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    模型16 胡不归最值问题(讲+练)-备战2023年中考数学解题大招复习讲义(全国通用)

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    【模型总结】

    在求形如PB+kPA的式子的最值问题中,关键是构造与kPA相等的线段,将PB+kPA型问题转化为PB+PC型.

    而这里的PA必须是一条方向不变的线段,方能构造定角利用三角函数得到kPA的等线段.

    【问题】

    如图,点P为射线l一动点,AB为定点PB+kPA最小值.

    【问题解决

    构造射线AD使得sinα=kPC/PA=kCP=kAP

     

    l

     

     

     

     

     

     

    将问题转化为求PB+PC最小值,过B点作BCADl于点P,交ADC点,此时PB+PC取到最小值,即PB+kPA最小.

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    【例1】.如图,△ABC中,ABAC10tanA2BEAC于点ED是线段BE上的一个动点,则CD+BD的最小值是   

     

     

     

     

    变式训练

    【变式1-1】.如图,在RtABC中,∠ACB90°,∠A30°,则AB2BC.请在这一结论的基础上继续思考:若AC2,点DAB的中点,P为边CD上一动点,则AP+CP的最小值为(  )

    A1 B C D2

     

     

     

     

    【变式1-2】.如图,在△ABC中,AB5AC4sinABDACAC于点D.点P为线段BD上的动点,则PC+PB的最小值为   

     

     

     

    【变式1-3】.如图,△ABC在直角坐标系中,ABACA02),C10),D为射线AO上一点,一动点PA出发,运动路径为ADC,点PAD上的运动速度是在CD上的3倍,要使整个运动时间最少,则点D的坐标应为________.

     

     

     

    【例2】.如图,ABCD中∠A60°,AB6AD2P为边CD上一点,则PD+2PB最小值为   

     

     

     

    变式训练

    【变式2-1】.如图,在菱形ABCD中,ABAC10,对角线ACBD相交于点O,点M在线段AC上,且AM3,点P为线段BD上的一个动点,则MP+PB的最小值是   

     

     

    【变式2-2】.如图,ACO直径,AC4,∠BAC30°,点D是弦AB上的一个动点,那么DB+OD的最小值为  

     

     

    【变式2-3】.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y的顶点为A点,且与x轴的正半轴交于点BP点是该抛物线对称轴上的一点,则OP+AP的最小值为(  )

    A3 B2 C D

                           

     

     

     

    1.如图,在△ABC中,∠A90°,∠B60°,AB2,若DBC边上的动点,则2AD+DC的最小值是(  )

    A2+6 B6 C+3 D4

     

     

    2.如图,在△ABC中,∠A15°,AB2PAC边上的一个动点(不与AC重合),连接BP,则AP+PB的最小值是(  )

    A B C D2

     

     

    3.在△ABC中,∠ACB90°,PAC上一动点,若BC4AC6,则BP+AP的最小值为(  )

    A5 B10 C5 D10

    4.如图所示,菱形ABCO的边长为5,对角线OB的长为4POB上一动点,则AP+OP的最小值为(  )

    A4 B5 C2 D3

     

     

    5.如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=﹣x2+bx+3的图象与x轴交于AC30)两点,若Px轴上一动点,点D的坐标为(0,﹣1),连接PD,则PD+PC的最小值是(  )

    A4 B2+2 C2 D+

     

     

    6.如图,在△ABC中,∠A90°,∠B60°,AB2,若DBC边上的动点,则2AD+DC的最小值为  

     

     

     

    7.如图,在△ABC中,ABAC4,∠CAB30°,ADBC,垂足为DP为线段AD上的一动点,连接PBPC.则PA+2PB的最小值为   

     

     

     

    8.如图,△ABC中,∠BAC30°且ABACP是底边上的高AH上一点.若AP+BP+CP的最小值为2,则BC  

     

     

     

    9.等边三角形ABC的边长为6,将其放置在如图所示的平面直角坐标系中,其中BC边在x轴上,BC边的高OAY轴上.一只电子虫从A出发,先沿y轴到达G点,再沿GC到达C点,已知电子虫在Y轴上运动的速度是在GC上运动速度的2倍,若电子虫走完全程的时间最短,则点G的坐标为  

           

     

     

     

     

    10.如图,在边长为6的正方形ABCD中,MAB上一点,且BM2N为边BC上一动点,连接MN,点B关于MN对称,对应点为P,连接PAPC,则PA+2PC的最小值为  

     

     

     

     

     

     

    11.在平面直角坐标系中,抛物线y=﹣x22x+3x轴交于点A(﹣30)、B10),点M(﹣14)为抛物线的顶点,AM中点D坐标为(﹣22);如图,Q点为y轴上一动点,直接写出DQ+OQ的最小值为   

     

     

     

     

     

     

     

    12.在菱形ABCD中,∠DAB30°.

    1)如图1,过点BBEAD于点E,连接CE,点F是线段CE的中点,连接BF,若ED2,求线段BF的长度;

    2)如图2,过点BBEAD于点E,连接CE,过点DDMDC,连接MC,且∠MCE15°,连接ME,请探索线段BEDMEM之间的数量关系,并证明;

    3)如图3,连接AC,点Q是对角线AC上的一个动点,若AB2,求QB+QC+QD的最小值.

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    13.如图1,在平面直角坐标系中将y2x+1向下平移3个单位长度得到直线l1,直线l1x轴交于点C;直线l2yx+2x轴、y轴交于AB两点,且与直线l1交于点D

    1)填空:点A的坐标为  ,点B的坐标为  

    2)直线l1的表达式为  

    3)在直线l1上是否存在点E,使SAOE2SABO?若存在,则求出点E的坐标;若不存在,请说明理由.

    4)如图2,点P为线段AD上一点(不含端点),连接CP,一动点HC出发,沿线段CP以每秒1个单位的速度运动到点P,再沿线段PD以每秒个单位的速度运动到点D后停止,求点H在整个运动过程中所用时间最少时点P的坐标.

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    14.直线y与抛物线y=(x324m+3交于AB两点(其中点A在点B的左侧),与抛物线的对称轴交于点C,抛物线的顶点为D(点D在点C的下方),设点B的横坐标为t

    1)求点C的坐标及线段CD的长(用含m的式子表示);

    2)直接用含t的式子表示mt之间的关系式(不需写出t的取值范围);

    3)若CDCB

    求点B的坐标;

    在抛物线的对称轴上找一点F,使BF+CF的值最小,则满足条件的点F的坐标是  

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    15.已知抛物线yx2bx+cbc为常数,b0)经过点A(﹣10),点Mm0)是x轴正半轴上的动点.

    (Ⅰ)当b2时,求抛物线的顶点坐标;

    (Ⅱ)点Dby0)在抛物线上,当AMADm5时,求b的值;

    (Ⅲ)点Qb+yQ)在抛物线上,当AM+2QM的最小值为时,求b的值.

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    16.已知抛物线yax+3)(x1)(a0),与x轴从左至右依次相交于AB两点,与y轴相交于点C,经过点A的直线y=﹣x+b与抛物线的另一个交点为D

    1)若点D的横坐标为2,求抛物线的函数解析式;

    2)若在(1)的条件下,抛物线上存在点P,使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形,求点P的坐标;

    3)在(1)的条件下,设点E是线段AD上的一点(不含端点),连接BE.一动点Q从点B出发,沿线段BE以每秒1个单位的速度运动到点E,再沿线段ED以每秒个单位的速度运动到点D后停止,问当点E的坐标是多少时,点Q在整个运动过程中所用时间最少?


     

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