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2022-2023学年山西省忻州市原平市南坡中学八年级（下）期中数学试卷（含解析）
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这是一份2022-2023学年山西省忻州市原平市南坡中学八年级（下）期中数学试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.要使二次根式 5x−2在实数范围内有意义，则x的取值范围是( )
A. x=25B. x≠25C. x≥25D. x≤25
2.下列计算中，正确的是( )
A. 2+ 3= 5B. 3× 6=3 2C. 5− 3= 2D. 7÷ 2= 5
3.如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是( )
A. AB=DC，AD=BC
B. ∠DAB=∠DCB，∠ABC=∠ADC
C. AO=CO，BO=DO
D. AB//CD，AD=BC
4.如图，在平面直角坐标系中，A(−1,0)，B(0,2)，以点A为圆心，AB为半径画弧，交x轴正半轴于点C，点C的横坐标为( )
A. 3−1
B. 2
C. 5−1
D. 1− 5
5.如图，EF过平行四边形ABCD对角线的交点O，交AD于点E，交BC于点F，若平行四边形ABCD的周长是36，OE=3，则四边形ABFE的周长为( )
A. 21
B. 24
C. 27
D. 18
6.在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°.如果再添加一个条件可推出四边形是正方形，那么这个条件可以是( )
A. AB=CDB. BC=CDC. ∠D=90°D. AC=BD
7.如图，一个圆桶底面直径为8cm，高为12cm，则桶内所能容下的最长木棒的长度为( )
A. 8 cm
B. 10 cm
C. 4 5cm
D. 4 13cm
8.若菱形的周长为100cm，有一条对角线为48cm，则菱形的面积为( )
A. 336cm2B. 480cm2C. 300cm2D. 168cm2
9.如图，矩形ABCD为一个正在倒水的水杯的截面图，杯中水面与CD的交点为E，当水杯底面BC与水平面的夹角为27°时，∠AED的大小为( )
A. 27°B. 53°C. 57°D. 63°
10.我国古代数学家刘徽将勾股形(古人称直角三角形为勾股形)分割成一个正方形和两对全等的三角形.如图所示，已知∠A=90°，正方形ADOF的边长是2，CF=4，则BD的长为( )
A. 6B. 4 2C. 8D. 10
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.化简： 8=______．
12.如图，已知一块四边形草地ABCD，其中∠A=45°，∠B=∠D=90°，AB=10m，CD=5m，则这块土地的面积为______．
13.已知a是正整数， 18a是整数，则a的最小值是2.那么若b是正整数， 240b是大于1的整数，则b的最大值与最小值的差是______．
14.如图，在▱ABCD中，过对角线BD上一点P作EF//BC，GH//AB，且CG=3BG，S▱BEPG=1.5，则S▱AEPH= ______．
15.如图，点D是△ABC的边BC上的一点，连接AD，将△BAD沿AD翻折得到△EAD，连接BE交AD于点G，连接DE，交AC于点F，若DF：EF=1：2，AG=5，BG=6，△ADF的面积是274，则点G到BC的距离是______．
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
(1)计算： 32+ 8− 50；
(2)下面是小文同学进行二次根式混合运算的过程，请认真阅读，完成相应的任务：
任务：
①上述解答过程中，第1步依据的乘法公式为______(用字母表示)；
②上述解答过程，从第______步开始出错，具体的错误是______；
③计算的正确结果为______．
17.(本小题9分)
如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画图形．
(1)在图1中，画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数；
(2)在图2中，画一个等腰三角形，使它的面积为8；
(3)在图3中，画一个正方形，使它的面积为5．
18.(本小题10分)
如图，在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接BF，AC，且AD=AF．
(1)判断四边形ABFC的形状并证明；
(2)若AB=3，∠ABC=60°，求EF的长．
19.(本小题9分)
根据规定，小汽车在城市街道上行驶的速度不得超过70km/h.如图，一辆小汽车在一条城市街道上直行，某一时刻刚好行驶到路边车速检测仪A处的正前方30m的C处，过了2s后，测得小汽车与车速检测仪间的距离为50m.这辆小汽车超速了吗？
20.(本小题10分)
已知：如图，矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线EF与AD、AC、BC分别交于点E、O、F．
(1)求证：四边形AFCE是菱形；
(2)若AB=5，BC=12，EF=6，求菱形AFCE的面积．
21.(本小题8分)
如图，有一架秋千，当它静止在AD的位置时，踏板离地的垂直高度为0.6m，将秋千AD往前推送3m，到达AB的位置，此时，秋千的踏板离地的垂直高度为1.6m，秋千的绳索始终保持拉直的状态．
(1)根据题意，BF=______m，BC=______m，CD=______m；
(2)根据(1)中求得的数据，求秋千的长度．
(3)如果想要踏板离地的垂直高度为2.6m时，需要将秋千AD往前推送______m.
