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模型39 数轴上动点问题（讲+练）-备战2023年中考数学解题大招复习讲义（全国通用）
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这是一份模型39 数轴上动点问题（讲+练）-备战2023年中考数学解题大招复习讲义（全国通用），文件包含模型39数轴上动点问题原卷版docx、模型39数轴上动点问题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共60页， 欢迎下载使用。
1．数轴
（1）数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴．
数轴的三要素：原点，单位长度，正方向．
（2）数轴上的点：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数．（一般取右方向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括无理数．）
（3）用数轴比较大小：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大．
✮（4）数轴上两点间的距离公式：AB=XB-XA (即：右端点减左端点）
✮（5）数轴上中点数公式：XM=XA+XB2 (即：中点等于两端点相加除以2）
例题精讲
【例1】.如图，点A在数轴上表示的数为﹣3，点B表示的数为2，点P在数轴上表示的是整数，点P不与A、B重合，且PA+PB＝5，则满足条件的P点表示的整数有___________.
解：∵PA+PB＝5，
∴点P在A，B两点之间，A，B两点之间的整数有﹣2，﹣1，0，1，
Ø变式训练
【变式1-1】．如图，点O为原点，A、B为数轴上两点，AB＝15，且OA＝2OB，点P从点B开始以每秒4个单位的速度向右运动，当点P开始运动时，点A、B分别以每秒5个单位和每秒2个单位的速度同时向右运动，设运动时间为t秒，若3AP+2OP﹣mBP的值在某段时间内不随着t的变化而变化，则m＝ 2.5或5.5 ．
解：∵AB＝15，OA＝2OB，
∴AO＝AB＝10，BO＝AB＝5，
∴A点对应数为﹣10，B点对应数为5，
设经过t秒，则AP＝＝，OP＝5+4t，BP＝5+4t﹣（5+2t）＝2t，
当t≤15时，
3AP+2OP﹣mBP
＝45﹣3t+10+8t﹣2mt
＝（5﹣2m）t+55，
∴当5﹣2m＝0，即m＝2.5时，3AP+2OP﹣mBP的值在某段时间内不随着t的变化而变化，
当t＞15时，
3AP+2OP﹣mBP
＝3t﹣45+10+8t﹣2mt
＝（11﹣2m）t﹣35，
∴当11﹣2m＝0，即m＝5.5时，上式为定值﹣35，也不随t发生改变，
故m为2.5或5.5．
故答案为：2.5或5.5．
【变式1-2】．已知数轴上两点A、B对应的数分别是6，﹣8，M、N、P为数轴上三个动点，点M从A点出发，速度为每秒2个单位，点N从点B出发，速度为M点的3倍，点P从原点出发，速度为每秒1个单位．
（1）若点M向右运动，同时点N向左运动，求多长时间点M与点N相距46个单位？
（2）若点M、N、P同时都向右运动，求多长时间点P到点M，N的距离相等？
（3）当时间t满足t1＜t≤t2时，M、N两点之间，N、P两点之间，M、P两点之间分别有47个、37个、10个整数点，请直接写出t1，t2的值．
解：（1）设运动时间为t秒，
由题意可得：6+8+2t+6t＝46，
∴t＝4，
∴运动4秒，点M与点N相距46个单位；
（2）设运动时间为t秒，由题意可知：M点运动到6+2t，N点运动到﹣8+6t，P点运动到t，
由t＝﹣8+6t可得t＝1.6，
当t＜1.6时，点N在点P左侧，若MP＝NP，则t﹣（﹣8+6t）＝6+2t﹣t，
解得t＝（s）；
当t＞1.6时，点N在点P右侧，若MP＝NP，则﹣8+6t﹣t＝6+2t﹣t，
解得t＝（s），
∴运动s或s时，点P到点M，N的距离相等；
（3）由题意可得：M、N、P三点之间整数点的多少可看作它们之间距离的大小，
M、N两点距离最大，M、P两点距离最小，可得出M、P两点向右运动，N点向左运动
①当t1＝4s时，P在4，M在14，N在﹣32，
再往前一点，MP之间的距离即包含10个整数点，NP之间有47个整数点；
②当N继续以6个单位每秒的速度向左移动，P点向右运动，
若N点移动到﹣33时，此时N、M之间仍为47个整数点，
若N点过了﹣33时，此时N、M之间为48个整数点
故t2＝+4＝（s），
∴t1，t2的值分别为4s，s．
【例2】．如图，周长为6个单位长度的圆上的六等分点分别为A，B，C，D，E，F，点A落在2的位置，将圆在数轴上沿负方向滚动，那么落在数轴上﹣2023的点是 点D ．
解：由图形可知，旋转一周，点B对应的数是1，点C对应的数是0，点D对应的数是﹣1，点E对应的数是﹣2，点F对应的点为﹣3，点A对应的点为﹣4，
继续旋转，点B对应的点为﹣5，点C对应的点为﹣6．
∵2023÷6＝337…1，
∴数轴上表示﹣2025的点与圆周上点D重合．
故答案为：点D．
Ø变式训练
【变式2-1】．在数轴上，点A，O，B分别表示﹣15，0，9，点P，Q分别从点A，B同时开始沿数轴正方向运动，点P的速度是每秒4个单位，点Q的速度是每秒1个单位，运动时间为t秒．若点P，Q，O三点在运动过程中，其中一个点恰好是另外两点为端点的线段的一个中点，则运动时间为 或 或 秒．
解：由题知，P点对应的数为：﹣15+4t，Q点对应的数为：9+t，
（1）当O为PQ中点时，
根据题意得15﹣4t＝9+t，
解得t＝，
（2）当P是OQ的中点时，
根据题意得2（4t﹣15）＝9+t，
解得t＝，
（3）当Q是OP的中点时，
根据题意得2（9+t）＝4t﹣15，
解得t＝，
故答案为：或或．
【变式2-2】．如图：在数轴上A点表示数﹣3，B点示数1，C点表示数9．
（1）若将数轴折叠，使得A点与C点重合，则点B与数表示的点重合；
（2）若点 A、点B和点C分别以每秒2个单位、1个单位长度和4个单位长度的速度在数轴上同时向左运动．
①若t秒钟过后，A，B，C三点中恰有一点为另外两点的中点，求t值；
②当点C在B点右侧时，是否存在常数m，使mBC﹣2AB的值为定值，若存在，求m的值，若不存在，请说明理由．
解：（1）AB＝9﹣（﹣3）＝12，
12÷2＝6，
AB的中点表示的数为：9﹣6＝3，
3﹣1＝2，3+2＝5，
则点B与5表示的点重合；
（2）①由题意可知，
t 秒时，A点所在的数为：﹣3﹣2t，
B点所在的数为：1﹣t，
C点所在的数为：9﹣4t，
（i）若B为AC中点，
则 ．
∴t＝1；
（ii）若C为AB中点，
则 ，
∴t＝4；
（iii）若A为BC中点，
则 ，
∴t＝16，
∴综上，当t＝1或4或16时，A，B，C三点中恰有一点为另外两点的中点；
②假设存在．
∵C在B右侧，B在A右侧，
∴BC＝9﹣4t﹣（1﹣t）＝8﹣3t，
AB＝1﹣t﹣（﹣3﹣2t）＝4+t，
mBC﹣2AB
＝m（8﹣3t）﹣2（4+t）
＝8m﹣3mt﹣8﹣2t
＝8m﹣8﹣（3mt+2t）
＝8m﹣8﹣（3m+2）t，
当3m+2＝0即m＝时，
mBC﹣2AB＝8×（﹣）﹣8＝﹣为定值，
∴存在常数m＝﹣，使mBC﹣2AB的值为定值．
1．如图，将一刻度尺放在数轴上（数轴的单位长度是1cm），刻度尺上表示“0cm”“8cm”的刻度分别对应数轴上的是﹣3和x所表示的点，那么x等于（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
解：根据数轴可知：
﹣3+8＝5，
故选：A．
2．等边△ABC在数轴上的位置如图所示，点A、C对应的数分别为0和﹣1，若△ABC绕顶点沿顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为1，则连续翻转2021次后，点B（ ）
A．对应的数是2019 B．对应的数是2020
C．对应的数是2021 D．不对应任何数
解：结合数轴，根据连续翻转可得出从原点开始，向右依次是A、B、C循环排列，2021次后共得出2022个顶点，
∵2022÷3＝674，
∴最后一个点为C，
∵最后一个点C是翻转了2021次后得到的，
∴点C表示的数为2021，
∴点B表示的数为2020，
故选：B．
3．在解决数学实际问题时，常常用到数形结合思想，比如：|x+1|的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数﹣1的点的距离，|x﹣2|的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数2的点的距离．结合以上知识，下列说法中正确的个数是（ ）
①若|x﹣2022|＝1，则x＝2021或2023；
②若|x﹣1|＝|x+3|，则x＝﹣1；
③若x＞y，则|x﹣2|＞|y﹣2|；
④关于x的方程|x+1|+|x﹣2|＝3有无数个解．
A．1 B．2 C．3 D．4
解：①若|x﹣2022|＝1，可得x﹣2022＝±1，则则x＝2021或2023；所以①说法正确；
②若|x﹣1|＝|x+3|，几何意义是数轴到表示数1的点和表示数3的点的距离相等的点，即可得出x＝﹣1；所以②说法正确；
③当y＜x＜0时，则|x﹣2|＜|y﹣2|，所以③说法不正确；
④因为|x+1|+|x﹣2|＝3的几何意义是到数轴上表示﹣1的点与表示2的点的距离和等于3的点，即﹣1≤x≤2时满足题意，所以有无数个解，故④说法正确．
故选：C．
4．数轴上点A表示的数是﹣3，把点A向右移动5个单位，再向左移动7个单位到A′，则A′表示的数是 ﹣5 ．
解：依题意得：﹣3+5﹣7＝﹣5，即则A′表示的数是﹣5．
故答案为：﹣5．
5．数轴上点A表示﹣8，点B表示6，点C表示12，点D表示18．如图，将数轴在原点O和点B，C处各折一下，得到一条“折线数轴”．在“折线数轴”上，动点M从点A出发，以4个单位/秒的速度沿着折线数轴的正方向运动，从点O运动到点C期间速度变为原来的一半，过点C后继续以原来的速度向终点D运动；点M从点A出发的同时，
点N从点D出发，一直以3个单位/秒的速度沿着“折线数轴”负方向向终点A运动．其中一点到达终点时，两点都停止运动．设运动的时间为t秒，t ＝4.4 时，M、N两点相遇（结果化为小数）．
解：当点M、N都运动到折线段O﹣B﹣C上，即t≥2时，M表示的数是×（t﹣2）＝2t﹣4，N表示的数是12﹣3（t﹣2）＝18﹣3t，
∵M、N两点相遇时，M、N表示的数相同，
∴2t﹣4＝18﹣3t，
解得：t＝＝4.4，
故答案为：4.4．
6．如图，在一条不完整的数轴上，从左到右的点A、B、C把数轴分成①②③④四部分，点A、B、C对应的数分别是a、b、c，且ab＜0．
（1）原点在第 ② 部分（填序号）；
（2）化简式子：|a﹣b|﹣|c﹣a|﹣|a|；
（3）若|c﹣5|+（a+1）2＝0，且BC＝2AB，求点B表示的数．
解：（1）∵点A、B、C对应的数分别是a、b、c，且ab＜0，
∴a＜0，b＞0，
∴原点在点A和点B之间，
又∵从左到右的点A、B、C把数轴分成①②③④四部分，
∴原点在第②部分；
故答案为：②
（2）∵a＜0，b＞0，
∴a﹣b＜0，c＞0，
∴c﹣a＞0，
∴|a﹣b|﹣|c﹣a|﹣|a|＝b﹣a﹣（c﹣a）﹣（﹣a）＝b﹣a﹣c+a+a＝a+b﹣c；
（3）∵|c﹣5|+（a+1）2＝0，
又∵|c﹣5|≥0，（a+1）2≥0，
∴c﹣5＝0，a+1＝0，
∴c＝5，a＝﹣1，
∵B对应的数是b，5＞b＞﹣1，
∴BC＝5﹣b，AB＝b﹣（﹣1）＝b+1，
又∵BC＝2AB，
