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模型30 探照灯模型（讲+练）-备战2023年中考数学解题大招复习讲义（全国通用）
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这是一份模型30 探照灯模型（讲+练）-备战2023年中考数学解题大招复习讲义（全国通用），文件包含模型30探照灯模型原卷版docx、模型30探照灯模型解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共50页， 欢迎下载使用。
模型介绍
定角定高模型：如图，直线BC外一点A，A到直线BC距离为定值（定高），∠BAC为定角，则AD有最小值，即△ABC的面积有最小值. 定角夹定高也叫探照灯模型.
R模型剖析
如何确定△ABC面积的最小值呢？
首先我们连接OA,OB,OC. 过O点作OH⊥BC于H点.（如右上图）
显然OA+OHAD，当且仅当A,O,D三点共线时取“=”.由于∠BAC的大小是一个定值，而且它是圆O的圆周角，因此它所对的圆心角∠AOB的度数，也是一个定值.
因此OH和圆O的半径有一个固定关系，所以OA+OH也和圆O的半径，有一个固定的等量关系.再根据我们刚才说的OA+OHAD，就可以求得圆O半径的最小值.
简证：OA+OHAD，
∵四边形OEDH为矩形，∴OH=ED，
在Rt△AOE中，AO>AE，∴AO+OH=AO+ED>AE+ED=AD
R步骤指引
1.作定角定高三角形外接圆，并设外接圆半径为r，用r表示圆心到底边距离及底边长；
2.根据“半径+弦心距≥定高”，求r的取值范围；
3.用r表示定角定高三角形面积，用r取值范围求面积最小值.
例题精讲
【例1】．如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，AD⊥BC于点D，且AD＝4，则△ABC面积的最小值为 ．
解：作△ABC的外接圆⊙O，连接OA，OB，OC，过点O作OE⊥BC于点E，
∵∠BAC＝60°，
∴∠BOC＝120°，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB＝30°，
设⊙O的半径为r，则OE＝OB＝r，BE＝OB＝r，
∴BC＝r，
∵OA+OE≥AD，
∴r+r≥4，
解得：r≥，
∴BC≥，
∴，
∴△ABC的面积的最小值为，
故答案为：．
Ø变式训练
【变式1-1】．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝12，点E，F均在AD上，且∠ABE+∠FCD＝90°，则四边形BCFE面积的最大值为 20 ．
解：将△DCF向左平移，使DC与AB重合，点F的对应点为点G，
∵∠ABE+∠FCD＝90°，
∴∠GBE＝90°，
作△BGE的外接圆O，连接OB，
则OB≥AB，
当点O与点A重合时，OB取得最小值，最小值为2，
∴GE的最小值为4，
∴△GBE的面积最小＝GE•AB＝4×2＝4，
∵四边形BCFE＝矩形ABCD的面积﹣△ABE的面积﹣△CDF的面积＝矩形ABCD的面积﹣△GBE的面积，
∴当△GBE的面积最小时，四边形BCFE的面积有最大值，
∴四边形BCFE最大＝2×12﹣4＝20，
∴四边形BCFE面积的最大值为20．
故答案为：20．
【变式1-2】．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝4，AD∥BC，∠B＝60°，点E、F分别为边BC、CD上的两个动点，且∠EAF＝60°，则△AEF的面积的最小值是 4 ．
解：将△ADF绕点A顺时针旋转120°到△ABM，
由旋转得：BM＝DF，AM＝AF，∠ABM＝∠D＝120°，∠MAB＝∠FAD，
∵∠ABC＝60°，
∴∠ABM+∠ABC＝180°，
∴M、B、E共线，
∵∠MAE＝∠MAB+∠BAE＝∠FAD+∠BAE＝60°，
∠EAF＝60°，AE＝AE，
∴△FAE≌△MAE（SAS），
∴∠MEA＝∠FEA，
过A作AH⊥BC于H，作AK⊥EF于K，
∴AH＝AK＝AB•sin60°＝2，
作△AEF的外接圆⊙O，连接OA、OE、OF，
过O作ON⊥EF于N，
∵∠EAF＝60°，
∴∠EOF＝120°，
∴∠NOF＝60°，
设EF＝2x，则NF＝x，
Rt△ONF中，ON＝x，OF＝x，
∴ON+OA＝OF+ON＝x，
∵OA+ON≥AK，
∴x≥2，
∴x≥2，
∴S△AEF＝EF•AK＝＝2x≥4，
∴△AEF面积的最小值是4．
【例2】．如图，已知在四边形ABCD中，∠ABC＝60°，连接AC、BD交于点E，EC＝2AE＝4，若BE＝2ED，则BD的最大值为 ．
解：如图，作△ABC的外接圆⊙O，连接OB，OA，OC，OE，过点O作OH⊥AC于H．
∵∠AOC＝2∠ABC，∠ABC＝60°，
∴∠AOC＝120°，
∵EC＝2AE＝4，∴AE＝2，
∴AC＝AE+EC＝6，
∵OA＝OC，OH⊥AC，∴AH＝HC＝3，EH＝AH﹣AE＝1，
∵∠OAC＝∠OCA＝30°，∴OH＝AH•tan30°＝，
∴OE＝＝＝2，OA＝2OH＝2，
∴OB＝OA＝2，
∵BE≤OB+OE，∴BE≤2+2，∴BE的最大值为2+2，
∵BE＝2DE，∴DE的最大值为1+，∴BD的最大值为3+3．故答案为3+3．
Ø变式训练
【变式2-1】．已知点O为直线外一点，点O到直线距离为4，点A、B是直线上的动点，且∠AOB＝30°
则△ABO的面积最小值为 64﹣16 ．
解：如图，过点O作直线l′∥直线l，则直线l与直线l′之间的距离为4，作点B关于直线l′的对称点B′，连接OB′，AB′，AB′交直线l′于点T，连接BT，过点A作AH⊥BT于H，过点T作TW⊥AB于W．
在Rt△ABB′中，AB＝＝，
∴AB′的值最小时，AB的值最小，
∵OA+OB＝OA+OB′≥AB′，
∴当A，O，B′共线时，AB′的值最小，此时AB的值最小，
∵直线l垂直平分线段BB′，
∴TB＝TB′，
∴∠TBB′＝∠TB′B，
∵∠TBA+∠TBB′＝90°，∠TAB+∠TB′B＝90°，
∴∠TAB＝∠TBA，
∴TA＝TB，
∵cos∠AOB＝cos∠ATB＝，
∴＝，
∴可以假设TH＝k，AT＝TB＝2k，
∴BH＝TB﹣TH＝（2﹣）k，
∴AH＝k，
∴AB＝＝＝2k，
∵S△TAB＝•AB•TW＝•TB•AH，
∴×2k×4＝×2k×k，
解得k＝4，
∴△ABO的面积最小值为＝∴×2×4×4＝64﹣16，
故答案为：64﹣16．
1．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，BC＝5，点D是线段BC上一动点，连接AD，以AD为边作△ADE，使△ADE∽△ABC，则△ADE面积的最小值为 ．
解：∵∠BAC＝90°，AB＝3，BC＝5，
∴AC＝＝＝4，
∴S△ABC＝×AB•AC＝6，
∵△ADE∽△ABC，
∴＝（）2，
∴当AD⊥BC时，AD有最小值，即△ADE面积有最小值，
此时，AD＝＝，
∴△ADE面积的最小值＝6×（）2＝，
故答案为：．
2．如图，∠AOB＝45°，在边OA，OB上分别有两个动点C、D．连接CD，以CD为直角边作等腰直角三角形CDE，当CD的长度保持不变且等于2cm时，则OE的最大值是 + ．
解：如图所示，在CD的左边，以CD为斜边，作等腰直角△CDF，则O、F、E三点共线时OE的值最大，
∵△CDF和△CDE是等腰直角三角形，
∴∠CDF＝∠CDE＝45°，
∴∠EDF＝90°，
∵CD＝2，
∴DE＝2，DF＝，
由勾股定理得：EF＝＝＝，
∴OE＝OF+EF＝+，