22.(本小题8分)
阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：3+2 2=1+2 2+2=(1+ 2)2，善于思考的小明进行了以下探索：设a+b 2=(m+n 2)2(其中a、b、m、n均为整数)，则有a+b 2=m2+2n2+2mn 2.∴a=m2+2n2，b=2mn.这样小明就找到了一种把部分a+b 2的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
(1)当a、b、m、n均为正整数时，若a+b 3=(m+n 3)2，用含m、n的式子分别表示a、b的值；
(2)试着把7+4 3化成一个完全平方式．
23.(本小题11分)
如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等腰三角形，AB=AE，∠BAE=θ(0°<θ<90°).连接DE，过B作BF⊥DE于F，连接BF，CF．
(1)若θ=60°，求∠BED的度数；
(2)当θ变化时，∠BED的大小会发生变化吗？请说明理由；
(3)请直接写出线段DE与CF之间的数量关系______．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：由题意得：5x−2≥0，
解得：x≥25，
故选：C．
根据二次根式有意义的条件可得5x−2≥0，再解不等式即可．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．
2.【答案】B
【解析】解： 2与 3不能合并，故A不符合题意；
3× 6=3 2，故B符合题意；
5与 3不能合并，故C不符合题意；
7÷ 2= 142，故D不符合题意；
故选：B．
根据二次根式的运算法则逐项判断即可．
本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式相关运算的法则．
3.【答案】D
【解析】解：A、由“AB=DC，AD=BC”可知，四边形ABCD的两组对边相等，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意；
B、由“∠DAB=∠DCB，∠ABC=∠ADC”可知，四边形ABCD的两组对角相等，可以判定四边形ABCD是平行四边形，故本选项不符合题意；
C、由“AO=CO，BO=DO”可知，四边形ABCD的两条对角线互相平分，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意；
D、由“AB//DC，AD=BC”可知，四边形ABCD的一组对边平行，另一组对边相等，据此不能判定该四边形是平行四边形．故本选项符合题意．
故选：D．
根据平行四边形的判定方法一一判断即可；
本题考查平行四边形的判定，解题的关键是记住平行四边形的判定方法，属于中考基础题．
4.【答案】C
【解析】解：∵A(−1,0)，B(0,2)，
∴OA=1，OB=2，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB= OA2+OB2= 12+22= 5，
∴AC=AB= 5，
∴OC= 5−1，
∴点C的横坐标为 5−1．
故选：C．
求出OA、OB，根据勾股定理求出AB，即可得出AC，求出OC长即可．
本题考查了勾股定理，实数的大小比较，坐标与图形性质的应用，解此题的关键是求出OC的长．
5.【答案】B
【解析】【分析】
先由ASA证明△AOE≌△COF，得OE=OF，AE=CF，再求得AB+BC=18，由平行四边形ABFE的周长=AB+AE+BF+EF=AB+BF+CF+2OE，即可求得答案．
本题考查了平行四边形的性质及全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
【解答】
解：∵四边形ABCD为平行四边形，对角线的交点为O，
∴AB=CD，AD=BC，OA=OC，AD//BC，
∴∠EAO=∠FCO，
在△AOE和△COF中，∠EAO=∠FCOOA=OC∠AOE=∠COF，
∴△AOE≌△COF(ASA)，
∴OE=OF，AE=CF，
∵平行四边形ABCD的周长为36，
∴AB+BC=12×36=18，
∴四边形ABFE的周长=AB+AE+BF+EF=AB+BF+CF+2OE=AB+BC+2×3=18+6=24
故选：B．
6.【答案】B
【解析】解：∵四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴AD=CD，∠D=90°，AC=BD，
故A，C，D不符合题意，
当AB=AD时，即一组邻边相等时，矩形ABCD为正方形，
故C符合题意，
故选：B．
先判断四边形ABCD是矩形，由正方形的判定可直接判断B正确．
本题考查了矩形的判定和性质，，正方形的判定等，熟练掌握并能够灵活运用正方形的判定是解决问题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：如图，AC为圆桶底面直径，CB是桶高，
∴AC=8cm，CB=12cm，
∴线段AB的长度就是桶内所能容下的最长木棒的长度，
∴AB= AC2+BC2= 82+122=4 13(cm)．
故桶内所能容下的最长木棒的长度为4 13cm．
故选：D．
圆桶内容下的木棒最长时，木棒、圆桶的直径、桶高三者正好构成一个直角三角形，根据勾股定理即可求解．
本题是勾股定理在实际生活中的应用，把木棒、圆桶的直径、桶高三者转化成一个直角三角形是解决问题的关键．
8.【答案】A
【解析】解：如图，设对角线AC、BD交于点O，
∵四边形ABCD是平行四边形，周长为100cm，BD=48cm，
∴AB=25cm，OA=OC，OB=OD=24cm，AC⊥BD，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：OA= AB2−OB2= 252−242=7(cm)，
∴AC=2OA=14cm，
∴菱形ABCD的面积=12AC⋅BD=12×14×48=336(cm2)，
故选：A．
由菱形的性质得AB=25cm，OA=OC，OB=OD=24cm，AC⊥BD，再由勾股定理得OA=7(cm)，则AC=2OA=14cm，然后由菱形面积公式列式计算即可．
本题考查了菱形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
9.【答案】D
【解析】解：
∵AE//BF，
∴∠EAB=∠ABF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB//CD，∠ABC=90°，
∴∠ABF+27°=90°，
∴∠ABF=63°，
∴∠EAB=63°，
∵AB//CD，
∴∠AED=∠EAB=63°．
故选：D．