∴5﹣b＝2×（b+1），即3b＝3，
解得：b＝1，
∴点B表示的数为1．
7．已知b是最小的正整数，且（c﹣5）2与|a+b|互为相反数．
（1）填空：a＝ ﹣1 ，b＝ 1 ，c＝ 5 ；
（2）若P为一动点，其对应的数为x，点P在0和2表示的点之间运动，即0≤x≤2时，化简：|x+1|﹣|x﹣1|+2|x+5|（请写出化简过程）；
（3）如图，a，b，c在数轴上所对应的点分别为A，B，C，在（1）的条件下，若点A以1个单位长度/s的速度向左运动，同时，点B和点C分别以2个单位长度/s和5个单位长度/s的速度向右运动．ts后，若点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点B之间的距离表示为AB．请问：BC﹣AB的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．
解：（1）依题意得，b＝1，c﹣5＝0，a+b＝0，
解得a＝﹣1，c＝5．
故答案为：﹣1，1，5；
（2）点P在0和2表示的点之间运动，即0≤x≤2时，
当0≤x≤1时，x+1＞0，x﹣1≤0，x+5＞0，
原式＝x+1+x﹣1+2x+10
＝4x+10；
当1＜x≤2时，x+1＞0，x﹣1＞0，x+5＞0，
原式＝x+1﹣x+1+2x+10
＝2x+12．
综上可知，|x+1|﹣|x﹣1|+2|x+5|＝4x+10或2x+12；
（3）不变，
理由：t秒后A点表示的数是﹣1﹣t，B点表示的数是1+2t，C的表示的数是5+5t，
∵AB＝1+2t﹣（﹣1﹣t）
＝3t+2，
BC＝5+5t﹣（1+2t）
＝3t+4，
∴BC﹣AB＝2，
∴BC﹣AB的值不变，是2．
8．数轴上有A、B、C三点，如图1，点A、B表示的数分别为m、n（m＜n），点C在点B的右侧，AC﹣AB＝2．
（1）若m＝﹣8，n＝2，点D是AC的中点．
①则点D表示的数为 ﹣2 ．
②如图2，线段EF＝a（E在F的左侧，a＞0），线段EF从A点出发，以1个单位每秒的速度向B点运动（点F不与B点重合），点M是EC的中点，N是BF的中点，在EF运动过程中，MN的长度始终为1，求a的值；
（2）若n﹣m＞2，点D是AC的中点，若AD+3BD＝4，试求线段AB的长．
解：（1）①∵m＝﹣8，n＝2，
∴AB＝2﹣（﹣8）＝10．
∵AC﹣AB＝2，
∴AC＝12，
∴点C对应的数字为4，
∵点D是AC的中点，
∴CD＝AC＝6，
设点D表示的数为x，
∴4﹣x＝6，
∴x＝﹣2．
∴点D表示的数为﹣2．
故答案为：﹣2；
②设EF运动的时间为t秒，
则点E对应的数字为t﹣8，点F对应的数字为t﹣8+a，
∵点M是EC的中点，N是BF的中点，
∴点M对应的数字为＝，点N对应的数字为＝，
∵MN＝1，
∴||＝1．
解得：a＝0或a＝4，
∵a＞0，
∴a＝4；
（2）设点C对应的数字为c，点D对应的是为d，
∵点A、B表示的数分别为m、n（m＜n），点C在点B的右侧，AC﹣AB＝2，
∴c＝n+2，AB＝n﹣m．
∵点D是AC的中点，
∴d＝，
∴AD＝m＝，BD＝n﹣＝，
∵AD+3BD＝4，
∴＝4，
解得：n﹣m＝3．
∴AB＝3．
9．如图，数轴上点A，B分别表示数a，b，其中a＜0，b＞0．
（1）若a＝﹣7，b＝3，求线段AB的长度及线段AB的中点C表示的数c；
（2）该数轴上有另一点D表示数d．
①若d＝2，点D在点B的左侧，且AB＝5BD．求整式2a+8b+2023的值；
②若d＝﹣2，且AB＝5BD，能否求整式2a+8b+2023的值？若能，求出该值；若不能，说明理由．
解：（1）∵a＝﹣7，b＝3，
∴线段AB的中点C表示的数c＝3﹣×（|﹣7|+3）＝3﹣×10＝3﹣5＝﹣2；
（2）①∵d＝2，点D在点B的左侧，且AB＝5BD，
∴AB＝b﹣a，BD＝b﹣2，
∴b﹣a＝5（b﹣2），
∴a+4b＝10，
∴2a+8b+2023
＝2（a+4b）+2023
＝2×10+2023
＝2043；
②能求出代数式的值，
∵d＝﹣2，点D在点B的左侧，且AB＝5BD，
∴AB＝b﹣a，BD＝b+2，
∴b﹣a＝5（b+2），
∴a+4b＝﹣10，
∴2a+8b+2023
＝2（a+4b）+2023
＝2×（﹣10）+2023
＝﹣20+2023
＝2003；
10．先阅读，后探究相关的问题
【阅读】|5﹣2|表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；|5+2|可以看做|5﹣（﹣2）|，表示5与﹣2的差的绝对值，也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离．
（1）如图，先在数轴上画出表示点4.5的相反数的点B，再把点A向左移动1.5个单位，得到点C，则点B和点C表示的数分别为 ﹣4.5 和 3.5 ，B，C两点间的距离是 8 ；
（2）若点A表示的整数为x，则当x为 ﹣2 时，|x+6|与|x﹣2|的值相等；
（3）要使代数式|x+1|+|x﹣2|取最小值时，相应的x的取值范围是 ﹣1≤x≤2 ．
解：（1）4.5的相反数是﹣4.5，即点B表示的数为﹣4.5；点C表示的数为5﹣1.5＝3.5；B，C两点间的距离是3.5﹣（﹣4.5）＝3.5+4.5＝8；
故答案为：﹣4.5，3.5，8；
（2）∵|x+6|与|x﹣2|的值相等，
∴x+6＝x﹣2此种情况等式不成立，
或x+6＝﹣（x﹣2），x＝﹣2，
∴x＝﹣2时，|x+6|与|x﹣2|的值相等；
故答案为：﹣2；
（3）∵|x+1|+|x﹣2|值最小，
∴在数轴上可以看作表示x的到﹣1的距离与到2的距离和最小，
∴数x只能在﹣1与2之间，包括﹣1与2两个端点，
∴﹣1≤x≤2．
故答案为：﹣1≤x≤2．
11．如图，已知点O为数轴的原点，点A、B、C、D在数轴上，其中A、B两点对应的数分别为﹣1、3．
（1）填空：线段AB的长度AB＝ 4 ；
（2）若点A是BC的中点，点D在点A的右侧，且OD＝AC，点P在线段CD上运动．问：该数轴上是否存在一条线段，当P点在这条线段上运动时，PA+PB的值随着点P的运动而没有发生变化？
（3）若点P以1个单位/秒的速度从点O向右运动，同时点E从点A以5个单位/秒的速度向左运动、点F从点B以20个单位/秒的速度向右运动，M、N分点别是PE、OF的中点．点P、E、F的运动过程中，的值是否发生变化？请说明理由．
解：（1）∵A、B两点对应的数分别为﹣1、3，
∴OA＝1，OB＝3，
∴AB＝OA+OB＝4．
故答案为：4；
（2）数轴上存在一条线段，当P点在这条线段上运动时，PA+PB的值随着点P的运动而没有发生变化．理由：
A、B两点对应的数分别为﹣1、3，
∴OA＝1，OB＝3，
∵点A是BC的中点，
∴AC＝AB＝4．
∴OC＝AC+OA＝5，
∴C点对应的数为﹣5．
又∵OD＝AC，点D在点A的右侧，
∴D点对应的数为4．
设P点对应的数为x，
①P点在射线CA上时，PA＝﹣1﹣x，PB＝3﹣x，
∴PA+PB＝﹣1﹣x+（3﹣x）＝2﹣2x，
∴PA+PB的值随着点P的运动而发生变化；
②P点在线段AB上时，PA＝x﹣（﹣1）＝x+1，PB＝3﹣x，
∴PA+PB＝x+1+（3﹣x）＝4，
∴PA+PB的值随着点P的运动没有发生变化；
③P点在射线BD上时，PA＝x﹣（﹣1）＝x+1，PB＝x﹣3，
∴PA+PB＝x+1+（x﹣3）＝2x﹣2，
∴PA+PB的值随着点P的运动而发生变化．
综上，P点在线段AB上时，PA+PB的值没有发生变化，
∴数轴上存在一条线段，当P点在这条线段上运动时，PA+PB的值随着点P的运动而没有发生变化；
（3）在运动过程中，的值不发生变化．理由：
设运动时间为t分钟，则OP＝t，OE＝5t+1，OF＝20t+3，
∴EF＝OE+OF＝25t+4，
∵M、N分别是PE、OF的中点，
∴EM＝PM＝PE＝（OP+OE）＝3t+，ON＝OF＝10t+，
∴OM＝OE﹣EM＝5t+1﹣（3t+）＝2t+，
∴MN＝OM+ON＝12t+2，
∴．
∴在运动过程中，的值不发生变化．
12．如图，在数轴上，点O表示原点，点A表示的数为﹣1，对于数轴上任意一点P（不与点A点O重合），线段PO与线段PA的长度之比记作k（p），即，我们称k（p）为点P的特征值，例如：点P表示的数为1，因为PO＝1，PA＝2，所以．
（1）当点P为AO的中点时，则k（p）＝ 1 ；
（2）若k（p）＝2，求点P表示的数；
（3）若点P表示的数为p，且满足p＝2n﹣1，（其中n为正整数，且1≤n≤7），求所有满足条件的k（p）的和．
解：（1）由题意可知，
当点P为AO的中点时点P表示的数为，，
∴，
故答案为：1；
（2）设点P表示的数为x，
则PO＝|x|，PA＝|x﹣（﹣1）|＝|x+1|，
∵k（p）＝2，
∴，
即PO＝2PA，
∴|x|＝2|x+1|，
∴x＝2（x+1）或x＝﹣2（x+1），
解得：x＝﹣2或；
故：点P表示的数﹣2或；
（3）点P表示的数为p，且满足p＝2n﹣1，（其中n为正整数，且1≤n≤7），p＝2n﹣1＞0，
此时：PO＝p，PA＝p﹣（﹣1）＝p+1，
当p＝2n﹣1时∵1≤n≤7，且n为正整数，
则所有满足条件的k（p）的值分别为：，
故所有满足条件的k（p）的和为：＝，
令，
则，
②﹣①得：，
∴
＝
＝．
13．把一根小木排放在数轴上，木棒左端点与点A重合，右端点与点B重合，数轴的单位长度为1cm，如图所示．
（1）若将木棒沿数轴向右移动，当木棒的左端点移动到点B处时、它的右端点在数轴上对应的数为20；若将木棒沿数轴向左移动时，当它的右端点移动到点A处时，木棒左端点在数轴上对应的数为5，由此可得木棒的长为 5cm ；我们把这个模型记为“木捧摸型”；
（2）在（1）的条件下，已知点C表示的数为﹣2．若木棒在移动过程中，当木棒的左端点与点C相距3cm时，求木棒的右端点与点A的距离；
（3）请根据（1）的“木棒模型”解决下列问题．
某一天，小字问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在那么大，你还要41年才出生；你若是我现在这么大，我就有124岁了，世界级老寿星了，哈哈！”请你画出“木棒模型”示意图，求出爷爷现在的年龄．
解：（1）由图观察可知，三根木棒长是20﹣5＝15（cm），
则此木棒长为：15÷3＝5（cm）；
故答案为：5cm；
（2）由题可知，点A所表示的数是5+5＝10，
∵木棒的左端点与点C相距3cm，点C表示的数为﹣2，
当左端点在点C右侧3cm时，此时木棒左端点表示的数为：﹣2+3＝1，右端点表示的数为；1+5＝6，木棒的右端点与A的距离为：10﹣6＝4，
当左端点在点C左侧3cm时，此时木棒左端点表示的数为：﹣2﹣3＝﹣5，木棒的右端点表示的数为：﹣5+5＝0，木棒的右端点与点A的距离＝10﹣0＝10，
∴木棒的右端点与点A的距离为4或10；（3）由图可知，把小红与爷爷的年龄差看作木棒AB，类似爷爷是小红现在年龄时看作当B点移动到A点时，此时A点所对应的数位﹣41，
因为当A点移动到B点时，此时B点所对应的数为124，
所以爷爷比小红大[124﹣（﹣41）]÷3＝55（岁），
所以爷爷的年龄为124﹣55＝69（岁），
答：爷爷现在的年龄是69岁．
14．对于数轴上的A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“联盟点”．例如：数轴上点A，B，C所表示的数分别为1，3，4，此时点B是点A，C的“联盟点”．
（1）若点A表示数﹣1，点B表示的数2，下列各数：，0，1，4，5所对应的点分别为C1，C2，C3，C4，C5，其中是点A，B的“联盟点”的是 C2，C3，C5 ；
（2）点A表示的数是﹣1，点B表示的数是3，P是数轴上的一个动点：