∴OE的最大值是+，
故答案为：+．
3．如图，已知△ABC中，∠BAC＝60°，AD平分∠BAC，交BC于D，且AD＝4，则△ABC面积的最小值为 ．
解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，作DF⊥AC于点F，
∵∠BAC＝60°，AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD＝30°，
设AB＝c，AC＝b，
在Rt△ADE中，DE＝AD•sin∠BAD＝4sin30°＝2，
在Rt△ACG中，CG＝AC•sin∠BAC＝b•sin60°＝b，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF＝2，
∵S△ABC＝S△ABD+S△ACD，
∴AB•CG＝AB•DE+AC•DF，
即：c×b＝×c×2+×b×2，
∴c+b＝bc，
∵（﹣）2≥0，
∴c+b≥2，当且仅当b＝c时取等号，
∴bc≥2，
解得：bc≥，
∴S△ABC＝bc≥×＝，
故答案为：．
4．如图，四边形ABCD中，∠BAD＝135°，∠B＝60°，∠D＝120°，AD＝5，AB＝6，E、F分别为边BC及射线CD上的动点，∠EAF＝45°，△AEF面积的最小值 ．
解：如图，过点A作AM⊥BC于M，过点E作EH⊥AF于H，AN⊥CD，交CD的延长线于N，
∵∠B＝60°，AM⊥BC，
∴∠BAM＝30°，
∴BM＝3，AM＝3，
∵∠ADC＝120°，
∴∠ADN＝60°，
∴∠NAD＝30°，
∴DN＝AD＝，AN＝，
∵∠BAD＝135°，∠EAF＝45°，∠BAM＝30°，
∴∠MAE+∠DAF＝60°，
又∵∠ADN＝∠DAF+∠DFA＝60°，
∴∠MAE＝∠AFD，
又∵∠AME＝∠N＝90°，
∴△AFN∽△EAM，
∴，
设ME＝x，则AE＝＝，
∴AF＝＝，
∵∠EAF＝45°，HE⊥AF，
∴HE＝AE＝×，
∴△AEF面积＝×AF×HE＝×（）＝×（），
∵当a，b为正数时，（a﹣b）2≥0，
∴a2+b2≥2ab，
∴△AEF面积＝×（）≥×2×，
∴△AEF面积的最小值为，
故答案为．
5．已知点D（2，a）为直线y＝﹣x+3上一点，将一直角三角板的直角顶点放在D处旋转，保持两直角边始终交x轴于A、B两点，C（0，﹣1）为y轴上一点，连接AC，BC，则四边形ACBD面积的最小值为 6 ．
解：如图，
取AB的中点F，连接DF，
∵∠ADB＝90°，
∴AB＝2DF
∵点D（2，a）为直线y＝﹣x+3上一点，
∴a＝﹣×2+3＝2，
∴D（2，2），
过点D作DE⊥AB于E，
∴DE＝2，E（2，0），
∴S四边形ACBD＝S△ABC+S△ABD＝AB•OC+AB•DE＝AB（OC+DE）＝AB＝3DF，
要四边形ACBD的面积最小，即DF最小，
∵点D（2，2），点F在x轴上，
∴当DF⊥x轴时，DF最小，最小值为DE＝2，
∴S四边形ACBD最小＝3×2＝6，
故答案为6．
6．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D在AB上，点E在AC上，且AD＝CE，连接DE，求的最小值．
解：设AB＝AC＝1，
∵∠A＝90°，AB＝AC，
∴△ABC是等腰直角三角形，∠B＝45°，
∴BC＝AB＝，
设AD＝CE＝x，
∴AE＝BD＝1﹣x，
过点D作DF⊥BC于F，如图所示：
则△BDF是等腰直角三角形，
∴BF＝DF＝BD＝（1﹣x），DE＝＝＝，CF＝BC﹣BF＝﹣（1﹣x）＝（x+1），
CD＝＝＝，
∴＝＝，
设＝y，整理得：yx2﹣2x+y﹣1＝0，
∵x为实数，
∴△＝（﹣2）2﹣4y（y﹣1）≥0，即：y2﹣y﹣1≤0，
∴≤y≤，
∴y最大值为，
∴的最小值为：＝．
7．边长为a（a为常数）的正方形ABCD中，动点E、F分别在边CD和边BC上，且∠EAF＝45°
（1）线段EF的最小值；
（2）S△ECF的最大值；
（3）S△ECF的最小值．
解：（1）设CE＝x，CF＝y，
∵（x﹣y）2≥0，
∴x2+y2≥2xy，
∵EF2＝x2+y2，
∴EF最小时，x2+y2＝2xy，
即（x﹣y）2＝0，
∴x＝y，即CE＝CF，
∴EF⊥AC，EG＝FG，
∴AC垂直平分EF，
∴AE＝AF，∠EAG＝∠FAG，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝D＝AD，AD⊥CD，AB⊥BC，∠BAD＝90°，∠BAC＝∠DAC＝45°，
∴DE＝BF，
∵∠EAF＝45°，
∴∠DAE＝∠CAE＝∠CAF＝∠BAF，
∴DE＝GE＝GF＝BF，△ECG和△FCG是等腰直角三角形，
设DE＝GE＝x，则CE＝EG＝x，EF＝2x，
∵DE+CE＝CD＝a，
∴x+x＝a，
解得：x＝（﹣1）a，
∴EF＝2x＝（2﹣2）a；
即EF的最小值为（2﹣2）a；
（2）当CE＝CF＝（﹣1）a＝（2﹣）a时，S△ECF最大，
∴S△ECF的最大值＝CE×CF＝（2﹣）a×（2﹣）a＝（3﹣2）a2．
（3）当EF与CD或BC重合时，EF＝a，边EF上的高为0，
S△ECF的最小值＝a×0＝0．
8．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点E是CD边上一点，将△ADE沿AE折叠，得到△APE，点D的对应点，为点P，连接EP并延长，交BC于点F，连接AF、CP．
（1）求证：∠EAF＝45°；
（2）当AF∥CP时，求DE的长；
（3）试探究△AEF的面积是否存在最小值，若存在，求出△AEF面积的最小值；若不存在，请说明理由．
（1）证明：∵将△ADE沿AE折叠，得到△APE，
∴AD＝AP，∠D＝∠APE＝90°，∠DAE＝∠PAE，DE＝PE，
∴∠B＝∠APF＝90°，AP＝AD＝AB，
又∵AF＝AF，
∴Rt△ABF≌Rt△APF（HL），
∴∠BAF＝∠PAF，
∴∠EAF＝∠PAF+∠PAE＝∠BAD＝45°；
（2）解：∵Rt△ABF≌Rt△APF，
∴∠AFB＝∠AFP，BF＝PF，
∵AF∥CP，
∴∠AFP＝∠FPC，∠AFB＝∠FCP，
∴∠FPC＝∠FCP，
∴PF＝CF，
∴PF＝CF＝BF＝BC＝2，
∵EF2＝CF2+CE2，
∴（2+DE）2＝4+（4﹣DE）2，
∴DE＝；
（3）解：如图，作△AEF的外接圆⊙O，连接AO，EO，FO，过点O作OH⊥EF于H，
设⊙O的半径r，
∵∠EOF＝2∠EAF＝90°，OE＝OF＝r，OH⊥EF，
∴EF＝OE＝r，OH＝EF＝r，
∵AO+OH≥AP，
∴r+r≥4，
∴r≥8﹣4，
∴当点A，点O，点H三点共线时，r有最小值为8﹣4，
此时，EF最小值为8﹣8，
∴△AEF面积的最小值＝×EF•AP＝×4×（8﹣8）＝16﹣16，
∴△AEF面积的最小值为16﹣16．
9．如图，平面直角坐标系中，O为原点，点A、B分别在y轴、x轴的正半轴上．△AOB的两条外角平分线交于点P，P在反比例函数y＝的图象上．PA的延长线交x轴于点C，PB的延长线交y轴于点D，连接CD．
（1）求∠P的度数及点P的坐标；
（2）求△OCD的面积；
（3）△AOB的面积是否存在最大值？若存在，求出最大面积；若不存在，请说明理由．
解：（1）如图，作PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，PH⊥AB于H．
∴∠PMA＝∠PHA＝90°，
∵∠PAM＝∠PAH，PA＝PA，
∴△PAM≌△PAH（AAS），
∴PM＝PH，∠APM＝∠APH，
同理可证：△BPN≌△BPH，
∴PH＝PN，∠BPN＝∠BPH，