根据题意可知AE//BF，∠EAB=∠ABF，∠ABF+27°=90°，等量代换求出∠EAB，再根据平行线的性质求出∠AED．
本题考查了矩形的性质，熟记矩形的性质并灵活运用是解题的关键．
10.【答案】A
【解析】解：正方形ADOF的边长为2，则AD=AF=2，
设BD=x，
∵△BDO≌△BEO，△CEO≌△CFO，
∴BD=BE，CF=CE，
∴AB=x+2，AC=4+2=6，BC=x+4，
∵AC2+AB2=BC2，
∴(x+2)2+62=(x+4)2，
∴x=6，
∴BD=6，
故选：A．
设BD=x，正方形ADOF的边长为2，则AD=AF=2，根据全等三角形的性质得到CF=CE，BE=BD，根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了勾股定理的证明，全等三角形的性质，正方形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
11.【答案】2 2
【解析】解： 8= 4×2= 4× 2=2 2．
故答案为：2 2．
应用二次根式的化简的方法进行计算即可得出答案．
本题主要考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的化简的计算方法进行求解是解决本题的关键．
12.【答案】37.5m2
【解析】解：如图，分别延长AD，BC交于点E．
因为∠A=45°，∠B=∠D=90°，
所以∠DCE=∠DEB=∠A=45°，
所以AB=BE，CD=DE，
因为AB=10m，CD=5m，
所以BE=10m，DE=5m，
因为S△ABE=12AB⋅BE=12×10×10=50(m2)，S△CDE=12CD⋅DE=12×5×5=12.5(m2)，
四边形ABCD的面积=S△ABE−S△CDE=50−12.5=37.5(m2)
即这块土的面积为37.5m2．
故答案为：37.5m2．
分析：
分别延长AD，BC交于点E，证△ABE和△CDE都是等腰直角三角形，然后求出△ABE和△CDE的面积即可求解．
本题考查了等腰直角三角形的性质，解题的关键是：通过作辅助线，构造新的直角三角形，利用四边形ABCD的面积=S△ABE−S△CED来求解．
13.【答案】45
【解析】解：∵ 240b= 16×15b，
又∵b是正整数且 240b是大于1的整数，
∴当b=15时， 240b的整数值最大为4，此时b的值最小，
当b=60时， 240b的整数值最小为2，此时b的值最大，
∴b的最大值与最小值的差是60−15=45．
故答案为：45．
由 240b= 16×15b，结合b是正整数， 240b是大于1的整数，可得b是15的倍数，从而可得答案．
本题考查的是算术平方根的含义与估算，理解题意是解本题的关键．
14.【答案】4.5
【解析】解：∵EF//BC，GH//AB，
∴四边形HPFD、BEPG、AEPH、CFPG为平行四边形，
∴S△PEB=S△BGP，
同理可得S△PHD=S△DFP，S△ABD=S△CDB，
∴S△ABD−S△PEB−S△PHD=S△CDB−S△BGP−S△DFP，
即S四边形AEPH=S四边形PFCG．
∵CG=3BG，S▱BEPG=1.5，
∴S四边形AEPH=S四边形PFCG=3×1.5=4.5；
故答案为：4.5．
由条件可证明四边形HPFD、BEPG为平行四边形，可证明S四边形AEPH=S四边形PFCG，再利用面积的和差可得出四边形AEPH和四边形PFCG的面积相等，由已知条件即可得出答案．
本题主要考查平行四边形的判定和性质，掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键，即①两组对边分别平行⇔四边形为平行四边形，②两组对边分别相等⇔四边形为平行四边形，③一组对边平行且相等⇔四边形为平行四边形，④两组对角分别相等⇔四边形为平行四边形，⑤对角线互相平分⇔四边形为平行四边形．
15.【答案】4225
【解析】解：∵DF：EF=1：2，
∴DF：DE=1：3，
∵△ADF的面积是274，
∴△ADE的面积是814，
∵将△BAD沿AD翻折得到△EAD，
∴△BAD的面积是814，AD⊥BE，
∴12AD⋅BG=814，
∵BG=6，
∴AD=274，
∵AG=5，
∴DG=AD−AG=74，
在Rt△BDG中，BD= BG2+DG2= 62+(74)2=254，
设点G到BC的距离是h，
∵2S△BGD=BG⋅DG=BD⋅h，
∴h=BG⋅DGBD=6×74254=4225，
故答案为：4225．
由DF：EF=1：2，△ADF的面积是274，可得△ADE的面积是814，△BAD的面积是814，而BG=6，即知AD=274，DG=74，在Rt△BDG中，勾股定理可得BD=254，由面积法即得答案．
本题考查三角形中的折叠，涉及勾股定理、三角形面积等，解题的关键是掌握折叠的性质，求出AD的长度．
16.【答案】(a±b)2=a2±2ab+b2 三 (2 6)2计算错误 1
【解析】解：(1)原式=4 2+2 2−5 2= 2；
(2)①根据题意第1步依据的乘法公式为完全平方公式，
故答案为：(a±b)2=a2±2ab+b2；
②上述解答过程，从第三步开始出错，具体的错误是(2 6)2计算错误，
故答案为：三，(2 6)2计算错误；
③( 3− 2)2×(5+2 6)
=(3−2 6+2)×(5+2 6)
=(5−2 6)(5+2 6)
=52−(2 6)2
=25−24
=1，
∴计算的正确结果为1，
故答案为：1．
(1)根据二次根式的加减运算法则进行计算即可；
(2)根据平方差公式以及完全平方公式进行解答即可．
本题考查了二次根式的混合运算以及乘法公式，熟练掌握相关运算法则以及乘法公式的结构特点是解本题的关键．
17.【答案】解：(1)如图1所示，Rt△ABC即为所求；(图形不唯一，合理即可)
(2)如图2所示，△ABC即为所求；(图形不唯一，合理即可)
(3)如图3所示，正方形ABCD即为所求．(图形不唯一，合理即可)
【解析】(1)根据网格特征，取三边长分别为3、4、5，即可求解；
(2)要使得面积为8，则可考虑底和高为4，结合网格特征作图即可；
(3)由于正方形的面积为5，则边长为 5，结合网格特征确定边长为 5的正方形即可．
本题考查作图，网格作图、勾股定理及其逆定理的运用，理解所作图形的基本性质，熟练利用勾股定理是解题关键．
18.【答案】解：(1)四边形ABFC是矩形，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，
∴∠BAE=∠CFE，∠ABE=∠FCE，
∵E为BC的中点，
∴EB=EC，
在△ABE和△FCE中，
∠BAE=∠CFE∠ABE=∠FCEBE=EC，
∴△ABE≌△FCE(AAS)，
∴AB=CF．
∵AB//CF，
∴四边形ABFC是平行四边形，
∵AD=BC，AD=AF，