①若点P在线段AB上，且点P是点A，B的“联盟点”，求此时点P表示的数；
②若点P在点A的左侧，点P、A、B中有一个点恰好是其它两个点的“联盟点”，求出此时点P表示的数．
解：（1）∵AC1═﹣﹣（﹣1）═，BC1═2﹣（﹣）═，
∴2AC1≠BC1，
∴C1不是A，B的“联盟点”．
∵AC2═0﹣（﹣1）═1，BC2＝2﹣0＝2，
∴2AC2═BC2，
∴C2是A，B的“联盟点”．
∵AC3═1﹣（﹣1）＝2，BC3═2﹣1＝1，
∴AC3═2BC3，
∴C3是A，B的“联盟点”．
∵AC4═4﹣（﹣1）＝5，BC4═4﹣2＝2，
∴AC4≠BC4，
∴C4不是A，B的“联盟点”．
∵AC5═5﹣（﹣1）＝6，BC5═5﹣2＝3，
∴AC5═2BC5，
∴C5是A，B的“联盟点”．
综合上述，是点A，B的“联盟点”的是C2，C3，C5．
（2）解；设点P表示的数为x，
①∵P在线段AB上，
∴AP＝x+1，BP＝3﹣x，
当AP＝2BP时，有x+1＝2（3﹣x），解得x＝，
当BP＝2AP时，有3﹣x＝2（x+1），解得x＝，
综上所述，点P 表示的数为，．
②由题意得，AB＝4，
∵P在A的左侧，
∴AP＝﹣1﹣x，BP＝3﹣x，
当点A为B，P的“联盟点”时，
若AB＝2AP，则有4＝2（﹣1﹣x），解得x＝﹣3，
若AP＝2AB，则有﹣1﹣x＝2×4，解得x＝﹣9，
当点B为A，P的“联盟点”时，
2AB＝BP，则有2×4＝3﹣x，解得x＝﹣5，
当点P为A，B的“联盟点”时，
BP＝2PA，则有3﹣x＝2（﹣1﹣x），解得x＝﹣5，
综上所述，P表示的数为﹣9，﹣3，﹣5．
15．如图，点A，O，B，D在同一条直线l上，点B在点A的右侧，AB＝6，OB＝2，点C是AB的中点，如图画数轴．
（1）若点O是数轴的原点，则点B表示的数是 2 ，点C表示的数是 ﹣1 ；
（2）若点O是数轴的原点时，D点表示的数为x，且AD＝5，求x；
（3）若点D是数轴的原点，点D在点A的左侧，点A表示的数为m，且A，B，C，O所表示的数之和等于21，求m；
（4）当O是数轴的原点，动点E，F分别从A，B出发，相向而行，点E的运动速度是每秒2个单位长度，点F的运动速度是每秒1个单位长度，当EF＝3时，求点A，B，E，F表示的数之和．
解；（1）点B在点A的右侧，OB＝2，
∴点B表示的数是﹣2，
故答案为：2；
AB＝6，点C是AB的中点，
∴BC＝3，
∴点C表示的数是2﹣3＝﹣1，
故答案为：﹣1；
（2）AB＝6，点B在点A的右侧，
点A表示的数是﹣4，
AD＝|﹣4﹣x|＝5，
x＝1或x＝﹣9；
（3）若点D是数轴的原点，点D在点A的左侧，点A表示的数为m，
∵AB＝6，C是AB的中点，OB＝2，
∴AC＝3，AO＝4，
∴点O表示的数是m+4，点C表示的数是m+3，点B表示的数是m+6，
m+（m+6）+（m+3）+（m+4）＝21，
解得m＝2；
（4）设运动时间为t，据题意得：
6﹣2t﹣t＝3，
解得t＝1，
AE＝2，BF＝1，
点E表示的数是﹣2，点F表示的数是1，
点A，B，E，F表示的数之和为：
﹣4+2+（﹣2）+1＝﹣3，
16．如图，在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，a，c满足|a+4|+（c﹣2）2＝0，b是最大的负整数．
（1）a＝ ﹣4 ，b＝ ﹣1 ，c＝ 2 ．
（2）若将数轴折叠，使得点A与点C重合，则点B与数 ﹣1 表示的点重合；
（3）点A，B，C开始在数轴上运动，若点A和点B分别以每秒0.4个单位长度和0.3个单位长度的速度向左运动，同时点C以每秒0.2个单位长度的速度向左运动，点C到达原点后立即以原速度向右运动，运动时间为t秒，若点A与点B之间的距离表示为AB，点B与点C之间的距离表示为BC，请问：5AB﹣BC的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求出5AB﹣BC的值．
解：（1）∵|a+4|+（c﹣2）2＝0，b是最大的负整数，
a＝﹣4，b＝﹣1，c＝2，
故答案为：﹣4，﹣1，2；
（2）AB＝﹣1﹣（﹣4）＝3，AC＝2﹣（﹣4）＝6，
点B为AC的中点，故将数轴折叠，使得点A与点C重合，则点B与自身重合，
故答案为：﹣1；
（3）AB＝3+0.4t＝0.3t＝3+0.1t，
当C运动到原点时，t＝2÷0.2＝10（秒），点B运动到点A的位置，
当t≤10秒时，BC＝3+0.3t﹣0.2t＝3+0.1t，
5AB﹣B
＝5（3+0.1t）﹣（3+0.1t）
＝15+0.5t﹣3﹣0.1t
＝12+0.4t，
5AB﹣BC的值随时间的变化而变化；
当t＞10时，BC＝4+0.3t+0.2t＝4+0.5t，
5AB﹣BC
＝5（3+0.1t）﹣（4+0.5t）
＝15+0.5t﹣4﹣0.5t
＝11．
这时5AB﹣BC的值不变．
17．定义：对于数轴上的三点，若其中一个点与其他两个点的距离恰好满足2倍的数量关系．如下图，数轴上点A，B，C所表示的数分别为1，3，4，此时点B就是点A，C的一个“关联点”．
（1）写出点A，C的其他三个“关联点”所表示的数： ﹣2 、 2 、 7 ．
（2）若点M表示数﹣2，点N表示数4，数﹣8，﹣6，0，2，10所对应的点分别是C1，C2，C3，C4，C5，其中不是点M，N的“关联点”是点 C2 ．
（3）若点M表示的数是﹣3，点N表示的数是10，点P为数轴上的一个动点．
①若点P在点N左侧，且点P是点M，N的“关联点”，求此时点P表示的数．
②若点P在点N右侧，且点P，M，N中，有一个点恰好是另外两个点的“关联点”，求此时点P表示的数．
解：（1）2﹣1＝1，4﹣2＝2，
2是A，C的一个“关联点”，
设x是A，C的一个“关联点”，x﹣1＝2（x﹣4）
解得x＝7，
设y是A，C的一个“关联点”，2（1﹣y）＝4﹣y
解得y＝﹣2，
A，C的其他三个“关联点”所表示的数为：﹣2、2、7，
故答案为：﹣2、2、7，
（2）∵﹣2﹣（﹣8）＝6，4﹣（﹣8）＝12，
∴C1是关联点，
∵﹣2﹣（﹣6）＝4，4﹣（﹣6）＝10，
∴C2不是关联点，
∵0﹣（﹣2）＝2，4﹣0＝4，
∴C3是关联点，
∵2﹣（﹣2）＝4，4﹣2＝2，
∴C4是关联点，
∵10﹣（﹣2）＝12，10﹣4＝6，
∴C5是关联点，
故答案为：C2．
（3）①若点P在点N左侧且在M的右侧，设点P表示的数为x，
当2（x+3）＝10﹣x
解得，
当x+3＝2（10﹣x）
解得，
若点P在M点左侧，设点P表示的数为x，
∴2（﹣3﹣x）＝10﹣x
解得x＝﹣16，
综上所述：P表示的数为：；
②若点P在点N右侧，设点P表示的数为x，
当PN＝2MN时，
则2×13＝x﹣10
解得x＝36，
当MN＝2PN时，
则13＝2×（x﹣10）
解得，
当MP＝2MN时，
则x+3＝2×13
解得x＝23，
当MP＝2PN时，
则x+3＝2×（x﹣10）
解得x＝23，
综上所述：P表示的数为：，23.36．
18．[知识背景]：数轴上，点A，点B表示的数为a，b，则A，B两点的距离表示为AB＝|a﹣b|．线段AB的中点P表示的数为．
[知识运用]：已知数轴上A，B两点对应的数分别为a和b，且（a﹣4）2+|b﹣2|＝0，P为数轴上一动点，对应的数为x．
（1）a＝ 4 ，b＝ 2 ；
（2）若点P为线段AB的中点，则P点对应的数x为 3 ，若点B为线段AP的中点，则P点对应的数x为 0 ；
（3）若点A、点B同时从图中位置在数轴上向左运动，点A的速度为每秒1个单位长度，点B的速度为每秒3个单位长度，则经过 122 秒点B追上点A；
（4）若点A、点B同时从图中位置在数轴上向左运动，它们的速度都为每秒1个单位长度，与此同时点P从表示﹣16的点处以每秒2个单位长度的速度在数轴上向右运动．经过多长时间后，点A、点B、点P三点中，其中一点是另外两点组成的线段的中点？
解：（1）∵（a﹣4）2+|b﹣2|＝0，
∴a﹣4＝0，b﹣2＝0，
∴a＝4，b＝2．
故答案为4、2．
（2）点A，B表示的数分别为4，2，P对应数为x，
若点P为线段AB的中点，则P点对应的数x＝＝3，
若B为线段AP的中点时，则＝2，解得x＝0．
故答案为1，0；
（3）解：设经过x秒点B追上点A，
（3﹣1）x＝4﹣2，
2x＝2，
x＝1，
答：经过1秒点B追上点A．
（4）经过t秒后，点A，点B，点P三点中其中一点是另外两点的中点，
t秒后，点A的位置为：4﹣t，点B的位置为：2﹣t，点P的位置为：﹣16+2t，
当点A为PB的中点时，则有，
2×（4﹣t）＝2﹣t﹣16+2t，解得：t＝，
当点B为PA的中点时，则有，
2×（2﹣t）＝4﹣t﹣16+2t，解得：t＝，
当点P为BA的中点时，则有，
2×（﹣16+2t）＝4﹣t+2﹣t，解得：t＝，
答：经过秒，秒，秒后，点A，点B，点P三点中其中一点是另外两点的中点．
故答案为：秒，秒，秒．
19．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：
（1）探究：
①数轴上表示5和3的两点之间的距离是 2 ．
②数轴上表示﹣1和﹣4的两点之间的距离是 3 ．
③数轴上表示﹣3和5的两点之间的距离是 8 ．
（2）归纳：
一般的，数轴上表示数a和数b的两点之间的距离等于 |a﹣b| ．
（3）应用：
①若数轴上表示数a的点位于﹣4与3之间，则|a+4|+|a﹣3|的值＝ 7 ．
②若a表示数轴上的一个有理数，且|a﹣1|＝|a+3|，则a＝ ﹣1 ．
③若a表示数轴上的一个有理数，|a﹣1|+|a+2|的最小值是 3 ．
④若a表示数轴上的一个有理数，且|a+3|+|a﹣5|＞8，则有理数a的取值范围是 a＞5或a＜﹣3 ．
（4）拓展：
已知，如图2，A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为﹣20，B点对应的数为100．若当电子蚂蚁P从A点出发，以4个单位/秒的速度向右运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从B点出发，以3单位/秒的速度向左运动，求经过多长时间两只电子蚂蚁在数轴上相距20个单位长度，并写出此时点P所表示的数．
解：（1）①5﹣3＝2，
故答案为：2；
②（﹣1）﹣（﹣4）＝3，
故答案为：3；
③5﹣（﹣3）＝8，
故答案为：8；
（2）根据数轴上两点间的距离得|a﹣b|，
故答案为：|a﹣b|；
（3）①∵表示数a的点位于﹣4与3之间，
∴|a+4|+|a﹣3|
＝a+4+3﹣a
＝7，
故答案为：7；
②∵|a﹣1|＝|a+3|
∴表示数a的点在1和﹣3之间，
∴|a﹣1|＝|a+3|，
1﹣a＝a+3，
a＝﹣1，
故答案为：﹣1；
③∵|a﹣1|+|a+2|有最小值，
∴表示a的点在﹣2与1之间，
∴|a﹣1|+|a+2|
＝1﹣a+a+2
＝3，
故答案为：3；
④|a+3|+|a﹣5|＞8，
当﹣3＜a＜5时，
|a+3|+|a﹣5|＝a+3+5﹣a＝8，不合题意舍去；
当a＜﹣3时，
|a+3|+|a﹣5|＝﹣（a+3）+5﹣a＞8，
a＜﹣3；
当a＞5时，
|a+3|+|a﹣5|＞8，
a+3+a﹣5＞8，
a＞5，
故答案为：a＜﹣3或a＞5；
（4）设电子蚂蚁运动x秒时，P、Q相距20个单位长度，
①4x+3x+20＝20+100，
x＝，
点P表示的是4×﹣20＝
②4x+3x﹣20＝20+100，
x＝20，
点P表示的是4×20﹣20＝60，
20．将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到如图所示的“折线数轴”，图中点A表示﹣10，点B表示10，点C表示18．我们称点A和点C在数轴上的“友好函数”为28个单位长度．动点P从点A出发，以2单位长度/秒的速度沿着“折线数轴”向其正方向运动．当运动到点O与点B之间时速度变为原来的一半．经过点B后立刻恢复原速；同时，动点Q从点C出发，以1单位长度/秒的速度沿着“折线数轴”向其负方向运动，当运动到点B与点O之间时速度变为原来的两倍，经过O后也立刻恢复原速．设运动的时间为t秒．
