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模型40 动态角旋转问题（讲+练）-备战2023年中考数学解题大招复习讲义（全国通用）
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这是一份模型40 动态角旋转问题（讲+练）-备战2023年中考数学解题大招复习讲义（全国通用），文件包含模型40动态角旋转问题原卷版docx、模型40动态角旋转问题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共62页， 欢迎下载使用。
模型介绍
★旋转动角问题三步解题技巧总结
R一. 根据题意找到目标角度
R二. 表示出目标角度
1. 角度一边动另一边不动, 角度变大: 目标角 = 起始角 + 速度×时间
2. 角度一边动另一边不动, 角度变小: 目标角=起始角 - 速度 ×时间
3. 角度一边动另一边不动, 角度先变小后变大:
变小: 目标角=起始角 - 速度 × 时间
变大: 目标角=速度 × 时间-起始角
4. 角度两边都动, 运动方向相同且变大
目标角=起始角+速度差×时间
5. 角度两边都动, 运动方向相同且变小
目标角=起始角 - 速度差× 时间
6. 角度两边都动, 运动方向相反
目标角 = 起始角 + 速度和×时间
R三. 根据题意列方程求解
例题精讲
【例1】．如图，已知∠AOB＝126°，∠COD＝54°，OM在∠AOC内，ON在∠BOD内，∠AOM＝∠AOC，∠BON＝∠BOD，当OC边与OB边重合时，∠COD从图中的位置绕点O顺时针旋转n°（0＜n＜126），则n°＝ 51°或69°． 时，∠MON＝2∠BOC．
解：①0°＜n＜54°时，
∠BOC＝n°，∠MON＝2n°，
∠MON＝（126°+n°）+54°﹣（54°+n°）＝100°，
∴n＝51．
②当54°＜n＜126°时，
∠AOC＝360°﹣（126°+n°）＝234°﹣n°，
∠BOD＝54°+n°，
∴∠MON＝360°﹣∠AOM﹣∠AOB﹣∠BON
＝360°﹣（234°﹣n°）﹣126°﹣（54°+n°）
＝138°
∴n＝69．
综上所述，n的值为51或69．
故答案为：51°或69°．
Ø变式训练
【变式1-1】．已知两个完全相同的直角三角形纸片△ABC、△DEF，如图放置，点 B、D重合，点F在BC上，AB与EF交于点G．∠C＝∠EFB＝90°，∠E＝∠ABC＝30°，现将图中的△ABC绕点F按每秒15°的速度沿逆时针方向旋转180°，在旋转的过程中，△ABC恰有一边与DE平行的时间为 2或8或10 秒．
解：∵∠E＝∠ABC＝30°，∠C＝∠EFB＝90°，∠E＝∠ABC＝30°，
∴∠D＝∠A＝60°．
①当DE∥AC时，如图1中，
∵∠C＝90，
∴AC⊥BC，
∴DE⊥BC，
∴∠D+∠BFD＝90°，
∴∠BFD＝90°﹣60°＝30°，
∴旋转时间t＝＝2s．
②如图2中，当DE∥BC时，
∠BFE＝∠E＝30°，
∴∠DFB＝90°+30°＝120°，
∴旋转时间t＝＝8s．
③当DE∥AB时，如图3中，
∴∠BGF＝∠E＝30°，
∴∠BFE＝30°+30°＝60°，
∴∠DFB＝60°+90°＝150°，
∴旋转时间t＝＝10s．
综上所述，旋转时间为2s或8s或10s时，△ABC恰有一边与DE平行．
故答案为：2或8或10．
【变式1-2】．如图1，射线OC在∠AOB的内部，图中共有3个角：∠AOB，∠AOC和∠BOC，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC是∠AOB的“巧分线”．如图2，若∠MPN＝75°，且射线PQ绕点P从PN位置开始，以每秒15°的速度逆时针旋转，射线PM同时绕点P以每秒5°的速度逆时针旋转，当PQ与PN成180°时，PQ与PM同时停止旋转，设旋转的时间为t秒．当射线PQ是∠MPN的“巧分线”时，t的值为 3或或 ．
解：当∠NPQ＝∠MPN时，
15t＝（75+5t），
解得t＝3；
当∠NPQ＝∠MPN时，
15t＝（75+5t），
解得t＝．
当∠NPQ＝∠MPN时，
15t＝（75+5t），
解得t＝．
故t的值为3或或．
故答案为：3或或．
【例2】．一副三角板按图1方式拼接在一起，其中边OA，OC与直线EF重合，∠AOB＝45°，∠COD＝60°，保持三角板COD不动，将三角板AOB绕着点O顺时针旋转一个角度α，（如图2），在转动过程中两块三角板都在直线EF的上方，当OB平分由OA，OC，OD其中任意两边组成的角时，α的值为 30°或90°或105° ．
解：当OB平分∠AOD时，
∵∠AOE＝α，∠COD＝60°，
∴∠AOD＝180°﹣∠AOE﹣∠COD＝120°﹣α，
∴∠AOB＝∠AOD＝60°﹣α＝45°，
∴α＝30°，
当OB平分∠AOC时，
∵∠AOC＝180°﹣α，
∴∠AOB＝90°﹣α＝45°，
∴α＝90°；
当OB平分∠DOC时，
∵∠DOC＝60°，
∴∠BOC＝30°，
∴α＝180°﹣45°﹣30°＝105°，
综上所述，旋转角度α的值为30°或90°或105°；
故答案为：30°或90°或105°．
Ø变式训练
【变式2-1】．将一副直角三角板ABC，ADE按如图1叠加放置，其中B与E重合，∠BAC＝45°，∠BAD＝30°．将三角板ADE从图1位置开始绕点A顺时针旋转，并记AM，AN分别为∠BAE，∠CAD的平分线，当三角板ADE旋转至如图2的位置时，∠MAN的度数为 37.5 °．
解：∵AM，AN分别为∠BAE，∠CAD的角平分线，
∴∠MAE＝∠BAE，∠NAC＝∠DAC，
∴∠MAN＝∠MAE+∠NAC﹣∠CAE
＝（∠BAE+∠DAC）﹣∠CAE
＝（∠BAC+∠DAE+2∠CAE）﹣∠CAE
＝×75°
＝37.5°；
故答案为：37.5．
【变式2-2】．如图①，O为直线AB上一点作射线OC，使∠AOC＝120°，将一个直角三角尺如图摆放，直角顶点在点O处，一条直角边OP在射线OA上，将图①中的三角尺绕点O以每秒5°的速度按逆时针方向旋转（如图②所示），在旋转一周的过程中第t秒时，OQ所在直线恰好平分∠BOC，则t的值为 24s或60s ．
解：如图1，∵∠AOC＝120°，
∴∠BOC＝60°，
∵OQ平分∠BOC，
∴∠BOQ＝∠BOC＝30°，
∴t＝＝24s；
如图2，∵∠AOC＝120°，
∴∠BOC＝60°，
∵OQ′平分∠BOC，
∴∠AOQ＝∠BOQ′＝∠BOC＝30°，
∴t＝＝60s，
综上所述，OQ所在直线恰好平分∠BOC，则t的值为24s或60s，
故答案为：24s或60s．
1．如图，已知PQ∥MN，点A，B分别在MN，PQ上，射线AC自射线AM的位置开始，以每秒3°的速度绕点A顺时针旋转至AN便立即逆时针回转，射线BD自射线BP的位置开始，以每秒1°的速度绕点B逆时针旋转至BQ后停止运动．若射线BD先转动30秒，射线AM才开始转动，当射线AC，BD互相平行时，射线AC的旋转时间为 37.5或105 秒．
解：根据题意，需要分两种情况，
当射线AC顺时针旋转时，如图所示：
∵PQ∥MN，
∴∠PBD＝∠BDN，
∵BD∥AC，
∴∠BDA＝∠CAN，
∴∠PBD＝∠CAN，
设射线AC运动时间为t，则∠MAC＝3°t，∠PBD＝30°+1°t，
∴∠CAN＝180°﹣3°t，
∴30°+1°t＝180°﹣3°t，解得t＝37.5．
当射线AC逆时针旋转时，如图所示：
∵PQ∥MN，
∴∠PBD＝∠BDN，
∵BD∥AC，
∴∠BDA＝∠CAN，
∴∠PBD＝∠CAN，
设射线AC运动时间为t，则∠CAN＝3°t﹣180°，∠PBD＝30°+1°t，
∴30°+1°t＝3°t﹣180°，解得t＝105．
故答案为：37.5或105．
2．如图1，直线ED上有一点O，过点O在直线ED上方作射线OC，将一直角三角板AOB（∠OAB＝30°）的直角顶点放在点O处，一条直角边OA在射线OD上，另一边OB在直线ED上方，将直角三角板绕着点O按每秒10°的速度逆时针旋转一周，旋转时间为t秒．若射线OC的位置保持不变，且∠COE＝140°．则在旋转过程中，如图2，当t＝ 2或8或32 秒时，射线OA，OC与OD中的某一条射线恰好是另两条射线所夹角的平分线．
解：当射线OA是∠COD的平分线时，
∵∠COD＝180°﹣∠COE＝40°，OA是∠COD的平分线，
∴∠AOD＝∠COD＝20°，
∴t＝＝2；
当射线OC是∠AOD的平分线时，
∠AOD＝2∠COD＝80°，
∴t＝＝8；
当射线OD是∠COA的平分线时，
360﹣10t＝40，
∴t＝32，
故答案为：2或8或32．
3．如图1，已知∠ABC＝50°，有一个三角板BDE与∠ABC共用一个顶点B，其中∠EBD＝45°．
（1）若BD平分∠ABC，求∠EBC的度数；
（2）如图2，将三角板绕着点B顺时针旋转α度（0°＜α＜90°），当AB⊥BD时，求∠EBC的度数．
解：（1）∵BD平分∠ABC，∠ABC＝50°，
∴∠CBD＝＝25°，
∵∠EBD＝45°，
∴∠EBC＝∠EBD+∠DBC＝45°+25°＝70°．
（2）∵AB⊥BD，
∴∠ABD＝90°，
∵∠ABC＝50°，
∴∠DCB＝90°﹣50°＝40°，
∵∠EBD＝45°，
∴∠EBC＝45°﹣40°＝5°．
4．将一副三角板叠放在一起，使直角顶点重合于点O．
（1）如图1，若∠AOD＝35°，求∠BOC的度数；
（2）如图（1），求∠BOD+∠AOC的度数；
（3）如图（2）若三角板AOB保持不动，将三角板COD的边OD与边OA重合，然后将其绕点O旋转．试猜想在旋转过程中，∠AOC与∠BOD有何数量关系？请说明理由．
解：（1）若∠AOD＝35°，
∵∠AOB＝∠COD＝90°，
∴∠BOD＝90°﹣35°＝55°，
∴∠BOC＝90°﹣∠BOD＝90°﹣55°＝35°；
（2）∵∠BOD＝∠AOB+∠COD﹣∠AOC，
∴∠BOD+∠AOC＝∠AOB+∠COD＝90°+90°＝180°；
（3）∠AOC与∠BOD互补．
当∠AOB与∠DOC有重叠部分时，
∵∠AOB＝∠COD＝90°，
∴∠AOD+∠BOD+∠BOD+∠BOC＝180°．
∵∠AOD+∠BOD+∠BOC＝∠AOC，
∴∠AOC+∠BOD＝180°；
当∠AOB与∠DOC没有重叠部分时，∠AOB+∠COD+∠AOC+∠BOD＝360°，
又∵∠AOB＝∠COD＝90°，
