模型29 圆内最大张角之米勒角问题（讲+练）-备战2023年中考数学解题大招复习讲义（全国通用）

故事背景：米勒问题和米勒定理1471年，德国数学家米勒向诺德尔教授提出了如下十分有趣的问题：在地球表面的什么部位，一根垂直的悬杆呈现最长？即在什么部位，视角最大？最大视角问题是数学史上100个著名的极值问题中第一个极值问题而引人注目，因为德国数学家米勒曾提出这类问题，因此最大视角问题又称之为“米勒问题”.

米勒问题：

已知点A，B是∠MON的边ON上的两个定点，点C是边OM上的动点，则当C在何处时，∠ACB最大？对米勒问题在初中最值的考察过程中，也成为最大张角或最大视角问题

米勒定理：

已知点AB是∠MON的边ON上的两个定点，点C是边OM上的一动点，则当且仅当三角形ABC的外圆与边OM相切于点C时，∠ACB最大.

证明：

如图1，设C’是边OM上不同于点C的任意一点，连结A，B，因为∠AC’B是圆外角，∠ACB是圆周角，易证∠AC’B小于∠ACB，故∠ACB最大。

米勒定理在解题中的应用

常常以解析几何、平面几何和实际应用为背景进行考查。若能从题设中挖出隐含其中的米勒问题模型，并能直接运用米勒定理解题，这将会突破思维瓶颈、大大减少运算量、降低思维难度、缩短解题长度，从而使问题顺利解决。否则这类问题将成为考生的一道难题甚至一筹莫展，即使解出也费时化力。

【例1】．平面直角坐标系内，已知点A（1，0），B（5，0），C（0，t）．当t＞0时，若∠ACB最大，则t的值为（　　）

A． B． C． D．

变式训练

【变式1-1】．如图，在正方形ABCD中，边长为4，M是CD的中点，点P是BC上一个动点，当∠DPM的度数最大时，则BP＝　        　．

【变式1-2】．如图，∠AOB＝60°，M，N是OB上的点，OM＝4，MN＝．

（1）设⊙O过点M、N，C、D分别是MN同侧的圆上点和圆外点．

求证：∠MCN＞∠MDN；

（2）若P是OA上的动点，求∠MPN的最大值．

【例2】．在直角坐标系中，给定两点M（1，4），N（﹣1，2），在x轴的正半轴上，求一点P，使∠MPN最大，则P点的坐标为 　     　．

变式训练

【变式2-1】．如图，某雕塑MN位于河段OA上，游客P在步道上由点O出发沿OB方向行走．已知∠AOB＝30°，MN＝2OM＝40m，当观景视角∠MPN最大时，游客P行走的距离OP是 　    　米．

【变式2-2】．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点E，F分别是边CD，BC上的动点，且∠AFE＝90°

（1）证明：△ABF∽△FCE；

（2）当DE取何值时，∠AED最大．

1．在平面直角坐标系中，点A（0，2）、B（a，a+2）、C（b，0）（a＞0，b＞0），若AB＝4且∠ACB最大时，b的值为（　　）

A．2+2 B．﹣2+2 C．2+4 D．﹣2+4

2．如图，A，B表示足球门边框（不考虑球门的高度）的两个端点，点C表示射门点，连接AC，BC，则∠ACB就是射门角．在不考虑其它因素的情况下，一般射门角越大，射门进球的可能性就越大．球员甲带球线路ED与球门AB垂直，D为垂足，点C在ED上，当∠ACB最大时就是带球线路ED上的最佳射门角．若AB＝4，BD＝1，则当球员甲在此次带球中获得最佳射门角时DC的长度为（　　）

A．2 B．3 C． D．

3．已知点A、B的坐标分别是（0，1）、（0，3），点C为x轴正半轴上一动点，当∠ACB最大时，点C的坐标是           　．

4．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝8，M是CD的中点，点P是BC上一个动点，若∠DPM的度数最大，则BP＝　       　．

5．某儿童游乐场的平面图如图所示，场所工作人员想在OD边上的点P处安装监控装置，用来监控OC边上的AB段，为了让监控效果更佳，必须要求∠APB最大，已知：∠DOC＝60°，OA＝400米，AB＝200米，问在OD边上是否存在一点P，使得∠APB最大？若存在，请求出此时OP的长和，∠APB的度数；若不存在，请说明理由．

6．某商场引进消毒机器人每天进行全场消毒工作，该机器人采取精准直线喷射技术，实现了准确、快速和节约的目标．在设置参数的时候，工作人员通过对商场门口身形高大的“大黄蜂”进行多次消毒试验发现：如图，若对A点进行消毒，适当调整机器人CD到AB的距离，使得sin（α﹣β）的值尽可能的大，能提高消毒的效率．已知“大黄蜂”AB身高2.5米，机器人CD高0.4米．则当sin（α﹣β）最大时，机器人CD和“大黄蜂”AB之间距离BC等于 　      　．

7．已知A（2，0），B（6，0），CB⊥x轴于点B，连接AC

画图操作：（1）在y轴正半轴上求作点P，使得∠APB＝∠ACB（尺规作图，保留作图痕迹）

理解应用：（2）在（1）的条件下，

②       若tan∠APB＝，求点P的坐标；

②当点P的坐标为 　            时，∠APB最大

拓展延伸：（3）若在直线y＝x+4上存在点P，使得∠APB最大，求点P的坐标．

8．问题提出

（1）如图①，在矩形ABCD中，AB＝2AD，E为CD的中点，则∠AEB　    　∠ACB（填“＞”“＜”“＝”）；

问题探究

（2）如图②，在正方形ABCD中，P为CD边上的一个动点，当点P位于何处时，∠APB最大？并说明理由；

问题解决

（3）如图③，在一幢大楼AD上装有一块矩形广告牌，其侧面上、下边沿相距6米（即AB＝6米），下边沿到地面的距离BD＝11.6米．如果小刚的眼睛距离地面的高度EF为1.6米，他从远处正对广告牌走近时，在P处看广告效果最好（视角最大），请你在图③中找到点P的位置，并计算此时小刚与大楼AD之间的距离．