（1）动点P从点A运动至点C需要 19 秒，动点Q从点C运动至点A需要 23 秒；
（2）P，Q两点相遇时，求出相遇点M在“折线数轴”上所对应的数；
（3）是否存在t值，使得点P和点Q任“折线数轴”上的“友好距离”等于点A和点B在“折线数轴”上的“友好距离”？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
解：（1）∵点A表示﹣10，点B表示10，点C表示18，
∴OA＝10，BO＝10，BC＝8，
∴动点P从点A运动至点C需要的时间是：10÷2+10÷1+8÷2＝19（s），
动点Q从点C运动至点A需要的时间是：10÷1+10÷2+8÷1＝23（s），
故答案为：19，23；
（2）根据题意可知，P、Q两点在OB上相遇，
P点运动到OB上时表示的数是t﹣5，Q点运动到OB上时表示的数是10﹣2（t﹣8），
∴t﹣5＝10﹣2（t﹣8），
解得t＝，
∴M点表示的数是﹣5＝；
（3）存在t值，使得点P和点Q任“折线数轴”上的“友好距离”等于点A和点B在“折线数轴”上的“友好距离”，理由如下：
∵点A表示﹣10，点B表示10，
∴点A和点B在“折线数轴”上的“友好距离”是20，
①当0≤t≤5时，P点在OA上，Q点在BC上，
此时P点表示的数是﹣10+2t，Q点表示的数是18﹣t，
∴点P和点Q任“折线数轴”上的“友好距离”为18﹣t+10﹣2t＝28﹣3t，
由题意可得，28﹣3t＝20，
解得t＝；
②当5＜t≤8时，P点在OB上，Q点在OC上，
此时P点表示的数是t﹣5，Q点表示的数是18﹣t，
∴点P和点Q任“折线数轴”上的“友好距离”为18﹣t﹣t+5＝23﹣2t，
由题意可得，23﹣2t＝20，
解得t＝（舍）；
③8＜t≤13时，点P、Q都在BO上，此时PQ＜10，
∴此情况不符合题意；
④13＜t≤15时，P点在OB上，Q点在OA上，
此时P点表示的数是t﹣5，Q点表示的数是t﹣13，
∴点P和点Q任“折线数轴”上的“友好距离”为t﹣5+t﹣13＝2t﹣18，
由题意可得，2t﹣18＝20，
解得t＝19（舍）；
⑤15＜t≤19时，P点在BC上，Q点在OA上，
此时P点表示的数是2t﹣20，Q点表示的数是t﹣13，
∴点P和点Q任“折线数轴”上的“友好距离”为t﹣13+2t﹣20＝3t﹣33，
由题意可得，3t﹣33＝20，
解得t＝；
⑥19＜t≤23时，P点在C的右侧，Q点在OA上，
此时P点表示的数是2t﹣20，Q点表示的数是t﹣13，
∴点P和点Q任“折线数轴”上的“友好距离”为t﹣13+2t﹣20＝3t﹣33，
由题意可得，3t﹣33＝20，
解得t＝（舍）；
⑦t＞23时，P点在C点右侧，Q点在A点左侧，PQ＞20，不符合题意；
综上所述：t的值为或．
21．在数轴上，点M，N对应的数分别是m，n（m≠n，mn≠0），P为线段MN的中点，同时给出如下定义：如果＝10，那么称M是N的“努力点”．
例如：m＝1，n＝，M是N的“努力点”．
（1）若|m﹣10|+（n+90）2＝0则m＝ 10 ，n＝ ﹣90 ；
（2）在（1）的条件下，下列说法正确的是 ③ （填序号）；
①M是P的“努力点”；②M是N的“努力点”
③N是M的“努力点”；④N是P的“努力点”
（3）若mn＜0，且P是M，N其中一点的“努力点”，求值？
解：（1）∵|m﹣10|+（n+90）2＝0，
∴m＝10，n＝﹣90，
故答案为：10，﹣90；
（2）∵m＝10，n＝﹣90，
∴P点对应的数是﹣40，
∵||＝，
∴M不是P的“努力点”，
故①不符合题意；
∵m＝10，n＝﹣90，
∴||＝，
∴M不是N的“努力点”，
故②不符合题意；
∵||＝10，
∴N是M的“努力点”，
故③符合题意；
∵||＝，
∴N是P的“努力点”，
故④不符合题意；
故答案为：③；
（3）∵P为线段MN的中点，
∴P点对应的数为，
当P是M点的“努力点”时，||＝10，
∴＝21或＝﹣19，
∵mn＜0，
∴＝﹣；
当P是N点的“努力点”时，||＝10，
∴＝21或＝﹣19，
∵mn＜0，
∴＝﹣19；
综上所述：的值为﹣19或﹣．
22．在数轴上，O为原点，点A，B对应的数分别是a，b（a≠b，ab≠0），M为线段AB的中点．给出如下定义：若OA÷OB＝4，则称A是B的“正比点”；若OA×OB＝4，则称A是B的“反比点”．例如a＝2，时，A是B的“正比点”；a＝2，b＝﹣2时，A是B的“反比点”．
（1）若|a+2|+（b﹣4）2＝0，则M对应的数为 1 ，下列说法正确的是 ③④ （填序号）．
①A是M的“正比点”；②A是M的“反比点”；③B是M的“正比点”；④B是M的“反比点”；
（2）若ab＞0，且M是A的“正比点”，求的值；
（3）若ab＜0，且M既是A，B其中一点的“正比点”，又是另一点的“反比点”，直接写出的值．
解：（1）∵|a+2|+（b﹣4）2＝0，
∴a＝﹣2，b＝4，
∵M为线段AB的中点．
∴M对应的数为：＝1，
①OA÷OM＝2÷1≠4，
∴A不是M的“正比点”；
②OA×OM＝2×1≠4，
∴A不是M的“反比点”；
③OB÷OM＝4÷1＝4，
∴B是M的“正比点”；
④OB×OM＝4×2＝16，
∴B是M的“反比点”；
故答案为：1；③④；
（2）∵M为线段AB的中点，
∴M点对应的数为：，
∵ab＞0，
∴a，b，都同号，
∵M是A的“正比点”，
∴OM÷OA＝4，
∴＝4a，
7a＝b，
∴＝7；
（3）∵ab＜0，
∴a，b异号，
∵M既是A，B其中一点的“正比点”，又是另一点的“反比点”，
∴OM＝4OA，OM×OB＝4或OM＝4OB，OM×OA＝4，
化简都得出：OA•OB＝1，
∴ab＝﹣1，
分两种情况：①OM＝4|a|，
∴||＝4|a|，
∴＝4a或＝﹣4a，
解得：7a＝b（舍去）或b＝﹣9a，
∴＝﹣9；
②OM＝4|b|，
∴||＝4|b|，
∴＝4b或＝﹣4b，
解得：7b＝a（舍去）或a＝﹣9b，
∴＝﹣，
∴的值为﹣或﹣9．
23．在数轴上，把原点记作点O，表示数1的点记作点A．对于数轴上任意一点P（不与点O，点A重合），将线段PO与线段PA的长度之比定义为点P的特征值，记作，即＝，例如：当点P是线段OA的中点时，因为PO＝PA，所以＝1．
（1）如图，点P1，P2，P3为数轴上三个点，点P1表示的数是﹣，点P2与P1关于原点对称．
①＝ ；
②比较，，的大小 ＜＜ （用“＜”连接）；
（2）数轴上的点M满足OM＝OA，求；
（3）数轴上的点P表示有理数p，已知＜100且为整数，则所有满足条件的p的倒数之和为 198 ．
解：（1）①∵点P1表示的数是﹣，点P2与P1关于原点对称，
∴点P2表示的数是，
∵点A表示的数是1，
∴P2A＝1﹣＝，P2O＝，
∴＝＝＝，
②∵点P1表示的数是﹣，
∴P1A＝1﹣（﹣）＝，P1O＝，
∴＝＝＝，
∵1＜P3＜2，
∴1＜P3O＜2，0＜P3A＜1，
∴＝＞1，
∴＜＜，
故答案为：①，②＜＜；
（2）分两种情况：
当点M在原点的右侧，
∵OM＝OA，
∴OM＝，
∴点M表示的数为：，
∴MO＝，MA＝1﹣＝，
∴＝＝＝，
当点M在原点的左侧，
∵OM＝OA，
∴OM＝，
∴点M表示的数为：﹣，
∴MO＝，MA＝1﹣（﹣）＝，
∴＝＝＝，
∴的值为：或；
（3）∵＜100且为整数，
∴＝为整数，
∴PO＞PA且PO为PA的倍数，
当＝＝1时，
∴PO＝PA，
即点P为OA的中点，
∴p＝，
∴当＝1时，p的值为，
当＝＝2时，
∴PO＝2PA，
当点P在OA之间，
∴p＝2（1﹣p），
∴p＝，
当点P在点A的右侧，
∴p＝2（p﹣1），
∴p＝2，
∴当＝2时，p的值为：2或，
当＝＝3时，
∴PO＝3PA，
当点P在OA之间，
∴p＝3（1﹣p），
∴p＝，
当点P在点A的右侧，
∴p＝3（p﹣1），
∴p＝，
∴当＝3时，p的值为：或，
当＝＝4时，
∴PO＝4PA，
当点P在OA之间，
∴p＝4（1﹣p），
∴p＝，
当点P在点A的右侧，
∴p＝4（p﹣1），
∴p＝，
∴当＝4时，p的值为：或，
…
当＝＝99时，
∴PO＝99PA，
当点P在OA之间，
∴p＝99（1﹣p），
∴p＝，
当点P在点A的右侧，
∴p＝99（p﹣1），
∴p＝，
∴当＝99时，p的值为：或，
∴所有满足条件的p的倒数之和为：
2+++++++...++
＝2+（+）+（+）+（+）+...+（+）
＝2+2+2+2+...+2
＝2×99
＝198，
故答案为：198．
24．阅读下列材料：
我们知道|x|的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离；即|x|＝|x﹣0|；这个结论可以推广为|x1﹣x2|表示在数轴上数x1，x2对应点之间的距离．绝对值的几何意义在解题中有着广泛的应用：
例1：解方程|x|＝4．
容易得出，在数轴上与原点距离为4的点对应的数为±4，即该方程的x＝±4；
例2：解方程|x+1|+|x﹣2|＝5．
由绝对值的几何意义可知，该方程表示求在数轴上与﹣1和2的距离之和为5的点对应的x的值．在数轴上，﹣1和2的距离为3，满足方程的x对应的点在2的右边或在﹣1的左边．若x对应的点在2的右边，如图1可以看出x＝3；同理，若x对应点在﹣1的左边，可得x＝﹣2．所以原方程的解是x＝3或x＝﹣2．
例3：解不等式|x﹣1|＞3．
在数轴上找出|x﹣1|＝3的解，即到1的距离为3的点对应的数为﹣2，4，如图2，在﹣2的左边或在4的右边的x值就满足|x﹣1|＞3，所以|x﹣1|＞3的解为x＜﹣2或x＞4．
参考阅读材料，解答下列问题：
（1）方程|x+3|＝5的解为 x＝2或x＝﹣8 ；
（2）方程|x﹣2020|+|x+1|＝2023的解为 x＝﹣2或x＝2021 ；
（3）若|x+4|+|x﹣3|≥11，求x的取值范围．
解：（1）方程|x+3|＝5的解为x＝2或x＝﹣8；
故答案为：x＝2或x＝﹣8；
（2）方程|x﹣2020|+|x+1|＝2023的解为x＝﹣2或x＝2021；
故答案为：x＝﹣2或x＝2021；
（3）∵|x+4|+|x﹣3|表示的几何意义是在数轴上分别与﹣4和3的点的距离之和，
而﹣4与3之间的距离为7，当x在﹣4和3时之间，不存在x，使|x+4|+|x﹣3|≥11成立，
当x在3的右边时，如图所示，易知当x≥5时，满足|x+4|+|x﹣3|≥11，
当x在﹣4的左边时，如图所示，易知当x≤﹣6时，满足|x+4|+|x﹣3|≥11，
所以x的取值范围是x≥5或x≤﹣6．
1．数轴
（1）数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴．
数轴的三要素：原点，单位长度，正方向．
（2）数轴上的点：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数．（一般取右方向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括无理数．）
（3）用数轴比较大小：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大．
✮（4）数轴上两点间的距离公式：AB=XB-XA (即：右端点减左端点）
✮（5）数轴上中点数公式：XM=XA+XB2 (即：中点等于两端点相加除以2）
例题精讲
【例1】.如图，点A在数轴上表示的数为﹣3，点B表示的数为2，点P在数轴上表示的是整数，点P不与A、B重合，且PA+PB＝5，则满足条件的P点表示的整数有___________.