∴∠AOC+∠BOD＝180°．
5．已知∠AOB＝60°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，求：
（1）如图1，OC为∠AOB内部任意一条射线，求∠MON＝ 30° ；
（2）如图2，当OC旋转到∠AOB的外部时，∠MON的度数会发生变化吗？请说明原因；
（3）如图3，当OC旋转到∠AOB（∠BOC＜120°）的外部且射线OC在OB的下方时，OM平分∠AOC，射线ON在∠BOC内部，∠NOC＝∠BOC，求∠COM﹣∠BON的值？
解：（1）∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，∠AOB＝60°，
∴∠MOC＝∠AOC，
∴∠NOC＝∠BOC，
∴∠MON＝∠MOC+∠NOC＝∠BOC+∠AOC＝∠AOB＝×60°＝30°．
故答案为：30°；
（2）不变，
当OC旋转到∠AOB的外部时，
∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，∠AOB＝60°，
∴∠MOC＝∠AOC，
∴∠NOC＝∠BOC，
∴∠MON＝∠MOC﹣∠NOC＝∠BOC﹣∠AOC＝∠AOB＝×60°＝30°．
∴∠MON的度数不会发生变化；
（3）当OC旋转到∠AOB（∠BOC＜120°）的外部且射线OC在OB的下方时，
∵OM平分∠AOC，∠NOC＝∠BOC，
∴∠COM＝∠AOC，∠BON＝∠BOC，
∴∠COM﹣∠BON＝∠AOC﹣×∠BOC＝∠AOC﹣∠BOC＝∠AOB＝30°．
6．如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC：∠BOC＝1：2，∠MON的一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方，且∠MON＝90°．
（1）如图1，求∠CON的度数；
（2）将图1中的∠MON绕点O以每秒20°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，如图2，若直线ON恰好平分锐角∠AOC，求∠MON所运动的时间t值；
（3）在（2）的条件下，当∠AOC与∠NOC互余时，求出∠BOC与∠MOC之间的数量关系．
解：（1）∵∠AOC：∠BOC＝1：2，∠AOC+∠MOC＝180°，
∴∠AOC＝，
∵∠MON＝90°，
∴∠AON＝90°，
∴∠CON＝∠AOC+∠AON＝90°+60°＝150°；
（2）当直线ON平分∠AOC时，如图，ON'平分∠AOC，逆时针旋转60度至ON''时，直线ON平分所以t＝3，
∵∠AOC＝60°，
∴∠AON'＝30°，
此时射线ON逆时针旋转60度，
∴∠MON所运动的时间t＝60÷20＝3（s）；
如图②，
∵直线ON恰好平分锐角∠AOC，
∴ON沿逆时针旋转的度数为90°+150°＝240°，
∴∠MON所运动的时间t＝＝12（s）；
综上，∠MON所运动的时间t值为3s或12s；
（3）如图③所示：
∵∠AOC+∠NOC＝90°，OM与OA重合
∴∠BOC与∠MOC互补．
如图②所示：
当ON平分∠AOC时，∠AOC+∠NOC＝90°，
∴∠NOC＝30°，∠MOC＝120°，∠BOC＝120°，
∴∠BOC＝∠MOC．
综上所述：∠BOC与∠MOC互补或相等．
7．点O直线AB上一点，过点O作射线OC，使得∠BOC＝65°，将一直角三角板的直角顶点放在点O处．
（1）如图1，将三角板MON的一边ON与射线OB重合时，求∠MOC的度数；
（2）如图2，将三角板MON绕点O逆时针旋转一定角度，此时OC是∠MOB的平分线，求∠BON和∠CON的度数；
（3）将三角板MON绕点O逆时针旋转至图3时，∠NOC＝∠AOM，求∠NOB的度数．
解：（1）∵∠MON＝90°，∠BOC＝65°，
∴∠MOC＝∠MON﹣∠BOC＝90°﹣65°＝25°；
（2）∵∠BOC＝65°，OC是∠MOB的角平分线，
∴∠MOB＝2∠BOC＝130°，
∴∠BON＝∠MOB﹣∠MON＝130°﹣90°＝40°，
∠CON＝∠COB﹣∠BON＝65°﹣40°＝25°，
即∠BON＝40°，∠CON＝25°；
（3）∵∠NOC＝∠AOM，
∴∠AOM＝4∠NOC．
∵∠BOC＝65°，
∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝180°﹣65＝115°，
∵∠MON＝90°，
∴∠AOM+∠NOC＝∠AOC﹣∠MON＝115°﹣90°＝25°，
∴4∠NOC+∠NOC＝25°，
∴∠NOC＝5°，
∴∠NOB＝∠NOC+∠BOC＝70°．
8．以直线AB上一点O为端点作射线OC，使∠BOC＝40°，将一个直角三角板的直角顶点放在O处，即∠DOE＝90°．
（1）如图1，若直角三角板DOE的一边OE放在射线OA上，求∠COD的度数；
（2）如图2，将直角三角板DOE绕点O顺时针转动到某个位置，若OE恰好平分∠AOC，求∠COD的度数；
（3）将直三角板DOE绕点O顺时针转动（OD与OB重合时为停止）的过程中，恰好∠COD＝∠AOE，求此时∠BOD的度数．
解：（1）由题意得∠BOD＝90°，
∵∠BOC＝40°，
∴∠COD＝90°﹣40°＝50°．
（2）∵∠AOC+∠BOC＝180°，∠BOC＝40°，
∴∠AOC＝180°﹣40°＝140°，
∵OE平分∠AOC，
∴∠COE＝∠AOC＝70°，
∵∠DOE＝90°，
∴∠COD＝90°﹣70°＝20°，
（3）①当∠COD在∠BOC的内部时，
∵∠COD＝∠BOC﹣∠BOD，而∠BOC＝40°，
∴∠COD＝40°﹣∠BOD，
∵∠AOE+∠EOD+∠BOD＝180°，∠EOD＝90°，
∴∠AOE＝90°﹣∠BOD，
又∵∠COD＝∠AOE，
∴40°﹣∠BOD＝（90°﹣∠BOD），
∴∠BOD＝15°；
②当∠COD在∠BOC的外部时，
∵∠COD＝∠BOD﹣∠BOC，而∠BOC＝40°，
∴∠COD＝∠BOD﹣40°，
∵∠AOE+∠EOD﹣∠BOD＝180°，∠EOD＝90°，
∴∠AOE＝90°﹣∠BOD，
又∵∠COD＝∠AOE，
∴∠BOD﹣40°＝（90°﹣∠BOD），
∴∠BOD＝52.5°，
综上所述：∠BOD的度数为15°或52.5°．
9．已知∠AOD＝160°，OB、OC、OM、ON是∠AOD内的射线．
（1）如图1，若OM平分∠AOB，ON平分∠BOD．当OB绕点O在∠AOD内旋转时，求∠MON的大小；
（2）如图2，若∠BOC＝20°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD．当∠BOC绕点O在∠AOD内旋转时，求∠MON的大小；
（3）在（2）的条件下，若∠AOB＝10°，当∠BOC在∠AOD内绕着点O以2度/秒的速度逆时针旋转t秒时，∠AOM＝∠DON．求t的值．
解：（1）因为∠AOD＝160°，
OM平分∠AOB，ON平分∠BOD，
所以∠MOB＝∠AOB，∠BON＝∠BOD，
即∠MON＝∠MOB+∠BON
＝∠AOB∠BOD
＝（∠AOB+∠BOD）
＝∠AOD＝80°，
答：∠MON的度数为80°；
（2）因为OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，
所以∠MOC＝∠AOC，∠BON＝∠BOD，
当OC在OB左侧时，如图：
∠MON＝∠MOC+∠BON﹣∠BOC
＝∠AOC∠BOD﹣∠BOC
＝（∠AOC+∠BOD）﹣∠BOC
＝（∠AOD+∠BOC）﹣∠BOC
＝×180°﹣20°
＝70°；
如图，当射线OC在OB右侧时，
∵∠COM＝∠AOC，∠BON＝∠BOD，
∴∠MON＝∠MOC+∠BON+∠BOC
＝∠AOC+∠BOD+∠BOC
＝（∠AOC+∠BOD）+∠BOC
＝（∠AOD﹣∠BOC）+∠BOC
＝×140°+20°
＝90°；
答：∠MON的度数为70°或90°．
（3）∵射线OB从OA逆时针以2°每秒的速度旋转t秒，∠COB＝20°，
∴根据（2）中，得
∠AOC＝∠AOB+∠COB＝2t°+10°+20°＝2t°+30°．
∵射线OM平分∠AOC，
∴∠AOM＝∠AOC＝t°+15°．
∵∠BOD＝∠AOD﹣∠BOA，∠AOD＝160°，
∴∠BOD＝150°﹣2t°．
∵射线ON平分∠BOD，
∴∠DON＝∠BOD＝75°﹣t°．
又∵∠AOM：∠DON＝2：3，
∴（t+15）：（75﹣t）＝2：3，
解得t＝21．
答：t的值为21秒．
10．点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC＝65°，将一直角三角板的直角顶点放在点O处．
（1）如图①，将三角板MON的一边ON与射线OB重合时，则∠MOC＝ 25° ；
（2）如图②，将三角板MON绕点O逆时针旋转一定角度，此时OC是∠MOB的角平分线，求旋转角∠BON和∠CON的度数；
（3）将三角板MON绕点O逆时针旋转至图③时，∠NOC＝∠AOM，求∠NOB的度数．
解：（1）∵∠MON＝90°，∠BOC＝65°，
∴∠MOC＝∠MON﹣∠BOC＝90°﹣65°＝25°．
故答案为：25°．
（2）∵∠BOC＝65°，OC是∠MOB的角平分线，
∴∠MOB＝2∠BOC＝130°．
∴∠BON＝∠MOB﹣∠MON
＝130°﹣90°
＝40°．
∠CON＝∠COB﹣∠BON
＝65°﹣40°
＝25°．
即∠BON＝40°，∠CON＝25°；
（3）∵∠NOC＝∠AOM，
∴∠AOM＝4∠NOC．
∵∠BOC＝65°，
∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC
＝180°﹣65
＝115°．
∵∠MON＝90°，
∴∠AOM+∠NOC＝∠AOC﹣∠MON
＝115°﹣90°
＝25°．
∴4∠NOC+∠NOC＝25°．
∴∠NOC＝5°．
∴∠NOB＝∠NOC+∠BOC＝70°．
11．如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC＝120°．将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．