∴PM＝PN，
∵∠PMO＝∠MON＝∠PNO＝90°，
∴四边形PMON是矩形，
∴∠MPN＝90°，
∴∠APB＝∠APH+∠BPH＝（∠MPH+∠NPH）＝45°，
∵PM＝PN，
∴可以假设P（m，m），
∵P（m，m）在y＝上，
∴m2＝9，
∵m＞0，
∴m＝3，
∴P（3，3）．
（2）设OA＝a，OB＝b，则AM＝AH＝3﹣a，BN＝BH＝3﹣b，
∴AB＝6﹣a﹣b，
∵AB2＝OA2+OB2，
∴a2+b2＝（6﹣a﹣b）2，
可得ab＝6a+6b﹣18，
∴3a+3b﹣9＝ab，
∵PM∥OC，
∴＝，
∴＝，
∴OC＝，同法可得OD＝，
∴S△COD＝•OC•DO＝•＝•＝•＝9．
解法二：连接OP．
∵∠POA＝∠POB＝∠CPD＝45°，
∴∠COP＝∠POD＝135°，
∵∠POB＝∠PCO+∠OPC＝45°，∠APO+∠OPD＝45°，
∴∠PCO＝∠OPD，
∴△COP∽△POD，
∴OC•OD＝OP2＝18，可求△COD的面积等于9．
（3）设OA＝a，OB＝b，则AM＝AH＝3﹣a，BN＝BH＝3﹣b，
∴AB＝6﹣a﹣b，
∴OA+OB+AB＝6，
∴a+b+＝6，
∴2+≤6，
∴（2+）≤6，
∴≤3（2﹣），
∴ab≤54﹣36，
∴S△AOB＝ab≤27﹣18，
∴△AOB的面积的最大值为27﹣18．
10．在四边形ABCD中，点E在BC边上（不与B、C重合）．
（1）如图（1），若四边形ABCD是正方形，AE⊥EF，AE＝EF，连CF．
①求∠BCF的大小；
②如图（2），点G是CF的中点，连DG、ED，若DE＝6，求DG的长；
（2）如图（3），若四边形ABCD是矩形，点M在AD边上，∠AEM＝60°，CD＝9，求线段AM的最小值．
解：（1）①如图（1），在AB上取一上点H，使AH＝CE，连接EH，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠B＝90°，
∴BE＝BH，
∴∠BHE＝45°，
∴∠AHE＝135°，
∵∠AEF＝90°，
∴∠AEB+∠CEF＝90°，
∵∠AEB+∠BAE＝90°，
∴∠BAE＝∠CEF，
∵AE＝EF，
∴△AHE≌△ECF（SAS），
∴∠BCF＝∠AHE＝135°；
②如图（2），在AB上取一上点H，使AH＝CE，连接EH，BD，
由①知：△AHE≌△ECF，
∴EH＝CF，
设BE＝2x，则EH＝CF＝2x，
∵G是CF的中点，
∴CG＝x，
∴＝＝，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BD＝CD，
∴＝，
∵∠DBE＝∠DCG＝45°，
∴△DBE∽△DCG，
∴＝＝，
∵DE＝6，
∴＝，
∴DG＝3；
（2）如图（3），作△AEM的外接圆O，过点O作ON⊥AM于N，连接OA，OE，OM，
∵∠AEM＝60°，
∴∠AOM＝120°，
∵ON⊥AM，
∴AN＝MN，∠AON＝∠NOM＝60°，
∴∠OAN＝∠OMN＝30°，
设ON＝a，则OA＝2a，AN＝a，
则OE+ON≥AB，
即当E，O，N三点共线时，a最小，此时AM最小，
∴a+2a＝9，
∴a＝3，
∴AM的最小值是6．
11．如图，在Rt△ABC中，AC＝8，∠BAC＝90°，∠C＝30°，AD⊥BC于点D，点E、F分别在AB、AC边上，且∠EDF＝120°，连接EF．
（1）如图①，当DE⊥AB时，求DF的长；
（2）如图②，过点D作DG⊥DE交AC于点G．连接EG．
①求证：EG∥DF；
②求△DEF面积的最小值．
（1）解：∵∠BAC＝90°，∠C＝30°，
∴∠B＝60°，
∵DE⊥AB，
∴∠EDB＝30°，
∵∠EDF＝120°，
∴∠FDC＝180°﹣30°﹣120°＝30°，
∴∠FDC＝∠C＝30°，
∴FD＝FC，
∵AD⊥BC，
∴∠DAC＝∠FDC＝60°，
∴FA＝FD＝FC＝4；
（2）①证明：如图②中，EG的中点O，连接OA，OD．
∵DG⊥DE，
∴∠EDG＝∠EAG＝90°，
∵EO＝OG，
∴OA＝OG＝OE＝OD，
∴A，E，D，G四点共圆，
∴∠EGD＝∠BAD＝30°，
∵∠EDF＝120°，∠EDG＝90°，
∴∠FDG＝∠EGD＝30°，
∴EG∥DF；
②解：如图③中，过点D作DH⊥AC于点H，作△DGF的外接圆⊙O，连接OG，OF，OD，过点O作OT⊥AC于点T．
∵EG∥DF，
∴S△DEF＝S△DFG＝•FG•DH，
∵∠ADC＝90°，AC＝8，∠C＝30°，
∴AD＝AC＝4，
∴CD＝AD＝12，
∴DH＝CD＝6，
∴S△DEF＝3GF，
设FG＝x，
∵∠GOF＝2∠GDF＝60°，OF＝OG，
∴△OFG是等边三角形，
∴OD＝OG＝OF＝FG＝x，OT＝x，
∵OD+OT≥DH，
∴x+x≥6，
∴x≥24﹣12，
∴FG的最小值为24﹣12，
∴△DEF的面积的最小值为72﹣36．
12．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝，AC＝2，过点B作直线m∥AC，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△A′B′C（点A，B的对应点分别为A'，B′），射线CA′，CB′分别交直线m于点P，Q．
（1）如图1，当P与A′重合时，求∠ACA′的度数；
（2）如图2，设A′B′与BC的交点为M，当M为A′B′的中点时，求线段PQ的长；
（3）在旋转过程中，当点P，Q分别在CA′，CB′的延长线上时，试探究四边形PA'B′Q的面积是否存在最小值．若存在，求出四边形PA′B′Q的最小面积；若不存在，请说明理由．
解：（1）由旋转可得：AC＝A'C＝2，
∵∠ACB＝90°，AB＝，AC＝2，
∴BC＝，
∵∠ACB＝90°，m∥AC，
∴∠A'BC＝90°，
∴cos∠A'CB＝＝，
∴∠A'CB＝30°，
∴∠ACA'＝60°；
（2）∵M为A'B'的中点，
∴∠A'CM＝∠MA'C，
由旋转可得，∠MA'C＝∠A，
∴∠A＝∠A'CM，
∴tan∠PCB＝tan∠A＝，
∴PB＝BC＝，
∵∠PCQ＝∠PBC＝90°，
∴∠BQC+∠BPC＝∠BCP+∠BPC＝90°，
∴∠BQC＝∠BCP＝∠A，
∴tan∠BQC＝tan∠A＝，
∴BQ＝BC×＝2，
∴PQ＝PB+BQ＝；
（3）∵S四边形PA'B′Q＝S△PCQ﹣S△A'CB'＝S△PCQ﹣，
∴S四边形PA'B′Q最小，即S△PCQ最小，
∴S△PCQ＝PQ×BC＝PQ，
法一：（几何法）取PQ的中点G，
∵∠PCQ＝90°，
∴CG＝PQ，即PQ＝2CG，
当CG最小时，PQ最小，
∴CG⊥PQ，即CG与CB重合时，CG最小，
∴CGmin＝，PQmin＝2，
∴S△PCQ的最小值＝3，S四边形PA'B′Q＝3﹣；
法二（代数法）设PB＝x，BQ＝y，
由射影定理得：xy＝3，
∴当PQ最小时，x+y最小，
∴（x+y）2＝x2+2xy+y2＝x2+6+y2≥2xy+6＝12，
当x＝y＝时，“＝”成立，
∴PQ＝+＝2，
∴S△PCQ的最小值＝3，S四边形PA'B′Q＝3﹣．
13．辅助圆之定角定高求解探究
（1）如图①，已知线段AB，以AB为斜边，在图中画出一个直角三角形；
（2）如图②，在△ABC中，∠ACB＝60°，CD为AB边上的高，若CD＝4，试判断AB是否存在最小值，若存在，请求出AB最小值；若不存在，请说明理由；
（3）如图③，某园林单位要设计把四边形花园划分为几个区域种植不同花草，在四边形ABCD中，∠A＝45°，∠B＝∠D＝90°，CB＝CD＝6，点E、F分别为AB、AD上的点，若保持CE⊥CF，那么四边形AECF的面积是否存在最大值，若存在，请求出面积的最大值，若不存在，请说明理由．