解：∵PA+PB＝5，
∴点P在A，B两点之间，A，B两点之间的整数有﹣2，﹣1，0，1，
Ø变式训练
【变式1-1】．如图，点O为原点，A、B为数轴上两点，AB＝15，且OA＝2OB，点P从点B开始以每秒4个单位的速度向右运动，当点P开始运动时，点A、B分别以每秒5个单位和每秒2个单位的速度同时向右运动，设运动时间为t秒，若3AP+2OP﹣mBP的值在某段时间内不随着t的变化而变化，则m＝ 2.5或5.5 ．
解：∵AB＝15，OA＝2OB，
∴AO＝AB＝10，BO＝AB＝5，
∴A点对应数为﹣10，B点对应数为5，
设经过t秒，则AP＝＝，OP＝5+4t，BP＝5+4t﹣（5+2t）＝2t，
当t≤15时，
3AP+2OP﹣mBP
＝45﹣3t+10+8t﹣2mt
＝（5﹣2m）t+55，
∴当5﹣2m＝0，即m＝2.5时，3AP+2OP﹣mBP的值在某段时间内不随着t的变化而变化，
当t＞15时，
3AP+2OP﹣mBP
＝3t﹣45+10+8t﹣2mt
＝（11﹣2m）t﹣35，
∴当11﹣2m＝0，即m＝5.5时，上式为定值﹣35，也不随t发生改变，
故m为2.5或5.5．
故答案为：2.5或5.5．
【变式1-2】．已知数轴上两点A、B对应的数分别是6，﹣8，M、N、P为数轴上三个动点，点M从A点出发，速度为每秒2个单位，点N从点B出发，速度为M点的3倍，点P从原点出发，速度为每秒1个单位．
（1）若点M向右运动，同时点N向左运动，求多长时间点M与点N相距46个单位？
（2）若点M、N、P同时都向右运动，求多长时间点P到点M，N的距离相等？
（3）当时间t满足t1＜t≤t2时，M、N两点之间，N、P两点之间，M、P两点之间分别有47个、37个、10个整数点，请直接写出t1，t2的值．
解：（1）设运动时间为t秒，
由题意可得：6+8+2t+6t＝46，
∴t＝4，
∴运动4秒，点M与点N相距46个单位；
（2）设运动时间为t秒，由题意可知：M点运动到6+2t，N点运动到﹣8+6t，P点运动到t，
由t＝﹣8+6t可得t＝1.6，
当t＜1.6时，点N在点P左侧，若MP＝NP，则t﹣（﹣8+6t）＝6+2t﹣t，
解得t＝（s）；
当t＞1.6时，点N在点P右侧，若MP＝NP，则﹣8+6t﹣t＝6+2t﹣t，
解得t＝（s），
∴运动s或s时，点P到点M，N的距离相等；
（3）由题意可得：M、N、P三点之间整数点的多少可看作它们之间距离的大小，
M、N两点距离最大，M、P两点距离最小，可得出M、P两点向右运动，N点向左运动
①当t1＝4s时，P在4，M在14，N在﹣32，
再往前一点，MP之间的距离即包含10个整数点，NP之间有47个整数点；
②当N继续以6个单位每秒的速度向左移动，P点向右运动，
若N点移动到﹣33时，此时N、M之间仍为47个整数点，
若N点过了﹣33时，此时N、M之间为48个整数点
故t2＝+4＝（s），
∴t1，t2的值分别为4s，s．
【例2】．如图，周长为6个单位长度的圆上的六等分点分别为A，B，C，D，E，F，点A落在2的位置，将圆在数轴上沿负方向滚动，那么落在数轴上﹣2023的点是 点D ．
解：由图形可知，旋转一周，点B对应的数是1，点C对应的数是0，点D对应的数是﹣1，点E对应的数是﹣2，点F对应的点为﹣3，点A对应的点为﹣4，
继续旋转，点B对应的点为﹣5，点C对应的点为﹣6．
∵2023÷6＝337…1，
∴数轴上表示﹣2025的点与圆周上点D重合．
故答案为：点D．
Ø变式训练
【变式2-1】．在数轴上，点A，O，B分别表示﹣15，0，9，点P，Q分别从点A，B同时开始沿数轴正方向运动，点P的速度是每秒4个单位，点Q的速度是每秒1个单位，运动时间为t秒．若点P，Q，O三点在运动过程中，其中一个点恰好是另外两点为端点的线段的一个中点，则运动时间为 或 或 秒．
解：由题知，P点对应的数为：﹣15+4t，Q点对应的数为：9+t，
（1）当O为PQ中点时，
根据题意得15﹣4t＝9+t，
解得t＝，
（2）当P是OQ的中点时，
根据题意得2（4t﹣15）＝9+t，
解得t＝，
（3）当Q是OP的中点时，
根据题意得2（9+t）＝4t﹣15，
解得t＝，
故答案为：或或．
【变式2-2】．如图：在数轴上A点表示数﹣3，B点示数1，C点表示数9．
（1）若将数轴折叠，使得A点与C点重合，则点B与数表示的点重合；
（2）若点 A、点B和点C分别以每秒2个单位、1个单位长度和4个单位长度的速度在数轴上同时向左运动．
①若t秒钟过后，A，B，C三点中恰有一点为另外两点的中点，求t值；
②当点C在B点右侧时，是否存在常数m，使mBC﹣2AB的值为定值，若存在，求m的值，若不存在，请说明理由．
解：（1）AB＝9﹣（﹣3）＝12，
12÷2＝6，
AB的中点表示的数为：9﹣6＝3，
3﹣1＝2，3+2＝5，
则点B与5表示的点重合；
（2）①由题意可知，
t 秒时，A点所在的数为：﹣3﹣2t，
B点所在的数为：1﹣t，
C点所在的数为：9﹣4t，
（i）若B为AC中点，
则 ．
∴t＝1；
（ii）若C为AB中点，
则 ，
∴t＝4；
（iii）若A为BC中点，
则 ，
∴t＝16，
∴综上，当t＝1或4或16时，A，B，C三点中恰有一点为另外两点的中点；
②假设存在．
∵C在B右侧，B在A右侧，
∴BC＝9﹣4t﹣（1﹣t）＝8﹣3t，
AB＝1﹣t﹣（﹣3﹣2t）＝4+t，
mBC﹣2AB
＝m（8﹣3t）﹣2（4+t）
＝8m﹣3mt﹣8﹣2t
＝8m﹣8﹣（3mt+2t）
＝8m﹣8﹣（3m+2）t，
当3m+2＝0即m＝时，
mBC﹣2AB＝8×（﹣）﹣8＝﹣为定值，
∴存在常数m＝﹣，使mBC﹣2AB的值为定值．
1．如图，将一刻度尺放在数轴上（数轴的单位长度是1cm），刻度尺上表示“0cm”“8cm”的刻度分别对应数轴上的是﹣3和x所表示的点，那么x等于（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
解：根据数轴可知：
﹣3+8＝5，
故选：A．
2．等边△ABC在数轴上的位置如图所示，点A、C对应的数分别为0和﹣1，若△ABC绕顶点沿顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为1，则连续翻转2021次后，点B（ ）
A．对应的数是2019 B．对应的数是2020
C．对应的数是2021 D．不对应任何数
解：结合数轴，根据连续翻转可得出从原点开始，向右依次是A、B、C循环排列，2021次后共得出2022个顶点，
∵2022÷3＝674，
∴最后一个点为C，
∵最后一个点C是翻转了2021次后得到的，
∴点C表示的数为2021，
∴点B表示的数为2020，
故选：B．
3．在解决数学实际问题时，常常用到数形结合思想，比如：|x+1|的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数﹣1的点的距离，|x﹣2|的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数2的点的距离．结合以上知识，下列说法中正确的个数是（ ）
①若|x﹣2022|＝1，则x＝2021或2023；
②若|x﹣1|＝|x+3|，则x＝﹣1；
③若x＞y，则|x﹣2|＞|y﹣2|；
④关于x的方程|x+1|+|x﹣2|＝3有无数个解．
A．1 B．2 C．3 D．4
解：①若|x﹣2022|＝1，可得x﹣2022＝±1，则则x＝2021或2023；所以①说法正确；
②若|x﹣1|＝|x+3|，几何意义是数轴到表示数1的点和表示数3的点的距离相等的点，即可得出x＝﹣1；所以②说法正确；
③当y＜x＜0时，则|x﹣2|＜|y﹣2|，所以③说法不正确；
④因为|x+1|+|x﹣2|＝3的几何意义是到数轴上表示﹣1的点与表示2的点的距离和等于3的点，即﹣1≤x≤2时满足题意，所以有无数个解，故④说法正确．
故选：C．
4．数轴上点A表示的数是﹣3，把点A向右移动5个单位，再向左移动7个单位到A′，则A′表示的数是 ﹣5 ．
解：依题意得：﹣3+5﹣7＝﹣5，即则A′表示的数是﹣5．
故答案为：﹣5．
5．数轴上点A表示﹣8，点B表示6，点C表示12，点D表示18．如图，将数轴在原点O和点B，C处各折一下，得到一条“折线数轴”．在“折线数轴”上，动点M从点A出发，以4个单位/秒的速度沿着折线数轴的正方向运动，从点O运动到点C期间速度变为原来的一半，过点C后继续以原来的速度向终点D运动；点M从点A出发的同时，
点N从点D出发，一直以3个单位/秒的速度沿着“折线数轴”负方向向终点A运动．其中一点到达终点时，两点都停止运动．设运动的时间为t秒，t ＝4.4 时，M、N两点相遇（结果化为小数）．
解：当点M、N都运动到折线段O﹣B﹣C上，即t≥2时，M表示的数是×（t﹣2）＝2t﹣4，N表示的数是12﹣3（t﹣2）＝18﹣3t，
∵M、N两点相遇时，M、N表示的数相同，
∴2t﹣4＝18﹣3t，
解得：t＝＝4.4，
故答案为：4.4．
6．如图，在一条不完整的数轴上，从左到右的点A、B、C把数轴分成①②③④四部分，点A、B、C对应的数分别是a、b、c，且ab＜0．
（1）原点在第 ② 部分（填序号）；
（2）化简式子：|a﹣b|﹣|c﹣a|﹣|a|；
（3）若|c﹣5|+（a+1）2＝0，且BC＝2AB，求点B表示的数．
解：（1）∵点A、B、C对应的数分别是a、b、c，且ab＜0，
∴a＜0，b＞0，
∴原点在点A和点B之间，
又∵从左到右的点A、B、C把数轴分成①②③④四部分，
∴原点在第②部分；
故答案为：②
（2）∵a＜0，b＞0，
∴a﹣b＜0，c＞0，
∴c﹣a＞0，
∴|a﹣b|﹣|c﹣a|﹣|a|＝b﹣a﹣（c﹣a）﹣（﹣a）＝b﹣a﹣c+a+a＝a+b﹣c；
（3）∵|c﹣5|+（a+1）2＝0，
又∵|c﹣5|≥0，（a+1）2≥0，
∴c﹣5＝0，a+1＝0，
∴c＝5，a＝﹣1，
∵B对应的数是b，5＞b＞﹣1，
∴BC＝5﹣b，AB＝b﹣（﹣1）＝b+1，
又∵BC＝2AB，
∴5﹣b＝2×（b+1），即3b＝3，
解得：b＝1，
∴点B表示的数为1．
7．已知b是最小的正整数，且（c﹣5）2与|a+b|互为相反数．
（1）填空：a＝ ﹣1 ，b＝ 1 ，c＝ 5 ；
（2）若P为一动点，其对应的数为x，点P在0和2表示的点之间运动，即0≤x≤2时，化简：|x+1|﹣|x﹣1|+2|x+5|（请写出化简过程）；
（3）如图，a，b，c在数轴上所对应的点分别为A，B，C，在（1）的条件下，若点A以1个单位长度/s的速度向左运动，同时，点B和点C分别以2个单位长度/s和5个单位长度/s的速度向右运动．ts后，若点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点B之间的距离表示为AB．请问：BC﹣AB的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．
解：（1）依题意得，b＝1，c﹣5＝0，a+b＝0，
解得a＝﹣1，c＝5．
故答案为：﹣1，1，5；
（2）点P在0和2表示的点之间运动，即0≤x≤2时，