（1）将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC．问：此时直线ON是否平分∠AOC？请说明理由．
（2）将图1中的三角板绕点O顺时针旋转至图3，使ON在∠AOC的内部，求∠AOM﹣∠NOC的度数．
解：
（1）直线ON平分∠AOC．
理由如下：
如图，设ON的反向延长线为OD，
∵OM平分∠BOC，
∴∠MOC＝∠MOB＝，
又∠MOD＝∠MON＝90°，
∴∠COD＝90°﹣∠BOC＝30°，
∵∠AOC＝180°﹣∠BOC＝60°，
∴∠COD＝∠AOC，
∴OD平分∠AOC，
即直线ON平分∠AOC；
（2）∵∠MON＝90°，∠AOC＝60°，
∴∠AOM＝90°﹣∠AON，∠NOC＝60°﹣∠AON，
∴∠AOM﹣∠NOC＝（90°﹣∠AON）﹣（60°﹣∠AON）＝30°．
12．已知∠AOB＝100°，∠COD＝40°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOD．（本题中的角均为大于0°且小于等于180°的角）．
（1）如图1，当OB、OC重合时，求∠EOF的度数；
（2）当∠COD从图1所示位置绕点O顺时针旋转n°（0＜n＜90）时，∠AOE﹣∠BOF的值是否为定值？若是定值，求出∠AOE﹣∠BOF的值；若不是，请说明理由．
（3）当∠COD从图1所示位置绕点O顺时针旋转n°（0＜n＜180）时，满足∠AOD+∠EOF＝6∠COD，则n＝ 30或50或90 ．
解：（1）∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，
∴∠EOB＝∠AOB＝×100°＝50°，∠COF＝∠COD＝×40°＝20°，
∴∠EOF＝∠EOB+∠COF＝50°+20°＝70°；
（2）∠AOE﹣∠BOF的值不是定值，理由是：
当0＜n＜80时，如图2．∠AOE﹣∠BOF的值是定值，理由是：
∠AOC＝∠AOB+n°，∠BOD＝∠COD+n°，
∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，
∴∠AOE＝∠AOC＝（100°+n°），∠BOF＝∠BOD＝（40°+n°），
∴∠AOE﹣∠BOF＝（100°+n°）﹣（40°+n°）＝30°；
当n＝80时，∠AOC＝180°，∠AOE﹣∠BOF＝（100°+80°）﹣（40°+80°）＝30°；
当80＜n＜90时，如图3．
∠AOE＝（360°﹣100°﹣α）＝130°﹣n°，
∠BOF＝（40°+n°），
则∠AOE﹣∠BOF＝110°﹣n°，不是定值；
（3）当0＜n＜40时，C和D在OA的右侧，
∠AOD＝∠AOB+∠COD+n°＝100°+40°+n°＝140°+n°，
∠EOF＝∠EOC+∠COF＝∠EOC+∠COD﹣∠DOF＝（100°+n°）+40°﹣（40°+n°）＝70°，
∵∠AOD+∠EOF＝6∠COD，
∴（140+n）+70°＝6×40，
∴n＝30．
当40≤n＜80时，如图2所示，D在OA的左侧，C在OA的右侧．
当∠AOD＝∠AOB+∠COD+n°＞180°时，∠AOD＝360°﹣∠AOB﹣∠COD＝220°﹣n°，∠EOF＝70°，
∵∠AOD+∠EOF＝6∠COD，
∴220°﹣n°+70°＝6×40°，
解得n＝50．
当80＜n＜140时，如图3所示，
∠AOD＝360°﹣100°﹣40°﹣n°＝220°﹣n°，∠EOF＝360°﹣（130°﹣n）﹣（40°+n）﹣100°＝110°，
则（220﹣n）+110°＝240°，
解得n＝90°；
当140≤n＜180时，
∠AOD＝220°﹣n°，∠EOF＝70°，
则220﹣n+70＝240，解得n＝50（舍去）．
故答案是：30或50或90．
13．新定义问题
如图①，已知∠AOB，在∠AOB内部画射线OC，得到三个角，分别为∠AOC、∠BOC、∠AOB．若这三个角中有一个角是另外一个角的2倍，则称射线OC为∠AOB的“幸运线”．（本题中所研究的角都是大于0°而小于180°的角．）
【阅读理解】
（1）角的平分线 是 这个角的“幸运线”；（填“是”或“不是”）
【初步应用】
（2）如图①，∠AOB＝45°，射线OC为∠AOB的“幸运线”，则∠AOC的度数为 15°或22.5°或30° ；
【解决问题】
（3）如图②，已知∠AOB＝60°，射线OM从OA出发，以每秒20°的速度绕O点逆时针旋转，同时，射线ON从OB出发，以每秒15°的速度绕O点逆时针旋转，设运动的时间为t秒（0＜t＜9）．若OM、ON、OA三条射线中，一条射线恰好是以另外两条射线为边的角的“幸运线”，求出所有可能的t值．
解：（1）一个角的平分线是这个角的“幸运线”；
故答案为：是；
（2）①设∠AOC＝x，则∠BOC＝2x，
由题意得，x+2x＝45°，解得x＝15°，
②设∠AOC＝x，则∠BOC＝x，
由题意得，x+x＝45°，解得x＝22.5°，
③设∠AOC＝x，则∠BOC＝x，
由题意得，x+x＝45°，解得x＝30°，
故答案为：15°或22.5°或30°；
（3）当0＜t≤4时，∠MON＝60+5t，∠AON＝60﹣15t，
若射线OA是∠MON的幸运线，
则∠AON＝，即60﹣15t＝（60+5t），解得t＝；
∠AON＝∠MON，即60﹣15t＝（60+5t），解得t＝；
∠AON＝∠MON，即60﹣15t＝（60+5t），解得t＝；
当4＜t＜9时，∠MOA＝20t，∠AON＝15t﹣60，
若射线ON是∠AOM的幸运线，
则∠AON＝∠MOA即15t﹣60＝×20t，解得t＝12（舍）；
∠AON＝∠MOA，即15t﹣60＝×20t，解得t＝；
∠AON＝∠MOA，即15t﹣60＝×20t，解得t＝36（舍）；
故t的值是或或或．
14．已知∠AOB＝130°，∠COD＝80°，OM，ON分别是∠AOB和∠COD的平分线．
（1）如图1，如果OA，OC重合，且OD在∠AOB的内部，求∠MON的度数；
（2）如图2，固定∠AOB，将图1中的∠COD绕点O顺时针旋转n°（0＜n≤90）．
①∠MON与旋转度数n°有怎样的数量关系？说明理由；
②当n为多少时，∠MON为直角？
（3）如果∠AOB的位置和大小不变，∠COD的边OD的位置不变，改变∠COD的大小；将图1中的OC绕着O点顺时针旋转m°（0＜m≤100），如图③，请直接写出∠MON与旋转度数m°之间的数量关系： ∠MON＝m°+25° ．
解：（1）如图1，∵OM平分∠AOB，∠AOB＝130°，
∴∠AOM＝∠AOB＝×130°＝65°，
∵ON平分∠COD，∠COD＝80°，
∴∠AON＝∠COD＝×80°＝40°，
∴∠MON＝∠AOM﹣∠AON＝65°﹣40°＝25°；
（2）如图2，①∠MON＝∠COM﹣∠NOC＝65°+n°﹣40°＝n°+25°；
②当∠MON＝90°时，n+25＝90，
∴n＝65．
（3）如图3中，当ON在∠AOB内部时∠MON＝∠AOM﹣∠AON＝65°﹣（40°﹣m°）＝m°+25°．
当ON在∠AOB外部时时，∠MON＝∠AOM+∠AON＝65°+m°﹣40＝m°+25°．
综上所述，∠MON＝m°+25°．
故答案为：∠MON＝m°+25°．
15．已知∠AOB，过顶点O作射线OP，若∠BOP＝∠AOP，则称射线OP为∠AOB的“好线”，因此∠AOB的“好线”有两条，如图1，射线OP1，OP2都是∠AOB的“好线”．
（1）已知射线OP是∠AOB的“好线”，且∠BOP＝30°，求∠AOB的度数；
（2）如图2，O是直线MN上的一点，OB，OA分别是∠MOP和∠PON的平分线，已知∠MOB＝30°，请通过计算说明射线OP是∠AOB的一条“好线”；
（3）如图3，已知∠MON＝120°，∠NOB＝40°．射线OP和OA分别从OM和OB同时出发，绕点O按顺时针方向旋转，OP的速度为每秒12°，OA的速度为每秒4°，当射线OP旋转到ON上时，两条射线同时停止．在旋转过程中，射线OP能否成为∠AOB的“好线”．若不能，请说明理由；若能，直接写出符合条件的所有的旋转时间 5秒或7.5秒． ．
解：（1）∵射线OP是∠AOB的好线，且∠BOP＝30°，
∴∠AOP＝∠BOP＝60°，
①当OP在∠AOB内部时，∠AOB＝∠BOP+∠AOP＝90°，
②当OP在∠AOB外部时，∠A0B＝∠AOP﹣∠BOP＝30°，
∴∠AOB＝90°或30°；
（2）∵OB，OA分别是∠MOP 和∠PON 的平分线，
∴∠AOB＝∠BOP+∠AOP＝（∠MOP+∠NOP）＝90°，∠BOP＝∠BOM＝30°，
∴∠AOP＝90°﹣30°＝60°，
∴∠BOP＝∠AOP，
∴OP是∠AOB的一条“好线”；
（3）5秒或7.5秒．
设运动时间为t，则∠MOP＝12t，∠BOA＝4t，
①当OP在OB上方时，
∠BOP＝80°﹣12t，∠AOP＝80°+4t﹣12t＝80°﹣8t，
∴80﹣8t＝2（80﹣12t）
解得：t＝5；
②当OP在OB下方时，
∠BOP＝12t﹣80°，∠AOP＝80°+4t﹣12t＝80°﹣8t，
∴80﹣8t＝2（12t﹣80），
解得：t＝7.5；
综上所述：t的值为5秒或7.5秒．
故答案为：5秒或7.5秒．
16．如图，点O为直线AB上一点，∠AOC＝90°，在直线AB上方有射线OM、ON分别从OA和OC开始绕点O顺时针旋转，旋转过程中始终保持∠AOM＝2∠CON，OQ平分∠AON．
（1）如图1，证明：ON平分∠MOB；
（2）如图2，在旋转过程中，当∠CON＝2∠MOQ时，求∠CON的度数；
（3）如图3，在旋转过程中，∠AOM是锐角，射线OD在∠MON内部，∠MOD＝30°，OP平分∠MON，∠MOQ：∠POD＝m，∠NOB：∠QOC＝n，在AB下方有射线OT，∠AOT＝90°﹣（m+n）°，∠BOT+∠MOQ＝110°，求∠AOM的度数
解：（1）设∠CON＝α，∠AOM＝2∠CON＝2α，
∴∠AON＝∠AOC+∠CON＝90°+α，
∵∠AOB＝180°，
∴∠NOB＝∠AOB﹣∠AON＝180°﹣（90°+α）＝90°﹣α，
∠MOB＝∠AOB﹣∠AOM＝180°﹣2α＝2（90°﹣α），
∴∠MOB＝2∠NOB，
∴ON平分∠MOB；
（2）若射线OM在∠AOQ内时，
∵OQ平分∠AON，
∴∠AOQ＝∠AON＝（90°+α）＝45°+α，
∴∠MOQ＝∠AOQ﹣∠AOM＝45°+α﹣2α＝45°﹣α，
∵∠CON＝2∠MOQ，
∴α＝2（45°﹣α），
∴α＝22.5°，