解：（1）如图①中，△ABC即为所求．
（2）如图②中，作△ABC的外接圆⊙O，连接OA，OB，OC，作OE⊥AB于E．设OA＝OC＝2x．
∵∠AOB＝2∠ACB＝120°，OA＝OB，OE⊥AB，
∴AE＝EB，∠AOE＝∠BOE＝60°，
∴OE＝OA＝x，AE＝x，
∵OC+OE≥CD，
∴3x≥4，
∴x≥，
∴x的最小值为，
∵AB＝2x，
∴AB的最小值为．
（3）如图③中，连接AC，延长BC交AD的延长线于G，将△CDF顺时针旋转得到△CBH，作△CEH的外接圆⊙O．
∵∠ADC＝∠ABC＝90°，AC＝AC，CD＝CB，
∴Rt△ACD≌Rt△ACB（HL），
∴S△ACD＝S△ACB，
∵∠DAB＝45°，
∴∠DCB＝135°，
∴∠DCG＝45°，
∵∠CDG＝90°，
∴CD＝DG＝6，
∴CG＝CD＝12，
∴AB＝GB＝12+6，
由（2）可知，当△CEH的外接圆的圆心O在线段BC上时，△ECH的面积最小，此时四边形AFCE的面积最大，
设OC＝OE＝r，易知OB＝EB＝r，
∴r+r＝6，
∴r＝6（2﹣），
∴EH＝r＝12（2﹣），
∴四边形AFCE的面积的最大值＝2××（12+6）×6﹣×12（2﹣）×6＝144．
14．问题提出
（1）如图①，点O是等边△ABC的内心，连接OB、OC，则∠BOC的大小为 120° ；
问题探究
（2）如图②，在Rt△ABC中，∠A＝90°，点D、E分别在边AB、AC上，且DE∥BC，点M、N分别是DE、BC的中点，连接MN．若BD＝8，CE＝6，求MN的长；
问题解决
（3）如图③，某小区计划在一片足够大的空地上修建四边形的花园ABCD，根据设计要求，在四边形ABCD中，AD∥BC，且BC＝2AD，AD与BC之间的距离为40m，∠A+∠D＝225°．试求四边形花园ABCD面积的最小值．
解：（1）∵点O是等边△ABC的内心，
∴BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，∠ABC＝60°，∠ACB＝60°，
∴∠OBC＝∠OCB＝30°，
∴∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB＝120°；
（2）如图：过点M分别作MF∥AB交BC于点F，MG∥AC交BC于点G，
又∵DE∥BC，
∴四边形DBFM、MGCE都是平行四边形，
∴DM＝BF，ME＝CG，MF＝BD＝8，MG＝CE＝6，
∵MF∥AB交BC于点F，MG∥AC，
∴∠B＝∠MFG，∠C＝∠MGF，
∵∠A＝90°，
∴∠B+∠C＝90°，
∴∠MFG+∠MGF＝90°，
∴△MFG是直角三角形，即FG＝10，
又∵点M、N分别是DE、BC的中点，
∴DM＝ME＝BF＝CG，BN＝CN，
∴BN﹣BF＝CN﹣CG，即FN＝NG，
∴MN是直角三角形MFG斜边的中线，
∴MN＝FG＝5；
（3）如图：过点A作AH⊥BC于点H，则AH＝40，
取BC的中点E，连接AE，
∴BC＝2EC．
∵BC＝2AD，AD∥BC，
∴AD∥EC，AD＝EC，
∴四边形AECD是平行四边形，
∴AE∥CD，
∴∠EAD+∠D＝180°，
又∵∠BAD+∠D＝225°，
∴∠BAE＝45°，
作△ABE的外接圆⊙O，连接OA、OE、OB，过点O作OM⊥BC于点M，
则∠BOE＝2∠BAE＝90°，∠BOM＝∠EOM＝45°，
设⊙O的半径为r，则OM＝r＝BM＝ME，BE＝r，
∵OA+OM≥AH，
∴r+r≥40，
解得：r≥80﹣40，
∴当A、O、M三点共线时，r取得最小值80﹣40，此时BE取得最小值80﹣80，
∵S四边形ABCD＝40×（AD+BC）＝20（AD+BC）＝30BC＝60BE，
∴S四边形ABCD最小＝60×（80﹣80）＝4800﹣4800，
∴四边形花园ABCD面积的最小值为（4800﹣4800）m2．
15．问题探究
（1）如图①，已知在△ABC中，∠B＝∠C＝30°，BC＝6，则S△ABC＝ 3 ．
（2）如图②，已知四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°，AD＝DC，BD＝4，请求出四边形ABCD面积的最大值．
问题解决
（3）如图③，某小区有一个四边形花坛ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝CD＝15m，∠B＝∠C＝60°．为迎接“十四运”，园艺师将花坛设计成由两种花卉构成的新造型，根据造型设计要求，点E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF＝60°，现需要在△AEF的区域内种植甲种花卉，其余区域种植乙种花卉．已知种植甲种花卉每平方米需200元，乙种花卉每平方米需160元．试求按设计要求，完成花卉种植至少需费用多少元？（结果保留整数，参考数据：≈1.7）
解：（1）如果①，过点A作AD⊥BC于点D，
∵∠B＝∠C＝30°，
∴△ABC是等腰三角形，
∴BD＝CD＝BC＝3，
∴AD＝BD•tan30°＝3×＝，
∴S△ABC＝BC•AD＝××6＝3．
（2）∵∠ABC+∠ADC＝180°，
∴A，B，C，D四点共圆，
所以当BD是直径时，四边形ABCD的面积最大，
此时∠A＝∠C＝90°，
∴S四边形ABCD＝AB•AD＝CD•BC，
∵CD＝AD，
由勾股定理得，，，
∴AB＝BC，
∴S四边形ABCD＝＝＝AD•AB，
∴当AB＝AD时，S四边形ABCD最大，
∴S四边形ABCD＝AD2，
∵BD＝4，
在Rt△ABD中，2AD2＝BD2＝32，
∴AD＝4，
∴S四边形ABCD最大值＝4×4＝16；
解法二：如图，将△BDC绕点D顺时针旋转得到△DAT．过点B作BH⊥DT于点H．
∵∠ABC+∠ADC＝180°，
∴∠BAD+∠C＝180°，
∵∠DAT＝∠C，
∴∠BAD+∠DAT＝180°，
∴B，A，T共线，
∴S四边形ABCD＝S△BDT＝×DT×BH≤×DT×BD＝16．
（3）如图③，
∵AD∥BC，AB＝AD＝CD＝15m，∠B＝∠C＝60°，
∵甲种花卉贵，
∴若费用最少，则甲种花卉种植面积最小，
即S△AEF面积最小，
将△ADF绕A顺时针旋转120°到△ABM，
由旋转可得BM＝DF，AM＝AF，∠ABM＝∠D＝120°，
∵∠ABM+∠ABE＝180°，
∴M，B，E三点共线，
∵∠MAE＝∠MAB+∠BAE＝∠FAD+∠BAE＝60°，
∵∠EAF＝60°，AE＝AE，
∴△FAE≌△MAE（SAS），
∴∠MEA＝∠FEA，
过点A作AH⊥BC，过点A作AK⊥EF于K，
∴AH＝AK＝AB•sin60°＝，
作△AEF的外接圆⊙O，连接OA，OE，OF，过点O作ON⊥EF于点N，
∵∠EAF＝60°，∠EOF＝120°，
∴∠NOF＝60°，设EF＝2x，
∴NF＝x，
在Rt△ONF中，ON＝，OF＝，
∴ON+OA＝OF+ON＝，
∵OA+ON≥AK，
∴≥，
∴x≥，
∴S△AEF＝EF•AK＝•2x•＝x≥×＝，
∴S△AEF最小值＝，
∵BH＝，CQ＝CD，
BH+CQ＝AB＝CD＝15m，且HQ＝AD＝15m，
∴BC＝30m，S四边形ABCD＝＝，
∴乙种花卉的种植面积为S乙＝S四边形ABCD﹣S甲＝﹣＝m2，
至少花费w＝×200+×160≈49725元．
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模型介绍
定角定高模型：如图，直线BC外一点A，A到直线BC距离为定值（定高），∠BAC为定角，则AD有最小值，即△ABC的面积有最小值. 定角夹定高也叫探照灯模型.
