人教A版 (2019)必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.3 平面向量基本定理及坐标表示精品精练

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如果一个物体在力的作用下产生位移，那么力所做的功，其中θ为力与的夹角．功是一个标量，它由力和位移两个向量来确定.
知识点2 向量数量积的概念
向量的夹角
已知两个非零向量a和b，O是平面上的任意一点，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角(如图所示).当θ＝0时，a与b同向；当θ＝π时，a与b反向.如果a与b的夹角是eq \f(π,2)，则称a与b垂直，记作a⊥b.
（2）数量积的定义
已知两个非零向量，我们把数量叫做向量与的数量积(或内积)，记作，即，其中是与的夹角．
注：零向量与任一向量的数量积为0．非零向量数量积的运算结果是一个数量，当0°≤θ<90°时，a·b>0；当90°<θ≤180°时，a·b<0；当θ＝90°时，a·b＝0.特别地，如若a或b等于零，则a·b＝0.
向量的线性运算的结果是一个向量，而两个向量的数量积是一个数量,这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角有关.
（3）投影向量的概念
如图（1），设是两个非零向量，，作如下变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量.
如图（2），在平面内任取一点O，作.过点M作直线ON的垂线，垂足为，则就是向量在向量上的投影向量.
（3）数量积的几何意义
设非零向量与的夹角是，则()叫做向量在方向上(在方向上)的投影 ．
如图（1）（2）（3）所示，分别是非零向量与的夹角为锐角、钝角、直角时向量在方向上的投影的情形，其中，它的意义是，向量在向量方向上的投影长是向量的长度．
由向量投影的定义，我们可以得到的几何意义：数量积等于的长度与在方向上的投
影的乘积．
知识点3 向量数量积的性质
设向量a与b都是非零向量，它们的夹角为θ，e是与b方向相同的单位向量.则
(1)a·e＝e·a＝|a|·cs θ.
注：任意向量与单位向量的数量积等于这个向量在单位向量上的投影的数量.
(2)a⊥b⇔a·b＝0.
注：可用于解决与两个非零向量垂直有关的问题.
(3)当a∥b时，a·b＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(|a||b|，a与b同向，,－|a||b|，a与b反向.))
特别地，a·a＝|a|2或|a|＝eq \r(a·a).
注：当两个向量的相等时，这两个向量的数量积等于平面向量的模的平方，因此可以用于求向量的模.
(4)，其中是非零向量与的夹角；
注：夹角公式，实质是平面向量数量积的逆用，可用于求两平面的夹角.
(5)|a·b|≤|a||b|.当且仅当向量共线，即时等号成立
注：可用于解决有关“向量不等式”的问题.
知识点4 向量数量积的运算律
交换律：；
数乘结合律：；
分配律：．
注：(1)向量的数量积不满足消去律：若a，b，c均为非零向量，且a·c＝b·c，但得不到a＝b.
(2)(a·b)·c≠a·(b·c)，因为a·b，b·c是数量积，是实数，不是向量，所以(a·b)·c与向量c共线，a·(b·c)与向量a共线，因此，(a·b)·c＝a·(b·c)在一般情况下不成立.
(3)；．
考点一 向量的数量积运算
解题方略：
向量数量积的求法
(1)求两个向量的数量积，首先确定两个向量的模及向量的夹角，其中准确求出两个向量的夹角是求数量积的关键．（注：两向量的夹角要共起点且夹角的范围为）
(2)根据数量积的运算律，向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算．
（一）向量数量积的概念及运算律
【例1】下列判断：
①，则；
②已知是三个非零向量，若，则；
③共线；
④；
⑤；
⑥非零向量满足：，则与的夹角为锐角；
⑦若的夹角为，则表示向量在向量方向上的投影长．
其中正确的是 ．
变式1：下面给出的关系式中正确的序号是________．
①0·a＝0；②a·b＝b·a；③a2＝|a|2；④|a·b|≤a·b；⑤(a·b)2＝a2·b2.