即∠CON＝22.5°，
若射线OM在∠BOQ内时，
∴∠MOQ＝∠AOM﹣∠AOQ＝2α﹣（45°+α）＝α﹣45°，
∵∠CON＝2∠MOQ，
∴α＝2（α﹣45°），
∴α＝45°，
即∠CON＝45°，
故∠CON的度数为22.5°或45°；
（3）由（1）（2）知∠AON＝90°+α；∠AOQ＝45°+α，∠MOQ＝45°﹣α；∠NOB＝90°﹣α＝2（45°﹣α），
∴∠MON＝∠AON﹣∠AOM＝90°+α﹣2α＝90°﹣α，
∵OP平分∠MON，
∴∠MOP＝∠MON＝（90°﹣α）＝45°﹣α，
情况1：射线OM在∠AOQ内，
∠POD＝∠MOP﹣∠MOD＝45°﹣α﹣30°＝15°﹣α，
∠QOC＝∠AOC﹣∠AOQ＝90°﹣（45°+α）＝45°﹣α，
∴m＝∠MOQ：∠POD＝（45°﹣α）：（15°﹣α）＝3（15°﹣α）：（15°﹣α）＝3，
n＝∠NOB：∠QOC＝（90°﹣α）：（45°﹣α）＝2（45°﹣α）：（45°﹣α）＝2，
∴∠AOT＝90°﹣（m+n）°＝90°﹣（3+2）°＝85°，
∴∠BOT＝∠AOB﹣∠AOT＝180°﹣85°＝95°，
∵∠BOT+∠MOQ＝110°，
∴∠MOQ＝110°﹣95°＝15°，
∴45°﹣α＝15°，
解得∠α＝20°∠AOM＝2α＝40°，
情况2：射线OM在∠BOQ内，
∠POD＝∠MOD﹣∠MOP＝30°﹣（45°﹣α）＝α﹣15°，
∠MOQ＝∠AOM﹣∠AOQ＝2α﹣（45°+α）＝α﹣45°＝3（α﹣15°），
∴m＝∠MOQ：∠POD＝（α﹣45°）：（α﹣15°）＝3（α﹣15°）：（α﹣15°）＝3，
由情况1可知：n＝∠NOB：∠QOC＝（90°﹣α）：（45°﹣α）＝2，
∴∠AOT＝90°﹣（m+n）°＝90°﹣（3+2）°＝85°，∠BOT＝95°，∠MOQ＝15°，
∴α﹣45°＝15°，
解得∠α＝40°，
∴∠AOM＝2α＝80°．
故∠AOM的度数为40°或80°．
17．如图1，∠AOB＝40°，∠COD＝60°，OM、ON分别为∠AOB和∠BOD的角平分线．
（1）若∠MON＝70°，则∠BOC＝ 40° °；
（2）如图2，∠COD从第（1）问中的位置出发，绕点O逆时针以每秒4°的速度旋转；当OC与OA重合时，∠COD立即反向绕点O顺时针以每秒6°的速度旋转，直到OC与OA互为反向延长线时停止运动．整个运动过程中，∠COD的大小不变，OC旋转后的对应射线记为OC′，OD旋转后的对应射线记为OD′，∠BOD′的角平分线记为ON′，∠AOD′的角平分线记为OP．设运动时间为t秒．
①当OC′平分∠BON′时，求出对应的t的值；
②请问在整个运动过程中，是否存在某个时间段使得|∠BOP﹣∠MON′|的值不变？若存在，请直接写出这个定值及其对应的t的取值范围（包含运动的起止时间）；若不存在，请说明理由．
解：（1）∵OM为∠AOB的角平分线、∠AOB＝40°，
∴∠MOB＝20°．
∵∠MON＝70°，
∴∠BON＝∠MON﹣∠MOB＝50°．
∵ON为∠BOD的角平分线，
∴∠BON＝∠DON＝50°．
∴∠CON＝∠COD﹣∠DON＝10°
∴∠BOC＝∠DON﹣∠CON＝40°．
故答案为：40°．
（2）如图①：①逆时针旋转时：
当C′在B上方时，根据题意可知，∠BOC′＝40°﹣4t，∠BOD′＝∠BOD﹣4t＝100°﹣4t．
∠BON′＝∠BOD′＝＝50°﹣2t，
∵OC′平分∠BON′，
∴∠BOC′＝，即40°﹣4t＝（50°﹣2t），
解得：t＝5（s）．
当C′在B下方时，此时C′也在N′下方，此时不存在OC′平分∠BON′．
顺时针旋转时：如图②，
同理当C′在B下方时，此时C′也在N′下方，此时不存在OC′平分∠BON′．
当C′在B上方时，即OC′与OB重合，
由题意可求OC′与OB重合用的时间＝∠AOC÷4+∠AOB÷6
＝（∠AOB+∠BOC）÷4+∠AOB÷6
＝（s）．
∴OC′与OB重合之后，∠BOC′＝6（t﹣）（s）．
∴∠BOD′＝∠BOC′+60°＝6（t﹣）+60°＝6t﹣100°．
∴∠BON′＝＝（6t﹣100°）＝3t﹣50°，
∵OC′平分∠BON′，
∴∠BOC′＝，
∴6（t﹣）＝（3t﹣50°），
解得：t＝30（s）
综上所述t的值为5或30．
②逆时针旋转时：如图3中，当射线OP在射线OB的上方时，
∵∠POB＝（140°﹣4t）﹣40°＝30°﹣2t，∠BON′＝（100°﹣4t）＝50°﹣2t，
∴∠PON′＝∠BON′﹣∠POB＝20°
∴|∠BOP﹣∠MON′|＝|∠BOM+∠PON′|＝40°，
当OP与OB重合时，（140°﹣4t）﹣40°＝0，解得t＝15．
∴0≤t≤15时，|∠BOP﹣∠MON′|的值不变，是40°．
当射线OP返回时与OB重合时．时间t＝20+＝，
当运动到射线OD与OA共线时，60°+6（t﹣20）＝180°时，解得t＝40，
观察图象可知，≤t≤40时，|∠BOP﹣∠MON′|的值不变，是40°．
当射线OD运动到与射线OB共线时，20°+6（t﹣20）＝180°，解得t＝，
当≤t≤50时，如图4中，同法可得，∠PON′＝20°，
∴|∠BOP﹣∠MON′|＝|∠BOM+∠PON′|＝40°，
综上所述，满足条件的t的值为：0≤t≤15或≤t≤40或≤t≤50．
18．如图1，摆放一个三角形纸板ODE，边OD在正东方向的射线上，点A，B分别在正西，正东方向上，∠COF＝30°，现将三角形纸板ODE从图1位置开始绕点O以每秒5度的速度逆时针方向匀速旋转，设旋转的时间为t秒，在旋转一周的过程中．
（1）当t＝5时，求∠AOD的度数，并写出点D的方向角；
（2）如图2，当三角形纸板ODE旋转至△OD1E1时，边OE1恰好落在射线OF上，且OF平分∠AOD1，OD1平分∠BOC，求t的值，并写出点F的方向角；
（3）当旋转至△OD2E2时，OE2所在直线平分∠AOC，求t的值．
解：（1）因为三角形纸板ODE绕点O旋转的速度为每秒5度，
所以当t＝5时，∠BOD＝25°，
此时，点D在北偏东65°方向上，
又∠AOD+∠BOD＝180°，
所以∠AOD＝180°﹣∠BOD，
即∠AOD＝180°﹣25°＝155°．
（2）如图2中，设∠BOD1＝x°．
因为OD1平分∠BOC，
所以∠BOC＝2x°，∠COD1＝x°，
因为∠COF＝30°，
所以∠D1OF＝∠COD1+∠COF＝x°+30°＝（x+30）°，
又OF平分∠AOD1，
即∠AOF＝∠D1OF，
因为∠AOF+∠D1OF+∠BOD1＝180°，
即2∠D1OF+∠BOD1＝180°，
所以2（x+30）°+x°＝180°，
化解得3x°＝120°，
解得x＝40，
所以三角形纸板ODE运动的时间（秒），
所以∠AOF＝∠D1OF＝40°+30°＝70°，
由90°﹣70°＝20°，得点F的方向角为北偏西20°．
（3）如图3中，
由（2）得∠AOC＝180°﹣∠BOC＝180°﹣2x°＝180°﹣2×40°＝100°，
且∠D1OF＝∠DOE＝70°，
又∠COE＝∠BOC﹣∠DOE＝80°﹣70°＝10°，
当OE2线段平分∠AOC时，OE旋转的角大小为，
所以三角形纸板ODE旋转的时间为（秒），
当线段OE2的反向延长线平分∠AOC时，OE旋转的角大小为60°+180°＝240°，
所以三角形纸板ODE旋转的时间为（秒）．
综上，当OE所在直线平分∠AOC时，t＝12秒或48秒．
19．如图为两个特殊三角板AOB和三角板COD，∠A＝45°，∠D＝60°，O为直角顶点，两直角顶点重合，A，O，D在同一直线上，OB，OC重合，OM平分∠COD，ON平分∠AOB．
（1）∠MON＝ 90 度；
（2）若三角板AOB与三角板COD位置如图（2）所示，满足∠BOC＝20°，求∠MON的度数；
（3）在图（1）的情形下，三角板AOB固定不动，若三角板COD绕着O点旋转（旋转角度小于45°），∠BOC＝α，求∠MON的度数（用含α的式子表示）．
解：（1）∵OM平分∠COD，ON平分∠AOB，
∴∠MOC＝∠COD，∠NOB＝∠AOB，
∵∠MON＝∠MOC+∠NOB，
∴∠MON＝∠AOD，
∵A，O，D在同一直线上，
∴∠AOD＝180°，
∴∠MON＝90°，
故答案为90；
（2）由题意可知∠AOB＝∠COD＝90°，
∵OM平分∠COD，ON平分∠AOB，
∴∠MOC＝∠COD＝45°，∠NOB＝∠AOB＝45°，
∵∠MON＝∠MOC+∠NOB﹣∠BOC，∠BOC＝20°，
∴∠MON＝45°+45°﹣20°＝70°；
（3）①当两三角板由重叠时，由题意可知∠AOB＝∠COD＝90°，
∵OM平分∠COD，ON平分∠AOB，
∴∠MOC＝∠COD＝45°，∠NOB＝∠AOB＝45°，
∵∠MON＝∠MOC+∠NOB﹣∠BOC，∠BOC＝α，
∴∠MON＝45°+45°﹣α＝90°﹣α；
②当两三角板无重叠时，由题意可知∠AOB＝∠COD＝90°，
∵OM平分∠COD，ON平分∠AOB，
∴∠MOC＝∠COD＝45°，∠NOB＝∠AOB＝45°，
∵∠MON＝∠MOC+∠NOB+∠BOC，∠BOC＝α，
∴∠MON＝45°+45°+α＝90°+α．
20．已知长方形纸片ABCD，E、F分别是AD、AB上的一点，点I在射线BC上、连接EF，FI，将∠A沿EF所在的直线对折，点A落在点H处，∠B沿FI所在的直线对折，点B落在点G处．
（1）如图1，当HF与GF重合时，则∠EFI＝ 90 °；
（2）如图2，当重叠角∠HFG＝30°时，求∠EFI的度数；
（3）如图3，当∠GFI＝α，∠EFH＝β时，∠GFI绕点F进行逆时针旋转，且∠GFI总有一条边在∠EFH内，PF是∠GFH的角平分线，QF是∠EFI的角平分线，旋转过程中求出∠PFQ的度数（用含α，β的式子表示）．
解：（1）∵EF平分∠AFH，IF平分∠BFG，
∴∠EFH＝∠AFH，∠IFH＝∠BFH，
∵∠EFI＝∠EFH+∠IFG＝（∠AFH+∠BFH）＝∠AFB＝90°，
∴∠EFI＝∠AFB＝90°，
故答案为：90．
（2）令∠EFG＝x，∠HFI＝y，
∵∠HFG＝30°
∴∠EFA＝30°+x，∠BFI＝30°+y
∴∠AFE+∠EFI+∠BFI＝（30°+x）+（x+30°+y）+（30°+y）＝180°，
即2x+2y＝90°，
∴x+y＝45°，
∴∠EFI＝x+y+30＝75°，
∴∠EFI＝75°．