R模型剖析
如何确定△ABC面积的最小值呢？
首先我们连接OA,OB,OC. 过O点作OH⊥BC于H点.（如右上图）
显然OA+OHAD，当且仅当A,O,D三点共线时取“=”.由于∠BAC的大小是一个定值，而且它是圆O的圆周角，因此它所对的圆心角∠AOB的度数，也是一个定值.
因此OH和圆O的半径有一个固定关系，所以OA+OH也和圆O的半径，有一个固定的等量关系.再根据我们刚才说的OA+OHAD，就可以求得圆O半径的最小值.
简证：OA+OHAD，
∵四边形OEDH为矩形，∴OH=ED，
在Rt△AOE中，AO>AE，∴AO+OH=AO+ED>AE+ED=AD
R步骤指引
1.作定角定高三角形外接圆，并设外接圆半径为r，用r表示圆心到底边距离及底边长；
2.根据“半径+弦心距≥定高”，求r的取值范围；
3.用r表示定角定高三角形面积，用r取值范围求面积最小值.
例题精讲
【例1】．如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，AD⊥BC于点D，且AD＝4，则△ABC面积的最小值为 ．
解：作△ABC的外接圆⊙O，连接OA，OB，OC，过点O作OE⊥BC于点E，
∵∠BAC＝60°，
∴∠BOC＝120°，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB＝30°，
设⊙O的半径为r，则OE＝OB＝r，BE＝OB＝r，
∴BC＝r，
∵OA+OE≥AD，
∴r+r≥4，
解得：r≥，
∴BC≥，
∴，
∴△ABC的面积的最小值为，
故答案为：．
Ø变式训练
【变式1-1】．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝12，点E，F均在AD上，且∠ABE+∠FCD＝90°，则四边形BCFE面积的最大值为 20 ．
解：将△DCF向左平移，使DC与AB重合，点F的对应点为点G，
∵∠ABE+∠FCD＝90°，
∴∠GBE＝90°，
作△BGE的外接圆O，连接OB，
则OB≥AB，
当点O与点A重合时，OB取得最小值，最小值为2，
∴GE的最小值为4，
∴△GBE的面积最小＝GE•AB＝4×2＝4，
∵四边形BCFE＝矩形ABCD的面积﹣△ABE的面积﹣△CDF的面积＝矩形ABCD的面积﹣△GBE的面积，
∴当△GBE的面积最小时，四边形BCFE的面积有最大值，
∴四边形BCFE最大＝2×12﹣4＝20，
∴四边形BCFE面积的最大值为20．
故答案为：20．
【变式1-2】．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝4，AD∥BC，∠B＝60°，点E、F分别为边BC、CD上的两个动点，且∠EAF＝60°，则△AEF的面积的最小值是 4 ．
解：将△ADF绕点A顺时针旋转120°到△ABM，
由旋转得：BM＝DF，AM＝AF，∠ABM＝∠D＝120°，∠MAB＝∠FAD，
∵∠ABC＝60°，
∴∠ABM+∠ABC＝180°，
∴M、B、E共线，
∵∠MAE＝∠MAB+∠BAE＝∠FAD+∠BAE＝60°，
∠EAF＝60°，AE＝AE，
∴△FAE≌△MAE（SAS），
∴∠MEA＝∠FEA，
过A作AH⊥BC于H，作AK⊥EF于K，
∴AH＝AK＝AB•sin60°＝2，
作△AEF的外接圆⊙O，连接OA、OE、OF，
过O作ON⊥EF于N，
∵∠EAF＝60°，
∴∠EOF＝120°，
∴∠NOF＝60°，
设EF＝2x，则NF＝x，
Rt△ONF中，ON＝x，OF＝x，
∴ON+OA＝OF+ON＝x，
∵OA+ON≥AK，
∴x≥2，
∴x≥2，
∴S△AEF＝EF•AK＝＝2x≥4，
∴△AEF面积的最小值是4．
【例2】．如图，已知在四边形ABCD中，∠ABC＝60°，连接AC、BD交于点E，EC＝2AE＝4，若BE＝2ED，则BD的最大值为 ．
解：如图，作△ABC的外接圆⊙O，连接OB，OA，OC，OE，过点O作OH⊥AC于H．
∵∠AOC＝2∠ABC，∠ABC＝60°，
∴∠AOC＝120°，
∵EC＝2AE＝4，∴AE＝2，
∴AC＝AE+EC＝6，
∵OA＝OC，OH⊥AC，∴AH＝HC＝3，EH＝AH﹣AE＝1，
∵∠OAC＝∠OCA＝30°，∴OH＝AH•tan30°＝，
∴OE＝＝＝2，OA＝2OH＝2，
∴OB＝OA＝2，
∵BE≤OB+OE，∴BE≤2+2，∴BE的最大值为2+2，
∵BE＝2DE，∴DE的最大值为1+，∴BD的最大值为3+3．故答案为3+3．
Ø变式训练
【变式2-1】．已知点O为直线外一点，点O到直线距离为4，点A、B是直线上的动点，且∠AOB＝30°
则△ABO的面积最小值为 64﹣16 ．
解：如图，过点O作直线l′∥直线l，则直线l与直线l′之间的距离为4，作点B关于直线l′的对称点B′，连接OB′，AB′，AB′交直线l′于点T，连接BT，过点A作AH⊥BT于H，过点T作TW⊥AB于W．
在Rt△ABB′中，AB＝＝，
∴AB′的值最小时，AB的值最小，
∵OA+OB＝OA+OB′≥AB′，
∴当A，O，B′共线时，AB′的值最小，此时AB的值最小，
∵直线l垂直平分线段BB′，
∴TB＝TB′，
∴∠TBB′＝∠TB′B，
∵∠TBA+∠TBB′＝90°，∠TAB+∠TB′B＝90°，
∴∠TAB＝∠TBA，
∴TA＝TB，
∵cos∠AOB＝cos∠ATB＝，
∴＝，
∴可以假设TH＝k，AT＝TB＝2k，
∴BH＝TB﹣TH＝（2﹣）k，
∴AH＝k，
∴AB＝＝＝2k，
∵S△TAB＝•AB•TW＝•TB•AH，
∴×2k×4＝×2k×k，
解得k＝4，
∴△ABO的面积最小值为＝∴×2×4×4＝64﹣16，
故答案为：64﹣16．
1．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，BC＝5，点D是线段BC上一动点，连接AD，以AD为边作△ADE，使△ADE∽△ABC，则△ADE面积的最小值为 ．
解：∵∠BAC＝90°，AB＝3，BC＝5，
∴AC＝＝＝4，
∴S△ABC＝×AB•AC＝6，
∵△ADE∽△ABC，
∴＝（）2，
∴当AD⊥BC时，AD有最小值，即△ADE面积有最小值，
此时，AD＝＝，
∴△ADE面积的最小值＝6×（）2＝，
故答案为：．
2．如图，∠AOB＝45°，在边OA，OB上分别有两个动点C、D．连接CD，以CD为直角边作等腰直角三角形CDE，当CD的长度保持不变且等于2cm时，则OE的最大值是 + ．
解：如图所示，在CD的左边，以CD为斜边，作等腰直角△CDF，则O、F、E三点共线时OE的值最大，
∵△CDF和△CDE是等腰直角三角形，
∴∠CDF＝∠CDE＝45°，
∴∠EDF＝90°，
∵CD＝2，
∴DE＝2，DF＝，
由勾股定理得：EF＝＝＝，
∴OE＝OF+EF＝+，
∴OE的最大值是+，
故答案为：+．
3．如图，已知△ABC中，∠BAC＝60°，AD平分∠BAC，交BC于D，且AD＝4，则△ABC面积的最小值为 ．
解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，作DF⊥AC于点F，
∵∠BAC＝60°，AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD＝30°，
设AB＝c，AC＝b，
在Rt△ADE中，DE＝AD•sin∠BAD＝4sin30°＝2，
