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2022-2023学年山西省大同一中八年级（下）期中数学试卷（含解析）
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这是一份2022-2023学年山西省大同一中八年级（下）期中数学试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.若 a+5在实数范围内有意义，则a的取值范围是( )
A. a≥0B. a≥−5C. a>−5D. a≤5
2.下列各式中，正确的是( )
A. (−3)2=−3B. − 32=−3C. (−3)2=±3D. 32=±3
3.在△ABC中，AB=c，AC=b，BC=a，下列不能判定△ABC为直角三角形的是( )
A. ∠A−∠B=∠CB. (c+b)(c−b)=a2
C. ∠A：∠B：∠C=3：4：5D. a：b：c=8：15：17
4.如图，已知两正方形的面积分别是25和169，则字母B所代表的正方形的边长是( )
A. 12
B. 13
C. 144
D. 194
5.已知在菱形ABCD中，AB=10，BD=16，则菱形ABCD的面积为( )
A. 160
B. 80
C. 40
D. 96
6.“数形结合”就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来进行研究的数学思想.如图，在数轴上以O为圆心，OB长为半径画弧交数轴于点A，即OA=OB，则数轴上点A所表示的数是( )
A. 1.5B. 3C. 2D. 5
7.在数学活动课上，老师要求同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是某合作学习小组的四位同学拟定的方案，其中正确的是( )
A. 测量对角线是否相互平分B. 测量两组对边是否分别相等
C. 测量一组对角是否都为直角D. 测量四边形其中的三个角是否都为直角
8.下列二次根式中，属于最简二次根式的是( )
A. + 0.5B. 911C. 121D. 22
9.如图，为了测量池塘边A、B两地之间的距离，在AB的同侧取一点C，连接CA并延长至点D，连接CB并延长至点E，使得CA=DA，CB=EB，若测得DE=26m，则A、B间的距离是( )
A. 10m
B. 11m
C. 12m
D. 13m
10.如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=2，H是AF的中点，那么CH的长是( )
A. 102
B. 5
C. 52
D. 2
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11. 12=______．
12.对于任意两个不相等的实数a、b，定义一种新运算“⊕”如下：a⊕b= a+b a−b，例如：3⊕2= 3+2 3−2= 5，那么8⊕4 ______．
13.如图，过矩形ABCD的对角线BD上一点K分别作矩形两边的平行线MN与PQ，那么图中矩形AMKP的面积S1与矩形QCNK的面积S2的大小关系是S1 ______S2；(填“>”或“<”或“=”)
14.《九章算术》中记载“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺.问：折者高几何？”译文：一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好着地，着地处离原竹子根部4尺远.问：竹子折断处离地面还有几尺？(1丈=10尺)设竹子折断处离地面还有x尺，则可列方程为______．
15.如图，小明将一张正方形纸片对折，使得AB与CD重合，折痕为EF，展开后再沿BH折叠，使得点C刚好落在折痕EF上的C′处，则∠DHC′的度数为______．
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题8分)
计算：
(1)( 3+2)( 3−2)；
(2)( 24− 12)−( 18+ 6)．
17.(本小题8分)
如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，试判断△ABC的形状，并说明理由．
18.(本小题8分)
若a= 6+3，b= 6−3，求：
(1)a2−b2；
(2)a2+b2．
19.(本小题8分)
如图，E，F是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点，AE=CF，连接DE，DF，BE，BF．
求证：四边形DEBF是平行四边形．
20.(本小题8分)
看着冉冉升起的五星红旗，你们是否想过旗杆到底有多高呢？某数学兴趣小组为了测量旗杆高度，进行以下操作：如图1，先将升旗的绳子拉到旗杆底端，发现绳子末端刚好接触到地面；如图2，再将绳子末端拉到距离旗杆5m处，发现绳子末端距离地面1m.请根据以上测量情况，计算旗杆的高度．
21.(本小题10分)
阅读与思考：小明同学在学习矩形性质之后，对直角三角形的性质“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的证明思路做了及时的梳理与总结.阅读小明同学的笔记，并完成相应任务
任务：
(1)①依据为：______；
(2)请补小明的全证明过程；
(3)上述证明方法中主要体现的数学思想是______；
A.转化思想
B.类比思想
C.数形结合思想
D.从一般到特殊思想
(4)将Rt△ABC和Rt△BDE按图3放置，其中∠ABC=90°，∠DBE=90°，点A、B、D在一直线上，分别取AC和DE的中点F和G，连接GF.若AB=3，BC=4，BD=BE=1，则GF= ______．
22.(本小题13分)
如图，▱ABCD中，AB⊥AC，AB=1，BC= 5.对角线AC、BD相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转α°，分别交直线BC、AD于点E、F．
(1)当α= ______时，四边形ABEF是平行四边形；
(2)在旋转的过程中，四边形BEDF可能是菱形吗？如果能，求出此时α的值；如果不能，说明理由；
(3)在旋转过程中，是否存在以A、B、C、D、E、F中的4个点为顶点的四边形是矩形？如果存在，直接写出矩形的名称及对角线的长度；如果不存在，说明理由．
23.(本小题12分)
综合与探究：如图1，将正方形ABCD与正方形AEFG放置，AD与AE在同一直线上，AB与AG在同一直线上.连接DG，BE，易证DG=BE且DG⊥BE(不需要说明理由)．
