模型42 单、多角平分线模型（讲+练）-备战2023年中考数学解题大招复习讲义（全国通用）

模型一、角平分线垂两边

模型二、角平分线垂中间                  模型三、角平分线+平行线构造等腰三角形

模型四、利用角平分线作对称模型           五、内外模型

考点一：角平分线垂两边模型

【例1】．如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝6，BC＝9，CD＝4，则四边形ABCD的面积是 　   　．

变式训练

【变式1-1】．如图，已知：∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC．

求证：（1）AM平分∠DAB；

（2）AD＝AB+CD．

【变式1-2】．已知：如图所示，点P为∠AOB的平分线上一点，PC⊥OA于C，∠OAP+∠OBP＝180°，求证：OA+OB＝2OC．

考点二：角平分线垂中间模型

【例2】．如图，BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD，垂足为F．若∠ABC＝35°，∠C＝50°，则∠CDE的度数为 　   　．

变式训练

【变式2-1】．如图，已知，∠BAC＝90°，AB＝AC，BD是∠ABC的平分线，且CE⊥BD交BD的延长线于点E．求证：BD＝2CE．

【变式2-2】．如图，在△ABC中，∠ABC＝3∠C，AD平分∠BAC，BE⊥AD于E，求证：BE＝（AC﹣AB）．（提示：延长BE交AC于点F）．

考点三：角平分线＋平行线构造等腰三角形

【例3】．如图，在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且MN平分∠AMC，若AN＝1，则BC的长为　  　．

变式训练

【变式3-1】．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM+CN＝9，则线段MN的长为　  　．

【变式3-2】．（1）如图△ABC中，BD、CD分别平分∠ABC，∠ACB，过点D作EF∥BC交AB、AC于点E、F，试说明BE+CF＝EF的理由．

（2）如图，△ABC中，BD、CD分别平分∠ABC，∠ACG，过D作EF∥BC交AB、AC于点E、F，则BE、CF、EF有怎样的数量关系？并说明你的理由．

考点四：利用角平分线作对称

【例4】．如图，在△ABC中，∠B＝2∠C，∠BAC的角平分线交BC于D．

求证：AB+BD＝AC．

变式训练

【变式4-1】．如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，求证：AC＝AE+CD．

【变式4-2】．如图，已知△ABC中，AB＝AC，∠A＝100°，BD平分∠ABC，求证：BC＝BD+AD．

【变式4-3】．如图，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，E、F分别为AB、AC上的点，连接DE、DF，∠EDF+∠BAC＝180°．求证：DE＝DF．

1．已知∠AOB＝80°，∠BOC＝50°，OD是∠AOB的角平分线，OE是∠BOC的角平分线，则∠DOE＝　    　．

2．（1）如图①在△ABC，∠C＝90°，AD平分∠CAB，BC＝6cm，BD＝4cm，那么点D到AB的距离是　 　cm

（2）如图②，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：AP平分∠BAC．

3．如图，已知在△ABC中，BE、CD分别是∠ABC、∠ACB的平分线，BE、CD相交于点I，且BD+CE＝BC．求∠A的度数．

4．如图，在△ABC中，BD，CD分别平分∠ABC和∠ACB，DE∥AB，DF∥AC．若BC＝6，则△DEF的周长为　  　．

5．如图，已知AD∥BC，∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于E，CE的连线交AP于D．求证：AD+BC＝AB．

6．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，CD平分∠ACB交AB于点D，DE⊥AC于点E，BF∥DE交CD于点F．求证：DE＝BF．

7．如图，已知等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，BD平分∠ABC，CE⊥BD于点E，若△BCD的面积为16，则BD的长为（　　）

A．16 B．8 C．6 D．4

8．如图，在△ABC中，AD是∠BAC的外角平分线，P是AD上异于点A的任一点，试比较PB+PC与AB+AC的大小，并说明理由．

10．如图，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，过点D作直线分别交AB、AC于点E、F，若AE＝AF，BE＝4，CF＝2，回答下列问题：

（1）证明：ED＝FD；

（2）试找出∠BDC与∠A的数量关系，并说明理由；

（3）求EF的长．

11．感知：如图1，AD平分∠BAC．∠B+∠C＝180°，∠B＝90°，易知：DB＝DC．

探究：如图2，AD平分∠BAC，∠ABD+∠ACD＝180°，∠ABD＜90°，求证：DB＝DC．

应用：如图3，四边形ABCD中，∠B＝45°，∠C＝135°，DB＝DC＝a，则AB﹣AC＝　  　（用含a的代数式表示）

探究：

12．如图，已知△ABC的三个内角的平分线交于点O，点D在CA的延长线上，且AD＝AO，CB＝CD，连接BD．

（1）求证：∠OBD＝∠ODB；

（2）若∠BAC＝80°，求∠ACB的长度．

13．（1）如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝45°，AD平分∠BAC，交BC于点D．如果作辅助线DE⊥AB于点E，则可以得到AC、CD、AB三条线段之间的数量关系为　AB＝AC+CD　；

（2）如图，△ABC中，∠C＝2∠B，AD平分∠BAC，交BC于点D．（1）中的结论是否仍然成立？若不成立，试说明理由；若成立，请证明．

14．如图①，AB＝AC，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB．

（1）①图中有哪几个等腰三角形？如图②，若过D作EF∥BC交AB于点E，交AC于点F，则图②比图①增加了几个等腰三角形？

（2）如图③，若AB≠AC≠BC，其他条件不变，则该图中有哪几个等腰三角形？请直接写出线段EF，BE，CF之间的数量关系；

（3）如图④，若∠ABC的平分线BO与△ABC的外角∠ACG的平分线CO相交于点O，过点O作OE∥BC，交AB于点E，交AC于点F，这时图中有哪几个等腰三角形？请写出线段EF，BE，CF之间的数量关系，并说明理由．