模型16 胡不归最值问题(讲+练)-备战2023年中考数学解题大招复习讲义(全国通用)
展开
【模型总结】
在求形如“PB+kPA”的式子的最值问题中,关键是构造与kPA相等的线段,将“PB+kPA”型问题转化为“PB+PC”型.
而这里的PA必须是一条方向不变的线段,方能构造定角利用三角函数得到kPA的等线段.
【问题】
如图,点P为射线l上的一动点,A、B为定点,求PB+kPA的最小值.
【问题解决】
构造射线AD使得sinα=k,PC/PA=k,CP=kAP.
l
将问题转化为求PB+PC最小值,过B点作BC⊥AD交l于点P,交AD于C点,此时PB+PC取到最小值,即PB+kPA最小.
【例1】.如图,△ABC中,AB=AC=10,tanA=2,BE⊥AC于点E,D是线段BE上的一个动点,则CD+BD的最小值是 .
变式训练
【变式1-1】.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,则AB=2BC.请在这一结论的基础上继续思考:若AC=2,点D是AB的中点,P为边CD上一动点,则AP+CP的最小值为( )
A.1 B. C. D.2
【变式1-2】.如图,在△ABC中,AB=5,AC=4,sinA=,BD⊥AC交AC于点D.点P为线段BD上的动点,则PC+PB的最小值为 .
【变式1-3】.如图,△ABC在直角坐标系中,AB=AC,A(0,2),C(1,0),D为射线AO上一点,一动点P从A出发,运动路径为A→D→C,点P在AD上的运动速度是在CD上的3倍,要使整个运动时间最少,则点D的坐标应为________.
【例2】.如图,▱ABCD中∠A=60°,AB=6,AD=2,P为边CD上一点,则PD+2PB最小值为 .
变式训练
【变式2-1】.如图,在菱形ABCD中,AB=AC=10,对角线AC、BD相交于点O,点M在线段AC上,且AM=3,点P为线段BD上的一个动点,则MP+PB的最小值是 .
【变式2-2】.如图,AC是⊙O直径,AC=4,∠BAC=30°,点D是弦AB上的一个动点,那么DB+OD的最小值为 .
【变式2-3】.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=的顶点为A点,且与x轴的正半轴交于点B,P点是该抛物线对称轴上的一点,则OP+AP的最小值为( )
A.3 B.2 C. D.
1.如图,在△ABC中,∠A=90°,∠B=60°,AB=2,若D是BC边上的动点,则2AD+DC的最小值是( )
A.2+6 B.6 C.+3 D.4
2.如图,在△ABC中,∠A=15°,AB=2,P为AC边上的一个动点(不与A、C重合),连接BP,则AP+PB的最小值是( )
A. B. C. D.2
3.在△ABC中,∠ACB=90°,P为AC上一动点,若BC=4,AC=6,则BP+AP的最小值为( )
A.5 B.10 C.5 D.10
4.如图所示,菱形ABCO的边长为5,对角线OB的长为4,P为OB上一动点,则AP+OP的最小值为( )
A.4 B.5 C.2 D.3
5.如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=﹣x2+bx+3的图象与x轴交于A、C(3,0)两点,若P是x轴上一动点,点D的坐标为(0,﹣1),连接PD,则PD+PC的最小值是( )
A.4 B.2+2 C.2 D.+
6.如图,在△ABC中,∠A=90°,∠B=60°,AB=2,若D是BC边上的动点,则2AD+DC的最小值为 .
7.如图,在△ABC中,AB=AC=4,∠CAB=30°,AD⊥BC,垂足为D,P为线段AD上的一动点,连接PB、PC.则PA+2PB的最小值为 .
8.如图,△ABC中,∠BAC=30°且AB=AC,P是底边上的高AH上一点.若AP+BP+CP的最小值为2,则BC= .
9.等边三角形ABC的边长为6,将其放置在如图所示的平面直角坐标系中,其中BC边在x轴上,BC边的高OA在Y轴上.一只电子虫从A出发,先沿y轴到达G点,再沿GC到达C点,已知电子虫在Y轴上运动的速度是在GC上运动速度的2倍,若电子虫走完全程的时间最短,则点G的坐标为 .
10.如图,在边长为6的正方形ABCD中,M为AB上一点,且BM=2,N为边BC上一动点,连接MN,点B关于MN对称,对应点为P,连接PA,PC,则PA+2PC的最小值为 .