∴BC=AF，
∴四边形ABFC是矩形．
(2)∵四边形ABFC是矩形，
∴BC=AF，AE=EF，BE=CE，
∴AE=BE，
∵∠ABC=60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴AB=AE=3，
∴EF=3．
【解析】(1)利用AAS判定△ABE≌△FCE，从而得到AB=CF；由已知可得四边形ABFC是平行四边形，BC=AF，根据对角线相等的平行四边形是矩形，可得到四边形ABFC是矩形；
(2)先证△ABE是等边三角形，可得AB=AE=EF=3．
本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，灵活运用这些性质是解题的关键．
19.【答案】解：在Rt△ABC中，AC=30m，AB=50m；
根据勾股定理可得：
BC= AB2−AC2=40(m)，
∴小汽车的速度为v=402=20(m/s)=20×3.6(km/h)=72(km/h)；
∵72(km/h)>70(km/h)；
∴这辆小汽车超速行驶．
答：这辆小汽车超速了．
【解析】本题求小汽车是否超速，其实就是求BC的距离，直角三角形ABC中，有斜边AB的长，有直角边AC的长，那么BC的长就很容易求得，根据小汽车用2s行驶的路程为BC，那么可求出小汽车的速度，然后再判断是否超速了．
此题主要考查了勾股定理的应用，利用勾股定理求出BC的长是解题关键．
20.【答案】解：(1)∵四边形ABCD是矩形，
∴AE//FC，
∴∠EAO=∠FCO，
∵EF垂直平分AC，
∴AO=CO，FE⊥AC，
在△AOE和△COF中，
∠EAO=∠FCOOA=OC∠AOE=∠COF，
∴△AOE≌△COF(ASA)，
∴EO=FO，
∴四边形AFCE为平行四边形，
又∵FE⊥AC，
∴平行四边形AFCE为菱形；
(2)在Rt△ABC中，由AB=5，BC=12，
根据勾股定理得：AC= AB2+BC2= 52+122=13，又EF=6，
∴菱形AFCE的面积S=12AC⋅EF=12×13×6=39．
【解析】(1)根据ABCD为矩形，根据矩形的对边平行得到AE与CF平行，由两直线平行得到一对内错角相等，又EF垂直平分AC，根据垂直平分线的定义得到AO=CO，且AC与EF垂直，再加上一对对顶角相等，利用“ASA”得到三角形AOE与三角形COF全等，根据全等三角形的对应边相等得到AE=FC，由一组对边平行且相等的四边形为平行四边形得到AFCE为平行四边形，又根据对角线垂直的平行四边形为菱形即可得证；
(2)由矩形的性质得到∠B为直角，在直角三角形ABC中，由AB与BC的长，利用勾股定理求出AC的长，又已知EF的长，而AC与EF为菱形AFCE的两条对角线，根据对角线乘积的一半即可求出菱形的面积．
此题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，以及勾股定理．其中矩形的性质有对边平行且相等，四个角都为直角，对角线互相平行且相等；菱形的性质有四条边相等，对角线互相平分且垂直，一条对角线平分一组对角；菱形的判定方法一般有：四条边相等的四边形为菱形，对角线互相垂直的平行四边形为菱形，邻边相等的平行四边形为菱形等，熟练掌握这些判定与性质是解本题的关键．同时注意菱形的面积可以利用对角线乘积的一半来求．
21.【答案】解：(1)1.6，3，1；
(2)∵BC⊥AC，
∴∠ACB=90°，
设秋千的长度为x m，
则AB=AD=x m，AC=AD−CD=(x−1)m，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2+BC2=AB2，
即(x−1)2+32=x2，
解得：x=5(m)，
即秋千的长度是5m；
(3) 4．
【解析】解：(1)由题意得：BF=1.6m，BC=3m，DE=0.6m，
∵BF⊥EF，AE⊥EF，BC⊥AE，
∴四边形BCEF是矩形，
∴CE=BF=1.6m，
∴CD=CE−DE=1.6−0.6=1(m)，
故答案为：1.6，3，1；
(2)见答案；
(3)当BF=2.6m时，CE=2.6m，
∵DE=0.6m，
∴CD=CE−DE=2.6−0.6=2(m)，
由(2)可知，AD=AB=5m，
∴AC=AD−CD=5−2=3(m)，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：BC= AB2−AC2= 52−32=4(m)，
即需要将秋千AD往前推送4m，
故答案为：4．
(1)由题意得BF=1.6m，BC=3m，DE=0.6m，证四边形BCEF是矩形，得CE=BF=1.6m，则CD=CE−DE=1m；
(2)设秋千的长度为x m，则AB=AD=x m，AC=AD−CD=(x−1)m，在Rt△ABC中，由勾股定理得出方程，解方程即可；
(3)当BF=2.6m时，CE=2.6m，则CD=CE−DE=2m，得AC=AD−CD=3m，然后在Rt△ABC中，由勾股定理求出BC的长即可．
此题考查了勾股定理的应用，正确理解题意，由勾股定理求出秋千的长度是解题的关键．
22.【答案】解：(1)∵a+b 3=(m+n 3)2，
∴a+b 3=m2+2 3mn+3n2，
∴a=m2+3n2，b=2mn；
(2)7+4 3=4+4 3+3=(2+ 3)2．
【解析】(1)直接利用完全平方公式将原式变形，进而得出答案；
(2)利用完全平方公式将原式变形得出答案．
此题主要考查了二次根式的乘除以及完全平方公式，正确运用完全平方公式是解题关键．
23.【答案】DE= 2CF
【解析】解：(1)θ=60°时，如图：
∵AB=AE，
∴△ABE是等边三角形，
∴∠AEB=60°=∠EAB，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
∴∠EAD=∠EAB+∠BAD=60°+90°=150°，AE=AD，
∴∠AED=∠ADE=(180°−∠EAD)÷2=15°，
∴∠BED=∠AEB−∠AED=60°−15°=45°；
(2)当θ变化时，∠BED的大小不会发生变化，理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=90°，AB=AD，
∵∠EAB=θ，AB=AE，
∴AE=AD，∠EAD=90°+θ，
∴∠AED=180°−(90°+θ)2=45°−12θ，
∵AE=AB，∠EAB=θ，
∴∠AEB=180°−θ2=90°−12θ，
∴∠DEB=∠AEB−∠AED=(90°−12θ)−(45°−12θ)=45°；
(3)线段DE与CF的数量关系为：DE= 2CF，证明如下：
过C作CG⊥CF交FD延长线于G，如图：
∵BF⊥DE，
∴∠BFC+∠CFD=90°，
∵CG⊥CF，
∴∠CFD+∠G=90°，
∴∠BFC=∠G，
∵∠BCD=∠FCG=90°，
∴∠BCF=∠DCG，
∵BC=CD，