(1)在同一平面内，若小明将正方形ABCD与正方形AEFG按图2放置，连接DG，BE，试判断DG与BE的关系，并证明；
(2)如图3，连接BG、GE、ED、DB，分别取BG、GE、ED、DB的中点M、N、P、Q，连接MN，NP，PQ，QM，则四边形MNPQ的形状为______；若BE=2 3，则四边形MNPQ的面积为______．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：由题意得：a+5≥0，
∴a≥−5．
故选：B．
根据二次根式有意义的条件：被开方数是非负数即可得出答案．
本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件：被开方数是非负数是解题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：∵ (−3)2=|−3|=3，
∴A选项的结论不正确；
∵− 32=−3，
∴B选项的结论正确；
∵ (−3)2=|−3|=3，
∴C选项的结论不正确；
∵ 32=3，
∴D选项的结论不正确，
故选：B．
利用二次根式的性质对每个选项进行逐一判断即可得出结论．
本题主要考查了二次根式的性质，正确利用二次根式的性质对每个选项进行判断是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：A、由∠A−∠B=∠C，可得∠A=∠B+∠C=180°−∠A，
∴∠A=180°2=90°．
此选项能判定△ABC是直角三角形，但不符合题意．
B、由(c+b)(c−b)=a2整理得：a2+b2=c2，
则△ABC为直角三角形，故选项B不符合题意．
C、由∠A：∠B：∠C=3：4：5，
结合三角形内角和为180°可推得∠A=45°，∠B=60°，∠C=75°，
此选项不能判定△ABC是直角三角形，但符合题意．
D、当a：b：c=8：15：17时，
可设a=8x，b=15x，c=17x，
则a2+b2=(8x)2+(15x)2=(17x)2=c2，
则△ABC为直角三角形，此选项不符合题意．
故选：C．
根据勾股定理的逆定理和三角形内角和分别判断即可．
本题考查了直角三角形的判定，涉及了勾股定理的逆定理，会用勾股定理的逆定理判断三角形的形状是解答本题的关键．
4.【答案】A
【解析】解：字母B所代表的正方形的面积=169−25=144．
则字母B所代表的正方形的边长是12，
故选：A．
结合勾股定理和正方形的面积公式，得字母B所代表的正方形的面积等于其它两个正方形的面积差．
本题考查了勾股定理的知识，熟记：以直角三角形的两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积．
5.【答案】D
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，BD=16，
∴AC⊥BD，OB=12BD=8，
∵在Rt△AOB中，AB=10，
∴AO= AB2−OB2=6，
∴AC=2AO=12，
∴S菱形ABCD=12AC⋅BD=96．
故选：D．
根据菱形的性质利用勾股定理求得OA的长，从而得到AC的长，再根据菱形的面积公式即可求得其面积．
此题考查学生对菱形的性质及勾股定理的理解及运用，熟练掌握菱形的性质是解答本题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：根据数轴，OB= 22+12= 5，
∴OA=OB= 5，
则数轴上点A所表示的数是 5，
故选：D．
根据勾股定理求得OA=OB= 5即可求解．
本题考查实数与数轴、勾股定理，理解实数与数轴上的点一一对应是解答的关键．
7.【答案】D
【解析】解：A、对角线是否相互平分，能判定平行四边形；
B、两组对边是否分别相等，能判定平行四边形；
C、测量一组对角是否都为直角，不能判定形状；
D、其中四边形中三个角都为直角，能判定矩形．
故选：D．
矩形的判定定理有：
(1)有一个角是直角的平行四边形是矩形；
(2)有三个角是直角的四边形是矩形；
(3)对角线互相平分且相等的四边形是矩形．
本题考查的是矩形的判定定理，解题的关键是牢记这些定理，属于基础概念题，比较简单．
8.【答案】D
【解析】解：A、+ 0.5= 12= 22，被开方数含分母，不是最简二次根式，本选项不符合题意；
B、 911=3 1111，被开方数含分母，不是最简二次根式，本选项不符合题意；
C、 121=11，化简后不含二次根式，本选项不符合题意；
D、 22是最简二次根式，本选项符合题意；
故选：D．
根据最简二次根式的概念判断即可．
本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．
9.【答案】D
【解析】解：∵CA=DA，CB=EB，
∴A、B分别是CD、CE的中点，
∴AB是△CDE的中位线，
∴AB=12DE=12×26=13(m)，
故选：D．
根据三角形中位线定理解答即可．
本题主要考查了三角形中位线定理，熟练掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
10.【答案】A
【解析】解：如图，连接AC、CF，
在正方形ABCD和正方形CEFG中，BC=1，CE=2，
∴AC= 2，CF=2 2，∠ACD=∠GCF=45°，
∴∠ACF=90°，
在Rt△ACF中，由勾股定理得，
AF= AC2+CF2= 2+8= 10，
∵H是AF的中点，
∴CH=12AF=12× 10= 102，
故选：A．
连接AC、CF，根据正方形的性质得出AC与CF的长，再在Rt△ACF中，由勾股定理得出AF的长，根据直角三角形斜边上的直线的性质得出CH的长即可．
本题考查了正方形的性质，勾股定理，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
11.【答案】 22
【解析】解： 12= 24= 2 4= 22．
故答案为 22．
先把12的分子分母都乘以2得到 12= 24，再利用二次根式的除法法则得到 2 4，然后利用二次根式的性质化简即可．
本题考查了二次根式的性质与化简： a2=|a|.也考查了二次根式的除法．
12.【答案】= 3
【解析】解：8⊕4= 8+4 8−4= 12 4=2 32= 3，
故答案为：= 3．
运用运算新定义进行计算、求解．
此题考查了实数运算新定义问题的运算能力，关键是能准确理解并运用运算定义进行计算、求解．
13.【答案】=