（3）由题意得∠AFE＝∠EFH＝β，∠BFI＝∠GFI＝α，
∴∠GFH＝2α+2β﹣180°，
∴∠GFP＝∠HFP＝α+β﹣90°，
又∵，
∴∠PFQ＝|∠GFI﹣∠GFP﹣∠QFI|，
∴∠PFQ＝|α﹣（α+β﹣90°）﹣|＝||，
∴∠PFQ|＝||．
模型介绍
★旋转动角问题三步解题技巧总结
R一. 根据题意找到目标角度
R二. 表示出目标角度
1. 角度一边动另一边不动, 角度变大: 目标角 = 起始角 + 速度×时间
2. 角度一边动另一边不动, 角度变小: 目标角=起始角 - 速度 ×时间
3. 角度一边动另一边不动, 角度先变小后变大:
变小: 目标角=起始角 - 速度 × 时间
变大: 目标角=速度 × 时间-起始角
4. 角度两边都动, 运动方向相同且变大
目标角=起始角+速度差×时间
5. 角度两边都动, 运动方向相同且变小
目标角=起始角 - 速度差× 时间
6. 角度两边都动, 运动方向相反
目标角 = 起始角 + 速度和×时间
R三. 根据题意列方程求解
例题精讲
【例1】．如图，已知∠AOB＝126°，∠COD＝54°，OM在∠AOC内，ON在∠BOD内，∠AOM＝∠AOC，∠BON＝∠BOD，当OC边与OB边重合时，∠COD从图中的位置绕点O顺时针旋转n°（0＜n＜126），则n°＝ 51°或69°． 时，∠MON＝2∠BOC．
解：①0°＜n＜54°时，
∠BOC＝n°，∠MON＝2n°，
∠MON＝（126°+n°）+54°﹣（54°+n°）＝100°，
∴n＝51．
②当54°＜n＜126°时，
∠AOC＝360°﹣（126°+n°）＝234°﹣n°，
∠BOD＝54°+n°，
∴∠MON＝360°﹣∠AOM﹣∠AOB﹣∠BON
＝360°﹣（234°﹣n°）﹣126°﹣（54°+n°）
＝138°
∴n＝69．
综上所述，n的值为51或69．
故答案为：51°或69°．
Ø变式训练
【变式1-1】．已知两个完全相同的直角三角形纸片△ABC、△DEF，如图放置，点 B、D重合，点F在BC上，AB与EF交于点G．∠C＝∠EFB＝90°，∠E＝∠ABC＝30°，现将图中的△ABC绕点F按每秒15°的速度沿逆时针方向旋转180°，在旋转的过程中，△ABC恰有一边与DE平行的时间为 2或8或10 秒．
解：∵∠E＝∠ABC＝30°，∠C＝∠EFB＝90°，∠E＝∠ABC＝30°，
∴∠D＝∠A＝60°．
①当DE∥AC时，如图1中，
∵∠C＝90，
∴AC⊥BC，
∴DE⊥BC，
∴∠D+∠BFD＝90°，
∴∠BFD＝90°﹣60°＝30°，
∴旋转时间t＝＝2s．
②如图2中，当DE∥BC时，
∠BFE＝∠E＝30°，
∴∠DFB＝90°+30°＝120°，
∴旋转时间t＝＝8s．
③当DE∥AB时，如图3中，
∴∠BGF＝∠E＝30°，
∴∠BFE＝30°+30°＝60°，
∴∠DFB＝60°+90°＝150°，
∴旋转时间t＝＝10s．
综上所述，旋转时间为2s或8s或10s时，△ABC恰有一边与DE平行．
故答案为：2或8或10．
【变式1-2】．如图1，射线OC在∠AOB的内部，图中共有3个角：∠AOB，∠AOC和∠BOC，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC是∠AOB的“巧分线”．如图2，若∠MPN＝75°，且射线PQ绕点P从PN位置开始，以每秒15°的速度逆时针旋转，射线PM同时绕点P以每秒5°的速度逆时针旋转，当PQ与PN成180°时，PQ与PM同时停止旋转，设旋转的时间为t秒．当射线PQ是∠MPN的“巧分线”时，t的值为 3或或 ．
解：当∠NPQ＝∠MPN时，
15t＝（75+5t），
解得t＝3；
当∠NPQ＝∠MPN时，
15t＝（75+5t），
解得t＝．
当∠NPQ＝∠MPN时，
15t＝（75+5t），
解得t＝．
故t的值为3或或．
故答案为：3或或．
【例2】．一副三角板按图1方式拼接在一起，其中边OA，OC与直线EF重合，∠AOB＝45°，∠COD＝60°，保持三角板COD不动，将三角板AOB绕着点O顺时针旋转一个角度α，（如图2），在转动过程中两块三角板都在直线EF的上方，当OB平分由OA，OC，OD其中任意两边组成的角时，α的值为 30°或90°或105° ．
解：当OB平分∠AOD时，
∵∠AOE＝α，∠COD＝60°，
∴∠AOD＝180°﹣∠AOE﹣∠COD＝120°﹣α，
∴∠AOB＝∠AOD＝60°﹣α＝45°，
∴α＝30°，
当OB平分∠AOC时，
∵∠AOC＝180°﹣α，
∴∠AOB＝90°﹣α＝45°，
∴α＝90°；
当OB平分∠DOC时，
∵∠DOC＝60°，
∴∠BOC＝30°，
∴α＝180°﹣45°﹣30°＝105°，
综上所述，旋转角度α的值为30°或90°或105°；
故答案为：30°或90°或105°．
Ø变式训练
【变式2-1】．将一副直角三角板ABC，ADE按如图1叠加放置，其中B与E重合，∠BAC＝45°，∠BAD＝30°．将三角板ADE从图1位置开始绕点A顺时针旋转，并记AM，AN分别为∠BAE，∠CAD的平分线，当三角板ADE旋转至如图2的位置时，∠MAN的度数为 37.5 °．
解：∵AM，AN分别为∠BAE，∠CAD的角平分线，
∴∠MAE＝∠BAE，∠NAC＝∠DAC，
∴∠MAN＝∠MAE+∠NAC﹣∠CAE
＝（∠BAE+∠DAC）﹣∠CAE
＝（∠BAC+∠DAE+2∠CAE）﹣∠CAE
＝×75°
＝37.5°；
故答案为：37.5．
【变式2-2】．如图①，O为直线AB上一点作射线OC，使∠AOC＝120°，将一个直角三角尺如图摆放，直角顶点在点O处，一条直角边OP在射线OA上，将图①中的三角尺绕点O以每秒5°的速度按逆时针方向旋转（如图②所示），在旋转一周的过程中第t秒时，OQ所在直线恰好平分∠BOC，则t的值为 24s或60s ．
解：如图1，∵∠AOC＝120°，
∴∠BOC＝60°，
∵OQ平分∠BOC，
∴∠BOQ＝∠BOC＝30°，
∴t＝＝24s；
如图2，∵∠AOC＝120°，
∴∠BOC＝60°，
∵OQ′平分∠BOC，
∴∠AOQ＝∠BOQ′＝∠BOC＝30°，
∴t＝＝60s，
综上所述，OQ所在直线恰好平分∠BOC，则t的值为24s或60s，
故答案为：24s或60s．
1．如图，已知PQ∥MN，点A，B分别在MN，PQ上，射线AC自射线AM的位置开始，以每秒3°的速度绕点A顺时针旋转至AN便立即逆时针回转，射线BD自射线BP的位置开始，以每秒1°的速度绕点B逆时针旋转至BQ后停止运动．若射线BD先转动30秒，射线AM才开始转动，当射线AC，BD互相平行时，射线AC的旋转时间为 37.5或105 秒．
解：根据题意，需要分两种情况，
当射线AC顺时针旋转时，如图所示：
∵PQ∥MN，
∴∠PBD＝∠BDN，
∵BD∥AC，
∴∠BDA＝∠CAN，
∴∠PBD＝∠CAN，
设射线AC运动时间为t，则∠MAC＝3°t，∠PBD＝30°+1°t，
∴∠CAN＝180°﹣3°t，
∴30°+1°t＝180°﹣3°t，解得t＝37.5．
当射线AC逆时针旋转时，如图所示：
∵PQ∥MN，
∴∠PBD＝∠BDN，
∵BD∥AC，
∴∠BDA＝∠CAN，
∴∠PBD＝∠CAN，
设射线AC运动时间为t，则∠CAN＝3°t﹣180°，∠PBD＝30°+1°t，
∴30°+1°t＝3°t﹣180°，解得t＝105．
故答案为：37.5或105．
2．如图1，直线ED上有一点O，过点O在直线ED上方作射线OC，将一直角三角板AOB（∠OAB＝30°）的直角顶点放在点O处，一条直角边OA在射线OD上，另一边OB在直线ED上方，将直角三角板绕着点O按每秒10°的速度逆时针旋转一周，旋转时间为t秒．若射线OC的位置保持不变，且∠COE＝140°．则在旋转过程中，如图2，当t＝ 2或8或32 秒时，射线OA，OC与OD中的某一条射线恰好是另两条射线所夹角的平分线．
解：当射线OA是∠COD的平分线时，
∵∠COD＝180°﹣∠COE＝40°，OA是∠COD的平分线，
∴∠AOD＝∠COD＝20°，
∴t＝＝2；
当射线OC是∠AOD的平分线时，
∠AOD＝2∠COD＝80°，
∴t＝＝8；
当射线OD是∠COA的平分线时，
360﹣10t＝40，
∴t＝32，
故答案为：2或8或32．
3．如图1，已知∠ABC＝50°，有一个三角板BDE与∠ABC共用一个顶点B，其中∠EBD＝45°．
（1）若BD平分∠ABC，求∠EBC的度数；
（2）如图2，将三角板绕着点B顺时针旋转α度（0°＜α＜90°），当AB⊥BD时，求∠EBC的度数．
解：（1）∵BD平分∠ABC，∠ABC＝50°，
∴∠CBD＝＝25°，
∵∠EBD＝45°，
∴∠EBC＝∠EBD+∠DBC＝45°+25°＝70°．
（2）∵AB⊥BD，
∴∠ABD＝90°，
∵∠ABC＝50°，
∴∠DCB＝90°﹣50°＝40°，
∵∠EBD＝45°，
∴∠EBC＝45°﹣40°＝5°．
4．将一副三角板叠放在一起，使直角顶点重合于点O．
（1）如图1，若∠AOD＝35°，求∠BOC的度数；
（2）如图（1），求∠BOD+∠AOC的度数；
（3）如图（2）若三角板AOB保持不动，将三角板COD的边OD与边OA重合，然后将其绕点O旋转．试猜想在旋转过程中，∠AOC与∠BOD有何数量关系？请说明理由．
解：（1）若∠AOD＝35°，
∵∠AOB＝∠COD＝90°，
∴∠BOD＝90°﹣35°＝55°，
∴∠BOC＝90°﹣∠BOD＝90°﹣55°＝35°；
（2）∵∠BOD＝∠AOB+∠COD﹣∠AOC，
∴∠BOD+∠AOC＝∠AOB+∠COD＝90°+90°＝180°；
（3）∠AOC与∠BOD互补．
当∠AOB与∠DOC有重叠部分时，
∵∠AOB＝∠COD＝90°，
∴∠AOD+∠BOD+∠BOD+∠BOC＝180°．
∵∠AOD+∠BOD+∠BOC＝∠AOC，
∴∠AOC+∠BOD＝180°；
当∠AOB与∠DOC没有重叠部分时，∠AOB+∠COD+∠AOC+∠BOD＝360°，
又∵∠AOB＝∠COD＝90°，
∴∠AOC+∠BOD＝180°．
5．已知∠AOB＝60°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，求：
（1）如图1，OC为∠AOB内部任意一条射线，求∠MON＝ 30° ；
（2）如图2，当OC旋转到∠AOB的外部时，∠MON的度数会发生变化吗？请说明原因；