∴△BCF≌△DCG(AAS)，
∴BF=DG，CF=CG，
∴△FCG是等腰直角三角形，
∴FG= 2CF，
由(2)知，∠DEB=45°，
∴△BEF是等腰直角三角形，
∴EF=BF，
∴EF=DG，
∴EF+FD=DG+FD，即DE=FG，
∴DE= 2CF．
故答案为：DE= 2CF．
(1)θ=60°时，△ABE是等边三角形，可得∠AEB=60°=∠EAB，由四边形ABCD是正方形，可求出∠AED=∠ADE=(180°−∠EAD)÷2=15°，即得∠BED=∠AEB−∠AED=45°；
(2)由四边形ABCD是正方形，得∠BAD=90°，AB=AD，可得∠AED=180°−(90°+θ)2=45°−12θ，根据AE=AB，∠EAB=θ，可得∠AEB=180°−θ2=90°−12θ，故∠DEB=∠AEB−∠AED=45°；
(3)过C作CG⊥CF交FD延长线于G，证明△BCF≌△DCG(AAS)，得BF=DG，CF=CG，知FG= 2CF，而△BEF是等腰直角三角形，有EF=BF，即可证明DE= 2CF．
本题考查正方形性质及应用，涉及全等三角形的判定与性质，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形．解：( 3− 2)2×(5+2 6)=(3−2 6+2)×(5+2 6)…第1步
=(5−2 6)×(5+2 6)…第2步
=25−12…第3步
=13.…第4步
1.要使二次根式 5x−2在实数范围内有意义，则x的取值范围是( )
A. x=25B. x≠25C. x≥25D. x≤25
2.下列计算中，正确的是( )
A. 2+ 3= 5B. 3× 6=3 2C. 5− 3= 2D. 7÷ 2= 5
3.如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是( )
A. AB=DC，AD=BC
B. ∠DAB=∠DCB，∠ABC=∠ADC
C. AO=CO，BO=DO
D. AB//CD，AD=BC
4.如图，在平面直角坐标系中，A(−1,0)，B(0,2)，以点A为圆心，AB为半径画弧，交x轴正半轴于点C，点C的横坐标为( )
A. 3−1
B. 2
C. 5−1
D. 1− 5
5.如图，EF过平行四边形ABCD对角线的交点O，交AD于点E，交BC于点F，若平行四边形ABCD的周长是36，OE=3，则四边形ABFE的周长为( )
A. 21
B. 24
C. 27
D. 18
6.在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°.如果再添加一个条件可推出四边形是正方形，那么这个条件可以是( )
A. AB=CDB. BC=CDC. ∠D=90°D. AC=BD
7.如图，一个圆桶底面直径为8cm，高为12cm，则桶内所能容下的最长木棒的长度为( )
A. 8 cm
B. 10 cm
C. 4 5cm
D. 4 13cm
8.若菱形的周长为100cm，有一条对角线为48cm，则菱形的面积为( )
A. 336cm2B. 480cm2C. 300cm2D. 168cm2
9.如图，矩形ABCD为一个正在倒水的水杯的截面图，杯中水面与CD的交点为E，当水杯底面BC与水平面的夹角为27°时，∠AED的大小为( )
A. 27°B. 53°C. 57°D. 63°
10.我国古代数学家刘徽将勾股形(古人称直角三角形为勾股形)分割成一个正方形和两对全等的三角形.如图所示，已知∠A=90°，正方形ADOF的边长是2，CF=4，则BD的长为( )
A. 6B. 4 2C. 8D. 10
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.化简： 8=______．
12.如图，已知一块四边形草地ABCD，其中∠A=45°，∠B=∠D=90°，AB=10m，CD=5m，则这块土地的面积为______．
13.已知a是正整数， 18a是整数，则a的最小值是2.那么若b是正整数， 240b是大于1的整数，则b的最大值与最小值的差是______．
14.如图，在▱ABCD中，过对角线BD上一点P作EF//BC，GH//AB，且CG=3BG，S▱BEPG=1.5，则S▱AEPH= ______．
15.如图，点D是△ABC的边BC上的一点，连接AD，将△BAD沿AD翻折得到△EAD，连接BE交AD于点G，连接DE，交AC于点F，若DF：EF=1：2，AG=5，BG=6，△ADF的面积是274，则点G到BC的距离是______．
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
(1)计算： 32+ 8− 50；
(2)下面是小文同学进行二次根式混合运算的过程，请认真阅读，完成相应的任务：
任务：
①上述解答过程中，第1步依据的乘法公式为______(用字母表示)；
②上述解答过程，从第______步开始出错，具体的错误是______；
③计算的正确结果为______．
17.(本小题9分)
如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画图形．
(1)在图1中，画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数；
(2)在图2中，画一个等腰三角形，使它的面积为8；
(3)在图3中，画一个正方形，使它的面积为5．
18.(本小题10分)
如图，在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接BF，AC，且AD=AF．
(1)判断四边形ABFC的形状并证明；
(2)若AB=3，∠ABC=60°，求EF的长．
19.(本小题9分)
根据规定，小汽车在城市街道上行驶的速度不得超过70km/h.如图，一辆小汽车在一条城市街道上直行，某一时刻刚好行驶到路边车速检测仪A处的正前方30m的C处，过了2s后，测得小汽车与车速检测仪间的距离为50m.这辆小汽车超速了吗？
20.(本小题10分)
已知：如图，矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线EF与AD、AC、BC分别交于点E、O、F．
(1)求证：四边形AFCE是菱形；
(2)若AB=5，BC=12，EF=6，求菱形AFCE的面积．
21.(本小题8分)
如图，有一架秋千，当它静止在AD的位置时，踏板离地的垂直高度为0.6m，将秋千AD往前推送3m，到达AB的位置，此时，秋千的踏板离地的垂直高度为1.6m，秋千的绳索始终保持拉直的状态．
(1)根据题意，BF=______m，BC=______m，CD=______m；
(2)根据(1)中求得的数据，求秋千的长度．
(3)如果想要踏板离地的垂直高度为2.6m时，需要将秋千AD往前推送______m.
