第22章 一元二次方程 华东师大版数学九年级上册单元综合练习题(含解析)

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华东师大版九年级数学上册《第22章一元二次方程》单元综合练习题（附答案）一．选择题1．把一元二次方程2x（x﹣1）＝（x﹣3）+4化成一般式之后，其二次项系数与一次项分别是（　　）A．2，﹣3 B．﹣2，﹣3 C．2，﹣3x D．﹣2，﹣3x2．关于x的方程|x2﹣x|﹣a＝0，给出下列四个结论：①存在实数a，使得方程恰有2个不同的实根； ②存在实数a，使得方程恰有3个不同的实根；③存在实数a，使得方程恰有4个不同的实根；④存在实数a，使得方程恰有6个不同的实根；其中正确的结论个数是（　　）A．1 B．2 C．3 D．43．关于x的方程ax2﹣（a+2）x+2＝0只有一解（相同解算一解），则a的值为（　　）A．a＝0 B．a＝2 C．a＝1 D．a＝0或a＝24．如果关于x的方程（m+1）x2+2mx+m﹣1＝0有实数根，则（　　）A．m≠1 B．m＝﹣1 C．m≠±1 D．m为全体实数二．填空题5．关于x的一元二次方程（n+3）x|n|+1+（n﹣1）x+3n＝0中，则一次项系数是　   　．6．一元二次方程（3x﹣1）（x+2）＝4化成一般形式是　   　．7．已知x＝﹣1是方程ax2+bx+c＝0根，那么的值是　   　．8．若关于x的一元二次方程（a+1）x2+4x+a2﹣1＝0的一根是0，则a＝　   　．9．关于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2﹣k＝0的两个实数根分别是x1、x2，且x12+x22＝4，则x12﹣x1x2+x22的值是　   　．10．已知m、n是关于x的一元二次方程x2﹣3x+a＝0的两个解，若（m﹣1）（n﹣1）＝﹣6，则a的值为　   　．11．已知4x2﹣ax+1可变为（2x﹣b）2的形式，则ab＝　   　．三．解答题12．已知关于x的方程5x2﹣kx﹣10＝0的一个根为﹣5，求它的另一个根及k的值．13．用配方法解方程：．14．解方程（1）（x+2）2﹣25＝0（直接开平方法）（2）4x2﹣3x﹣1＝0（用配方法）（3）2x2﹣7x+3＝0（公式法）（4）（x2﹣3）2﹣3（3﹣x2）+2＝0．15．用适当方法解方程：（1）x2﹣4＝3x                            （2）（2x+3）2＝9（x﹣1）216．已知实数x，y满足（x2+y2）（x2+y2﹣12）＝45，求x2+y2的值．17．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利45元，为了扩大销售、增加盈利尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出4件，若商场平均每天盈利2100元，每件衬衫应降价多少元？请完成下列问题：（1）未降价之前，某商场衬衫的总盈利为　   　元；（2）降价后，设某商场每件衬衫应降价x元，则每件衬衫盈利　   　元，平均每天可售出　   　件（用含x的代数式进行表示）；（3）请列出方程，求出x的值．18．在宽为20米、长为30米的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地．若耕地面积需要551米2，则修建的路宽应为多少？解：设修建的路宽应为　   　米，余下的面积表示为　   　米2，则根据题意得：　   　．19．根据下列问题列一元二次方程，并将方程化为一般形式．（1）三个连续奇数的平方和是251，求这三个数；（2）一块长方形花坛，长20m，宽8m，在它的四周有等宽的鹅卵石路，形成一个大长方形，其面积是花坛面积的1.8倍，求路的宽度；（3）用一根长30m的铁丝折成一个斜边长13cm的直角三角形，求这个三角形的直角边长．