当0≤x≤1时，x+1＞0，x﹣1≤0，x+5＞0，
原式＝x+1+x﹣1+2x+10
＝4x+10；
当1＜x≤2时，x+1＞0，x﹣1＞0，x+5＞0，
原式＝x+1﹣x+1+2x+10
＝2x+12．
综上可知，|x+1|﹣|x﹣1|+2|x+5|＝4x+10或2x+12；
（3）不变，
理由：t秒后A点表示的数是﹣1﹣t，B点表示的数是1+2t，C的表示的数是5+5t，
∵AB＝1+2t﹣（﹣1﹣t）
＝3t+2，
BC＝5+5t﹣（1+2t）
＝3t+4，
∴BC﹣AB＝2，
∴BC﹣AB的值不变，是2．
8．数轴上有A、B、C三点，如图1，点A、B表示的数分别为m、n（m＜n），点C在点B的右侧，AC﹣AB＝2．
（1）若m＝﹣8，n＝2，点D是AC的中点．
①则点D表示的数为 ﹣2 ．
②如图2，线段EF＝a（E在F的左侧，a＞0），线段EF从A点出发，以1个单位每秒的速度向B点运动（点F不与B点重合），点M是EC的中点，N是BF的中点，在EF运动过程中，MN的长度始终为1，求a的值；
（2）若n﹣m＞2，点D是AC的中点，若AD+3BD＝4，试求线段AB的长．
解：（1）①∵m＝﹣8，n＝2，
∴AB＝2﹣（﹣8）＝10．
∵AC﹣AB＝2，
∴AC＝12，
∴点C对应的数字为4，
∵点D是AC的中点，
∴CD＝AC＝6，
设点D表示的数为x，
∴4﹣x＝6，
∴x＝﹣2．
∴点D表示的数为﹣2．
故答案为：﹣2；
②设EF运动的时间为t秒，
则点E对应的数字为t﹣8，点F对应的数字为t﹣8+a，
∵点M是EC的中点，N是BF的中点，
∴点M对应的数字为＝，点N对应的数字为＝，
∵MN＝1，
∴||＝1．
解得：a＝0或a＝4，
∵a＞0，
∴a＝4；
（2）设点C对应的数字为c，点D对应的是为d，
∵点A、B表示的数分别为m、n（m＜n），点C在点B的右侧，AC﹣AB＝2，
∴c＝n+2，AB＝n﹣m．
∵点D是AC的中点，
∴d＝，
∴AD＝m＝，BD＝n﹣＝，
∵AD+3BD＝4，
∴＝4，
解得：n﹣m＝3．
∴AB＝3．
9．如图，数轴上点A，B分别表示数a，b，其中a＜0，b＞0．
（1）若a＝﹣7，b＝3，求线段AB的长度及线段AB的中点C表示的数c；
（2）该数轴上有另一点D表示数d．
①若d＝2，点D在点B的左侧，且AB＝5BD．求整式2a+8b+2023的值；
②若d＝﹣2，且AB＝5BD，能否求整式2a+8b+2023的值？若能，求出该值；若不能，说明理由．
解：（1）∵a＝﹣7，b＝3，
∴线段AB的中点C表示的数c＝3﹣×（|﹣7|+3）＝3﹣×10＝3﹣5＝﹣2；
（2）①∵d＝2，点D在点B的左侧，且AB＝5BD，
∴AB＝b﹣a，BD＝b﹣2，
∴b﹣a＝5（b﹣2），
∴a+4b＝10，
∴2a+8b+2023
＝2（a+4b）+2023
＝2×10+2023
＝2043；
②能求出代数式的值，
∵d＝﹣2，点D在点B的左侧，且AB＝5BD，
∴AB＝b﹣a，BD＝b+2，
∴b﹣a＝5（b+2），
∴a+4b＝﹣10，
∴2a+8b+2023
＝2（a+4b）+2023
＝2×（﹣10）+2023
＝﹣20+2023
＝2003；
10．先阅读，后探究相关的问题
【阅读】|5﹣2|表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；|5+2|可以看做|5﹣（﹣2）|，表示5与﹣2的差的绝对值，也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离．
（1）如图，先在数轴上画出表示点4.5的相反数的点B，再把点A向左移动1.5个单位，得到点C，则点B和点C表示的数分别为 ﹣4.5 和 3.5 ，B，C两点间的距离是 8 ；
（2）若点A表示的整数为x，则当x为 ﹣2 时，|x+6|与|x﹣2|的值相等；
（3）要使代数式|x+1|+|x﹣2|取最小值时，相应的x的取值范围是 ﹣1≤x≤2 ．
解：（1）4.5的相反数是﹣4.5，即点B表示的数为﹣4.5；点C表示的数为5﹣1.5＝3.5；B，C两点间的距离是3.5﹣（﹣4.5）＝3.5+4.5＝8；
故答案为：﹣4.5，3.5，8；
（2）∵|x+6|与|x﹣2|的值相等，
∴x+6＝x﹣2此种情况等式不成立，
或x+6＝﹣（x﹣2），x＝﹣2，
∴x＝﹣2时，|x+6|与|x﹣2|的值相等；
故答案为：﹣2；
（3）∵|x+1|+|x﹣2|值最小，
∴在数轴上可以看作表示x的到﹣1的距离与到2的距离和最小，
∴数x只能在﹣1与2之间，包括﹣1与2两个端点，
∴﹣1≤x≤2．
故答案为：﹣1≤x≤2．
11．如图，已知点O为数轴的原点，点A、B、C、D在数轴上，其中A、B两点对应的数分别为﹣1、3．
（1）填空：线段AB的长度AB＝ 4 ；
（2）若点A是BC的中点，点D在点A的右侧，且OD＝AC，点P在线段CD上运动．问：该数轴上是否存在一条线段，当P点在这条线段上运动时，PA+PB的值随着点P的运动而没有发生变化？
（3）若点P以1个单位/秒的速度从点O向右运动，同时点E从点A以5个单位/秒的速度向左运动、点F从点B以20个单位/秒的速度向右运动，M、N分点别是PE、OF的中点．点P、E、F的运动过程中，的值是否发生变化？请说明理由．
解：（1）∵A、B两点对应的数分别为﹣1、3，
∴OA＝1，OB＝3，
∴AB＝OA+OB＝4．
故答案为：4；
（2）数轴上存在一条线段，当P点在这条线段上运动时，PA+PB的值随着点P的运动而没有发生变化．理由：
A、B两点对应的数分别为﹣1、3，
∴OA＝1，OB＝3，
∵点A是BC的中点，
∴AC＝AB＝4．
∴OC＝AC+OA＝5，
∴C点对应的数为﹣5．
又∵OD＝AC，点D在点A的右侧，
∴D点对应的数为4．
设P点对应的数为x，
①P点在射线CA上时，PA＝﹣1﹣x，PB＝3﹣x，
∴PA+PB＝﹣1﹣x+（3﹣x）＝2﹣2x，
∴PA+PB的值随着点P的运动而发生变化；
②P点在线段AB上时，PA＝x﹣（﹣1）＝x+1，PB＝3﹣x，
∴PA+PB＝x+1+（3﹣x）＝4，
∴PA+PB的值随着点P的运动没有发生变化；
③P点在射线BD上时，PA＝x﹣（﹣1）＝x+1，PB＝x﹣3，
∴PA+PB＝x+1+（x﹣3）＝2x﹣2，
∴PA+PB的值随着点P的运动而发生变化．
综上，P点在线段AB上时，PA+PB的值没有发生变化，
∴数轴上存在一条线段，当P点在这条线段上运动时，PA+PB的值随着点P的运动而没有发生变化；
（3）在运动过程中，的值不发生变化．理由：
设运动时间为t分钟，则OP＝t，OE＝5t+1，OF＝20t+3，
∴EF＝OE+OF＝25t+4，
∵M、N分别是PE、OF的中点，
∴EM＝PM＝PE＝（OP+OE）＝3t+，ON＝OF＝10t+，
∴OM＝OE﹣EM＝5t+1﹣（3t+）＝2t+，
∴MN＝OM+ON＝12t+2，
∴．
∴在运动过程中，的值不发生变化．
12．如图，在数轴上，点O表示原点，点A表示的数为﹣1，对于数轴上任意一点P（不与点A点O重合），线段PO与线段PA的长度之比记作k（p），即，我们称k（p）为点P的特征值，例如：点P表示的数为1，因为PO＝1，PA＝2，所以．
（1）当点P为AO的中点时，则k（p）＝ 1 ；
（2）若k（p）＝2，求点P表示的数；
（3）若点P表示的数为p，且满足p＝2n﹣1，（其中n为正整数，且1≤n≤7），求所有满足条件的k（p）的和．
解：（1）由题意可知，
当点P为AO的中点时点P表示的数为，，
∴，
故答案为：1；
（2）设点P表示的数为x，
则PO＝|x|，PA＝|x﹣（﹣1）|＝|x+1|，
∵k（p）＝2，
∴，
即PO＝2PA，
∴|x|＝2|x+1|，
∴x＝2（x+1）或x＝﹣2（x+1），
解得：x＝﹣2或；
故：点P表示的数﹣2或；
（3）点P表示的数为p，且满足p＝2n﹣1，（其中n为正整数，且1≤n≤7），p＝2n﹣1＞0，
此时：PO＝p，PA＝p﹣（﹣1）＝p+1，
当p＝2n﹣1时∵1≤n≤7，且n为正整数，
则所有满足条件的k（p）的值分别为：，
故所有满足条件的k（p）的和为：＝，
令，
则，
②﹣①得：，
∴
＝
＝．
13．把一根小木排放在数轴上，木棒左端点与点A重合，右端点与点B重合，数轴的单位长度为1cm，如图所示．
（1）若将木棒沿数轴向右移动，当木棒的左端点移动到点B处时、它的右端点在数轴上对应的数为20；若将木棒沿数轴向左移动时，当它的右端点移动到点A处时，木棒左端点在数轴上对应的数为5，由此可得木棒的长为 5cm ；我们把这个模型记为“木捧摸型”；
（2）在（1）的条件下，已知点C表示的数为﹣2．若木棒在移动过程中，当木棒的左端点与点C相距3cm时，求木棒的右端点与点A的距离；
（3）请根据（1）的“木棒模型”解决下列问题．
某一天，小字问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在那么大，你还要41年才出生；你若是我现在这么大，我就有124岁了，世界级老寿星了，哈哈！”请你画出“木棒模型”示意图，求出爷爷现在的年龄．
解：（1）由图观察可知，三根木棒长是20﹣5＝15（cm），
则此木棒长为：15÷3＝5（cm）；
故答案为：5cm；
（2）由题可知，点A所表示的数是5+5＝10，
∵木棒的左端点与点C相距3cm，点C表示的数为﹣2，
当左端点在点C右侧3cm时，此时木棒左端点表示的数为：﹣2+3＝1，右端点表示的数为；1+5＝6，木棒的右端点与A的距离为：10﹣6＝4，
当左端点在点C左侧3cm时，此时木棒左端点表示的数为：﹣2﹣3＝﹣5，木棒的右端点表示的数为：﹣5+5＝0，木棒的右端点与点A的距离＝10﹣0＝10，
∴木棒的右端点与点A的距离为4或10；（3）由图可知，把小红与爷爷的年龄差看作木棒AB，类似爷爷是小红现在年龄时看作当B点移动到A点时，此时A点所对应的数位﹣41，
因为当A点移动到B点时，此时B点所对应的数为124，
所以爷爷比小红大[124﹣（﹣41）]÷3＝55（岁），
所以爷爷的年龄为124﹣55＝69（岁），
答：爷爷现在的年龄是69岁．
14．对于数轴上的A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“联盟点”．例如：数轴上点A，B，C所表示的数分别为1，3，4，此时点B是点A，C的“联盟点”．
（1）若点A表示数﹣1，点B表示的数2，下列各数：，0，1，4，5所对应的点分别为C1，C2，C3，C4，C5，其中是点A，B的“联盟点”的是 C2，C3，C5 ；
（2）点A表示的数是﹣1，点B表示的数是3，P是数轴上的一个动点：
①若点P在线段AB上，且点P是点A，B的“联盟点”，求此时点P表示的数；
②若点P在点A的左侧，点P、A、B中有一个点恰好是其它两个点的“联盟点”，求出此时点P表示的数．
解：（1）∵AC1═﹣﹣（﹣1）═，BC1═2﹣（﹣）═，
∴2AC1≠BC1，
∴C1不是A，B的“联盟点”．
∵AC2═0﹣（﹣1）═1，BC2＝2﹣0＝2，
∴2AC2═BC2，
∴C2是A，B的“联盟点”．