22.(本小题8分)
阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：3+2 2=1+2 2+2=(1+ 2)2，善于思考的小明进行了以下探索：设a+b 2=(m+n 2)2(其中a、b、m、n均为整数)，则有a+b 2=m2+2n2+2mn 2.∴a=m2+2n2，b=2mn.这样小明就找到了一种把部分a+b 2的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
(1)当a、b、m、n均为正整数时，若a+b 3=(m+n 3)2，用含m、n的式子分别表示a、b的值；
(2)试着把7+4 3化成一个完全平方式．
23.(本小题11分)
如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等腰三角形，AB=AE，∠BAE=θ(0°<θ<90°).连接DE，过B作BF⊥DE于F，连接BF，CF．
(1)若θ=60°，求∠BED的度数；
(2)当θ变化时，∠BED的大小会发生变化吗？请说明理由；
(3)请直接写出线段DE与CF之间的数量关系______．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：由题意得：5x−2≥0，
解得：x≥25，
故选：C．
根据二次根式有意义的条件可得5x−2≥0，再解不等式即可．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．
2.【答案】B
【解析】解： 2与 3不能合并，故A不符合题意；
3× 6=3 2，故B符合题意；
5与 3不能合并，故C不符合题意；
7÷ 2= 142，故D不符合题意；
故选：B．
根据二次根式的运算法则逐项判断即可．
本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式相关运算的法则．
3.【答案】D
【解析】解：A、由“AB=DC，AD=BC”可知，四边形ABCD的两组对边相等，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意；
B、由“∠DAB=∠DCB，∠ABC=∠ADC”可知，四边形ABCD的两组对角相等，可以判定四边形ABCD是平行四边形，故本选项不符合题意；
C、由“AO=CO，BO=DO”可知，四边形ABCD的两条对角线互相平分，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意；
D、由“AB//DC，AD=BC”可知，四边形ABCD的一组对边平行，另一组对边相等，据此不能判定该四边形是平行四边形．故本选项符合题意．
故选：D．
根据平行四边形的判定方法一一判断即可；
本题考查平行四边形的判定，解题的关键是记住平行四边形的判定方法，属于中考基础题．
4.【答案】C
【解析】解：∵A(−1,0)，B(0,2)，
∴OA=1，OB=2，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB= OA2+OB2= 12+22= 5，
∴AC=AB= 5，
∴OC= 5−1，
∴点C的横坐标为 5−1．
故选：C．
求出OA、OB，根据勾股定理求出AB，即可得出AC，求出OC长即可．
本题考查了勾股定理，实数的大小比较，坐标与图形性质的应用，解此题的关键是求出OC的长．
5.【答案】B
【解析】【分析】
先由ASA证明△AOE≌△COF，得OE=OF，AE=CF，再求得AB+BC=18，由平行四边形ABFE的周长=AB+AE+BF+EF=AB+BF+CF+2OE，即可求得答案．
本题考查了平行四边形的性质及全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
【解答】
解：∵四边形ABCD为平行四边形，对角线的交点为O，
∴AB=CD，AD=BC，OA=OC，AD//BC，
∴∠EAO=∠FCO，
在△AOE和△COF中，∠EAO=∠FCOOA=OC∠AOE=∠COF，
∴△AOE≌△COF(ASA)，
∴OE=OF，AE=CF，
∵平行四边形ABCD的周长为36，
∴AB+BC=12×36=18，
∴四边形ABFE的周长=AB+AE+BF+EF=AB+BF+CF+2OE=AB+BC+2×3=18+6=24
故选：B．
6.【答案】B
【解析】解：∵四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴AD=CD，∠D=90°，AC=BD，
故A，C，D不符合题意，
当AB=AD时，即一组邻边相等时，矩形ABCD为正方形，
故C符合题意，
故选：B．
先判断四边形ABCD是矩形，由正方形的判定可直接判断B正确．
本题考查了矩形的判定和性质，，正方形的判定等，熟练掌握并能够灵活运用正方形的判定是解决问题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：如图，AC为圆桶底面直径，CB是桶高，
∴AC=8cm，CB=12cm，
∴线段AB的长度就是桶内所能容下的最长木棒的长度，
∴AB= AC2+BC2= 82+122=4 13(cm)．
故桶内所能容下的最长木棒的长度为4 13cm．
故选：D．
圆桶内容下的木棒最长时，木棒、圆桶的直径、桶高三者正好构成一个直角三角形，根据勾股定理即可求解．
本题是勾股定理在实际生活中的应用，把木棒、圆桶的直径、桶高三者转化成一个直角三角形是解决问题的关键．
8.【答案】A
【解析】解：如图，设对角线AC、BD交于点O，
∵四边形ABCD是平行四边形，周长为100cm，BD=48cm，
∴AB=25cm，OA=OC，OB=OD=24cm，AC⊥BD，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：OA= AB2−OB2= 252−242=7(cm)，
∴AC=2OA=14cm，
∴菱形ABCD的面积=12AC⋅BD=12×14×48=336(cm2)，
故选：A．
由菱形的性质得AB=25cm，OA=OC，OB=OD=24cm，AC⊥BD，再由勾股定理得OA=7(cm)，则AC=2OA=14cm，然后由菱形面积公式列式计算即可．
本题考查了菱形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
9.【答案】D
【解析】解：
∵AE//BF，
∴∠EAB=∠ABF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB//CD，∠ABC=90°，
∴∠ABF+27°=90°，
∴∠ABF=63°，
∴∠EAB=63°，
∵AB//CD，
∴∠AED=∠EAB=63°．
故选：D．
根据题意可知AE//BF，∠EAB=∠ABF，∠ABF+27°=90°，等量代换求出∠EAB，再根据平行线的性质求出∠AED．
本题考查了矩形的性质，熟记矩形的性质并灵活运用是解题的关键．
10.【答案】A
【解析】解：正方形ADOF的边长为2，则AD=AF=2，
设BD=x，
∵△BDO≌△BEO，△CEO≌△CFO，
∴BD=BE，CF=CE，
∴AB=x+2，AC=4+2=6，BC=x+4，
∵AC2+AB2=BC2，
∴(x+2)2+62=(x+4)2，