20．为积极响应新旧动能转换，提高公司经济效益，某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为30万元，经过市场调研发现，每台售价为40万元时，年销售量为600台；每台售价为45万元时，年销售量为550台．假定该设备的年销售量y（单位：台）和销售单价x（单位：万元）成一次函数关系．（1）求年销售量y与销售单价x的函数关系式；（2）根据相关规定，此设备的销售单价不得高于70万元，如果该公司想获得10000万元的年利润，则该设备的销售单价应是多少万元？21．4月初某地猪肉价格大幅度下调，下调后每千克猪肉的价格是原价格的，原来用120元买到的猪肉下调后可多买2kg．4月中旬猪肉价格开始回升，经过两个月后，猪肉价格上调为每千克28.8元．（1）求4月初猪肉价格下调后变为每千克多少元．（2）求5、6月份猪肉价格的月平均增长率．
参考答案一．选择题1．解：一元二次方程2x（x﹣1）＝（x﹣3）+4，去括号得：2x2﹣2x＝x﹣3+4，移项，合并同类项得：2x2﹣3x﹣1＝0，其二次项系数与一次项分别是2，﹣3x．故选：C．2．解：∵|x2﹣x|﹣a＝0，∴|x2﹣x|＝a，∴a≥0，当a＝0时，x2﹣x＝0，方程有两个实数根，若x2﹣x＞0，则x2﹣x﹣a＝0，∴Δ＝（﹣1）2+4a＝4a+1＞0，此时方程有两个不相等的实数根．若x2﹣x＜0，则﹣x2+x﹣a＝0，即则x2﹣x+a＝0，∴Δ＝（﹣1）2﹣4a＝﹣4a+1，当﹣4a+1＞0时，0≤a＜，此时方程有两个不相等的实数根，当﹣4a+1＝0时，a＝，此时方程有两个相等的实数根，当﹣4a+1＜0时，a＞，此时方程没有的实数根；∴当0＜a＜时，使得方程恰有4个不同的实根，故③正确；当a＝时，使得方程恰有3个不同的实根，故②正确；当a＝0或a＞时，使得方程恰有2个不同的实根，故①正确．∴正确的结论是①②③．故选：C．3．解：当a≠0时，方程ax2﹣（a+2）x+2＝0为一元二次方程，若方程有相等的两解，则Δ＝[﹣（a+2）]2﹣4×a×2＝0，整理得a2﹣4a+4＝0，即Δ＝（a﹣2）2＝0，解得a＝2；当a＝0时，方程ax2﹣（a+2）x+2＝0为一元一次方程，原方程转化为：﹣2x+2＝0，此时方程只有一个解x＝1．所以当a＝0或a＝2关于x的方程ax2﹣（a+2）x+2＝0只有一解．故选：D．4．解：分两种情况考虑：①若方程为二次方程，m+1≠0，Δ＝4m2﹣4（m+1）（m﹣1）＝4＞0，解得m≠﹣1；②若方程不是二次方程，则m＝﹣1，解得：x＝﹣1；综上所述，m为全体实数．故选：D．二．填空题5．解：∵方程（n+3）x|n|+1+（n﹣1）x+3n＝0是一元二次方程，∴，解得n＝±1，当n＝1时，原方程可化为4x2+3＝0，故一次项系数是0；当n＝﹣1时，原方程可化为2x2﹣2x﹣3＝0，故一次项系数是﹣2．故此方程的一次项系数是0或﹣2．6．解：（3x﹣1）（x+2）＝4，3x2+6x﹣x﹣2﹣4＝0，3x2+5x﹣6＝0，故答案为：3x2+5x﹣6＝0．7．解：∵x＝﹣1是方程ax2+bx+c＝0根，∴a﹣b+c＝0，∴a+c＝b等式两边同时除以b可得：＝1，故答案为：1．8．解：∵一根是0，∴（a+1）×（0）2+4×0+a2﹣1＝0∴a2﹣1＝0，即a＝±1；∵a+1≠0，∴a≠﹣1；∴a＝1．9．解：∵x2﹣2kx+k2﹣k＝0的两个实数根分别是x1、x2，∴x1+x2＝2k，x1•x2＝k2﹣k，∵x12+x22＝4，∴＝4，（2k）2﹣2（k2﹣k）＝4，2k2+2k﹣4＝0，k2+k﹣2＝0，k＝﹣2或1，∵Δ＝（﹣2k）2﹣4×1×（k2﹣k）≥0，k≥0，∴k＝1，∴x1•x2＝k2﹣k＝0，∴x12﹣x1x2+x22＝4﹣0＝4．