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，四边形MBQK是矩形，四边形PKND是矩形，
∴△ABD的面积=△CDB的面积，△MBK的面积=△QKB的面积，△PKD的面积=△NDK的面积，
∴△ABD的面积−△MBK的面积−△PKD的面积=△CDB的面积−△QKB的面积=△NDK的面积，
∴S1=S2．
故答案为S1=S2．
根据矩形的性质，可知△ABD的面积等于△CDB的面积，△MBK的面积等于△QKB的面积，△PKD的面积等于△NDK的面积，再根据等量关系即可求解．
本题的关键是得到△ABD的面积等于△CDB的面积，△MBK的面积等于△QKB的面积，△PKD的面积等于△NDK的面积，依此即可求解．
14.【答案】x2+42=(10−x)2
【解析】解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为(10−x)尺，
根据勾股定理得：x2+42=(10−x)2，
故答案为：x2+42=(10−x)2．
竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为(10−x)尺．利用勾股定理得出方程即可．
此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题．
15.【答案】60°
【解析】解：如图，连接CC′，
由题意可知：EF垂直平分BC，
∴BC′=CC′，
由折叠性质可知：BC=BC′，CH=C′H，
∴BC=CC′=BC′，∠HCC′=∠HC′C，
∴△BCC′是等边三角形，
∴∠BCC′=60°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD=90°，
∴∠HCC′=∠HC′C=30°，
∴∠DHC′=∠HCC′+∠HC′C=60°，
故答案为：60°．
折叠性质可得BC=CC′=BC′，则可证明△BCC′是等边三角形，根据性质可知∠BCC′=60°，最后利用三角形外角性质即可求出∠DHC′的度数．
此题考查了翻折变换，正方形的性质，解题的关键是熟练掌握翻折的性质．
16.【答案】解：(1)( 3+2)( 3−2)
=3−4
=−1；
(2)( 24− 12)−( 18+ 6)
=2 6− 22− 24− 6
= 6−3 24．
【解析】(1)根据二次根式混合运算法则进行计算即可；
(2)先根据二次根式性质进行化简，然后再按照二次根式加减运算法则进行计算即可．
本题主要考查了二次根式混合运算法则，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算法则，准确计算．
17.【答案】解：△ABC是直角三角形，理由如下：
∵AB= 32+42=5，BC= 22+42=2 5，AC= 12+22= 5．
∴AC2+BC2=( 5)2+(2 5)2=52=AB2，
∴∠ACB=90°，
∴△ABC是直角三角形．
【解析】根据勾股定理和勾股定理的逆定理即可求解．
本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握网格结构，勾股定理，勾股定理的逆定理是解题的关键．
18.【答案】解：(1)∵a= 6+3，
b= 6−3
∴a+b=2 6，
a−b=6，
ab=−3；
∴a2−b2=(a+b)(a+b)=12 6；
(2)由(1)可得
a2+b2=(a−b)2+2ab=36+(−6)=30．
【解析】(1)已知a= 6+3，b= 6−3，变形求出即可．
(2)根据(1)变形求出a2+b2．
此题考查了完全平方公式的变形和二次根式运算，解题的关键是熟悉完全平方公式和二次根式的运算规则．
19.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//CB，AD=CB，
∴∠DAF=∠BCE，
∵AE=CF，
∴AE+EF=CF+EF，
∴AF=CE，
在△ADF和△CBE中，
AD=CB∠DAF=∠BCEAF=CE，
∴△ADF≌△CBE(SAS)，
∴DF=BE，∠AFE=∠CEB，
∴DF//BE，
∴四边形DEBF是平行四边形．
【解析】由平行四边形的性质得AD//CB，AD=CB，则∠DAF=∠BCE，由AE=CF推导出AF=CE，即可根据“SAS”证明△ADF≌△CBE，得DF=BE，∠AFE=∠CEB，则DF//BE，所以四边形DEBF是平行四边形．
此题重点考查平行四边形的判定与性质、平行线的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明△ADF≌△CBE是解题的关键．
20.【答案】解：如图，设旗杆的高度为x m，则
由题可知，AB=AD=x m，AC=(x−1)m，
在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，
∴(x−1)2+52=x2，
解得x=13，
答：旗杆的高度为13m．
【解析】根据题意画出示意图，设旗杆高度为x m，可得AB=AD=x m，AC=(x−1)m，BC=5m，在Rt△ABC中利用勾股定理可求出x．
本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是构造直角三角形．
21.【答案】对角线互相平分的四边形是平行四边形 对角线互相平分的四边形是平行四边形 A 52
【解析】(1)解：①依据为：对角线互相平分的四边形是平行四边形；
故答案为：对角线互相平分的四边形是平行四边形；
(2)证明：延长BD到E，使得DE=BD，连接AE、CE，如图2所示：
∵BD是斜边AC上的中线，
∴AD=CD，
又∵DE=BD，
∴四边形ABCE是平行四边形，
又∵∠ABC=90°，
∴平行四边形ABCE是矩形，
∴BE=AC，
∵DE=BD=12BE，
∴BD=12AC；
(3)解：由上述证明方法中将三角形的问题转化为矩形对角线的关系，主要体现的数学思想是转化思想，
故答案为：A；
(4)解：如图3，过点A在AB上方作AH⊥AB，过点D作CH⊥AH于H，过点D在BD上方作DI⊥AD，过点E作EI⊥DI于I，连接BI、BH、HI，延长IE交AH于J，
同(1)可知：四边形ABCH、四边形BDIE为矩形，
∴∠HAD=∠ADI=∠DIE=90°，
∴四边形ADIJ都为矩形，同理：四边形CEJH和四边形ABEJ为矩形，
∴HJ=CE=BC−BE=4−1=3，IJ=AD=AB+BD=4，
在Rt△HIJ中，由勾股定理得：HI= IJ2+HJ2= 32+42=5，
∵点F，G分别是AC和DE的中点，四边形ABCH、四边形BDIE都是矩形，
∴点F，G分别是BH和BI的中点，