在Rt△ACG中，CG＝AC•sin∠BAC＝b•sin60°＝b，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF＝2，
∵S△ABC＝S△ABD+S△ACD，
∴AB•CG＝AB•DE+AC•DF，
即：c×b＝×c×2+×b×2，
∴c+b＝bc，
∵（﹣）2≥0，
∴c+b≥2，当且仅当b＝c时取等号，
∴bc≥2，
解得：bc≥，
∴S△ABC＝bc≥×＝，
故答案为：．
4．如图，四边形ABCD中，∠BAD＝135°，∠B＝60°，∠D＝120°，AD＝5，AB＝6，E、F分别为边BC及射线CD上的动点，∠EAF＝45°，△AEF面积的最小值 ．
解：如图，过点A作AM⊥BC于M，过点E作EH⊥AF于H，AN⊥CD，交CD的延长线于N，
∵∠B＝60°，AM⊥BC，
∴∠BAM＝30°，
∴BM＝3，AM＝3，
∵∠ADC＝120°，
∴∠ADN＝60°，
∴∠NAD＝30°，
∴DN＝AD＝，AN＝，
∵∠BAD＝135°，∠EAF＝45°，∠BAM＝30°，
∴∠MAE+∠DAF＝60°，
又∵∠ADN＝∠DAF+∠DFA＝60°，
∴∠MAE＝∠AFD，
又∵∠AME＝∠N＝90°，
∴△AFN∽△EAM，
∴，
设ME＝x，则AE＝＝，
∴AF＝＝，
∵∠EAF＝45°，HE⊥AF，
∴HE＝AE＝×，
∴△AEF面积＝×AF×HE＝×（）＝×（），
∵当a，b为正数时，（a﹣b）2≥0，
∴a2+b2≥2ab，
∴△AEF面积＝×（）≥×2×，
∴△AEF面积的最小值为，
故答案为．
5．已知点D（2，a）为直线y＝﹣x+3上一点，将一直角三角板的直角顶点放在D处旋转，保持两直角边始终交x轴于A、B两点，C（0，﹣1）为y轴上一点，连接AC，BC，则四边形ACBD面积的最小值为 6 ．
解：如图，
取AB的中点F，连接DF，
∵∠ADB＝90°，
∴AB＝2DF
∵点D（2，a）为直线y＝﹣x+3上一点，
∴a＝﹣×2+3＝2，
∴D（2，2），
过点D作DE⊥AB于E，
∴DE＝2，E（2，0），
∴S四边形ACBD＝S△ABC+S△ABD＝AB•OC+AB•DE＝AB（OC+DE）＝AB＝3DF，
要四边形ACBD的面积最小，即DF最小，
∵点D（2，2），点F在x轴上，
∴当DF⊥x轴时，DF最小，最小值为DE＝2，
∴S四边形ACBD最小＝3×2＝6，
故答案为6．
6．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D在AB上，点E在AC上，且AD＝CE，连接DE，求的最小值．
解：设AB＝AC＝1，
∵∠A＝90°，AB＝AC，
∴△ABC是等腰直角三角形，∠B＝45°，
∴BC＝AB＝，
设AD＝CE＝x，
∴AE＝BD＝1﹣x，
过点D作DF⊥BC于F，如图所示：
则△BDF是等腰直角三角形，
∴BF＝DF＝BD＝（1﹣x），DE＝＝＝，CF＝BC﹣BF＝﹣（1﹣x）＝（x+1），
CD＝＝＝，
∴＝＝，
设＝y，整理得：yx2﹣2x+y﹣1＝0，
∵x为实数，
∴△＝（﹣2）2﹣4y（y﹣1）≥0，即：y2﹣y﹣1≤0，
∴≤y≤，
∴y最大值为，
∴的最小值为：＝．
7．边长为a（a为常数）的正方形ABCD中，动点E、F分别在边CD和边BC上，且∠EAF＝45°
（1）线段EF的最小值；
（2）S△ECF的最大值；
（3）S△ECF的最小值．
解：（1）设CE＝x，CF＝y，
∵（x﹣y）2≥0，
∴x2+y2≥2xy，
∵EF2＝x2+y2，
∴EF最小时，x2+y2＝2xy，
即（x﹣y）2＝0，
∴x＝y，即CE＝CF，
∴EF⊥AC，EG＝FG，
∴AC垂直平分EF，
∴AE＝AF，∠EAG＝∠FAG，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝D＝AD，AD⊥CD，AB⊥BC，∠BAD＝90°，∠BAC＝∠DAC＝45°，
∴DE＝BF，
∵∠EAF＝45°，
∴∠DAE＝∠CAE＝∠CAF＝∠BAF，
∴DE＝GE＝GF＝BF，△ECG和△FCG是等腰直角三角形，
设DE＝GE＝x，则CE＝EG＝x，EF＝2x，
∵DE+CE＝CD＝a，
∴x+x＝a，
解得：x＝（﹣1）a，
∴EF＝2x＝（2﹣2）a；
即EF的最小值为（2﹣2）a；
（2）当CE＝CF＝（﹣1）a＝（2﹣）a时，S△ECF最大，
∴S△ECF的最大值＝CE×CF＝（2﹣）a×（2﹣）a＝（3﹣2）a2．
（3）当EF与CD或BC重合时，EF＝a，边EF上的高为0，
S△ECF的最小值＝a×0＝0．
8．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点E是CD边上一点，将△ADE沿AE折叠，得到△APE，点D的对应点，为点P，连接EP并延长，交BC于点F，连接AF、CP．
（1）求证：∠EAF＝45°；
（2）当AF∥CP时，求DE的长；
（3）试探究△AEF的面积是否存在最小值，若存在，求出△AEF面积的最小值；若不存在，请说明理由．
（1）证明：∵将△ADE沿AE折叠，得到△APE，
∴AD＝AP，∠D＝∠APE＝90°，∠DAE＝∠PAE，DE＝PE，
∴∠B＝∠APF＝90°，AP＝AD＝AB，
又∵AF＝AF，
∴Rt△ABF≌Rt△APF（HL），
∴∠BAF＝∠PAF，
∴∠EAF＝∠PAF+∠PAE＝∠BAD＝45°；
（2）解：∵Rt△ABF≌Rt△APF，
∴∠AFB＝∠AFP，BF＝PF，
∵AF∥CP，
∴∠AFP＝∠FPC，∠AFB＝∠FCP，
∴∠FPC＝∠FCP，
∴PF＝CF，
∴PF＝CF＝BF＝BC＝2，
∵EF2＝CF2+CE2，
∴（2+DE）2＝4+（4﹣DE）2，
∴DE＝；
（3）解：如图，作△AEF的外接圆⊙O，连接AO，EO，FO，过点O作OH⊥EF于H，
设⊙O的半径r，
∵∠EOF＝2∠EAF＝90°，OE＝OF＝r，OH⊥EF，
∴EF＝OE＝r，OH＝EF＝r，
∵AO+OH≥AP，
∴r+r≥4，
∴r≥8﹣4，
∴当点A，点O，点H三点共线时，r有最小值为8﹣4，
此时，EF最小值为8﹣8，
∴△AEF面积的最小值＝×EF•AP＝×4×（8﹣8）＝16﹣16，
∴△AEF面积的最小值为16﹣16．
9．如图，平面直角坐标系中，O为原点，点A、B分别在y轴、x轴的正半轴上．△AOB的两条外角平分线交于点P，P在反比例函数y＝的图象上．PA的延长线交x轴于点C，PB的延长线交y轴于点D，连接CD．
（1）求∠P的度数及点P的坐标；
（2）求△OCD的面积；
（3）△AOB的面积是否存在最大值？若存在，求出最大面积；若不存在，请说明理由．
解：（1）如图，作PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，PH⊥AB于H．
∴∠PMA＝∠PHA＝90°，
∵∠PAM＝∠PAH，PA＝PA，
∴△PAM≌△PAH（AAS），
∴PM＝PH，∠APM＝∠APH，
同理可证：△BPN≌△BPH，
∴PH＝PN，∠BPN＝∠BPH，
∴PM＝PN，
∵∠PMO＝∠MON＝∠PNO＝90°，
∴四边形PMON是矩形，
∴∠MPN＝90°，
∴∠APB＝∠APH+∠BPH＝（∠MPH+∠NPH）＝45°，
∵PM＝PN，
∴可以假设P（m，m），
∵P（m，m）在y＝上，
∴m2＝9，
∵m＞0，
∴m＝3，
∴P（3，3）．
（2）设OA＝a，OB＝b，则AM＝AH＝3﹣a，BN＝BH＝3﹣b，
∴AB＝6﹣a﹣b，