故答案为：4．10．解：∵m、n是关于x的一元二次方程x2﹣3x+a＝0的两个解，∴m+n＝3，mn＝a，∵（m﹣1）（n﹣1）＝﹣6，∴mn﹣（m+n）+1＝﹣6即a﹣3+1＝﹣6解得a＝﹣4．故答案为：﹣4．11．解：据题意得﹣a＝±2×2×1＝±4∴a＝±4∴当a＝4时，4x2﹣ax+1＝4x2﹣4x+1＝（2x﹣1）2，∴b＝1∴ab＝4∴当a＝﹣4时，4x2﹣ax+1＝4x2+4x+1＝（2x+1）2，∴b＝﹣1∴ab＝4解得ab＝4．三．解答题12．解：设方程的另一个根是a，则由根与系数的关系得：a+（﹣5）＝，﹣5a＝﹣2，解得：k＝﹣23，a＝，答：它的另一个根是，k的值是﹣23．13．解：，，，∴，∴．∴原方程的根是：．14．解：（1）（x+2）2﹣25＝0，x+2＝±5，x1＝3，x2＝﹣7．（2）4x2﹣3x﹣1＝0，＝0x1＝﹣，x2＝1．（3）2x2﹣7x+3＝0，∵a＝2，b＝﹣7，c＝3，∴b2﹣4ac＝（﹣7）2﹣4×2×3＝25＞0，∴，∴．（4）（x2﹣3）2﹣3（3﹣x2）+2＝0．[（3﹣x2）﹣1][（3﹣x2）﹣2]＝03﹣x2＝1，3﹣x2＝2．15．解：（1）由原方程，得x2﹣4﹣3x＝0（x+1）（x﹣4）＝0，则x+1＝0或x﹣4＝0，解得x1＝﹣1，x2＝4；（2）2x+3＝±3（x﹣1），所以x1＝0，x2＝6．16．解：设x2+y2＝a，则a（a﹣12）＝45，a2﹣12a﹣45＝0，（a﹣15）（a+3）＝0，a1＝15，a2＝﹣3，∵x2+y2＝a≥0，∴x2+y2＝15．17．解：（1）20×45＝900，故答案为：900；（2）降价后，设某商场每件衬衫应降价x元，则每件衬衫盈利（45﹣x）元，平均每天可售出（20+4x）件，故答案为：（45﹣x）；（20+4x）；（3）由题意得：（45﹣x）（20+4x）＝2100，解得：x1＝10，x2＝30．因尽快减少库存，故x＝30．答：每件衬衫应降价30元．18．解：设修建的路宽为x米．余下的面积表示为：20×30﹣（30x+20x﹣x2）米2，则列方程为：20×30﹣（30x+20x﹣x2）＝551，故答案为：x，20×30﹣（30x+20x﹣x2），20×30﹣（30x+20x﹣x2）＝551．19．解：（1）解：设中间的奇数为x，则（x﹣2）2+x2+（x+2）2＝251，化为一般形式：3x2﹣243＝0；（2）解设路的宽度为xm，则（20+2x）（8+2x）＝1.8×20×8化为一般形式：x2+14x﹣32＝0；（3）设一直角边长为xcm，则另一直角边长为30﹣13﹣x＝（17﹣x）cm，则x2+（17﹣x）2＝132，化为一般形式：x2﹣17x+60＝0；20．解：（1）设年销售量y与销售单价x的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），将（40，600）、（45，550）代入y＝kx+b，得：，解得：，∴年销售量y与销售单价x的函数关系式为y＝﹣10x+1000．（2）设此设备的销售单价为x万元/台，则每台设备的利润为（x﹣30）万元，销售数量为（﹣10x+1000）台，根据题意得：（x﹣30）（﹣10x+1000）＝10000，整理，得：x2﹣130x+4000＝0，解得：x1＝50，x2＝80．∵此设备的销售单价不得高于70万元，∴x＝50．答：该设备的销售单价应是50万元/台．21．解：（1）设4月初猪肉价格下调后变为每千克x元．根据题意，得﹣＝2，解得x＝20．经检验，x＝20是原方程的解．答：4月初猪肉价格下调后变为每千克20元．（2）设5、6月份猪肉价格的月平均增长率为y．根据题意，得20（1+y）2＝28.8．解得y1＝0.2＝20%，y2＝﹣2.2（舍去）．答：5、6月份猪肉价格的月平均增长率为20%．