∴FG是△BHI的中位线，
∴FG=12HI=52，
故答案为：52．
(1)根据平行四边形的判定方法填写即可；
(2)延长BD到E，使得DE=BD，连接AE、CE，证四边形ABCE是平行四边形，再由∠ABC=90°，得平行四边形ABCE是矩形，则BE=AC，进而得出结论；
(3)由(1)的证明方法即可得出结论；
(4)过点A在AB上方作AH⊥AB，过点D作CH⊥AH于H，过点D在BD上方作DI⊥AD，过点E作EI⊥DI于I，连接BI、BH、HI，延长IE交AH于J，证四边形CEJH、四边形ABEJ均为矩形，得HJ=3，IJ=4，再由勾股定理得HI=5，然后证FG是△BHI的中位线，即可求解．
本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理、三角形中位线定理以及转化思想等知识，熟练掌握矩形的判定与性质，证明FG为△BHI的中位线是解题的关键．
22.【答案】90°
【解析】解：(1)∵AB⊥AC，
∴∠BAC=90°，
在Rt△ABC中，AB=1，BC= 5，
∴AC= BC2−AB2=2，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OA=OC=12AC=1，AD//BC，
∴△AOB为等腰直角三角形，
∴∠AOB=45°，
∵AF//BE，
∴当EF//AB时，四边形ABEF是平行四边形，
∴EF⊥AC，
∴α=90°；
故答案为90°；
(2)在旋转的过程中，四边形BEDF可能是菱形．
如图1，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴四边形ABCD的对称中心为点O，
∴OB=OD，OE=OF，
∴四边形BEDF为平行四边形，
∴当EF⊥BD时，四边形BEDF为菱形，
∵∠AOB=45°，
∴∠COE=45°，
即此时α为45°；
(3)在旋转过程中，存在以A、B、C、D、E、F中的4个点为顶点的四边形是矩形，
∵OA=OC，OB=OD，OE=OF，
∴当EF=AC时，四边形AECF为矩形，如图2，矩形AECF的对角线长为2；
当EF=BD时，四边形BEDF为矩形，如图3，
∵△AOB为等腰直角三角形，
∴OB= 2AB= 2，
∴BD=2OB=2 2，
∴矩形BEDF的对角线长为2 2．
(1)由AB⊥AC得∠BAC=90°，在Rt△ABC中，根据勾股定理计算出AC=2，再根据平行四边形的性质得OA=OC=12AC=1，AD//BC，于是可判断△AOB为等腰直角三角形，则∠AOB=45°，根据平行四边形的判定当EF//AB时，四边形ABEF是平行四边形，则EF⊥AC，根据旋转的性质得α=90°；
(2)由于四边形ABCD的对称中心为点O，则OB=OD，OE=OF，可判断四边形BEDF为平行四边形，根据菱形的判定，当EF⊥BD时，四边形BEDF为菱形而∠AOB=45°，根据互余得到∠COE=45°，所以此时α为45°；
(3)根据平行四边形的性质有OA=OC，OB=OD，OE=OF，再根据矩形的判定，当EF=AC时，四边形AECF为矩形，易得此时矩形AECF的对角线长为2；当EF=BD时，四边形BEDF为矩形，由△AOB为等腰直角三角形得OB= 2AB= 2，则BD=2OB=2 2，所以此时矩形BEDF的对角线长为2 2．
本题考查了四边形的综合题：熟练掌握平行四边形和特殊平行四边形的判定与性质；理解旋转的性质；会运用等腰直角三角形的性质和勾股定理进行几何计算．
23.【答案】正方形 3
【解析】(1)证明：DG=BE且DG⊥BE，理由如下：
如图所示，设AG与BE交于点H，DG与BE交于点K，
∵四边形ABCD与四边形AEFG为正方形，
∴AB=AD，AG=AE，∠DAB=∠EAG=90°，
∴∠DAB+∠BAG=∠EAG+∠BAG，即∠DAG=∠BAE，
在△DAG与△BAE中，
AD=AB∠DAG=∠BAEAG=AE，
∴△DAG≌△BAE(SAS)，
∴DG=BE，∠AEB=∠AGD，
∵∠AEB+∠AHE=90°，∠AHE=∠KHG，
∴∠KHG+∠AGD=90°，
∴∠GKH=90°，
∴DG⊥BE，
综上所述，DG=BE，DG⊥BE．
(2)解：根据题意，作图如下，
∵连接BG、GE、ED、DB，分别取BG、GE、ED、DB的中点M、N、P、Q，连接MN，NP，PQ，QM，
∴在四边形BGED中，连接各边中点由四边形MNPQ，如图所示，连接BE，DG，设BE，DG交于点R，
由(1)可知，DG=BE，DG⊥BE，
在△BGE中，
∵点M，N分别是BG，EG的中点，
∴MN是△BGE的中位线，
∴MN//BE，MN=12BE，
在△BDE中，
∵点P，Q分别是DE，BD的中点，
∴PQ是△BDE的中位线，
∴PQ//BE，PQ=12BE，
∴MN//PQ，MN=PQ，
同理可证，QM//PN，QM=PN，
∵BE=DG，
∴MN=NP=PQ=MQ，
∴四边形MNPQ是菱形，
∵DG⊥BE，
∴∠BRD=∠DRE=∠ERG=∠BRG=90，
∵MN//BE，
∴MN⊥GR，
∵NP//DG，
∴NP⊥MN，即∠MNP=90°，
∴菱形MNPQ是正方形，
∵BE=2 3，
∴MN=NP=PQ=MQ=12BE=12×2 3= 3，
∴正方形MNPQ的面积为：S正方形MNPQ=MN2=( 3)2=3，
∴四边形MNPQ的面积为3，
故答案为：正方形，3．
(1)根据正方形的性质可得AB=AD，AG=AE，∠DAB=∠EAG=90°，根据旋转的性质可得∠DAG=∠BAE，根据“边角边”的判定方法可证△DAG≌△BAE(SAS)，可得DG=BE，在Rt△AHE中，根据直角三角形的性质可证∠GKH=90°，由此即可求证；
(2)根据中位线可证四边形MNPQ是菱形，根据(1)中DG⊥BE可证∠MNP=90°，由此可得四边形MNPQ是正方形，根据正方形的面积计算方法即可求解．
本题主要考查正方形的判定和性质，旋转的性质，全等三角形的性质，中位线的性质等知识的综合，掌握以上知识的综合运用是解题的关键．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
如图1，△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜边AC上的中线.求证：BD=12AC．
分析：要证明BD等于AC的一半.可以用“倍长法”将BD延长一倍，如图2，延长BD到E，使得DE=BD.连接AE，CE.可证四边形ABCE是矩形，由矩形的对角线相等得BE=AC，这样将直角三角形斜边上的中线与斜边的数量关系转化为矩形对角线的数量关系，进而得到BD=12AC．