∵AB2＝OA2+OB2，
∴a2+b2＝（6﹣a﹣b）2，
可得ab＝6a+6b﹣18，
∴3a+3b﹣9＝ab，
∵PM∥OC，
∴＝，
∴＝，
∴OC＝，同法可得OD＝，
∴S△COD＝•OC•DO＝•＝•＝•＝9．
解法二：连接OP．
∵∠POA＝∠POB＝∠CPD＝45°，
∴∠COP＝∠POD＝135°，
∵∠POB＝∠PCO+∠OPC＝45°，∠APO+∠OPD＝45°，
∴∠PCO＝∠OPD，
∴△COP∽△POD，
∴OC•OD＝OP2＝18，可求△COD的面积等于9．
（3）设OA＝a，OB＝b，则AM＝AH＝3﹣a，BN＝BH＝3﹣b，
∴AB＝6﹣a﹣b，
∴OA+OB+AB＝6，
∴a+b+＝6，
∴2+≤6，
∴（2+）≤6，
∴≤3（2﹣），
∴ab≤54﹣36，
∴S△AOB＝ab≤27﹣18，
∴△AOB的面积的最大值为27﹣18．
10．在四边形ABCD中，点E在BC边上（不与B、C重合）．
（1）如图（1），若四边形ABCD是正方形，AE⊥EF，AE＝EF，连CF．
①求∠BCF的大小；
②如图（2），点G是CF的中点，连DG、ED，若DE＝6，求DG的长；
（2）如图（3），若四边形ABCD是矩形，点M在AD边上，∠AEM＝60°，CD＝9，求线段AM的最小值．
解：（1）①如图（1），在AB上取一上点H，使AH＝CE，连接EH，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠B＝90°，
∴BE＝BH，
∴∠BHE＝45°，
∴∠AHE＝135°，
∵∠AEF＝90°，
∴∠AEB+∠CEF＝90°，
∵∠AEB+∠BAE＝90°，
∴∠BAE＝∠CEF，
∵AE＝EF，
∴△AHE≌△ECF（SAS），
∴∠BCF＝∠AHE＝135°；
②如图（2），在AB上取一上点H，使AH＝CE，连接EH，BD，
由①知：△AHE≌△ECF，
∴EH＝CF，
设BE＝2x，则EH＝CF＝2x，
∵G是CF的中点，
∴CG＝x，
∴＝＝，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BD＝CD，
∴＝，
∵∠DBE＝∠DCG＝45°，
∴△DBE∽△DCG，
∴＝＝，
∵DE＝6，
∴＝，
∴DG＝3；
（2）如图（3），作△AEM的外接圆O，过点O作ON⊥AM于N，连接OA，OE，OM，
∵∠AEM＝60°，
∴∠AOM＝120°，
∵ON⊥AM，
∴AN＝MN，∠AON＝∠NOM＝60°，
∴∠OAN＝∠OMN＝30°，
设ON＝a，则OA＝2a，AN＝a，
则OE+ON≥AB，
即当E，O，N三点共线时，a最小，此时AM最小，
∴a+2a＝9，
∴a＝3，
∴AM的最小值是6．
11．如图，在Rt△ABC中，AC＝8，∠BAC＝90°，∠C＝30°，AD⊥BC于点D，点E、F分别在AB、AC边上，且∠EDF＝120°，连接EF．
（1）如图①，当DE⊥AB时，求DF的长；
（2）如图②，过点D作DG⊥DE交AC于点G．连接EG．
①求证：EG∥DF；
②求△DEF面积的最小值．
（1）解：∵∠BAC＝90°，∠C＝30°，
∴∠B＝60°，
∵DE⊥AB，
∴∠EDB＝30°，
∵∠EDF＝120°，
∴∠FDC＝180°﹣30°﹣120°＝30°，
∴∠FDC＝∠C＝30°，
∴FD＝FC，
∵AD⊥BC，
∴∠DAC＝∠FDC＝60°，
∴FA＝FD＝FC＝4；
（2）①证明：如图②中，EG的中点O，连接OA，OD．
∵DG⊥DE，
∴∠EDG＝∠EAG＝90°，
∵EO＝OG，
∴OA＝OG＝OE＝OD，
∴A，E，D，G四点共圆，
∴∠EGD＝∠BAD＝30°，
∵∠EDF＝120°，∠EDG＝90°，
∴∠FDG＝∠EGD＝30°，
∴EG∥DF；
②解：如图③中，过点D作DH⊥AC于点H，作△DGF的外接圆⊙O，连接OG，OF，OD，过点O作OT⊥AC于点T．
∵EG∥DF，
∴S△DEF＝S△DFG＝•FG•DH，
∵∠ADC＝90°，AC＝8，∠C＝30°，
∴AD＝AC＝4，
∴CD＝AD＝12，
∴DH＝CD＝6，
∴S△DEF＝3GF，
设FG＝x，
∵∠GOF＝2∠GDF＝60°，OF＝OG，
∴△OFG是等边三角形，
∴OD＝OG＝OF＝FG＝x，OT＝x，
∵OD+OT≥DH，
∴x+x≥6，
∴x≥24﹣12，
∴FG的最小值为24﹣12，
∴△DEF的面积的最小值为72﹣36．
12．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝，AC＝2，过点B作直线m∥AC，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△A′B′C（点A，B的对应点分别为A'，B′），射线CA′，CB′分别交直线m于点P，Q．
（1）如图1，当P与A′重合时，求∠ACA′的度数；
（2）如图2，设A′B′与BC的交点为M，当M为A′B′的中点时，求线段PQ的长；
（3）在旋转过程中，当点P，Q分别在CA′，CB′的延长线上时，试探究四边形PA'B′Q的面积是否存在最小值．若存在，求出四边形PA′B′Q的最小面积；若不存在，请说明理由．
解：（1）由旋转可得：AC＝A'C＝2，
∵∠ACB＝90°，AB＝，AC＝2，
∴BC＝，
∵∠ACB＝90°，m∥AC，
∴∠A'BC＝90°，
∴cos∠A'CB＝＝，
∴∠A'CB＝30°，
∴∠ACA'＝60°；
（2）∵M为A'B'的中点，
∴∠A'CM＝∠MA'C，
由旋转可得，∠MA'C＝∠A，
∴∠A＝∠A'CM，
∴tan∠PCB＝tan∠A＝，
∴PB＝BC＝，
∵∠PCQ＝∠PBC＝90°，
∴∠BQC+∠BPC＝∠BCP+∠BPC＝90°，
∴∠BQC＝∠BCP＝∠A，
∴tan∠BQC＝tan∠A＝，
∴BQ＝BC×＝2，
∴PQ＝PB+BQ＝；
（3）∵S四边形PA'B′Q＝S△PCQ﹣S△A'CB'＝S△PCQ﹣，
∴S四边形PA'B′Q最小，即S△PCQ最小，
∴S△PCQ＝PQ×BC＝PQ，
法一：（几何法）取PQ的中点G，
∵∠PCQ＝90°，
∴CG＝PQ，即PQ＝2CG，
当CG最小时，PQ最小，
∴CG⊥PQ，即CG与CB重合时，CG最小，
∴CGmin＝，PQmin＝2，
∴S△PCQ的最小值＝3，S四边形PA'B′Q＝3﹣；
法二（代数法）设PB＝x，BQ＝y，
由射影定理得：xy＝3，
∴当PQ最小时，x+y最小，
∴（x+y）2＝x2+2xy+y2＝x2+6+y2≥2xy+6＝12，
当x＝y＝时，“＝”成立，
∴PQ＝+＝2，
∴S△PCQ的最小值＝3，S四边形PA'B′Q＝3﹣．
13．辅助圆之定角定高求解探究
（1）如图①，已知线段AB，以AB为斜边，在图中画出一个直角三角形；
（2）如图②，在△ABC中，∠ACB＝60°，CD为AB边上的高，若CD＝4，试判断AB是否存在最小值，若存在，请求出AB最小值；若不存在，请说明理由；
（3）如图③，某园林单位要设计把四边形花园划分为几个区域种植不同花草，在四边形ABCD中，∠A＝45°，∠B＝∠D＝90°，CB＝CD＝6，点E、F分别为AB、AD上的点，若保持CE⊥CF，那么四边形AECF的面积是否存在最大值，若存在，请求出面积的最大值，若不存在，请说明理由．
解：（1）如图①中，△ABC即为所求．
（2）如图②中，作△ABC的外接圆⊙O，连接OA，OB，OC，作OE⊥AB于E．设OA＝OC＝2x．
