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模型43 几何中等分面积问题(讲+练)-备战2023年中考数学解题大招复习讲义(全国通用)
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线段分三角形面积问题.
当三角形具有公共顶点,并且底边共线时,三角形面积比等于底边边长比.
如图 当S△ABD∶S△ADC=m∶n时,则=.
【例1】.如图,△ABC三边的中线AD,BE,CF的公共点为G,且AG:GD=2:1,若S△ABC=12,则图中阴影部分的面积是 .
变式训练
【变式1-1】.如图,在△ABC中,点D、E、F分别是BC、AD、CE的中点,且S△ABC=8cm2,则S△BEF的面积是( )
A.4cm2 B.3cm2 C.2cm2 D.1cm2
【变式1-2】.如图,在直角坐标系中,平行四边形OABC的顶点坐标B(17,6),C(5,6),直线y=x+b恰好将平行四边形OABC的面积分成相等的两部分,那么b= .
【例2】.如图,在平面直角坐标系xOy中,长方形OABC的顶点B的坐标为(6,4),直线y=﹣x+b恰好将长方形OABC分成面积相等的两部分,那么b= .
变式训练
【变式2-1】.如图,在菱形ABCD中,AB=6,∠B=60°,点E在边AD上,且AE=2.若直线l经过点E,将该菱形的面积平分,并与菱形的另一边交于点F,则线段EF的长为 .
【变式2-2】.如图,△ABC的面积为1,D、E分别为AB、AC的中点,F、G是BC边上的三等分点.那么△DEF的面积是多少?△DOE的面积是多少?
【变式2-3】.如图,在平面直角坐标系xOy中,多边形OABCDE的顶点坐标分别是
O(0,0),A(0,6),B(4,6),C(4,4),D(6,4),E(6,0).
若直线l经过点M(2,3),且将多边形OABCDE分割成面积相等的两部分,求直线l的函数表达式.
1.如图,长方形ABCD的面积为36cm2,E,F,G分别为AB,BC,CD的中点,H为AD上任一点,则图中阴影部分的面积为( )
A.18cm2 B.16cm2 C.20cm2 D.24cm2
2.已知梯形ABCD的四个顶点的坐标分别为A(﹣1,0),B(5,0),C(2,2),D(0,2),直线y=kx+2将梯形分成面积相等的两部分,则k的值为( )
A. B. C. D.
3.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AD是高,BE是中线,CF是角平分线,CF交AD于点G,交BE于点H.
①△ABE的面积=△BCE的面积;②AF=FB;
③∠FAG=2∠ACF.以上说法正确的是( )
A.①③ B.①② C.②③ D.①②③
4.如图,在△ABC中,已知点D、E、F分别为BC、AD、CE的中点,若阴影部分的面积为4,则△ABC的面积为 .
5.如图,已知在平面直角坐标系中,平行四边形ABCD顶点A(0,0),C(10,4),直线y=ax﹣2a﹣1将平行四边形ABCD分成面积相等的两部分,求a的值.
6.如图,在平面直角坐标系中,四边形ABCO是正方形,点B的坐标为(4,4),直线y=mx﹣2恰好把正方形ABCO的面积分成相等的两部分,则m= .
7.已知平面上四点A(0,0),B(10,0),C(14,6),D(4,6),若直线y=mx﹣3m﹣1将四边形ABCD分成面积相等的两部分,则m的值为 .
8.在△ABC中,BC=5,AC=12,AB=13,在AB、AC上分别取点D、E,使线段DE将△ABC分成面积相等的两部分,则这样线段的最小值是 .
9.如图,在直角坐标系中,矩形OABC的顶点B的坐标为(15,6),直线恰好将矩形OABC分成面积相等的两部分,那么b= .
10.如图,△ABC中,AD是中线,延长AD到E,使DE=AD,DF是△DCE的中线.已知△ABC的面积为2,求:△CDF的面积.
11.正方形ABCD的边长为4,将此正方形置于平面直角坐标系中,使AB边落在X轴的正半轴上,且A点的坐标是(1,0).
(1)直线y=x经过点C,且与x轴交于点E,求四边形AECD的面积;
(2)若直线l经过点E,且将正方形ABCD分成面积相等的两部分,求直线l的解析式;
(3)若直线l1经过点F(﹣,0),且与直线y=3x平行,将(2)中直线l沿着y轴向上平移个单位交轴x于点M,交直线l1于点N,求△NMF的面积.
12.如图,直线y=2x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点,把△OAB绕点O顺时针旋转90°得到△OCD.