变式2：已知、、不共线的非零向量，则下列等式中不成立的是（ ）．
A．B．
C．D．
（二）向量数量积的简单计算
【例2】已知向量，满足，，且与的夹角为，则向量等于（ ）
A．B．
C．D．1
变式1：已知向量a与b的夹角为120°，且|a|＝4，|b|＝2，求：①a·b；②(a＋b)·(a－2b)．
变式2：已知向量，满足，，且与的夹角为，则（ ）
A．6B．8C．10D．12
变式3：已知，，均为单位向量，且，则（ ）
A．B．C．D．
变式4：若非零向量，，满足，且，则（ ）
A．4B．3C．2D．0
变式5：已知向量，满足，，且与的夹角为，则的值为（ ）
A．B．1C．D．2
（三）平面几何图形中的向量的数量积的计算
【例3】如图，正三角形ABC的边长为eq \r(2)，eq \(AB,\s\up7(―→))＝c，eq \(BC,\s\up7(―→))＝a，eq \(CA,\s\up7(―→))＝b，求a·b＋b·c＋c·a.
变式1：在等腰直角三角形ABC中，AB＝BC＝4，则eq \(AB,\s\up7(―→))·eq \(BC,\s\up7(―→))＝________，eq \(BC,\s\up7(―→))·eq \(CA,\s\up7(―→))＝________，eq \(CA,\s\up7(―→))·eq \(AB,\s\up7(―→))＝________.
变式2：已知中，，则 ．
变式3：在中，，点D在上，，，则（ ）
A．8B．10C．12D．16.
变式4：已知是腰长为的等腰直角三角形，点是斜边的中点，点在上，且，则（ ）
A． B． C．D．
变式5：已知等边的边长为2，点、分别为、的中点，则（ ）
A．B．C．D．
变式6：在中，，，若E点在BC边上，且，则___________.
变式7：在等边中，若，，()，且，则的值为_______.
变式8：边长为2的菱形中，，、分别为，的中点，则
变式9：在等腰梯形ABCD中,已知, 点E和点F分别在线段BC和CD上,且 则的值为 ．
（四）利用向量数量积判断平面图形形状
【例4】在中，，，当时，判断的形状．
变式1：在中，“”是“是钝角三角形”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
变式2:为平面上的定点，A，B，C是平面上不共线的三点，若，则是（ ）
A．以AB为底面的等腰三角形
B．以BC为底面的等腰三角形
C．以AB为斜边的直角三角形
D．以BC为斜边的直角三角形
（五）向量数量积的最值问题
【例5】已知向量为单位向量，向量满足，则的最小值为（ ）
A．15B．0C．D．
变式1：如图，在梯形中，，，，，，
（1）________．
（2）P是上的动点，则的最小值为___________．
变式2：在四边形中，，，，，，则实数的值为__________，若，是线段上的动点，且，则的最小值为__________．
考点二 向量的模
解题方略：
求向量模的一般思路及常用公式
(1)求向量模的常见思路
(2)常用公式
①(a－b)·(a＋b)＝a2－b2＝|a|2－|b|2；
②|a±b|2＝(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.
【例6】已知平面向量a，b满足|a|＝eq \r(3)，|b|＝2，a·b＝－3，则|a＋2b|＝________.
变式1：已知向量a，b的夹角为45°，且|a|＝1，|2a－b|＝eq \r(10)，则|b|＝________.
变式2：已知向量满足，则（ ）
A．2B．C．8D．
变式3：【多选】若平面向量，，两两的夹角相等，且，，，则（ ）
A．B．2C．D．5
考点三 向量的垂直问题
解题方略：
解决向量垂直问题常用向量数量积的性质a⊥b⇔,a·b＝0.这是一个重要性质，对于解平面几何图形中有关垂直问题十分有效，应熟练掌握.
【例7】已知单位向量的夹角为60°，则在下列向量中，与垂直的是（ ）
A．B．
C． D．
变式1：已知，，则（ ）
A．4B．8C．16D．32
变式2：已知向量、满足，，若，则（ ）
A．B．C．D．
变式3：已知、是夹角为的两个单位向量，若和垂直，则实数_______．
变式4：若向量，满足，，，则（ ）
A．2B．C．1D．
考点四 向量的夹角问题
解题方略：
求向量a，b的夹角θ的思路
(1)求向量的夹角的关键是计算a·b及|a||b|，在此基础上结合数量积的定义或性质计算cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)，最后借助θ∈[0，π]，求出θ值．
(2)在个别含有|a|，|b|与a·b的等量关系式中，常利用消元思想计算cs θ的值．
【例8】已知向量a，b均为单位向量，a·b＝eq \f(\r(2),2)，则a与b的夹角为________．
变式1：已知，均为单位向量，2a→+b→·a→-2b→=-332，则与的夹角为（ ）
A．30°B．45°C．135°D．150°
变式2：已知非零向量，且，则与的夹角为______．
变式3：已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
变式4：已知，，且与相互垂直，则与的夹角为（ ）
A．45°B．60°C．90°D．120°
变式5：已知非零向量， 满足，且，则与的夹角为（ ）
A．B．
C．D．
变式6：已知非零向量，满足，且，则与的夹角为______________．
变式7：已知、是非零向量且满足，，则与的夹角是（ ）
A．B．C．D．
变式8：若两个非零向量，满足，则向量与的夹角是______．
变式9：已知平面向量，满足，则与夹角的大小为___________.