∵∠AOB＝2∠ACB＝120°，OA＝OB，OE⊥AB，
∴AE＝EB，∠AOE＝∠BOE＝60°，
∴OE＝OA＝x，AE＝x，
∵OC+OE≥CD，
∴3x≥4，
∴x≥，
∴x的最小值为，
∵AB＝2x，
∴AB的最小值为．
（3）如图③中，连接AC，延长BC交AD的延长线于G，将△CDF顺时针旋转得到△CBH，作△CEH的外接圆⊙O．
∵∠ADC＝∠ABC＝90°，AC＝AC，CD＝CB，
∴Rt△ACD≌Rt△ACB（HL），
∴S△ACD＝S△ACB，
∵∠DAB＝45°，
∴∠DCB＝135°，
∴∠DCG＝45°，
∵∠CDG＝90°，
∴CD＝DG＝6，
∴CG＝CD＝12，
∴AB＝GB＝12+6，
由（2）可知，当△CEH的外接圆的圆心O在线段BC上时，△ECH的面积最小，此时四边形AFCE的面积最大，
设OC＝OE＝r，易知OB＝EB＝r，
∴r+r＝6，
∴r＝6（2﹣），
∴EH＝r＝12（2﹣），
∴四边形AFCE的面积的最大值＝2××（12+6）×6﹣×12（2﹣）×6＝144．
14．问题提出
（1）如图①，点O是等边△ABC的内心，连接OB、OC，则∠BOC的大小为 120° ；
问题探究
（2）如图②，在Rt△ABC中，∠A＝90°，点D、E分别在边AB、AC上，且DE∥BC，点M、N分别是DE、BC的中点，连接MN．若BD＝8，CE＝6，求MN的长；
问题解决
（3）如图③，某小区计划在一片足够大的空地上修建四边形的花园ABCD，根据设计要求，在四边形ABCD中，AD∥BC，且BC＝2AD，AD与BC之间的距离为40m，∠A+∠D＝225°．试求四边形花园ABCD面积的最小值．
解：（1）∵点O是等边△ABC的内心，
∴BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，∠ABC＝60°，∠ACB＝60°，
∴∠OBC＝∠OCB＝30°，
∴∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB＝120°；
（2）如图：过点M分别作MF∥AB交BC于点F，MG∥AC交BC于点G，
又∵DE∥BC，
∴四边形DBFM、MGCE都是平行四边形，
∴DM＝BF，ME＝CG，MF＝BD＝8，MG＝CE＝6，
∵MF∥AB交BC于点F，MG∥AC，
∴∠B＝∠MFG，∠C＝∠MGF，
∵∠A＝90°，
∴∠B+∠C＝90°，
∴∠MFG+∠MGF＝90°，
∴△MFG是直角三角形，即FG＝10，
又∵点M、N分别是DE、BC的中点，
∴DM＝ME＝BF＝CG，BN＝CN，
∴BN﹣BF＝CN﹣CG，即FN＝NG，
∴MN是直角三角形MFG斜边的中线，
∴MN＝FG＝5；
（3）如图：过点A作AH⊥BC于点H，则AH＝40，
取BC的中点E，连接AE，
∴BC＝2EC．
∵BC＝2AD，AD∥BC，
∴AD∥EC，AD＝EC，
∴四边形AECD是平行四边形，
∴AE∥CD，
∴∠EAD+∠D＝180°，
又∵∠BAD+∠D＝225°，
∴∠BAE＝45°，
作△ABE的外接圆⊙O，连接OA、OE、OB，过点O作OM⊥BC于点M，
则∠BOE＝2∠BAE＝90°，∠BOM＝∠EOM＝45°，
设⊙O的半径为r，则OM＝r＝BM＝ME，BE＝r，
∵OA+OM≥AH，
∴r+r≥40，
解得：r≥80﹣40，
∴当A、O、M三点共线时，r取得最小值80﹣40，此时BE取得最小值80﹣80，
∵S四边形ABCD＝40×（AD+BC）＝20（AD+BC）＝30BC＝60BE，
∴S四边形ABCD最小＝60×（80﹣80）＝4800﹣4800，
∴四边形花园ABCD面积的最小值为（4800﹣4800）m2．
15．问题探究
（1）如图①，已知在△ABC中，∠B＝∠C＝30°，BC＝6，则S△ABC＝ 3 ．
（2）如图②，已知四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°，AD＝DC，BD＝4，请求出四边形ABCD面积的最大值．
问题解决
（3）如图③，某小区有一个四边形花坛ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝CD＝15m，∠B＝∠C＝60°．为迎接“十四运”，园艺师将花坛设计成由两种花卉构成的新造型，根据造型设计要求，点E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF＝60°，现需要在△AEF的区域内种植甲种花卉，其余区域种植乙种花卉．已知种植甲种花卉每平方米需200元，乙种花卉每平方米需160元．试求按设计要求，完成花卉种植至少需费用多少元？（结果保留整数，参考数据：≈1.7）
解：（1）如果①，过点A作AD⊥BC于点D，
∵∠B＝∠C＝30°，
∴△ABC是等腰三角形，
∴BD＝CD＝BC＝3，
∴AD＝BD•tan30°＝3×＝，
∴S△ABC＝BC•AD＝××6＝3．
（2）∵∠ABC+∠ADC＝180°，
∴A，B，C，D四点共圆，
所以当BD是直径时，四边形ABCD的面积最大，
此时∠A＝∠C＝90°，
∴S四边形ABCD＝AB•AD＝CD•BC，
∵CD＝AD，
由勾股定理得，，，
∴AB＝BC，
∴S四边形ABCD＝＝＝AD•AB，
∴当AB＝AD时，S四边形ABCD最大，
∴S四边形ABCD＝AD2，
∵BD＝4，
在Rt△ABD中，2AD2＝BD2＝32，
∴AD＝4，
∴S四边形ABCD最大值＝4×4＝16；
解法二：如图，将△BDC绕点D顺时针旋转得到△DAT．过点B作BH⊥DT于点H．
∵∠ABC+∠ADC＝180°，
∴∠BAD+∠C＝180°，
∵∠DAT＝∠C，
∴∠BAD+∠DAT＝180°，
∴B，A，T共线，
∴S四边形ABCD＝S△BDT＝×DT×BH≤×DT×BD＝16．
（3）如图③，
∵AD∥BC，AB＝AD＝CD＝15m，∠B＝∠C＝60°，
∵甲种花卉贵，
∴若费用最少，则甲种花卉种植面积最小，
即S△AEF面积最小，
将△ADF绕A顺时针旋转120°到△ABM，
由旋转可得BM＝DF，AM＝AF，∠ABM＝∠D＝120°，
∵∠ABM+∠ABE＝180°，
∴M，B，E三点共线，
∵∠MAE＝∠MAB+∠BAE＝∠FAD+∠BAE＝60°，
∵∠EAF＝60°，AE＝AE，
∴△FAE≌△MAE（SAS），
∴∠MEA＝∠FEA，
过点A作AH⊥BC，过点A作AK⊥EF于K，
∴AH＝AK＝AB•sin60°＝，
作△AEF的外接圆⊙O，连接OA，OE，OF，过点O作ON⊥EF于点N，
∵∠EAF＝60°，∠EOF＝120°，
∴∠NOF＝60°，设EF＝2x，
∴NF＝x，
在Rt△ONF中，ON＝，OF＝，
∴ON+OA＝OF+ON＝，
∵OA+ON≥AK，
∴≥，
∴x≥，
∴S△AEF＝EF•AK＝•2x•＝x≥×＝，
∴S△AEF最小值＝，
∵BH＝，CQ＝CD，
BH+CQ＝AB＝CD＝15m，且HQ＝AD＝15m，
∴BC＝30m，S四边形ABCD＝＝，
∴乙种花卉的种植面积为S乙＝S四边形ABCD﹣S甲＝﹣＝m2，
至少花费w＝×200+×160≈49725元．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/3/4 13:39:34；用户：初中数学；邮箱：lsjycs@xyh.com；学号：30145887
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