（3）如图3，当OC旋转到∠AOB（∠BOC＜120°）的外部且射线OC在OB的下方时，OM平分∠AOC，射线ON在∠BOC内部，∠NOC＝∠BOC，求∠COM﹣∠BON的值？
解：（1）∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，∠AOB＝60°，
∴∠MOC＝∠AOC，
∴∠NOC＝∠BOC，
∴∠MON＝∠MOC+∠NOC＝∠BOC+∠AOC＝∠AOB＝×60°＝30°．
故答案为：30°；
（2）不变，
当OC旋转到∠AOB的外部时，
∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，∠AOB＝60°，
∴∠MOC＝∠AOC，
∴∠NOC＝∠BOC，
∴∠MON＝∠MOC﹣∠NOC＝∠BOC﹣∠AOC＝∠AOB＝×60°＝30°．
∴∠MON的度数不会发生变化；
（3）当OC旋转到∠AOB（∠BOC＜120°）的外部且射线OC在OB的下方时，
∵OM平分∠AOC，∠NOC＝∠BOC，
∴∠COM＝∠AOC，∠BON＝∠BOC，
∴∠COM﹣∠BON＝∠AOC﹣×∠BOC＝∠AOC﹣∠BOC＝∠AOB＝30°．
6．如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC：∠BOC＝1：2，∠MON的一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方，且∠MON＝90°．
（1）如图1，求∠CON的度数；
（2）将图1中的∠MON绕点O以每秒20°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，如图2，若直线ON恰好平分锐角∠AOC，求∠MON所运动的时间t值；
（3）在（2）的条件下，当∠AOC与∠NOC互余时，求出∠BOC与∠MOC之间的数量关系．
解：（1）∵∠AOC：∠BOC＝1：2，∠AOC+∠MOC＝180°，
∴∠AOC＝，
∵∠MON＝90°，
∴∠AON＝90°，
∴∠CON＝∠AOC+∠AON＝90°+60°＝150°；
（2）当直线ON平分∠AOC时，如图，ON'平分∠AOC，逆时针旋转60度至ON''时，直线ON平分所以t＝3，
∵∠AOC＝60°，
∴∠AON'＝30°，
此时射线ON逆时针旋转60度，
∴∠MON所运动的时间t＝60÷20＝3（s）；
如图②，
∵直线ON恰好平分锐角∠AOC，
∴ON沿逆时针旋转的度数为90°+150°＝240°，
∴∠MON所运动的时间t＝＝12（s）；
综上，∠MON所运动的时间t值为3s或12s；
（3）如图③所示：
∵∠AOC+∠NOC＝90°，OM与OA重合
∴∠BOC与∠MOC互补．
如图②所示：
当ON平分∠AOC时，∠AOC+∠NOC＝90°，
∴∠NOC＝30°，∠MOC＝120°，∠BOC＝120°，
∴∠BOC＝∠MOC．
综上所述：∠BOC与∠MOC互补或相等．
7．点O直线AB上一点，过点O作射线OC，使得∠BOC＝65°，将一直角三角板的直角顶点放在点O处．
（1）如图1，将三角板MON的一边ON与射线OB重合时，求∠MOC的度数；
（2）如图2，将三角板MON绕点O逆时针旋转一定角度，此时OC是∠MOB的平分线，求∠BON和∠CON的度数；
（3）将三角板MON绕点O逆时针旋转至图3时，∠NOC＝∠AOM，求∠NOB的度数．
解：（1）∵∠MON＝90°，∠BOC＝65°，
∴∠MOC＝∠MON﹣∠BOC＝90°﹣65°＝25°；
（2）∵∠BOC＝65°，OC是∠MOB的角平分线，
∴∠MOB＝2∠BOC＝130°，
∴∠BON＝∠MOB﹣∠MON＝130°﹣90°＝40°，
∠CON＝∠COB﹣∠BON＝65°﹣40°＝25°，
即∠BON＝40°，∠CON＝25°；
（3）∵∠NOC＝∠AOM，
∴∠AOM＝4∠NOC．
∵∠BOC＝65°，
∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝180°﹣65＝115°，
∵∠MON＝90°，
∴∠AOM+∠NOC＝∠AOC﹣∠MON＝115°﹣90°＝25°，
∴4∠NOC+∠NOC＝25°，
∴∠NOC＝5°，
∴∠NOB＝∠NOC+∠BOC＝70°．
8．以直线AB上一点O为端点作射线OC，使∠BOC＝40°，将一个直角三角板的直角顶点放在O处，即∠DOE＝90°．
（1）如图1，若直角三角板DOE的一边OE放在射线OA上，求∠COD的度数；
（2）如图2，将直角三角板DOE绕点O顺时针转动到某个位置，若OE恰好平分∠AOC，求∠COD的度数；
（3）将直三角板DOE绕点O顺时针转动（OD与OB重合时为停止）的过程中，恰好∠COD＝∠AOE，求此时∠BOD的度数．
解：（1）由题意得∠BOD＝90°，
∵∠BOC＝40°，
∴∠COD＝90°﹣40°＝50°．
（2）∵∠AOC+∠BOC＝180°，∠BOC＝40°，
∴∠AOC＝180°﹣40°＝140°，
∵OE平分∠AOC，
∴∠COE＝∠AOC＝70°，
∵∠DOE＝90°，
∴∠COD＝90°﹣70°＝20°，
（3）①当∠COD在∠BOC的内部时，
∵∠COD＝∠BOC﹣∠BOD，而∠BOC＝40°，
∴∠COD＝40°﹣∠BOD，
∵∠AOE+∠EOD+∠BOD＝180°，∠EOD＝90°，
∴∠AOE＝90°﹣∠BOD，
又∵∠COD＝∠AOE，
∴40°﹣∠BOD＝（90°﹣∠BOD），
∴∠BOD＝15°；
②当∠COD在∠BOC的外部时，
∵∠COD＝∠BOD﹣∠BOC，而∠BOC＝40°，
∴∠COD＝∠BOD﹣40°，
∵∠AOE+∠EOD﹣∠BOD＝180°，∠EOD＝90°，
∴∠AOE＝90°﹣∠BOD，
又∵∠COD＝∠AOE，
∴∠BOD﹣40°＝（90°﹣∠BOD），
∴∠BOD＝52.5°，
综上所述：∠BOD的度数为15°或52.5°．
9．已知∠AOD＝160°，OB、OC、OM、ON是∠AOD内的射线．
（1）如图1，若OM平分∠AOB，ON平分∠BOD．当OB绕点O在∠AOD内旋转时，求∠MON的大小；
（2）如图2，若∠BOC＝20°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD．当∠BOC绕点O在∠AOD内旋转时，求∠MON的大小；
（3）在（2）的条件下，若∠AOB＝10°，当∠BOC在∠AOD内绕着点O以2度/秒的速度逆时针旋转t秒时，∠AOM＝∠DON．求t的值．
解：（1）因为∠AOD＝160°，
OM平分∠AOB，ON平分∠BOD，
所以∠MOB＝∠AOB，∠BON＝∠BOD，
即∠MON＝∠MOB+∠BON
＝∠AOB∠BOD
＝（∠AOB+∠BOD）
＝∠AOD＝80°，
答：∠MON的度数为80°；
（2）因为OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，
所以∠MOC＝∠AOC，∠BON＝∠BOD，
当OC在OB左侧时，如图：
∠MON＝∠MOC+∠BON﹣∠BOC
＝∠AOC∠BOD﹣∠BOC
＝（∠AOC+∠BOD）﹣∠BOC
＝（∠AOD+∠BOC）﹣∠BOC
＝×180°﹣20°
＝70°；
如图，当射线OC在OB右侧时，
∵∠COM＝∠AOC，∠BON＝∠BOD，
∴∠MON＝∠MOC+∠BON+∠BOC
＝∠AOC+∠BOD+∠BOC
＝（∠AOC+∠BOD）+∠BOC
＝（∠AOD﹣∠BOC）+∠BOC
＝×140°+20°
＝90°；
答：∠MON的度数为70°或90°．
（3）∵射线OB从OA逆时针以2°每秒的速度旋转t秒，∠COB＝20°，
∴根据（2）中，得
∠AOC＝∠AOB+∠COB＝2t°+10°+20°＝2t°+30°．
∵射线OM平分∠AOC，
∴∠AOM＝∠AOC＝t°+15°．
∵∠BOD＝∠AOD﹣∠BOA，∠AOD＝160°，
∴∠BOD＝150°﹣2t°．
∵射线ON平分∠BOD，
∴∠DON＝∠BOD＝75°﹣t°．
又∵∠AOM：∠DON＝2：3，
∴（t+15）：（75﹣t）＝2：3，
解得t＝21．
答：t的值为21秒．
10．点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC＝65°，将一直角三角板的直角顶点放在点O处．
（1）如图①，将三角板MON的一边ON与射线OB重合时，则∠MOC＝ 25° ；
（2）如图②，将三角板MON绕点O逆时针旋转一定角度，此时OC是∠MOB的角平分线，求旋转角∠BON和∠CON的度数；
（3）将三角板MON绕点O逆时针旋转至图③时，∠NOC＝∠AOM，求∠NOB的度数．
解：（1）∵∠MON＝90°，∠BOC＝65°，
∴∠MOC＝∠MON﹣∠BOC＝90°﹣65°＝25°．
故答案为：25°．
（2）∵∠BOC＝65°，OC是∠MOB的角平分线，
∴∠MOB＝2∠BOC＝130°．
∴∠BON＝∠MOB﹣∠MON
＝130°﹣90°
＝40°．
∠CON＝∠COB﹣∠BON
＝65°﹣40°
＝25°．
即∠BON＝40°，∠CON＝25°；
（3）∵∠NOC＝∠AOM，
∴∠AOM＝4∠NOC．
∵∠BOC＝65°，
∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC
＝180°﹣65
＝115°．
∵∠MON＝90°，
∴∠AOM+∠NOC＝∠AOC﹣∠MON
＝115°﹣90°
＝25°．
∴4∠NOC+∠NOC＝25°．
∴∠NOC＝5°．
∴∠NOB＝∠NOC+∠BOC＝70°．
11．如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC＝120°．将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．
（1）将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC．问：此时直线ON是否平分∠AOC？请说明理由．
（2）将图1中的三角板绕点O顺时针旋转至图3，使ON在∠AOC的内部，求∠AOM﹣∠NOC的度数．
解：
（1）直线ON平分∠AOC．
理由如下：
如图，设ON的反向延长线为OD，
∵OM平分∠BOC，
∴∠MOC＝∠MOB＝，
又∠MOD＝∠MON＝90°，