变式10：已知非零向量满足：，则夹角的值为（ ）
A．B．C．D．
考点五 向量的投影问题
投影向量
(1)向量a在b方向上的投影向量为|a|cs θ e(其中e为与b同向的单位向量)，它是一个向量，且与b共线，其方向由向量a和b夹角θ的余弦决定．
(2)向量a在b方向上的投影向量eq \f(a·b,|b|)·eq \f(b,|b|).
(3)注意：a在b方向上的投影向量与b在a方向上的投影向量不同，即向量b在a上的投影向量可表示为|b|cs θeq \f(a,|a|).
【例9】已知|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为eq \f(π,3)，则b在a方向上的投影向量为________．
变式1：设向量满足，，且，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
求向量的投影
【例10】已知向量与的夹角为，，则在方向上的投影为______．
变式1：已知向量满足，则向量在向量方向上的投影为（ ）
A．2B．C．1D．
变式2：已知向量的夹角为，且，则向量在向量方向上的投影为（ ）．
A．1B．2C．3D．4
变式3：设向量满足，，且，则向量在向量上的投影的数量为( )
A．1B．C．D．
练习一 向量的数量积运算
1、已知|a|＝2，|b|＝eq \r(3)，a与b的夹角为eq \f(π,6)，则a·b＝________.
2、已知|a|＝eq \r(3)，|b|＝2eq \r(3)，a与b的夹角是120°，则a·b等于( )
A．3 B．－3 C．－3eq \r(3) D．3eq \r(3)
3、已知向量与的夹角大小为120°，且，，求的值．
4、若的夹角为，则___________.
5、若平面向量，满足，，，则___________．
6、如图，正方形的边长为，则__________________.
7、在中，，点D在AB上，，，则______．
8、如图，在△中，，，，是边上一点，，则（ ）
A．B．C．D．
9、在长方形ABCD中，，，且，则___________，___________.
10、平行四边形中，，，，是线段的中点，则（ ）
A．0B．2C．4D．
11、在中，，，，求，，的值.
12、如图，在直角三角形ABC中，，，．求：
（1）；
（2）．
练习二 向量的模
1、若向量满足，则_________.
2、已知，与的夹角大小为，则______．
3、已知平面向量，的夹角为45°，且，，则（ ）
A．3B．1C．D．2
4、设为单位向量，且，则_________.
5、已知，，．求：
（1）；
（2）．
6、已知向量，，与的夹角为.
（1）求；
（2）求.
7、已知向量和的夹角为，且，.
（1）求；
（2）若，求实数的取值范围.
练习三 向量的垂直问题
1、已知，，，求实数k的值.
2、已知，.
（1）若，求的坐标；
（2）若，求与的夹角.
练习四 向量的夹角问题
1、已知向量满足，则（ ）
A．B．C．D．
2、若，则与夹角为（ ）
A．B．C．D．
3、已知a，b是非零向量，且满足(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，则a与b的夹角是( )
A.eq \f(π,6) B.eq \f(π,3) C.eq \f(2π,3) D.eq \f(5π,6)
4、己知单位向量满足，则与的夹角为______________．
5、已知，为单位向量，且，若，则___________.
6、已知向量a，b的夹角为60°，且，则与的夹角等于（ ）
A．150° B．90° C．60°D．30°
练习五 向量的投影问题
1、已知，，向量与向量的夹角为，则向量在向量上的投影的数量等于______．
2、已知向量a，b满足|a|=1，a⊥b，则a–2b在向量a上的投影为（ ）
A．–1 B．1 C．D．
3、设向量，满足，，且，则向量在向量上的投影的数量为_______.
4、设单位向量、的夹角为，，，则在方向上的投影为（ ）
A．－B．－ C．D．
5、已知|，|，
（1）若与的夹角为①求；②求在上的投影向量．
（2）若，求.