证明：延长BD到E，使得DE=BD，连接AE、CE，如图2所示：
∵BD是斜边AC上的中线，
∴AD=CD，
又∵DE=BD，
∴四边形ABCE是平行四边形(①依据：______)
1.若 a+5在实数范围内有意义，则a的取值范围是( )
A. a≥0B. a≥−5C. a>−5D. a≤5
2.下列各式中，正确的是( )
A. (−3)2=−3B. − 32=−3C. (−3)2=±3D. 32=±3
3.在△ABC中，AB=c，AC=b，BC=a，下列不能判定△ABC为直角三角形的是( )
A. ∠A−∠B=∠CB. (c+b)(c−b)=a2
C. ∠A：∠B：∠C=3：4：5D. a：b：c=8：15：17
4.如图，已知两正方形的面积分别是25和169，则字母B所代表的正方形的边长是( )
A. 12
B. 13
C. 144
D. 194
5.已知在菱形ABCD中，AB=10，BD=16，则菱形ABCD的面积为( )
A. 160
B. 80
C. 40
D. 96
6.“数形结合”就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来进行研究的数学思想.如图，在数轴上以O为圆心，OB长为半径画弧交数轴于点A，即OA=OB，则数轴上点A所表示的数是( )
A. 1.5B. 3C. 2D. 5
7.在数学活动课上，老师要求同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是某合作学习小组的四位同学拟定的方案，其中正确的是( )
A. 测量对角线是否相互平分B. 测量两组对边是否分别相等
C. 测量一组对角是否都为直角D. 测量四边形其中的三个角是否都为直角
8.下列二次根式中，属于最简二次根式的是( )
A. + 0.5B. 911C. 121D. 22
9.如图，为了测量池塘边A、B两地之间的距离，在AB的同侧取一点C，连接CA并延长至点D，连接CB并延长至点E，使得CA=DA，CB=EB，若测得DE=26m，则A、B间的距离是( )
A. 10m
B. 11m
C. 12m
D. 13m
10.如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=2，H是AF的中点，那么CH的长是( )
A. 102
B. 5
C. 52
D. 2
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11. 12=______．
12.对于任意两个不相等的实数a、b，定义一种新运算“⊕”如下：a⊕b= a+b a−b，例如：3⊕2= 3+2 3−2= 5，那么8⊕4 ______．
13.如图，过矩形ABCD的对角线BD上一点K分别作矩形两边的平行线MN与PQ，那么图中矩形AMKP的面积S1与矩形QCNK的面积S2的大小关系是S1 ______S2；(填“>”或“<”或“=”)
14.《九章算术》中记载“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺.问：折者高几何？”译文：一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好着地，着地处离原竹子根部4尺远.问：竹子折断处离地面还有几尺？(1丈=10尺)设竹子折断处离地面还有x尺，则可列方程为______．
15.如图，小明将一张正方形纸片对折，使得AB与CD重合，折痕为EF，展开后再沿BH折叠，使得点C刚好落在折痕EF上的C′处，则∠DHC′的度数为______．
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题8分)
计算：
(1)( 3+2)( 3−2)；
(2)( 24− 12)−( 18+ 6)．
17.(本小题8分)
如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，试判断△ABC的形状，并说明理由．
18.(本小题8分)
若a= 6+3，b= 6−3，求：
(1)a2−b2；
(2)a2+b2．
19.(本小题8分)
如图，E，F是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点，AE=CF，连接DE，DF，BE，BF．
求证：四边形DEBF是平行四边形．
20.(本小题8分)
看着冉冉升起的五星红旗，你们是否想过旗杆到底有多高呢？某数学兴趣小组为了测量旗杆高度，进行以下操作：如图1，先将升旗的绳子拉到旗杆底端，发现绳子末端刚好接触到地面；如图2，再将绳子末端拉到距离旗杆5m处，发现绳子末端距离地面1m.请根据以上测量情况，计算旗杆的高度．
21.(本小题10分)
阅读与思考：小明同学在学习矩形性质之后，对直角三角形的性质“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的证明思路做了及时的梳理与总结.阅读小明同学的笔记，并完成相应任务
任务：
(1)①依据为：______；
(2)请补小明的全证明过程；
(3)上述证明方法中主要体现的数学思想是______；
A.转化思想
B.类比思想
C.数形结合思想
D.从一般到特殊思想
(4)将Rt△ABC和Rt△BDE按图3放置，其中∠ABC=90°，∠DBE=90°，点A、B、D在一直线上，分别取AC和DE的中点F和G，连接GF.若AB=3，BC=4，BD=BE=1，则GF= ______．
22.(本小题13分)
如图，▱ABCD中，AB⊥AC，AB=1，BC= 5.对角线AC、BD相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转α°，分别交直线BC、AD于点E、F．
(1)当α= ______时，四边形ABEF是平行四边形；
(2)在旋转的过程中，四边形BEDF可能是菱形吗？如果能，求出此时α的值；如果不能，说明理由；
(3)在旋转过程中，是否存在以A、B、C、D、E、F中的4个点为顶点的四边形是矩形？如果存在，直接写出矩形的名称及对角线的长度；如果不存在，说明理由．
23.(本小题12分)
综合与探究：如图1，将正方形ABCD与正方形AEFG放置，AD与AE在同一直线上，AB与AG在同一直线上.连接DG，BE，易证DG=BE且DG⊥BE(不需要说明理由)．
(1)在同一平面内，若小明将正方形ABCD与正方形AEFG按图2放置，连接DG，BE，试判断DG与BE的关系，并证明；
