可．
10.【答案】−6
【解析】解：把(−2,3)代入函数y=kx中，得3=k−2，解得k=−6．
故答案为：−6．
将点(−2,3)代入解析式可求出k的值．
主要考查了用待定系数法求反比例函数的解析式．先设y=kx，再把已知点的坐标代入可求出k值，即得到反比例函数的解析式．
11.【答案】52cm或1
【解析】解：如图，AB=AC=5cm，DE是中位线，
∵周长是12cm，
∴BC=12−5−5=2cm．
如图1，DE=12BC=1cm，
如图2，DE=12AB=52cm．
故答案为：52cm或1．
先求出底边的长，然后分两种情况求解即可．
本题考查了等腰三角形的定义，三角形的中位线，分类讨论是解答本题的关键．
12.【答案】0或1(答案不唯一)
【解析】解：∵m+3m+1=1+2m+1，
若原分式的值为整数，那么m+1=−2，−1，1，2
由m+1=−2得，m=−3；
由m+1=−1得，m=−2；
由m+1=1得，m=0；
由m+1=2得，m=1；
∴m=−3或−2或0或1，
故答案为：0或1(答案不唯一)．
分式m+3m+1=1+2m+1，讨论2m+1就可以了，即m+1是2的约数即可完成．
本题主要考查分式的值，熟练掌握相关知识点并全面讨论是解题关键．
13.【答案】x≥−5且x≠1
【解析】解：由题意得，x+5≥0，x−1≠0，
解得，x≥−5且x≠1，
故答案为：x≥−5且x≠1．
根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案．
本题考查了二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
14.【答案】5
【解析】解：方程x2−7x+12=0，即(x−3)(x−4)=0，
则x−3=0，x−4=0，
解得：x1=3，x2=4．
则矩形ABCD的对角线长是： 32+42=5．
故答案是：5．
首先解方程求得方程的两个根，即可求得矩形的两边长，然后利用勾股定理即可求得对角线长．
本题考查了一元二次方程的解法以及矩形的性质，正确解方程求得矩形的边长是关键．解一元二次方程的基本思想是降次．
15.【答案】4 33
【解析】解：由题意得，a−3=0，2−b=0，
解得a=3，b=2，
所以，1 a+ 6 b=1 3+ 6 2= 33+ 3=4 33．
故答案为：4 33．
根据非负数的性质列方程求出a、b的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
16.【答案】2016
【解析】解：把x=−1代入一元二次方程ax2−bx−2016=0得：a+b−2016=0，
即a+b=2016．
故答案是：2016．
由方程有一根为−1，将x=−1代入方程，整理后即可得到a+b的值．
此题考查了一元二次方程的解的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，关键是把方程的解代入方程．
17.【答案】a<−1且a≠−2
【解析】解：方程两边都乘以(x+1)，
得2x−a=x+1，
解得x=a+1，
检验：a+1+1≠0，解得a≠−2，
由方程的解为负数，
得a+1<0，解得a<−1．
故答案为：a<−1且a≠−2．
根据解分式方程，可得分式方程的解，根据分式方程的解为正数，可得不等式，根据解不等式，可得答案．
本题考查了分式方程的解，掌握分式方程的解是正数得出不等式是关键．
18.【答案】9
【解析】
【分析】
利用直接开平方法表示出方程的解，确定出m的值，即可求出ba的值．
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
【解答】
解：∵x2=ba，
∴x=± ba，即方程的两个实数根互为相反数，
则m+2+2m−5=0，
解得：m=1，
∴方程的两根为x=3或x=−3，
∴ba=x2=9，
故答案为：9．
19.【答案】解：(1)原式=4 2+ 3+2 2−2 3
=6 2− 3；
(2)原式= 24×13−4× 1×28×2
=2 2− 2
= 2．
【解析】(1)先化简各个二次根式，再合并同类二次根式即可；
(2)先计算二次根式的乘法，然后再计算减法．
本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算法则是解答本题的关键．
20.【答案】解：(1)∵(x−1)2=3(x−1)，
∴(x−1)2−3(x−1)=0，
∴(x−1)(x−1−3)=0，
∴(x−1)(x−4)=0，
∴x−1=0或x−4=0，
x1=4，x2=1．
(2)∵x2−4x+1=0，
∴a=1，b=−4，c=1，
∴Δ=b2−4ac=(−4)2−4×1×1=12>0，
∴方程有两个不相等的实数根x=−b± b2−4ac2a=4± 122×1=4±2 32，
即x1=2+ 3，x2=2− 3．
【解析】(1)用因式分解法求解即可；
(2)用公式法求解即可．
本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键．
21.【答案】解：∵x=2 3−1，
∴x+1=2 3，
∴(x+1)2=12，即x2+2x+1=12，
∴x2+2x=11，