∵AC3═1﹣（﹣1）＝2，BC3═2﹣1＝1，
∴AC3═2BC3，
∴C3是A，B的“联盟点”．
∵AC4═4﹣（﹣1）＝5，BC4═4﹣2＝2，
∴AC4≠BC4，
∴C4不是A，B的“联盟点”．
∵AC5═5﹣（﹣1）＝6，BC5═5﹣2＝3，
∴AC5═2BC5，
∴C5是A，B的“联盟点”．
综合上述，是点A，B的“联盟点”的是C2，C3，C5．
（2）解；设点P表示的数为x，
①∵P在线段AB上，
∴AP＝x+1，BP＝3﹣x，
当AP＝2BP时，有x+1＝2（3﹣x），解得x＝，
当BP＝2AP时，有3﹣x＝2（x+1），解得x＝，
综上所述，点P 表示的数为，．
②由题意得，AB＝4，
∵P在A的左侧，
∴AP＝﹣1﹣x，BP＝3﹣x，
当点A为B，P的“联盟点”时，
若AB＝2AP，则有4＝2（﹣1﹣x），解得x＝﹣3，
若AP＝2AB，则有﹣1﹣x＝2×4，解得x＝﹣9，
当点B为A，P的“联盟点”时，
2AB＝BP，则有2×4＝3﹣x，解得x＝﹣5，
当点P为A，B的“联盟点”时，
BP＝2PA，则有3﹣x＝2（﹣1﹣x），解得x＝﹣5，
综上所述，P表示的数为﹣9，﹣3，﹣5．
15．如图，点A，O，B，D在同一条直线l上，点B在点A的右侧，AB＝6，OB＝2，点C是AB的中点，如图画数轴．
（1）若点O是数轴的原点，则点B表示的数是 2 ，点C表示的数是 ﹣1 ；
（2）若点O是数轴的原点时，D点表示的数为x，且AD＝5，求x；
（3）若点D是数轴的原点，点D在点A的左侧，点A表示的数为m，且A，B，C，O所表示的数之和等于21，求m；
（4）当O是数轴的原点，动点E，F分别从A，B出发，相向而行，点E的运动速度是每秒2个单位长度，点F的运动速度是每秒1个单位长度，当EF＝3时，求点A，B，E，F表示的数之和．
解；（1）点B在点A的右侧，OB＝2，
∴点B表示的数是﹣2，
故答案为：2；
AB＝6，点C是AB的中点，
∴BC＝3，
∴点C表示的数是2﹣3＝﹣1，
故答案为：﹣1；
（2）AB＝6，点B在点A的右侧，
点A表示的数是﹣4，
AD＝|﹣4﹣x|＝5，
x＝1或x＝﹣9；
（3）若点D是数轴的原点，点D在点A的左侧，点A表示的数为m，
∵AB＝6，C是AB的中点，OB＝2，
∴AC＝3，AO＝4，
∴点O表示的数是m+4，点C表示的数是m+3，点B表示的数是m+6，
m+（m+6）+（m+3）+（m+4）＝21，
解得m＝2；
（4）设运动时间为t，据题意得：
6﹣2t﹣t＝3，
解得t＝1，
AE＝2，BF＝1，
点E表示的数是﹣2，点F表示的数是1，
点A，B，E，F表示的数之和为：
﹣4+2+（﹣2）+1＝﹣3，
16．如图，在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，a，c满足|a+4|+（c﹣2）2＝0，b是最大的负整数．
（1）a＝ ﹣4 ，b＝ ﹣1 ，c＝ 2 ．
（2）若将数轴折叠，使得点A与点C重合，则点B与数 ﹣1 表示的点重合；
（3）点A，B，C开始在数轴上运动，若点A和点B分别以每秒0.4个单位长度和0.3个单位长度的速度向左运动，同时点C以每秒0.2个单位长度的速度向左运动，点C到达原点后立即以原速度向右运动，运动时间为t秒，若点A与点B之间的距离表示为AB，点B与点C之间的距离表示为BC，请问：5AB﹣BC的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求出5AB﹣BC的值．
解：（1）∵|a+4|+（c﹣2）2＝0，b是最大的负整数，
a＝﹣4，b＝﹣1，c＝2，
故答案为：﹣4，﹣1，2；
（2）AB＝﹣1﹣（﹣4）＝3，AC＝2﹣（﹣4）＝6，
点B为AC的中点，故将数轴折叠，使得点A与点C重合，则点B与自身重合，
故答案为：﹣1；
（3）AB＝3+0.4t＝0.3t＝3+0.1t，
当C运动到原点时，t＝2÷0.2＝10（秒），点B运动到点A的位置，
当t≤10秒时，BC＝3+0.3t﹣0.2t＝3+0.1t，
5AB﹣B
＝5（3+0.1t）﹣（3+0.1t）
＝15+0.5t﹣3﹣0.1t
＝12+0.4t，
5AB﹣BC的值随时间的变化而变化；
当t＞10时，BC＝4+0.3t+0.2t＝4+0.5t，
5AB﹣BC
＝5（3+0.1t）﹣（4+0.5t）
＝15+0.5t﹣4﹣0.5t
＝11．
这时5AB﹣BC的值不变．
17．定义：对于数轴上的三点，若其中一个点与其他两个点的距离恰好满足2倍的数量关系．如下图，数轴上点A，B，C所表示的数分别为1，3，4，此时点B就是点A，C的一个“关联点”．
（1）写出点A，C的其他三个“关联点”所表示的数： ﹣2 、 2 、 7 ．
（2）若点M表示数﹣2，点N表示数4，数﹣8，﹣6，0，2，10所对应的点分别是C1，C2，C3，C4，C5，其中不是点M，N的“关联点”是点 C2 ．
（3）若点M表示的数是﹣3，点N表示的数是10，点P为数轴上的一个动点．
①若点P在点N左侧，且点P是点M，N的“关联点”，求此时点P表示的数．
②若点P在点N右侧，且点P，M，N中，有一个点恰好是另外两个点的“关联点”，求此时点P表示的数．
解：（1）2﹣1＝1，4﹣2＝2，
2是A，C的一个“关联点”，
设x是A，C的一个“关联点”，x﹣1＝2（x﹣4）
解得x＝7，
设y是A，C的一个“关联点”，2（1﹣y）＝4﹣y
解得y＝﹣2，
A，C的其他三个“关联点”所表示的数为：﹣2、2、7，
故答案为：﹣2、2、7，
（2）∵﹣2﹣（﹣8）＝6，4﹣（﹣8）＝12，
∴C1是关联点，
∵﹣2﹣（﹣6）＝4，4﹣（﹣6）＝10，
∴C2不是关联点，
∵0﹣（﹣2）＝2，4﹣0＝4，
∴C3是关联点，
∵2﹣（﹣2）＝4，4﹣2＝2，
∴C4是关联点，
∵10﹣（﹣2）＝12，10﹣4＝6，
∴C5是关联点，
故答案为：C2．
（3）①若点P在点N左侧且在M的右侧，设点P表示的数为x，
当2（x+3）＝10﹣x
解得，
当x+3＝2（10﹣x）
解得，
若点P在M点左侧，设点P表示的数为x，
∴2（﹣3﹣x）＝10﹣x
解得x＝﹣16，
综上所述：P表示的数为：；
②若点P在点N右侧，设点P表示的数为x，
当PN＝2MN时，
则2×13＝x﹣10
解得x＝36，
当MN＝2PN时，
则13＝2×（x﹣10）
解得，
当MP＝2MN时，
则x+3＝2×13
解得x＝23，
当MP＝2PN时，
则x+3＝2×（x﹣10）
解得x＝23，
综上所述：P表示的数为：，23.36．
18．[知识背景]：数轴上，点A，点B表示的数为a，b，则A，B两点的距离表示为AB＝|a﹣b|．线段AB的中点P表示的数为．
[知识运用]：已知数轴上A，B两点对应的数分别为a和b，且（a﹣4）2+|b﹣2|＝0，P为数轴上一动点，对应的数为x．
（1）a＝ 4 ，b＝ 2 ；
（2）若点P为线段AB的中点，则P点对应的数x为 3 ，若点B为线段AP的中点，则P点对应的数x为 0 ；
（3）若点A、点B同时从图中位置在数轴上向左运动，点A的速度为每秒1个单位长度，点B的速度为每秒3个单位长度，则经过 122 秒点B追上点A；
（4）若点A、点B同时从图中位置在数轴上向左运动，它们的速度都为每秒1个单位长度，与此同时点P从表示﹣16的点处以每秒2个单位长度的速度在数轴上向右运动．经过多长时间后，点A、点B、点P三点中，其中一点是另外两点组成的线段的中点？
解：（1）∵（a﹣4）2+|b﹣2|＝0，
∴a﹣4＝0，b﹣2＝0，
∴a＝4，b＝2．
故答案为4、2．
（2）点A，B表示的数分别为4，2，P对应数为x，
若点P为线段AB的中点，则P点对应的数x＝＝3，
若B为线段AP的中点时，则＝2，解得x＝0．
故答案为1，0；
（3）解：设经过x秒点B追上点A，
（3﹣1）x＝4﹣2，
2x＝2，
x＝1，
答：经过1秒点B追上点A．
（4）经过t秒后，点A，点B，点P三点中其中一点是另外两点的中点，
t秒后，点A的位置为：4﹣t，点B的位置为：2﹣t，点P的位置为：﹣16+2t，
当点A为PB的中点时，则有，
2×（4﹣t）＝2﹣t﹣16+2t，解得：t＝，
当点B为PA的中点时，则有，
2×（2﹣t）＝4﹣t﹣16+2t，解得：t＝，
当点P为BA的中点时，则有，
2×（﹣16+2t）＝4﹣t+2﹣t，解得：t＝，
答：经过秒，秒，秒后，点A，点B，点P三点中其中一点是另外两点的中点．
故答案为：秒，秒，秒．
19．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：
（1）探究：
①数轴上表示5和3的两点之间的距离是 2 ．
②数轴上表示﹣1和﹣4的两点之间的距离是 3 ．
③数轴上表示﹣3和5的两点之间的距离是 8 ．
（2）归纳：
一般的，数轴上表示数a和数b的两点之间的距离等于 |a﹣b| ．
（3）应用：
①若数轴上表示数a的点位于﹣4与3之间，则|a+4|+|a﹣3|的值＝ 7 ．
②若a表示数轴上的一个有理数，且|a﹣1|＝|a+3|，则a＝ ﹣1 ．
③若a表示数轴上的一个有理数，|a﹣1|+|a+2|的最小值是 3 ．
④若a表示数轴上的一个有理数，且|a+3|+|a﹣5|＞8，则有理数a的取值范围是 a＞5或a＜﹣3 ．
（4）拓展：
已知，如图2，A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为﹣20，B点对应的数为100．若当电子蚂蚁P从A点出发，以4个单位/秒的速度向右运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从B点出发，以3单位/秒的速度向左运动，求经过多长时间两只电子蚂蚁在数轴上相距20个单位长度，并写出此时点P所表示的数．
解：（1）①5﹣3＝2，
故答案为：2；
②（﹣1）﹣（﹣4）＝3，
故答案为：3；
③5﹣（﹣3）＝8，
故答案为：8；
（2）根据数轴上两点间的距离得|a﹣b|，
故答案为：|a﹣b|；
（3）①∵表示数a的点位于﹣4与3之间，
∴|a+4|+|a﹣3|
＝a+4+3﹣a
＝7，
故答案为：7；
②∵|a﹣1|＝|a+3|
∴表示数a的点在1和﹣3之间，
∴|a﹣1|＝|a+3|，
1﹣a＝a+3，
a＝﹣1，
故答案为：﹣1；
③∵|a﹣1|+|a+2|有最小值，
∴表示a的点在﹣2与1之间，
∴|a﹣1|+|a+2|
＝1﹣a+a+2
＝3，
故答案为：3；
④|a+3|+|a﹣5|＞8，
当﹣3＜a＜5时，
|a+3|+|a﹣5|＝a+3+5﹣a＝8，不合题意舍去；
当a＜﹣3时，
|a+3|+|a﹣5|＝﹣（a+3）+5﹣a＞8，
a＜﹣3；
当a＞5时，
|a+3|+|a﹣5|＞8，
a+3+a﹣5＞8，
a＞5，
故答案为：a＜﹣3或a＞5；
（4）设电子蚂蚁运动x秒时，P、Q相距20个单位长度，
①4x+3x+20＝20+100，
x＝，
点P表示的是4×﹣20＝
②4x+3x﹣20＝20+100，
x＝20，
点P表示的是4×20﹣20＝60，