(2)如图3，连接BG、GE、ED、DB，分别取BG、GE、ED、DB的中点M、N、P、Q，连接MN，NP，PQ，QM，则四边形MNPQ的形状为______；若BE=2 3，则四边形MNPQ的面积为______．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：由题意得：a+5≥0，
∴a≥−5．
故选：B．
根据二次根式有意义的条件：被开方数是非负数即可得出答案．
本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件：被开方数是非负数是解题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：∵ (−3)2=|−3|=3，
∴A选项的结论不正确；
∵− 32=−3，
∴B选项的结论正确；
∵ (−3)2=|−3|=3，
∴C选项的结论不正确；
∵ 32=3，
∴D选项的结论不正确，
故选：B．
利用二次根式的性质对每个选项进行逐一判断即可得出结论．
本题主要考查了二次根式的性质，正确利用二次根式的性质对每个选项进行判断是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：A、由∠A−∠B=∠C，可得∠A=∠B+∠C=180°−∠A，
∴∠A=180°2=90°．
此选项能判定△ABC是直角三角形，但不符合题意．
B、由(c+b)(c−b)=a2整理得：a2+b2=c2，
则△ABC为直角三角形，故选项B不符合题意．
C、由∠A：∠B：∠C=3：4：5，
结合三角形内角和为180°可推得∠A=45°，∠B=60°，∠C=75°，
此选项不能判定△ABC是直角三角形，但符合题意．
D、当a：b：c=8：15：17时，
可设a=8x，b=15x，c=17x，
则a2+b2=(8x)2+(15x)2=(17x)2=c2，
则△ABC为直角三角形，此选项不符合题意．
故选：C．
根据勾股定理的逆定理和三角形内角和分别判断即可．
本题考查了直角三角形的判定，涉及了勾股定理的逆定理，会用勾股定理的逆定理判断三角形的形状是解答本题的关键．
4.【答案】A
【解析】解：字母B所代表的正方形的面积=169−25=144．
则字母B所代表的正方形的边长是12，
故选：A．
结合勾股定理和正方形的面积公式，得字母B所代表的正方形的面积等于其它两个正方形的面积差．
本题考查了勾股定理的知识，熟记：以直角三角形的两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积．
5.【答案】D
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，BD=16，
∴AC⊥BD，OB=12BD=8，
∵在Rt△AOB中，AB=10，
∴AO= AB2−OB2=6，
∴AC=2AO=12，
∴S菱形ABCD=12AC⋅BD=96．
故选：D．
根据菱形的性质利用勾股定理求得OA的长，从而得到AC的长，再根据菱形的面积公式即可求得其面积．
此题考查学生对菱形的性质及勾股定理的理解及运用，熟练掌握菱形的性质是解答本题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：根据数轴，OB= 22+12= 5，
∴OA=OB= 5，
则数轴上点A所表示的数是 5，
故选：D．
根据勾股定理求得OA=OB= 5即可求解．
本题考查实数与数轴、勾股定理，理解实数与数轴上的点一一对应是解答的关键．
7.【答案】D
【解析】解：A、对角线是否相互平分，能判定平行四边形；
B、两组对边是否分别相等，能判定平行四边形；
C、测量一组对角是否都为直角，不能判定形状；
D、其中四边形中三个角都为直角，能判定矩形．
故选：D．
矩形的判定定理有：
(1)有一个角是直角的平行四边形是矩形；
(2)有三个角是直角的四边形是矩形；
(3)对角线互相平分且相等的四边形是矩形．
本题考查的是矩形的判定定理，解题的关键是牢记这些定理，属于基础概念题，比较简单．
8.【答案】D
【解析】解：A、+ 0.5= 12= 22，被开方数含分母，不是最简二次根式，本选项不符合题意；
B、 911=3 1111，被开方数含分母，不是最简二次根式，本选项不符合题意；
C、 121=11，化简后不含二次根式，本选项不符合题意；
D、 22是最简二次根式，本选项符合题意；
故选：D．
根据最简二次根式的概念判断即可．
本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．
9.【答案】D
【解析】解：∵CA=DA，CB=EB，
∴A、B分别是CD、CE的中点，
∴AB是△CDE的中位线，
∴AB=12DE=12×26=13(m)，
故选：D．
根据三角形中位线定理解答即可．
本题主要考查了三角形中位线定理，熟练掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
10.【答案】A
【解析】解：如图，连接AC、CF，
在正方形ABCD和正方形CEFG中，BC=1，CE=2，
∴AC= 2，CF=2 2，∠ACD=∠GCF=45°，
∴∠ACF=90°，
在Rt△ACF中，由勾股定理得，
AF= AC2+CF2= 2+8= 10，
∵H是AF的中点，
∴CH=12AF=12× 10= 102，
故选：A．
连接AC、CF，根据正方形的性质得出AC与CF的长，再在Rt△ACF中，由勾股定理得出AF的长，根据直角三角形斜边上的直线的性质得出CH的长即可．
本题考查了正方形的性质，勾股定理，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
11.【答案】 22
【解析】解： 12= 24= 2 4= 22．
故答案为 22．
先把12的分子分母都乘以2得到 12= 24，再利用二次根式的除法法则得到 2 4，然后利用二次根式的性质化简即可．
本题考查了二次根式的性质与化简： a2=|a|.也考查了二次根式的除法．
12.【答案】= 3
【解析】解：8⊕4= 8+4 8−4= 12 4=2 32= 3，
故答案为：= 3．
运用运算新定义进行计算、求解．
此题考查了实数运算新定义问题的运算能力，关键是能准确理解并运用运算定义进行计算、求解．
13.【答案】=
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，四边形MBQK是矩形，四边形PKND是矩形，
∴△ABD的面积=△CDB的面积，△MBK的面积=△QKB的面积，△PKD的面积=△NDK的面积，
∴△ABD的面积−△MBK的面积−△PKD的面积=△CDB的面积−△QKB的面积=△NDK的面积，