∴∠COD＝90°﹣∠BOC＝30°，
∵∠AOC＝180°﹣∠BOC＝60°，
∴∠COD＝∠AOC，
∴OD平分∠AOC，
即直线ON平分∠AOC；
（2）∵∠MON＝90°，∠AOC＝60°，
∴∠AOM＝90°﹣∠AON，∠NOC＝60°﹣∠AON，
∴∠AOM﹣∠NOC＝（90°﹣∠AON）﹣（60°﹣∠AON）＝30°．
12．已知∠AOB＝100°，∠COD＝40°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOD．（本题中的角均为大于0°且小于等于180°的角）．
（1）如图1，当OB、OC重合时，求∠EOF的度数；
（2）当∠COD从图1所示位置绕点O顺时针旋转n°（0＜n＜90）时，∠AOE﹣∠BOF的值是否为定值？若是定值，求出∠AOE﹣∠BOF的值；若不是，请说明理由．
（3）当∠COD从图1所示位置绕点O顺时针旋转n°（0＜n＜180）时，满足∠AOD+∠EOF＝6∠COD，则n＝ 30或50或90 ．
解：（1）∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，
∴∠EOB＝∠AOB＝×100°＝50°，∠COF＝∠COD＝×40°＝20°，
∴∠EOF＝∠EOB+∠COF＝50°+20°＝70°；
（2）∠AOE﹣∠BOF的值不是定值，理由是：
当0＜n＜80时，如图2．∠AOE﹣∠BOF的值是定值，理由是：
∠AOC＝∠AOB+n°，∠BOD＝∠COD+n°，
∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，
∴∠AOE＝∠AOC＝（100°+n°），∠BOF＝∠BOD＝（40°+n°），
∴∠AOE﹣∠BOF＝（100°+n°）﹣（40°+n°）＝30°；
当n＝80时，∠AOC＝180°，∠AOE﹣∠BOF＝（100°+80°）﹣（40°+80°）＝30°；
当80＜n＜90时，如图3．
∠AOE＝（360°﹣100°﹣α）＝130°﹣n°，
∠BOF＝（40°+n°），
则∠AOE﹣∠BOF＝110°﹣n°，不是定值；
（3）当0＜n＜40时，C和D在OA的右侧，
∠AOD＝∠AOB+∠COD+n°＝100°+40°+n°＝140°+n°，
∠EOF＝∠EOC+∠COF＝∠EOC+∠COD﹣∠DOF＝（100°+n°）+40°﹣（40°+n°）＝70°，
∵∠AOD+∠EOF＝6∠COD，
∴（140+n）+70°＝6×40，
∴n＝30．
当40≤n＜80时，如图2所示，D在OA的左侧，C在OA的右侧．
当∠AOD＝∠AOB+∠COD+n°＞180°时，∠AOD＝360°﹣∠AOB﹣∠COD＝220°﹣n°，∠EOF＝70°，
∵∠AOD+∠EOF＝6∠COD，
∴220°﹣n°+70°＝6×40°，
解得n＝50．
当80＜n＜140时，如图3所示，
∠AOD＝360°﹣100°﹣40°﹣n°＝220°﹣n°，∠EOF＝360°﹣（130°﹣n）﹣（40°+n）﹣100°＝110°，
则（220﹣n）+110°＝240°，
解得n＝90°；
当140≤n＜180时，
∠AOD＝220°﹣n°，∠EOF＝70°，
则220﹣n+70＝240，解得n＝50（舍去）．
故答案是：30或50或90．
13．新定义问题
如图①，已知∠AOB，在∠AOB内部画射线OC，得到三个角，分别为∠AOC、∠BOC、∠AOB．若这三个角中有一个角是另外一个角的2倍，则称射线OC为∠AOB的“幸运线”．（本题中所研究的角都是大于0°而小于180°的角．）
【阅读理解】
（1）角的平分线 是 这个角的“幸运线”；（填“是”或“不是”）
【初步应用】
（2）如图①，∠AOB＝45°，射线OC为∠AOB的“幸运线”，则∠AOC的度数为 15°或22.5°或30° ；
【解决问题】
（3）如图②，已知∠AOB＝60°，射线OM从OA出发，以每秒20°的速度绕O点逆时针旋转，同时，射线ON从OB出发，以每秒15°的速度绕O点逆时针旋转，设运动的时间为t秒（0＜t＜9）．若OM、ON、OA三条射线中，一条射线恰好是以另外两条射线为边的角的“幸运线”，求出所有可能的t值．
解：（1）一个角的平分线是这个角的“幸运线”；
故答案为：是；
（2）①设∠AOC＝x，则∠BOC＝2x，
由题意得，x+2x＝45°，解得x＝15°，
②设∠AOC＝x，则∠BOC＝x，
由题意得，x+x＝45°，解得x＝22.5°，
③设∠AOC＝x，则∠BOC＝x，
由题意得，x+x＝45°，解得x＝30°，
故答案为：15°或22.5°或30°；
（3）当0＜t≤4时，∠MON＝60+5t，∠AON＝60﹣15t，
若射线OA是∠MON的幸运线，
则∠AON＝，即60﹣15t＝（60+5t），解得t＝；
∠AON＝∠MON，即60﹣15t＝（60+5t），解得t＝；
∠AON＝∠MON，即60﹣15t＝（60+5t），解得t＝；
当4＜t＜9时，∠MOA＝20t，∠AON＝15t﹣60，
若射线ON是∠AOM的幸运线，
则∠AON＝∠MOA即15t﹣60＝×20t，解得t＝12（舍）；
∠AON＝∠MOA，即15t﹣60＝×20t，解得t＝；
∠AON＝∠MOA，即15t﹣60＝×20t，解得t＝36（舍）；
故t的值是或或或．
14．已知∠AOB＝130°，∠COD＝80°，OM，ON分别是∠AOB和∠COD的平分线．
（1）如图1，如果OA，OC重合，且OD在∠AOB的内部，求∠MON的度数；
（2）如图2，固定∠AOB，将图1中的∠COD绕点O顺时针旋转n°（0＜n≤90）．
①∠MON与旋转度数n°有怎样的数量关系？说明理由；
②当n为多少时，∠MON为直角？
（3）如果∠AOB的位置和大小不变，∠COD的边OD的位置不变，改变∠COD的大小；将图1中的OC绕着O点顺时针旋转m°（0＜m≤100），如图③，请直接写出∠MON与旋转度数m°之间的数量关系： ∠MON＝m°+25° ．
解：（1）如图1，∵OM平分∠AOB，∠AOB＝130°，
∴∠AOM＝∠AOB＝×130°＝65°，
∵ON平分∠COD，∠COD＝80°，
∴∠AON＝∠COD＝×80°＝40°，
∴∠MON＝∠AOM﹣∠AON＝65°﹣40°＝25°；
（2）如图2，①∠MON＝∠COM﹣∠NOC＝65°+n°﹣40°＝n°+25°；
②当∠MON＝90°时，n+25＝90，
∴n＝65．
（3）如图3中，当ON在∠AOB内部时∠MON＝∠AOM﹣∠AON＝65°﹣（40°﹣m°）＝m°+25°．
当ON在∠AOB外部时时，∠MON＝∠AOM+∠AON＝65°+m°﹣40＝m°+25°．
综上所述，∠MON＝m°+25°．
故答案为：∠MON＝m°+25°．
15．已知∠AOB，过顶点O作射线OP，若∠BOP＝∠AOP，则称射线OP为∠AOB的“好线”，因此∠AOB的“好线”有两条，如图1，射线OP1，OP2都是∠AOB的“好线”．
（1）已知射线OP是∠AOB的“好线”，且∠BOP＝30°，求∠AOB的度数；
（2）如图2，O是直线MN上的一点，OB，OA分别是∠MOP和∠PON的平分线，已知∠MOB＝30°，请通过计算说明射线OP是∠AOB的一条“好线”；
（3）如图3，已知∠MON＝120°，∠NOB＝40°．射线OP和OA分别从OM和OB同时出发，绕点O按顺时针方向旋转，OP的速度为每秒12°，OA的速度为每秒4°，当射线OP旋转到ON上时，两条射线同时停止．在旋转过程中，射线OP能否成为∠AOB的“好线”．若不能，请说明理由；若能，直接写出符合条件的所有的旋转时间 5秒或7.5秒． ．
解：（1）∵射线OP是∠AOB的好线，且∠BOP＝30°，
∴∠AOP＝∠BOP＝60°，
①当OP在∠AOB内部时，∠AOB＝∠BOP+∠AOP＝90°，
②当OP在∠AOB外部时，∠A0B＝∠AOP﹣∠BOP＝30°，
∴∠AOB＝90°或30°；
（2）∵OB，OA分别是∠MOP 和∠PON 的平分线，
∴∠AOB＝∠BOP+∠AOP＝（∠MOP+∠NOP）＝90°，∠BOP＝∠BOM＝30°，
∴∠AOP＝90°﹣30°＝60°，
∴∠BOP＝∠AOP，
∴OP是∠AOB的一条“好线”；
（3）5秒或7.5秒．
设运动时间为t，则∠MOP＝12t，∠BOA＝4t，
①当OP在OB上方时，
∠BOP＝80°﹣12t，∠AOP＝80°+4t﹣12t＝80°﹣8t，
∴80﹣8t＝2（80﹣12t）
解得：t＝5；
②当OP在OB下方时，
∠BOP＝12t﹣80°，∠AOP＝80°+4t﹣12t＝80°﹣8t，
∴80﹣8t＝2（12t﹣80），
解得：t＝7.5；
综上所述：t的值为5秒或7.5秒．
故答案为：5秒或7.5秒．
16．如图，点O为直线AB上一点，∠AOC＝90°，在直线AB上方有射线OM、ON分别从OA和OC开始绕点O顺时针旋转，旋转过程中始终保持∠AOM＝2∠CON，OQ平分∠AON．
（1）如图1，证明：ON平分∠MOB；
（2）如图2，在旋转过程中，当∠CON＝2∠MOQ时，求∠CON的度数；
（3）如图3，在旋转过程中，∠AOM是锐角，射线OD在∠MON内部，∠MOD＝30°，OP平分∠MON，∠MOQ：∠POD＝m，∠NOB：∠QOC＝n，在AB下方有射线OT，∠AOT＝90°﹣（m+n）°，∠BOT+∠MOQ＝110°，求∠AOM的度数
解：（1）设∠CON＝α，∠AOM＝2∠CON＝2α，
∴∠AON＝∠AOC+∠CON＝90°+α，
∵∠AOB＝180°，
∴∠NOB＝∠AOB﹣∠AON＝180°﹣（90°+α）＝90°﹣α，
∠MOB＝∠AOB﹣∠AOM＝180°﹣2α＝2（90°﹣α），
∴∠MOB＝2∠NOB，
∴ON平分∠MOB；
（2）若射线OM在∠AOQ内时，
∵OQ平分∠AON，
∴∠AOQ＝∠AON＝（90°+α）＝45°+α，
∴∠MOQ＝∠AOQ﹣∠AOM＝45°+α﹣2α＝45°﹣α，
∵∠CON＝2∠MOQ，
∴α＝2（45°﹣α），
∴α＝22.5°，
即∠CON＝22.5°，
若射线OM在∠BOQ内时，
∴∠MOQ＝∠AOM﹣∠AOQ＝2α﹣（45°+α）＝α﹣45°，
∵∠CON＝2∠MOQ，
∴α＝2（α﹣45°），
∴α＝45°，
即∠CON＝45°，
故∠CON的度数为22.5°或45°；
（3）由（1）（2）知∠AON＝90°+α；∠AOQ＝45°+α，∠MOQ＝45°﹣α；∠NOB＝90°﹣α＝2（45°﹣α），