∴x=6，
∴BD=6，
故选：A．
设BD=x，正方形ADOF的边长为2，则AD=AF=2，根据全等三角形的性质得到CF=CE，BE=BD，根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了勾股定理的证明，全等三角形的性质，正方形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
11.【答案】2 2
【解析】解： 8= 4×2= 4× 2=2 2．
故答案为：2 2．
应用二次根式的化简的方法进行计算即可得出答案．
本题主要考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的化简的计算方法进行求解是解决本题的关键．
12.【答案】37.5m2
【解析】解：如图，分别延长AD，BC交于点E．
因为∠A=45°，∠B=∠D=90°，
所以∠DCE=∠DEB=∠A=45°，
所以AB=BE，CD=DE，
因为AB=10m，CD=5m，
所以BE=10m，DE=5m，
因为S△ABE=12AB⋅BE=12×10×10=50(m2)，S△CDE=12CD⋅DE=12×5×5=12.5(m2)，
四边形ABCD的面积=S△ABE−S△CDE=50−12.5=37.5(m2)
即这块土的面积为37.5m2．
故答案为：37.5m2．
分析：
分别延长AD，BC交于点E，证△ABE和△CDE都是等腰直角三角形，然后求出△ABE和△CDE的面积即可求解．
本题考查了等腰直角三角形的性质，解题的关键是：通过作辅助线，构造新的直角三角形，利用四边形ABCD的面积=S△ABE−S△CED来求解．
13.【答案】45
【解析】解：∵ 240b= 16×15b，
又∵b是正整数且 240b是大于1的整数，
∴当b=15时， 240b的整数值最大为4，此时b的值最小，
当b=60时， 240b的整数值最小为2，此时b的值最大，
∴b的最大值与最小值的差是60−15=45．
故答案为：45．
由 240b= 16×15b，结合b是正整数， 240b是大于1的整数，可得b是15的倍数，从而可得答案．
本题考查的是算术平方根的含义与估算，理解题意是解本题的关键．
14.【答案】4.5
【解析】解：∵EF//BC，GH//AB，
∴四边形HPFD、BEPG、AEPH、CFPG为平行四边形，
∴S△PEB=S△BGP，
同理可得S△PHD=S△DFP，S△ABD=S△CDB，
∴S△ABD−S△PEB−S△PHD=S△CDB−S△BGP−S△DFP，
即S四边形AEPH=S四边形PFCG．
∵CG=3BG，S▱BEPG=1.5，
∴S四边形AEPH=S四边形PFCG=3×1.5=4.5；
故答案为：4.5．
由条件可证明四边形HPFD、BEPG为平行四边形，可证明S四边形AEPH=S四边形PFCG，再利用面积的和差可得出四边形AEPH和四边形PFCG的面积相等，由已知条件即可得出答案．
本题主要考查平行四边形的判定和性质，掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键，即①两组对边分别平行⇔四边形为平行四边形，②两组对边分别相等⇔四边形为平行四边形，③一组对边平行且相等⇔四边形为平行四边形，④两组对角分别相等⇔四边形为平行四边形，⑤对角线互相平分⇔四边形为平行四边形．
15.【答案】4225
【解析】解：∵DF：EF=1：2，
∴DF：DE=1：3，
∵△ADF的面积是274，
∴△ADE的面积是814，
∵将△BAD沿AD翻折得到△EAD，
∴△BAD的面积是814，AD⊥BE，
∴12AD⋅BG=814，
∵BG=6，
∴AD=274，
∵AG=5，
∴DG=AD−AG=74，
在Rt△BDG中，BD= BG2+DG2= 62+(74)2=254，
设点G到BC的距离是h，
∵2S△BGD=BG⋅DG=BD⋅h，
∴h=BG⋅DGBD=6×74254=4225，
故答案为：4225．
由DF：EF=1：2，△ADF的面积是274，可得△ADE的面积是814，△BAD的面积是814，而BG=6，即知AD=274，DG=74，在Rt△BDG中，勾股定理可得BD=254，由面积法即得答案．
本题考查三角形中的折叠，涉及勾股定理、三角形面积等，解题的关键是掌握折叠的性质，求出AD的长度．
16.【答案】(a±b)2=a2±2ab+b2 三 (2 6)2计算错误 1
【解析】解：(1)原式=4 2+2 2−5 2= 2；
(2)①根据题意第1步依据的乘法公式为完全平方公式，
故答案为：(a±b)2=a2±2ab+b2；
②上述解答过程，从第三步开始出错，具体的错误是(2 6)2计算错误，
故答案为：三，(2 6)2计算错误；
③( 3− 2)2×(5+2 6)
=(3−2 6+2)×(5+2 6)
=(5−2 6)(5+2 6)
=52−(2 6)2
=25−24
=1，
∴计算的正确结果为1，
故答案为：1．
(1)根据二次根式的加减运算法则进行计算即可；
(2)根据平方差公式以及完全平方公式进行解答即可．
本题考查了二次根式的混合运算以及乘法公式，熟练掌握相关运算法则以及乘法公式的结构特点是解本题的关键．
17.【答案】解：(1)如图1所示，Rt△ABC即为所求；(图形不唯一，合理即可)
(2)如图2所示，△ABC即为所求；(图形不唯一，合理即可)
(3)如图3所示，正方形ABCD即为所求．(图形不唯一，合理即可)
【解析】(1)根据网格特征，取三边长分别为3、4、5，即可求解；
(2)要使得面积为8，则可考虑底和高为4，结合网格特征作图即可；
(3)由于正方形的面积为5，则边长为 5，结合网格特征确定边长为 5的正方形即可．
本题考查作图，网格作图、勾股定理及其逆定理的运用，理解所作图形的基本性质，熟练利用勾股定理是解题关键．
18.【答案】解：(1)四边形ABFC是矩形，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，
∴∠BAE=∠CFE，∠ABE=∠FCE，
∵E为BC的中点，
∴EB=EC，
在△ABE和△FCE中，
∠BAE=∠CFE∠ABE=∠FCEBE=EC，
∴△ABE≌△FCE(AAS)，
∴AB=CF．
∵AB//CF，
∴四边形ABFC是平行四边形，
∵AD=BC，AD=AF，
∴BC=AF，
∴四边形ABFC是矩形．
(2)∵四边形ABFC是矩形，
∴BC=AF，AE=EF，BE=CE，
∴AE=BE，
∵∠ABC=60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴AB=AE=3，
∴EF=3．
【解析】(1)利用AAS判定△ABE≌△FCE，从而得到AB=CF；由已知可得四边形ABFC是平行四边形，BC=AF，根据对角线相等的平行四边形是矩形，可得到四边形ABFC是矩形；
(2)先证△ABE是等边三角形，可得AB=AE=EF=3．
本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，灵活运用这些性质是解题的关键．
19.【答案】解：在Rt△ABC中，AC=30m，AB=50m；
根据勾股定理可得：
BC= AB2−AC2=40(m)，
∴小汽车的速度为v=402=20(m/s)=20×3.6(km/h)=72(km/h)；
∵72(km/h)>70(km/h)；