∴S1=S2．
故答案为S1=S2．
根据矩形的性质，可知△ABD的面积等于△CDB的面积，△MBK的面积等于△QKB的面积，△PKD的面积等于△NDK的面积，再根据等量关系即可求解．
本题的关键是得到△ABD的面积等于△CDB的面积，△MBK的面积等于△QKB的面积，△PKD的面积等于△NDK的面积，依此即可求解．
14.【答案】x2+42=(10−x)2
【解析】解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为(10−x)尺，
根据勾股定理得：x2+42=(10−x)2，
故答案为：x2+42=(10−x)2．
竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为(10−x)尺．利用勾股定理得出方程即可．
此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题．
15.【答案】60°
【解析】解：如图，连接CC′，
由题意可知：EF垂直平分BC，
∴BC′=CC′，
由折叠性质可知：BC=BC′，CH=C′H，
∴BC=CC′=BC′，∠HCC′=∠HC′C，
∴△BCC′是等边三角形，
∴∠BCC′=60°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD=90°，
∴∠HCC′=∠HC′C=30°，
∴∠DHC′=∠HCC′+∠HC′C=60°，
故答案为：60°．
折叠性质可得BC=CC′=BC′，则可证明△BCC′是等边三角形，根据性质可知∠BCC′=60°，最后利用三角形外角性质即可求出∠DHC′的度数．
此题考查了翻折变换，正方形的性质，解题的关键是熟练掌握翻折的性质．
16.【答案】解：(1)( 3+2)( 3−2)
=3−4
=−1；
(2)( 24− 12)−( 18+ 6)
=2 6− 22− 24− 6
= 6−3 24．
【解析】(1)根据二次根式混合运算法则进行计算即可；
(2)先根据二次根式性质进行化简，然后再按照二次根式加减运算法则进行计算即可．
本题主要考查了二次根式混合运算法则，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算法则，准确计算．
17.【答案】解：△ABC是直角三角形，理由如下：
∵AB= 32+42=5，BC= 22+42=2 5，AC= 12+22= 5．
∴AC2+BC2=( 5)2+(2 5)2=52=AB2，
∴∠ACB=90°，
∴△ABC是直角三角形．
【解析】根据勾股定理和勾股定理的逆定理即可求解．
本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握网格结构，勾股定理，勾股定理的逆定理是解题的关键．
18.【答案】解：(1)∵a= 6+3，
b= 6−3
∴a+b=2 6，
a−b=6，
ab=−3；
∴a2−b2=(a+b)(a+b)=12 6；
(2)由(1)可得
a2+b2=(a−b)2+2ab=36+(−6)=30．
【解析】(1)已知a= 6+3，b= 6−3，变形求出即可．
(2)根据(1)变形求出a2+b2．
此题考查了完全平方公式的变形和二次根式运算，解题的关键是熟悉完全平方公式和二次根式的运算规则．
19.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//CB，AD=CB，
∴∠DAF=∠BCE，
∵AE=CF，
∴AE+EF=CF+EF，
∴AF=CE，
在△ADF和△CBE中，
AD=CB∠DAF=∠BCEAF=CE，
∴△ADF≌△CBE(SAS)，
∴DF=BE，∠AFE=∠CEB，
∴DF//BE，
∴四边形DEBF是平行四边形．
【解析】由平行四边形的性质得AD//CB，AD=CB，则∠DAF=∠BCE，由AE=CF推导出AF=CE，即可根据“SAS”证明△ADF≌△CBE，得DF=BE，∠AFE=∠CEB，则DF//BE，所以四边形DEBF是平行四边形．
此题重点考查平行四边形的判定与性质、平行线的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明△ADF≌△CBE是解题的关键．
20.【答案】解：如图，设旗杆的高度为x m，则
由题可知，AB=AD=x m，AC=(x−1)m，
在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，
∴(x−1)2+52=x2，
解得x=13，
答：旗杆的高度为13m．
【解析】根据题意画出示意图，设旗杆高度为x m，可得AB=AD=x m，AC=(x−1)m，BC=5m，在Rt△ABC中利用勾股定理可求出x．
本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是构造直角三角形．
21.【答案】对角线互相平分的四边形是平行四边形 对角线互相平分的四边形是平行四边形 A 52
【解析】(1)解：①依据为：对角线互相平分的四边形是平行四边形；
故答案为：对角线互相平分的四边形是平行四边形；
(2)证明：延长BD到E，使得DE=BD，连接AE、CE，如图2所示：
∵BD是斜边AC上的中线，
∴AD=CD，
又∵DE=BD，
∴四边形ABCE是平行四边形，
又∵∠ABC=90°，
∴平行四边形ABCE是矩形，
∴BE=AC，
∵DE=BD=12BE，
∴BD=12AC；
(3)解：由上述证明方法中将三角形的问题转化为矩形对角线的关系，主要体现的数学思想是转化思想，
故答案为：A；
(4)解：如图3，过点A在AB上方作AH⊥AB，过点D作CH⊥AH于H，过点D在BD上方作DI⊥AD，过点E作EI⊥DI于I，连接BI、BH、HI，延长IE交AH于J，
同(1)可知：四边形ABCH、四边形BDIE为矩形，
∴∠HAD=∠ADI=∠DIE=90°，
∴四边形ADIJ都为矩形，同理：四边形CEJH和四边形ABEJ为矩形，
∴HJ=CE=BC−BE=4−1=3，IJ=AD=AB+BD=4，
在Rt△HIJ中，由勾股定理得：HI= IJ2+HJ2= 32+42=5，
∵点F，G分别是AC和DE的中点，四边形ABCH、四边形BDIE都是矩形，
∴点F，G分别是BH和BI的中点，
∴FG是△BHI的中位线，
∴FG=12HI=52，
故答案为：52．
(1)根据平行四边形的判定方法填写即可；
(2)延长BD到E，使得DE=BD，连接AE、CE，证四边形ABCE是平行四边形，再由∠ABC=90°，得平行四边形ABCE是矩形，则BE=AC，进而得出结论；