∴∠MON＝∠AON﹣∠AOM＝90°+α﹣2α＝90°﹣α，
∵OP平分∠MON，
∴∠MOP＝∠MON＝（90°﹣α）＝45°﹣α，
情况1：射线OM在∠AOQ内，
∠POD＝∠MOP﹣∠MOD＝45°﹣α﹣30°＝15°﹣α，
∠QOC＝∠AOC﹣∠AOQ＝90°﹣（45°+α）＝45°﹣α，
∴m＝∠MOQ：∠POD＝（45°﹣α）：（15°﹣α）＝3（15°﹣α）：（15°﹣α）＝3，
n＝∠NOB：∠QOC＝（90°﹣α）：（45°﹣α）＝2（45°﹣α）：（45°﹣α）＝2，
∴∠AOT＝90°﹣（m+n）°＝90°﹣（3+2）°＝85°，
∴∠BOT＝∠AOB﹣∠AOT＝180°﹣85°＝95°，
∵∠BOT+∠MOQ＝110°，
∴∠MOQ＝110°﹣95°＝15°，
∴45°﹣α＝15°，
解得∠α＝20°∠AOM＝2α＝40°，
情况2：射线OM在∠BOQ内，
∠POD＝∠MOD﹣∠MOP＝30°﹣（45°﹣α）＝α﹣15°，
∠MOQ＝∠AOM﹣∠AOQ＝2α﹣（45°+α）＝α﹣45°＝3（α﹣15°），
∴m＝∠MOQ：∠POD＝（α﹣45°）：（α﹣15°）＝3（α﹣15°）：（α﹣15°）＝3，
由情况1可知：n＝∠NOB：∠QOC＝（90°﹣α）：（45°﹣α）＝2，
∴∠AOT＝90°﹣（m+n）°＝90°﹣（3+2）°＝85°，∠BOT＝95°，∠MOQ＝15°，
∴α﹣45°＝15°，
解得∠α＝40°，
∴∠AOM＝2α＝80°．
故∠AOM的度数为40°或80°．
17．如图1，∠AOB＝40°，∠COD＝60°，OM、ON分别为∠AOB和∠BOD的角平分线．
（1）若∠MON＝70°，则∠BOC＝ 40° °；
（2）如图2，∠COD从第（1）问中的位置出发，绕点O逆时针以每秒4°的速度旋转；当OC与OA重合时，∠COD立即反向绕点O顺时针以每秒6°的速度旋转，直到OC与OA互为反向延长线时停止运动．整个运动过程中，∠COD的大小不变，OC旋转后的对应射线记为OC′，OD旋转后的对应射线记为OD′，∠BOD′的角平分线记为ON′，∠AOD′的角平分线记为OP．设运动时间为t秒．
①当OC′平分∠BON′时，求出对应的t的值；
②请问在整个运动过程中，是否存在某个时间段使得|∠BOP﹣∠MON′|的值不变？若存在，请直接写出这个定值及其对应的t的取值范围（包含运动的起止时间）；若不存在，请说明理由．
解：（1）∵OM为∠AOB的角平分线、∠AOB＝40°，
∴∠MOB＝20°．
∵∠MON＝70°，
∴∠BON＝∠MON﹣∠MOB＝50°．
∵ON为∠BOD的角平分线，
∴∠BON＝∠DON＝50°．
∴∠CON＝∠COD﹣∠DON＝10°
∴∠BOC＝∠DON﹣∠CON＝40°．
故答案为：40°．
（2）如图①：①逆时针旋转时：
当C′在B上方时，根据题意可知，∠BOC′＝40°﹣4t，∠BOD′＝∠BOD﹣4t＝100°﹣4t．
∠BON′＝∠BOD′＝＝50°﹣2t，
∵OC′平分∠BON′，
∴∠BOC′＝，即40°﹣4t＝（50°﹣2t），
解得：t＝5（s）．
当C′在B下方时，此时C′也在N′下方，此时不存在OC′平分∠BON′．
顺时针旋转时：如图②，
同理当C′在B下方时，此时C′也在N′下方，此时不存在OC′平分∠BON′．
当C′在B上方时，即OC′与OB重合，
由题意可求OC′与OB重合用的时间＝∠AOC÷4+∠AOB÷6
＝（∠AOB+∠BOC）÷4+∠AOB÷6
＝（s）．
∴OC′与OB重合之后，∠BOC′＝6（t﹣）（s）．
∴∠BOD′＝∠BOC′+60°＝6（t﹣）+60°＝6t﹣100°．
∴∠BON′＝＝（6t﹣100°）＝3t﹣50°，
∵OC′平分∠BON′，
∴∠BOC′＝，
∴6（t﹣）＝（3t﹣50°），
解得：t＝30（s）
综上所述t的值为5或30．
②逆时针旋转时：如图3中，当射线OP在射线OB的上方时，
∵∠POB＝（140°﹣4t）﹣40°＝30°﹣2t，∠BON′＝（100°﹣4t）＝50°﹣2t，
∴∠PON′＝∠BON′﹣∠POB＝20°
∴|∠BOP﹣∠MON′|＝|∠BOM+∠PON′|＝40°，
当OP与OB重合时，（140°﹣4t）﹣40°＝0，解得t＝15．
∴0≤t≤15时，|∠BOP﹣∠MON′|的值不变，是40°．
当射线OP返回时与OB重合时．时间t＝20+＝，
当运动到射线OD与OA共线时，60°+6（t﹣20）＝180°时，解得t＝40，
观察图象可知，≤t≤40时，|∠BOP﹣∠MON′|的值不变，是40°．
当射线OD运动到与射线OB共线时，20°+6（t﹣20）＝180°，解得t＝，
当≤t≤50时，如图4中，同法可得，∠PON′＝20°，
∴|∠BOP﹣∠MON′|＝|∠BOM+∠PON′|＝40°，
综上所述，满足条件的t的值为：0≤t≤15或≤t≤40或≤t≤50．
18．如图1，摆放一个三角形纸板ODE，边OD在正东方向的射线上，点A，B分别在正西，正东方向上，∠COF＝30°，现将三角形纸板ODE从图1位置开始绕点O以每秒5度的速度逆时针方向匀速旋转，设旋转的时间为t秒，在旋转一周的过程中．
（1）当t＝5时，求∠AOD的度数，并写出点D的方向角；
（2）如图2，当三角形纸板ODE旋转至△OD1E1时，边OE1恰好落在射线OF上，且OF平分∠AOD1，OD1平分∠BOC，求t的值，并写出点F的方向角；
（3）当旋转至△OD2E2时，OE2所在直线平分∠AOC，求t的值．
解：（1）因为三角形纸板ODE绕点O旋转的速度为每秒5度，
所以当t＝5时，∠BOD＝25°，
此时，点D在北偏东65°方向上，
又∠AOD+∠BOD＝180°，
所以∠AOD＝180°﹣∠BOD，
即∠AOD＝180°﹣25°＝155°．
（2）如图2中，设∠BOD1＝x°．
因为OD1平分∠BOC，
所以∠BOC＝2x°，∠COD1＝x°，
因为∠COF＝30°，
所以∠D1OF＝∠COD1+∠COF＝x°+30°＝（x+30）°，
又OF平分∠AOD1，
即∠AOF＝∠D1OF，
因为∠AOF+∠D1OF+∠BOD1＝180°，
即2∠D1OF+∠BOD1＝180°，
所以2（x+30）°+x°＝180°，
化解得3x°＝120°，
解得x＝40，
所以三角形纸板ODE运动的时间（秒），
所以∠AOF＝∠D1OF＝40°+30°＝70°，
由90°﹣70°＝20°，得点F的方向角为北偏西20°．
（3）如图3中，
由（2）得∠AOC＝180°﹣∠BOC＝180°﹣2x°＝180°﹣2×40°＝100°，
且∠D1OF＝∠DOE＝70°，
又∠COE＝∠BOC﹣∠DOE＝80°﹣70°＝10°，
当OE2线段平分∠AOC时，OE旋转的角大小为，
所以三角形纸板ODE旋转的时间为（秒），
当线段OE2的反向延长线平分∠AOC时，OE旋转的角大小为60°+180°＝240°，
所以三角形纸板ODE旋转的时间为（秒）．
综上，当OE所在直线平分∠AOC时，t＝12秒或48秒．
19．如图为两个特殊三角板AOB和三角板COD，∠A＝45°，∠D＝60°，O为直角顶点，两直角顶点重合，A，O，D在同一直线上，OB，OC重合，OM平分∠COD，ON平分∠AOB．
（1）∠MON＝ 90 度；
（2）若三角板AOB与三角板COD位置如图（2）所示，满足∠BOC＝20°，求∠MON的度数；
（3）在图（1）的情形下，三角板AOB固定不动，若三角板COD绕着O点旋转（旋转角度小于45°），∠BOC＝α，求∠MON的度数（用含α的式子表示）．
解：（1）∵OM平分∠COD，ON平分∠AOB，
∴∠MOC＝∠COD，∠NOB＝∠AOB，
∵∠MON＝∠MOC+∠NOB，
∴∠MON＝∠AOD，
∵A，O，D在同一直线上，
∴∠AOD＝180°，
∴∠MON＝90°，
故答案为90；
（2）由题意可知∠AOB＝∠COD＝90°，
∵OM平分∠COD，ON平分∠AOB，
∴∠MOC＝∠COD＝45°，∠NOB＝∠AOB＝45°，
∵∠MON＝∠MOC+∠NOB﹣∠BOC，∠BOC＝20°，
∴∠MON＝45°+45°﹣20°＝70°；
（3）①当两三角板由重叠时，由题意可知∠AOB＝∠COD＝90°，
∵OM平分∠COD，ON平分∠AOB，
∴∠MOC＝∠COD＝45°，∠NOB＝∠AOB＝45°，
∵∠MON＝∠MOC+∠NOB﹣∠BOC，∠BOC＝α，
∴∠MON＝45°+45°﹣α＝90°﹣α；
②当两三角板无重叠时，由题意可知∠AOB＝∠COD＝90°，
∵OM平分∠COD，ON平分∠AOB，
∴∠MOC＝∠COD＝45°，∠NOB＝∠AOB＝45°，
∵∠MON＝∠MOC+∠NOB+∠BOC，∠BOC＝α，
∴∠MON＝45°+45°+α＝90°+α．
20．已知长方形纸片ABCD，E、F分别是AD、AB上的一点，点I在射线BC上、连接EF，FI，将∠A沿EF所在的直线对折，点A落在点H处，∠B沿FI所在的直线对折，点B落在点G处．
（1）如图1，当HF与GF重合时，则∠EFI＝ 90 °；
（2）如图2，当重叠角∠HFG＝30°时，求∠EFI的度数；
（3）如图3，当∠GFI＝α，∠EFH＝β时，∠GFI绕点F进行逆时针旋转，且∠GFI总有一条边在∠EFH内，PF是∠GFH的角平分线，QF是∠EFI的角平分线，旋转过程中求出∠PFQ的度数（用含α，β的式子表示）．
解：（1）∵EF平分∠AFH，IF平分∠BFG，
∴∠EFH＝∠AFH，∠IFH＝∠BFH，
∵∠EFI＝∠EFH+∠IFG＝（∠AFH+∠BFH）＝∠AFB＝90°，
∴∠EFI＝∠AFB＝90°，
故答案为：90．
（2）令∠EFG＝x，∠HFI＝y，
∵∠HFG＝30°
∴∠EFA＝30°+x，∠BFI＝30°+y
∴∠AFE+∠EFI+∠BFI＝（30°+x）+（x+30°+y）+（30°+y）＝180°，
即2x+2y＝90°，
∴x+y＝45°，
∴∠EFI＝x+y+30＝75°，
∴∠EFI＝75°．
（3）由题意得∠AFE＝∠EFH＝β，∠BFI＝∠GFI＝α，
∴∠GFH＝2α+2β﹣180°，
∴∠GFP＝∠HFP＝α+β﹣90°，
又∵，
∴∠PFQ＝|∠GFI﹣∠GFP﹣∠QFI|，
∴∠PFQ＝|α﹣（α+β﹣90°）﹣|＝||，
∴∠PFQ|＝||．
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