20．将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到如图所示的“折线数轴”，图中点A表示﹣10，点B表示10，点C表示18．我们称点A和点C在数轴上的“友好函数”为28个单位长度．动点P从点A出发，以2单位长度/秒的速度沿着“折线数轴”向其正方向运动．当运动到点O与点B之间时速度变为原来的一半．经过点B后立刻恢复原速；同时，动点Q从点C出发，以1单位长度/秒的速度沿着“折线数轴”向其负方向运动，当运动到点B与点O之间时速度变为原来的两倍，经过O后也立刻恢复原速．设运动的时间为t秒．
（1）动点P从点A运动至点C需要 19 秒，动点Q从点C运动至点A需要 23 秒；
（2）P，Q两点相遇时，求出相遇点M在“折线数轴”上所对应的数；
（3）是否存在t值，使得点P和点Q任“折线数轴”上的“友好距离”等于点A和点B在“折线数轴”上的“友好距离”？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
解：（1）∵点A表示﹣10，点B表示10，点C表示18，
∴OA＝10，BO＝10，BC＝8，
∴动点P从点A运动至点C需要的时间是：10÷2+10÷1+8÷2＝19（s），
动点Q从点C运动至点A需要的时间是：10÷1+10÷2+8÷1＝23（s），
故答案为：19，23；
（2）根据题意可知，P、Q两点在OB上相遇，
P点运动到OB上时表示的数是t﹣5，Q点运动到OB上时表示的数是10﹣2（t﹣8），
∴t﹣5＝10﹣2（t﹣8），
解得t＝，
∴M点表示的数是﹣5＝；
（3）存在t值，使得点P和点Q任“折线数轴”上的“友好距离”等于点A和点B在“折线数轴”上的“友好距离”，理由如下：
∵点A表示﹣10，点B表示10，
∴点A和点B在“折线数轴”上的“友好距离”是20，
①当0≤t≤5时，P点在OA上，Q点在BC上，
此时P点表示的数是﹣10+2t，Q点表示的数是18﹣t，
∴点P和点Q任“折线数轴”上的“友好距离”为18﹣t+10﹣2t＝28﹣3t，
由题意可得，28﹣3t＝20，
解得t＝；
②当5＜t≤8时，P点在OB上，Q点在OC上，
此时P点表示的数是t﹣5，Q点表示的数是18﹣t，
∴点P和点Q任“折线数轴”上的“友好距离”为18﹣t﹣t+5＝23﹣2t，
由题意可得，23﹣2t＝20，
解得t＝（舍）；
③8＜t≤13时，点P、Q都在BO上，此时PQ＜10，
∴此情况不符合题意；
④13＜t≤15时，P点在OB上，Q点在OA上，
此时P点表示的数是t﹣5，Q点表示的数是t﹣13，
∴点P和点Q任“折线数轴”上的“友好距离”为t﹣5+t﹣13＝2t﹣18，
由题意可得，2t﹣18＝20，
解得t＝19（舍）；
⑤15＜t≤19时，P点在BC上，Q点在OA上，
此时P点表示的数是2t﹣20，Q点表示的数是t﹣13，
∴点P和点Q任“折线数轴”上的“友好距离”为t﹣13+2t﹣20＝3t﹣33，
由题意可得，3t﹣33＝20，
解得t＝；
⑥19＜t≤23时，P点在C的右侧，Q点在OA上，
此时P点表示的数是2t﹣20，Q点表示的数是t﹣13，
∴点P和点Q任“折线数轴”上的“友好距离”为t﹣13+2t﹣20＝3t﹣33，
由题意可得，3t﹣33＝20，
解得t＝（舍）；
⑦t＞23时，P点在C点右侧，Q点在A点左侧，PQ＞20，不符合题意；
综上所述：t的值为或．
21．在数轴上，点M，N对应的数分别是m，n（m≠n，mn≠0），P为线段MN的中点，同时给出如下定义：如果＝10，那么称M是N的“努力点”．
例如：m＝1，n＝，M是N的“努力点”．
（1）若|m﹣10|+（n+90）2＝0则m＝ 10 ，n＝ ﹣90 ；
（2）在（1）的条件下，下列说法正确的是 ③ （填序号）；
①M是P的“努力点”；②M是N的“努力点”
③N是M的“努力点”；④N是P的“努力点”
（3）若mn＜0，且P是M，N其中一点的“努力点”，求值？
解：（1）∵|m﹣10|+（n+90）2＝0，
∴m＝10，n＝﹣90，
故答案为：10，﹣90；
（2）∵m＝10，n＝﹣90，
∴P点对应的数是﹣40，
∵||＝，
∴M不是P的“努力点”，
故①不符合题意；
∵m＝10，n＝﹣90，
∴||＝，
∴M不是N的“努力点”，
故②不符合题意；
∵||＝10，
∴N是M的“努力点”，
故③符合题意；
∵||＝，
∴N是P的“努力点”，
故④不符合题意；
故答案为：③；
（3）∵P为线段MN的中点，
∴P点对应的数为，
当P是M点的“努力点”时，||＝10，
∴＝21或＝﹣19，
∵mn＜0，
∴＝﹣；
当P是N点的“努力点”时，||＝10，
∴＝21或＝﹣19，
∵mn＜0，
∴＝﹣19；
综上所述：的值为﹣19或﹣．
22．在数轴上，O为原点，点A，B对应的数分别是a，b（a≠b，ab≠0），M为线段AB的中点．给出如下定义：若OA÷OB＝4，则称A是B的“正比点”；若OA×OB＝4，则称A是B的“反比点”．例如a＝2，时，A是B的“正比点”；a＝2，b＝﹣2时，A是B的“反比点”．
（1）若|a+2|+（b﹣4）2＝0，则M对应的数为 1 ，下列说法正确的是 ③④ （填序号）．
①A是M的“正比点”；②A是M的“反比点”；③B是M的“正比点”；④B是M的“反比点”；
（2）若ab＞0，且M是A的“正比点”，求的值；
（3）若ab＜0，且M既是A，B其中一点的“正比点”，又是另一点的“反比点”，直接写出的值．
解：（1）∵|a+2|+（b﹣4）2＝0，
∴a＝﹣2，b＝4，
∵M为线段AB的中点．
∴M对应的数为：＝1，
①OA÷OM＝2÷1≠4，
∴A不是M的“正比点”；
②OA×OM＝2×1≠4，
∴A不是M的“反比点”；
③OB÷OM＝4÷1＝4，
∴B是M的“正比点”；
④OB×OM＝4×2＝16，
∴B是M的“反比点”；
故答案为：1；③④；
（2）∵M为线段AB的中点，
∴M点对应的数为：，
∵ab＞0，
∴a，b，都同号，
∵M是A的“正比点”，
∴OM÷OA＝4，
∴＝4a，
7a＝b，
∴＝7；
（3）∵ab＜0，
∴a，b异号，
∵M既是A，B其中一点的“正比点”，又是另一点的“反比点”，
∴OM＝4OA，OM×OB＝4或OM＝4OB，OM×OA＝4，
化简都得出：OA•OB＝1，
∴ab＝﹣1，
分两种情况：①OM＝4|a|，
∴||＝4|a|，
∴＝4a或＝﹣4a，
解得：7a＝b（舍去）或b＝﹣9a，
∴＝﹣9；
②OM＝4|b|，
∴||＝4|b|，
∴＝4b或＝﹣4b，
解得：7b＝a（舍去）或a＝﹣9b，
∴＝﹣，
∴的值为﹣或﹣9．
23．在数轴上，把原点记作点O，表示数1的点记作点A．对于数轴上任意一点P（不与点O，点A重合），将线段PO与线段PA的长度之比定义为点P的特征值，记作，即＝，例如：当点P是线段OA的中点时，因为PO＝PA，所以＝1．
（1）如图，点P1，P2，P3为数轴上三个点，点P1表示的数是﹣，点P2与P1关于原点对称．
①＝ ；
②比较，，的大小 ＜＜ （用“＜”连接）；
（2）数轴上的点M满足OM＝OA，求；
（3）数轴上的点P表示有理数p，已知＜100且为整数，则所有满足条件的p的倒数之和为 198 ．
解：（1）①∵点P1表示的数是﹣，点P2与P1关于原点对称，
∴点P2表示的数是，
∵点A表示的数是1，
∴P2A＝1﹣＝，P2O＝，
∴＝＝＝，
②∵点P1表示的数是﹣，
∴P1A＝1﹣（﹣）＝，P1O＝，
∴＝＝＝，
∵1＜P3＜2，
∴1＜P3O＜2，0＜P3A＜1，
∴＝＞1，
∴＜＜，
故答案为：①，②＜＜；
（2）分两种情况：
当点M在原点的右侧，
∵OM＝OA，
∴OM＝，
∴点M表示的数为：，
∴MO＝，MA＝1﹣＝，
∴＝＝＝，
当点M在原点的左侧，
∵OM＝OA，
∴OM＝，
∴点M表示的数为：﹣，
∴MO＝，MA＝1﹣（﹣）＝，
∴＝＝＝，
∴的值为：或；
（3）∵＜100且为整数，
∴＝为整数，
∴PO＞PA且PO为PA的倍数，
当＝＝1时，
∴PO＝PA，
即点P为OA的中点，
∴p＝，
∴当＝1时，p的值为，
当＝＝2时，
∴PO＝2PA，
当点P在OA之间，
∴p＝2（1﹣p），
∴p＝，
当点P在点A的右侧，
∴p＝2（p﹣1），
∴p＝2，
∴当＝2时，p的值为：2或，
当＝＝3时，
∴PO＝3PA，
当点P在OA之间，
∴p＝3（1﹣p），
∴p＝，
当点P在点A的右侧，
∴p＝3（p﹣1），
∴p＝，
∴当＝3时，p的值为：或，
当＝＝4时，
∴PO＝4PA，
当点P在OA之间，
∴p＝4（1﹣p），
∴p＝，
当点P在点A的右侧，
∴p＝4（p﹣1），
∴p＝，
∴当＝4时，p的值为：或，
…
当＝＝99时，
∴PO＝99PA，
当点P在OA之间，
∴p＝99（1﹣p），
∴p＝，
当点P在点A的右侧，
∴p＝99（p﹣1），
∴p＝，
∴当＝99时，p的值为：或，
∴所有满足条件的p的倒数之和为：
2+++++++...++
＝2+（+）+（+）+（+）+...+（+）
＝2+2+2+2+...+2
＝2×99
＝198，
故答案为：198．
24．阅读下列材料：
我们知道|x|的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离；即|x|＝|x﹣0|；这个结论可以推广为|x1﹣x2|表示在数轴上数x1，x2对应点之间的距离．绝对值的几何意义在解题中有着广泛的应用：
例1：解方程|x|＝4．
容易得出，在数轴上与原点距离为4的点对应的数为±4，即该方程的x＝±4；
例2：解方程|x+1|+|x﹣2|＝5．
由绝对值的几何意义可知，该方程表示求在数轴上与﹣1和2的距离之和为5的点对应的x的值．在数轴上，﹣1和2的距离为3，满足方程的x对应的点在2的右边或在﹣1的左边．若x对应的点在2的右边，如图1可以看出x＝3；同理，若x对应点在﹣1的左边，可得x＝﹣2．所以原方程的解是x＝3或x＝﹣2．
例3：解不等式|x﹣1|＞3．
在数轴上找出|x﹣1|＝3的解，即到1的距离为3的点对应的数为﹣2，4，如图2，在﹣2的左边或在4的右边的x值就满足|x﹣1|＞3，所以|x﹣1|＞3的解为x＜﹣2或x＞4．
参考阅读材料，解答下列问题：
（1）方程|x+3|＝5的解为 x＝2或x＝﹣8 ；
（2）方程|x﹣2020|+|x+1|＝2023的解为 x＝﹣2或x＝2021 ；
（3）若|x+4|+|x﹣3|≥11，求x的取值范围．
解：（1）方程|x+3|＝5的解为x＝2或x＝﹣8；
故答案为：x＝2或x＝﹣8；
（2）方程|x﹣2020|+|x+1|＝2023的解为x＝﹣2或x＝2021；
故答案为：x＝﹣2或x＝2021；
（3）∵|x+4|+|x﹣3|表示的几何意义是在数轴上分别与﹣4和3的点的距离之和，
而﹣4与3之间的距离为7，当x在﹣4和3时之间，不存在x，使|x+4|+|x﹣3|≥11成立，
当x在3的右边时，如图所示，易知当x≥5时，满足|x+4|+|x﹣3|≥11，
当x在﹣4的左边时，如图所示，易知当x≤﹣6时，满足|x+4|+|x﹣3|≥11，
所以x的取值范围是x≥5或x≤﹣6．
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