∴这辆小汽车超速行驶．
答：这辆小汽车超速了．
【解析】本题求小汽车是否超速，其实就是求BC的距离，直角三角形ABC中，有斜边AB的长，有直角边AC的长，那么BC的长就很容易求得，根据小汽车用2s行驶的路程为BC，那么可求出小汽车的速度，然后再判断是否超速了．
此题主要考查了勾股定理的应用，利用勾股定理求出BC的长是解题关键．
20.【答案】解：(1)∵四边形ABCD是矩形，
∴AE//FC，
∴∠EAO=∠FCO，
∵EF垂直平分AC，
∴AO=CO，FE⊥AC，
在△AOE和△COF中，
∠EAO=∠FCOOA=OC∠AOE=∠COF，
∴△AOE≌△COF(ASA)，
∴EO=FO，
∴四边形AFCE为平行四边形，
又∵FE⊥AC，
∴平行四边形AFCE为菱形；
(2)在Rt△ABC中，由AB=5，BC=12，
根据勾股定理得：AC= AB2+BC2= 52+122=13，又EF=6，
∴菱形AFCE的面积S=12AC⋅EF=12×13×6=39．
【解析】(1)根据ABCD为矩形，根据矩形的对边平行得到AE与CF平行，由两直线平行得到一对内错角相等，又EF垂直平分AC，根据垂直平分线的定义得到AO=CO，且AC与EF垂直，再加上一对对顶角相等，利用“ASA”得到三角形AOE与三角形COF全等，根据全等三角形的对应边相等得到AE=FC，由一组对边平行且相等的四边形为平行四边形得到AFCE为平行四边形，又根据对角线垂直的平行四边形为菱形即可得证；
(2)由矩形的性质得到∠B为直角，在直角三角形ABC中，由AB与BC的长，利用勾股定理求出AC的长，又已知EF的长，而AC与EF为菱形AFCE的两条对角线，根据对角线乘积的一半即可求出菱形的面积．
此题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，以及勾股定理．其中矩形的性质有对边平行且相等，四个角都为直角，对角线互相平行且相等；菱形的性质有四条边相等，对角线互相平分且垂直，一条对角线平分一组对角；菱形的判定方法一般有：四条边相等的四边形为菱形，对角线互相垂直的平行四边形为菱形，邻边相等的平行四边形为菱形等，熟练掌握这些判定与性质是解本题的关键．同时注意菱形的面积可以利用对角线乘积的一半来求．
21.【答案】解：(1)1.6，3，1；
(2)∵BC⊥AC，
∴∠ACB=90°，
设秋千的长度为x m，
则AB=AD=x m，AC=AD−CD=(x−1)m，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2+BC2=AB2，
即(x−1)2+32=x2，
解得：x=5(m)，
即秋千的长度是5m；
(3) 4．
【解析】解：(1)由题意得：BF=1.6m，BC=3m，DE=0.6m，
∵BF⊥EF，AE⊥EF，BC⊥AE，
∴四边形BCEF是矩形，
∴CE=BF=1.6m，
∴CD=CE−DE=1.6−0.6=1(m)，
故答案为：1.6，3，1；
(2)见答案；
(3)当BF=2.6m时，CE=2.6m，
∵DE=0.6m，
∴CD=CE−DE=2.6−0.6=2(m)，
由(2)可知，AD=AB=5m，
∴AC=AD−CD=5−2=3(m)，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：BC= AB2−AC2= 52−32=4(m)，
即需要将秋千AD往前推送4m，
故答案为：4．
(1)由题意得BF=1.6m，BC=3m，DE=0.6m，证四边形BCEF是矩形，得CE=BF=1.6m，则CD=CE−DE=1m；
(2)设秋千的长度为x m，则AB=AD=x m，AC=AD−CD=(x−1)m，在Rt△ABC中，由勾股定理得出方程，解方程即可；
(3)当BF=2.6m时，CE=2.6m，则CD=CE−DE=2m，得AC=AD−CD=3m，然后在Rt△ABC中，由勾股定理求出BC的长即可．
此题考查了勾股定理的应用，正确理解题意，由勾股定理求出秋千的长度是解题的关键．
22.【答案】解：(1)∵a+b 3=(m+n 3)2，
∴a+b 3=m2+2 3mn+3n2，
∴a=m2+3n2，b=2mn；
(2)7+4 3=4+4 3+3=(2+ 3)2．
【解析】(1)直接利用完全平方公式将原式变形，进而得出答案；
(2)利用完全平方公式将原式变形得出答案．
此题主要考查了二次根式的乘除以及完全平方公式，正确运用完全平方公式是解题关键．
23.【答案】DE= 2CF
【解析】解：(1)θ=60°时，如图：
∵AB=AE，
∴△ABE是等边三角形，
∴∠AEB=60°=∠EAB，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
∴∠EAD=∠EAB+∠BAD=60°+90°=150°，AE=AD，
∴∠AED=∠ADE=(180°−∠EAD)÷2=15°，
∴∠BED=∠AEB−∠AED=60°−15°=45°；
(2)当θ变化时，∠BED的大小不会发生变化，理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=90°，AB=AD，
∵∠EAB=θ，AB=AE，
∴AE=AD，∠EAD=90°+θ，
∴∠AED=180°−(90°+θ)2=45°−12θ，
∵AE=AB，∠EAB=θ，
∴∠AEB=180°−θ2=90°−12θ，
∴∠DEB=∠AEB−∠AED=(90°−12θ)−(45°−12θ)=45°；
(3)线段DE与CF的数量关系为：DE= 2CF，证明如下：
过C作CG⊥CF交FD延长线于G，如图：
∵BF⊥DE，
∴∠BFC+∠CFD=90°，
∵CG⊥CF，
∴∠CFD+∠G=90°，
∴∠BFC=∠G，
∵∠BCD=∠FCG=90°，
∴∠BCF=∠DCG，
∵BC=CD，
∴△BCF≌△DCG(AAS)，
∴BF=DG，CF=CG，
∴△FCG是等腰直角三角形，
∴FG= 2CF，
由(2)知，∠DEB=45°，
∴△BEF是等腰直角三角形，
∴EF=BF，
∴EF=DG，
∴EF+FD=DG+FD，即DE=FG，
∴DE= 2CF．
故答案为：DE= 2CF．
(1)θ=60°时，△ABE是等边三角形，可得∠AEB=60°=∠EAB，由四边形ABCD是正方形，可求出∠AED=∠ADE=(180°−∠EAD)÷2=15°，即得∠BED=∠AEB−∠AED=45°；
(2)由四边形ABCD是正方形，得∠BAD=90°，AB=AD，可得∠AED=180°−(90°+θ)2=45°−12θ，根据AE=AB，∠EAB=θ，可得∠AEB=180°−θ2=90°−12θ，故∠DEB=∠AEB−∠AED=45°；
(3)过C作CG⊥CF交FD延长线于G，证明△BCF≌△DCG(AAS)，得BF=DG，CF=CG，知FG= 2CF，而△BEF是等腰直角三角形，有EF=BF，即可证明DE= 2CF．
本题考查正方形性质及应用，涉及全等三角形的判定与性质，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形．解：( 3− 2)2×(5+2 6)=(3−2 6+2)×(5+2 6)…第1步
=(5−2 6)×(5+2 6)…第2步
=25−12…第3步
=13.…第4步
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