9．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A与点B的坐标分别是（1，0），（7，0）．

（1）对于坐标平面内的一点P，给出如下定义：如果∠APB＝45°，那么称点P为线段AB的“完美点”．

①设A、B、P三点所在圆的圆心为C，则点C的坐标是 　   　，⊙C的半径是 　   　；

②y轴正半轴上是否有线段AB的“完美点”？如果有，求出“完美点”的坐标；如果没有，请说明理由；

（2）若点P在y轴负半轴上运动，则当∠APB的度数最大时，点P的坐标为 　    　．

10．问题提出

（1）如图①，△ABC内接于⊙O，过点A作⊙O的切线l，在l上任取一点D，连接BD、CD，则∠BAC与∠BDC的大小关系为 　            　；

问题探究

（2）如图②，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E为AD边上一点，当∠BEC最大时，求cos∠BEC的值；

问题解决

（3）如图③，某商场在一部向下运行的手扶电梯BC的终点C的正上方竖直悬挂一幅高度DE＝4m的广告画．已知广告画的最低点D到地面AC的距离为6.5m，该电梯的高AB为4m，它所占水平地面的长AC为8m．小明从点B出发，站在该电梯上观看广告画DE，其观看视角为∠DPE．已知小明的眼睛P到脚底的距离PQ为1.5m，电梯在竖直AB方向上的下降速度为20cm/s，求当小明站在电梯上多长时间时，∠DPE取得最大值．

11．问题背景

（1）如图（1）△ABC内接于⊙O，过A作⊙O的切线l，在l上任取一个不同于点A的点P，连接PB、PC，比较∠BPC与∠BAC的大小，并说明理由．

问题解决

（2）如图（2），A（0，2），B（0，4），在x轴正半轴上是否存在一点P，使得cos∠APB最小？若存在，求出P点坐标，若不存在，请说明理由．

拓展应用

（3）如图（3），在四边形ABCD中，AB∥CD，AD⊥CD于D，E是AB上一点，AE＝AD，P是DE右侧四边形ABCD内一点，若AB＝8，CD＝11，tan∠C＝2，S△DEP＝9，求sin∠APB的最大值.

12．已知：∠MBN＝90°，点A在射线BM上，点C在射线BN上，D在线段BA上，⊙O是△ACD的外接圆；

（1）若⊙O与BN的另一个交点为E，如图1，当，BD＝1，AD＝2时，求CE的长；

（2）如图2，当∠BCA＝∠BDC时，判断BN与⊙O的位置关系，并说明理由；

（3）如图3，在BN上作出C点，使得∠ACD最大，并求当AD＝2，时，⊙O的半径．

13．【发现问题】

（1）如图①，点A，B在∠MON的边OM上，过A，B两点的圆交ON于C，D两点，点E在线段CD上（不与点C，D重合），点F在射线DN上（不与点D重合）．试探究∠AEB和∠AFB之间的大小关系，并说明理由；

【探究问题】

（2）如图②，∠MON＝90°，点A，B在射线ON上，点P是射线OM上一动点，AB＝3OB＝3，当∠APB最大时，请求出此时OP的长；

【解决问题】

（3）如图③，一足球球门宽AB约为4米，一球员从距A点5米的O点（点O，A，B均在一条直线上），沿与OM成一定角度的ON方向带球．试问，该球员能否在射线ON上找到一点P，使得点P为最佳射门点（即∠APB最大）？若能找到，求出此时该球员跑过的路程长；若找不到，请说明理由．

14．问题探究

（1）如图1，C，D是∠AOB的边OA上两点，直线OB与⊙I相切于点P，点P1是直线OB上异于点P的任意一点，请在图1中画出∠CP1D，试判断∠CPD与∠CP1D的大小关系，并证明；

（2）如图2，已知矩形ABCD中，点M在边BC上，点E在边AB上，AB＝8，AE＝6，当∠AME最大时，请求出此时BM的长；

问题解决

（3）如图3，四边形ABCD是某车间的平面示意图，AB＝4米，AD＝8米，∠A＝∠D＝60°，∠BCD＝90°，工作人员想在线段AD上选一点M安装监控装置，用来监视边BC，现只要使得∠BMC最大，就可以让监控装置的效果达到最佳．问在线段AD上是否存在点M，使∠BMC最大？若存在，请求出DM的长；若不存在，请说明理由．

15．如图，抛物线y＝ax2+x+c与x轴交于A，B两点（点B在点A左侧），与y轴交于点C，直线y＝kx+b经过点A，C，且OA＝2OC＝4．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点E为AC上方抛物线上一动点，过点E作EF∥y轴交AC于点F，求线段EF的最大值；

（3）在（2）的结论下，若点G是x轴上一点，当∠CGF的度数最大时，求点G的坐标．

16．如图，顶点为M的抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣1，0），B两点，与y轴交于点C，过点C作CD⊥y轴交抛物线于另一点D，作DE⊥x轴，垂足为点E，双曲线y＝（x＞0）经过点D，连接MD，BD．

（1）求抛物线的表达式；

（2）点N，F分别是x轴，y轴上的两点，当以M，D，N，F为顶点的四边形周长最小时，求出点N，F的坐标；

（3）动点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿OC方向运动，运动时间为t秒，当t为何值时，∠BPD的度数最大？（请直接写出结果）