(3)由(1)的证明方法即可得出结论；
(4)过点A在AB上方作AH⊥AB，过点D作CH⊥AH于H，过点D在BD上方作DI⊥AD，过点E作EI⊥DI于I，连接BI、BH、HI，延长IE交AH于J，证四边形CEJH、四边形ABEJ均为矩形，得HJ=3，IJ=4，再由勾股定理得HI=5，然后证FG是△BHI的中位线，即可求解．
本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理、三角形中位线定理以及转化思想等知识，熟练掌握矩形的判定与性质，证明FG为△BHI的中位线是解题的关键．
22.【答案】90°
【解析】解：(1)∵AB⊥AC，
∴∠BAC=90°，
在Rt△ABC中，AB=1，BC= 5，
∴AC= BC2−AB2=2，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OA=OC=12AC=1，AD//BC，
∴△AOB为等腰直角三角形，
∴∠AOB=45°，
∵AF//BE，
∴当EF//AB时，四边形ABEF是平行四边形，
∴EF⊥AC，
∴α=90°；
故答案为90°；
(2)在旋转的过程中，四边形BEDF可能是菱形．
如图1，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴四边形ABCD的对称中心为点O，
∴OB=OD，OE=OF，
∴四边形BEDF为平行四边形，
∴当EF⊥BD时，四边形BEDF为菱形，
∵∠AOB=45°，
∴∠COE=45°，
即此时α为45°；
(3)在旋转过程中，存在以A、B、C、D、E、F中的4个点为顶点的四边形是矩形，
∵OA=OC，OB=OD，OE=OF，
∴当EF=AC时，四边形AECF为矩形，如图2，矩形AECF的对角线长为2；
当EF=BD时，四边形BEDF为矩形，如图3，
∵△AOB为等腰直角三角形，
∴OB= 2AB= 2，
∴BD=2OB=2 2，
∴矩形BEDF的对角线长为2 2．
(1)由AB⊥AC得∠BAC=90°，在Rt△ABC中，根据勾股定理计算出AC=2，再根据平行四边形的性质得OA=OC=12AC=1，AD//BC，于是可判断△AOB为等腰直角三角形，则∠AOB=45°，根据平行四边形的判定当EF//AB时，四边形ABEF是平行四边形，则EF⊥AC，根据旋转的性质得α=90°；
(2)由于四边形ABCD的对称中心为点O，则OB=OD，OE=OF，可判断四边形BEDF为平行四边形，根据菱形的判定，当EF⊥BD时，四边形BEDF为菱形而∠AOB=45°，根据互余得到∠COE=45°，所以此时α为45°；
(3)根据平行四边形的性质有OA=OC，OB=OD，OE=OF，再根据矩形的判定，当EF=AC时，四边形AECF为矩形，易得此时矩形AECF的对角线长为2；当EF=BD时，四边形BEDF为矩形，由△AOB为等腰直角三角形得OB= 2AB= 2，则BD=2OB=2 2，所以此时矩形BEDF的对角线长为2 2．
本题考查了四边形的综合题：熟练掌握平行四边形和特殊平行四边形的判定与性质；理解旋转的性质；会运用等腰直角三角形的性质和勾股定理进行几何计算．
23.【答案】正方形 3
【解析】(1)证明：DG=BE且DG⊥BE，理由如下：
如图所示，设AG与BE交于点H，DG与BE交于点K，
∵四边形ABCD与四边形AEFG为正方形，
∴AB=AD，AG=AE，∠DAB=∠EAG=90°，
∴∠DAB+∠BAG=∠EAG+∠BAG，即∠DAG=∠BAE，
在△DAG与△BAE中，
AD=AB∠DAG=∠BAEAG=AE，
∴△DAG≌△BAE(SAS)，
∴DG=BE，∠AEB=∠AGD，
∵∠AEB+∠AHE=90°，∠AHE=∠KHG，
∴∠KHG+∠AGD=90°，
∴∠GKH=90°，
∴DG⊥BE，
综上所述，DG=BE，DG⊥BE．
(2)解：根据题意，作图如下，
∵连接BG、GE、ED、DB，分别取BG、GE、ED、DB的中点M、N、P、Q，连接MN，NP，PQ，QM，
∴在四边形BGED中，连接各边中点由四边形MNPQ，如图所示，连接BE，DG，设BE，DG交于点R，
由(1)可知，DG=BE，DG⊥BE，
在△BGE中，
∵点M，N分别是BG，EG的中点，
∴MN是△BGE的中位线，
∴MN//BE，MN=12BE，
在△BDE中，
∵点P，Q分别是DE，BD的中点，
∴PQ是△BDE的中位线，
∴PQ//BE，PQ=12BE，
∴MN//PQ，MN=PQ，
同理可证，QM//PN，QM=PN，
∵BE=DG，
∴MN=NP=PQ=MQ，
∴四边形MNPQ是菱形，
∵DG⊥BE，
∴∠BRD=∠DRE=∠ERG=∠BRG=90，
∵MN//BE，
∴MN⊥GR，
∵NP//DG，
∴NP⊥MN，即∠MNP=90°，
∴菱形MNPQ是正方形，
∵BE=2 3，
∴MN=NP=PQ=MQ=12BE=12×2 3= 3，
∴正方形MNPQ的面积为：S正方形MNPQ=MN2=( 3)2=3，
∴四边形MNPQ的面积为3，
故答案为：正方形，3．
(1)根据正方形的性质可得AB=AD，AG=AE，∠DAB=∠EAG=90°，根据旋转的性质可得∠DAG=∠BAE，根据“边角边”的判定方法可证△DAG≌△BAE(SAS)，可得DG=BE，在Rt△AHE中，根据直角三角形的性质可证∠GKH=90°，由此即可求证；
(2)根据中位线可证四边形MNPQ是菱形，根据(1)中DG⊥BE可证∠MNP=90°，由此可得四边形MNPQ是正方形，根据正方形的面积计算方法即可求解．
本题主要考查正方形的判定和性质，旋转的性质，全等三角形的性质，中位线的性质等知识的综合，掌握以上知识的综合运用是解题的关键．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
如图1，△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜边AC上的中线.求证：BD=12AC．
分析：要证明BD等于AC的一半.可以用“倍长法”将BD延长一倍，如图2，延长BD到E，使得DE=BD.连接AE，CE.可证四边形ABCE是矩形，由矩形的对角线相等得BE=AC，这样将直角三角形斜边上的中线与斜边的数量关系转化为矩形对角线的数量关系，进而得到BD=12AC．
证明：延长BD到E，使得DE=BD，连接AE、CE，如图2所示：
∵BD是斜边AC上的中线，
∴AD=CD，
又∵DE=BD，
∴四边形ABCE是平行四边形(①依据：______)
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