∴x2+2x−3=11−3=8．
【解析】把已知条件变形得到x+1=2 3，两边平方得到x2+2x=11，然后利用整体代入的方法计算．
本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．运用整体代入的方法可简化计算．
22.【答案】解：原式=m−2(m+1)(m−1)÷[(m−1)2(m+1)(m+1)(m−1)−(2m−1)(m−1)(m+1)(m−1)]
=m−2(m+1)(m−1)÷(m−1)(m2−1−2m+1)(m+1)(m−1)
=m−2(m+1)(m−1)⋅(m+1)(m−1)(m−1)⋅m(m−2)
=1m2−m，
∵m是方程x2−x=2016的解，
∴m2−m=2016，
∴原式=12016．
【解析】先将括号内通分计算分式的减法，再讲除式分子因式分解、除法转化为乘法，约分即可化简，由方程得解得概念可得m2−m=2016，即可知原式的值．
本题主要考查分式的化简与求值及方程得解的概念，熟练掌握分式的通分、约分及混合运算顺序化简分式是解题的关键．
23.【答案】解：(1)恒温系统在这天保持大棚温度18℃的时间为12−2=10小时．
(2)∵点B(12,18)在双曲线y=kx上，
∴18=k12，
∴解得：k=216．
(3)当x=16时，y=21616=13.5，
所以当x=16时，大棚内的温度约为13.5℃．
【解析】(1)根据图象直接得出大棚温度18℃的时间为12−2=10(小时)；
(2)利用待定系数法求反比例函数解析式即可；
(3)将x=16代入函数解析式求出y的值即可．
此题主要考查了反比例函数的应用，求出反比例函数解析式是解题关键．
24.【答案】解：(1)由图可知，∠DAG，∠AFB，∠CDE与∠AED相等；
(2)选择∠DAG=∠AED，证明如下：
∵正方形ABCD，
∴∠DAB=∠B=90°，AD=AB，
∵AF=DE，
在△DAE与△ABF中，
AD=AB∠DAE=∠B=90°DE=AF，
∴△DAE≌△ABF(HL)，
∴∠ADE=∠BAF，
∵∠DAG+∠BAF=90°，∠GDA+∠AED=90°，
∴∠DAG=∠AED．
【解析】(1)由图示得出∠DAG，∠AFB，∠CDE与∠AED相等；
(2)根据SAS证明△DAE与△ABF全等，利用全等三角形的性质即可证明．
此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据SAS证明△DAE与△ABF全等．
25.【答案】解：(1)①当m=−2时，原方程化为：x2−5=0，
解得：x1=− 5，x2= 5，符合题意，
②当m=12时，原方程化为：x2+52x=0，
解得：x1=0，x2=−52，不符合题意，
故小明同学解题过程不正确；
(2)由(1)得，m=12不正确，
根据判别式可得：Δ=(m+2)2−4×1×(2m−1)=(m−2)2+4>0，
∴方程的两个根不相等，
∴k≠0，
当m为何值时，关于x的方程x2+(m+2)x+2m−1=0的两根互为相反数，解决这类问题，要根据根与系数的关系来解决，
由根与系数关系可得：x1+x2=−m+21=0，解得：m=−2，
错误的原因是没有注意判别式与根的情况，解决此类题最直接的方法是利用根与系数的关系求解．
【解析】(1)将m=−2或m=12代入解方程得到答案判断即可得到答案；
(2)根据(1)判断，并根据根与系数的关系直接求解即可得到答案．
本题考查根与系数的关系及根与判别式之间的关系，解题的关键是熟练掌握x1+x2=−ba，x1x2=ca，Δ=b2−4ac，Δ>0时方程有两个不相等的实数根，Δ=0时方程有两个相等的实数根，Δ<0时方程没有实数根．
26.【答案】解：(1)连接AC，BC，由题意得：四边形AOBC为正方形，

对于一次函数y=x+1，令x=0，解得：y=1；令y=0，解得：x=−1，
∴OA=OB=1，
∴∠ABO=45°；
(2)∵OA=OB=1，
∴C(−1,1)，
将C(−1,1)代入y=kx得：1=k−1，即k=−1，
则反比例函数解析式为y=−1x；
(3)过M点作ME⊥y轴交y轴于点E，过N点作ND⊥x轴交x轴于点D，
设P(a,−1a)，可得ND=−1a，ME=|a|=−a，
∵△AND和△BME为等腰直角三角形，
∴AN= 2×(−1a)=− 2a，BM=− 2a，
则AN⋅BM=− 2a⋅(− 2a)=2．

【解析】(1)连接AC，BC，由题意得：四边形AOBC为正方形，由一次函数y=x+1与坐标轴的交点可得OA=OB=1，从而△ABO是等腰直角三角形；
(2)连接AC，BC，由题意得：四边形AOBC为正方形，对于一次函数解析式，分别令x与y为0求出对于y与x的值，确定出OA与OB的值，进而C的坐标，代入反比例解析式求出k的值，即可确定出反比例解析式；
(3)过M作ME⊥y轴，作ND⊥x轴，根据P在反比例解析式上，设出P坐标得出ND的长，根据三角形AND为等腰直角三角形表示出AN与BM的长，进而得解．
此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：一次函数与坐标轴的交点，坐标与图形性质，以及等腰直角三角形的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．