(1)求经过A、B、D三点的抛物线的解析式;
(2)在所求的抛物线上是否存在一点P,使直线CP把△OCD分成面积相等的两部分?如果存在,求出点P的坐标;如果不存在,请说明理由.
13.已知菱形OABC在坐标系中的位置如图所示,O是坐标原点,点C(1,2),点A在x轴上.点M(0,2).
(1)点P是直线OB 上的动点,求PM+PC最小值.
(2)将直线y=﹣x﹣1向上平移,得到直线y=kx+b.
①当直线y=kx+b与线段OC有公共点时,结合图象,直接写出b的取值范围.
②当直线y=kx+b将四边形OABC分成面积相等的两部分时,求k,b.
14.已知,y=ax2+bx﹣3过(2,﹣3),与x轴交于A(﹣1,0),B(x2,0),交y轴于C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)过点C作CD∥x轴,交抛物线于D,是否存在直线y=kx+1将四边形ACDB分成面积相等的两部分,若存在,请求k的值;若不存在,请说明理由;
(3)若直线y=m(﹣3<m<0)与线段AC、BC分别交于D、E两点,则在x轴上是否存在点P,使得△DPE为等腰直角三角形,若存在,请求P点的坐标;若不存在,请说明理由.
15.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=50,AC=30,矩形DEFG的顶点G与△ABC的顶点C重合,边GD、GF分别与AC,BC重合.GD=12,GF=16,矩形DEFG沿射线CB的方向以每秒4个单位长的速度匀速运动,点Q从点B出发沿BA方向以每秒5个单位长的速度匀速运动,过点Q作射线QK⊥AB,交折线BC﹣CA于点H,矩形DEFG、点Q同时出发,当点Q到达点A时停止运动,矩形DEFG也随之停止运动.设矩形DEFG、点Q运动的时间是t秒(t>0).
(1)求线段DF的长;
(2)求运动过程中,矩形DEFG与Rt△ABC重叠部分的面积s与t的函数关系式(写出自变量的取值范围);
(3)射线QK能否把矩形DEFG分成面积相等的两部分?若能,求出t值;若不能,说明理由;
(4)连接DH,当DH∥AB时,请直接写出t值.
16.已知m,n是方程x2﹣6x+5=0的两个实数根,且m<n.如图,若抛物线l:y=﹣x2+bx+c的图象经过点A(m,0),B(0,n).
(1)求抛物线的解析式;
(2)设(1)中的抛物线与x轴的另一个交点为C,抛物线的顶点为D,求C,D的坐标和△BCD的面积;
(3)已知P是线段OC上一点,过点P作PH⊥x轴,交抛物线于点H,若直线BC把△PCH分成面积相等的两部分,求P点的坐标.
17.【数学经验】三角形的中线能将三角形分成面积相等的两部分.
【经验发展】面积比和线段比的联系:如果两个三角形的高相同,则它们的面积比等于对应底边的比.
如图1,△ABC的边AB上有一点M,请证明:=.
【结论应用】如图2,△CDE的面积为1,=,=,求△ABC的面积.
【拓展延伸】如图3,△ABC的边AB上有一点M,D为CM上任意一点,请利用上述结论,证明:=.
【迁移应用】如图4,△ABC中,M是AB的三等分点(AM=AB),N是BC的中点,若△ABC的面积是1,请直接写出四边形BMDN的面积 .
18.已知抛物线y=﹣x2+bx+c的图象经过点A(m,0)、B(0,n),其中m、n是方程x2﹣6x+5=0的两个实数根,且m<n.
(1)求抛物线的解析式;
(2)设(1)中的抛物线与x轴的另一个交点为C,抛物线的顶点为D,求C、D点的坐标和△BCD的面积;
(3)P是线段OC上一点,过点P作PH⊥x轴,交抛物线于点H,若直线BC把△PCH分成面积相等的两部分,求P点的坐标.
19.【背景知识】研究平面直角坐标系,我们可以发现一条重要的规律:若平面直角坐标系上有两个不同的点A(xA,yA)、B(xB,yB),则线段AB的中点坐标可以表示为(,).
【简单应用】如图1,直线AB与y轴交于点A(0,3),与x轴交于点B(4,0),过原点O的直线L将△ABO分成面积相等的两部分,请求出直线L的解析式;
【探究升级】小明发现“若四边形一条对角线平分四边形的面积,则这条对角线必经过另一条对角线的中点”
如图2,在四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,S△ABD=S△BCD.试说明AO=CO;
【综合运用】如图3,在平面直角坐标系中A(1,4),B(3,﹣2),C(2m,﹣m+5),若OC恰好平分四边形OACB的面积,求点C的坐标.
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