11.在平面直角坐标系中,抛物线y=﹣x2﹣2x+3与x轴交于点A(﹣3,0)、B(1,0),点M(﹣1,4)为抛物线的顶点,AM中点D坐标为(﹣2,2);如图,Q点为y轴上一动点,直接写出DQ+OQ的最小值为 .
12.在菱形ABCD中,∠DAB=30°.
(1)如图1,过点B作BE⊥AD于点E,连接CE,点F是线段CE的中点,连接BF,若ED=2,求线段BF的长度;
(2)如图2,过点B作BE⊥AD于点E,连接CE,过点D作DM⊥DC,连接MC,且∠MCE=15°,连接ME,请探索线段BE,DM,EM之间的数量关系,并证明;
(3)如图3,连接AC,点Q是对角线AC上的一个动点,若AB=2,求QB+QC+QD的最小值.
13.如图1,在平面直角坐标系中将y=2x+1向下平移3个单位长度得到直线l1,直线l1与x轴交于点C;直线l2:y=x+2与x轴、y轴交于A、B两点,且与直线l1交于点D.
(1)填空:点A的坐标为 ,点B的坐标为 ;
(2)直线l1的表达式为 ;
(3)在直线l1上是否存在点E,使S△AOE=2S△ABO?若存在,则求出点E的坐标;若不存在,请说明理由.
(4)如图2,点P为线段AD上一点(不含端点),连接CP,一动点H从C出发,沿线段CP以每秒1个单位的速度运动到点P,再沿线段PD以每秒个单位的速度运动到点D后停止,求点H在整个运动过程中所用时间最少时点P的坐标.
14.直线y=与抛物线y=(x﹣3)2﹣4m+3交于A,B两点(其中点A在点B的左侧),与抛物线的对称轴交于点C,抛物线的顶点为D(点D在点C的下方),设点B的横坐标为t
(1)求点C的坐标及线段CD的长(用含m的式子表示);
(2)直接用含t的式子表示m与t之间的关系式(不需写出t的取值范围);
(3)若CD=CB.
①求点B的坐标;
②在抛物线的对称轴上找一点F,使BF+CF的值最小,则满足条件的点F的坐标是 .
15.已知抛物线y=x2﹣bx+c(b,c为常数,b>0)经过点A(﹣1,0),点M(m,0)是x轴正半轴上的动点.
(Ⅰ)当b=2时,求抛物线的顶点坐标;
(Ⅱ)点D(b,y0)在抛物线上,当AM=AD,m=5时,求b的值;
(Ⅲ)点Q(b+,yQ)在抛物线上,当AM+2QM的最小值为时,求b的值.
16.已知抛物线y=a(x+3)(x﹣1)(a≠0),与x轴从左至右依次相交于A、B两点,与y轴相交于点C,经过点A的直线y=﹣x+b与抛物线的另一个交点为D.
(1)若点D的横坐标为2,求抛物线的函数解析式;
(2)若在(1)的条件下,抛物线上存在点P,使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形,求点P的坐标;
(3)在(1)的条件下,设点E是线段AD上的一点(不含端点),连接BE.一动点Q从点B出发,沿线段BE以每秒1个单位的速度运动到点E,再沿线段ED以每秒个单位的速度运动到点D后停止,问当点E的坐标是多少时,点Q在整个运动过程中所用时间最少?
模型24 辅助圆系列最值模型(讲+练)-备战2023年中考数学解题大招复习讲义(全国通用): 这是一份模型24 辅助圆系列最值模型(讲+练)-备战2023年中考数学解题大招复习讲义(全国通用),文件包含模型24辅助圆系列最值模型原卷版docx、模型24辅助圆系列最值模型解析版docx等2份试卷配套教学资源,其中试卷共53页, 欢迎下载使用。
模型48 梯子最值与斜边中点模型(讲+练)-备战2023年中考数学解题大招复习讲义(全国通用): 这是一份模型48 梯子最值与斜边中点模型(讲+练)-备战2023年中考数学解题大招复习讲义(全国通用),文件包含模型48梯子最值与斜边中点模型原卷版docx、模型48梯子最值与斜边中点模型解析版docx等2份试卷配套教学资源,其中试卷共31页, 欢迎下载使用。
模型24 辅助圆系列最值模型(讲+练)-备战2023年中考数学解题大招复习讲义(全国通用): 这是一份模型24 辅助圆系列最值模型(讲+练)-备战2023年中考数学解题大招复习讲义(全国通用),文件包含模型24辅助圆系列最值模型原卷版docx、模型24辅助圆系列最值模型解析版docx等2份试卷配套教学资源,其中试卷共53页, 欢迎下载使用。