第04讲 三角恒等变换(已知三角函数值求值)-2023-2024高一数学下学期考点分类培优讲义(苏教版必修第二册)

第04讲 已知三角函数值求值

【必备知识】

1.公式总结

2.已知三角函数值求值的方法技巧总结                                  

【典例剖析】

类型一:角的配凑与变换

1．已知，，则等于（       ）

A．2 B． C． D．

【答案】D

【详解】

.

故选：D

2．已知，则的值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】

因，所以.

故选：A

3．已知，则的值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】

解：

.

故选：A.

4．已知，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【详解】

由已知得，

则

，

故选：.

5．已知，，则等于（       ）

A．1 B． C． D．2或6

【答案】C

【详解】

因为，则，解得，又，

所以.

故选：C.

6．已知，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】

，，

.

故选：A.

7．已知，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】

，

.

故选：A.

8．已知，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

由，又，

所以.

故选：C．

9．若，则___．

【答案】

【详解】

由二倍角的余弦公式可得.

故答案为：.

10．已知，则___________.

【答案】

【详解】

∵，

∴

.

故答案为：.

11．已知，，则__________．

【答案】

【详解】

解：由，，得，

所以．

故答案为：

12．已知，则___________.

【答案】

【详解】

.

故答案为：.

13．已知，.

(1)求；

(2)若，，求.

【答案】(1)  (2)

【解析】

(1)依题意，，

，解得，

所以.

(2)，，

，

所以

.

14．已知.

(1)若为锐角，求的值.

(2)求的值.

【答案】(1)  (2)

【解析】

(1)由，为锐角，，

得，

∴

；

(2)由得，

则，

∴．

15．已知.

(1)，求和的值；

(2)若，求的值.

【答案】(1)；  (2)

【解析】

(1)，，

，得，

；

(2)，，

，，

.

类型二:通过控制角的范围与角的配凑,确定三角函数值

1．已知，且，则的值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

因为，所以，

即，又，则

，

故选：C.

2．已知都是锐角，，，则（       ）

A．1 B． C． D．

【答案】D

【详解】

由于，所以，

所以，

所以

.

故选：D

3．已知，为锐角，，，则的值为(       )

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】

∵，，∴，

又∵，∴，

又，∴，

∴，

，

∴

故选：A.

4．已知，则（       ）

A． B． C．2 D．

【答案】B

【详解】

因为，故，

因为，故，而，

故，所以，

故，

所以，

故选：B

5．已知，，，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【详解】

因为，，

所以两式平方相加得，

即，

又因为，

所以，即，，

将代入，

得，即，

所以，

∴.

故选：D.

6．已知，且，则等于（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

由题意得：，又，则，∴锐角，

故选：C．

7．若，且，，则______________.

【答案】

【详解】

解：因为，，所以，

又，，

所以，

因为，所以，

又，所以，

所以.

故答案为：.

8．已知，且，则_______.

【答案】

【详解】

因为，所以，

因为，所以，

又，所以，

所以

.

故答案为：.

9．已知为锐角，，则__________.

【答案】

【详解】

,

，，

.

故答案为：.

10．已知，sin(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，求sin 2β的值.

【答案】0

【详解】

，

，

，，

.

11．已知、，，，，求的值．

【答案】

【解析】

解：因为、，

所以，，

因为，，

所以，，

所以，

．

12．（1）已知，求的值；

（2）已知，且，sin，求的值.

【答案】（1）-1；（2）.

【解析】

（1），而，

所以.

（2）由题设，，，

所以，，

.

【过关检测】

一、单选题

1．若，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

故选：D

2．已知，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】

因为，

又，故.

故选：B.

3．已知为锐角且，则的值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

为锐角，故，而，故，

又

.

故选：C.

4．若，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【详解】

因为

所以，，

因为，，

所以，，

则．

故选：C

5．已知，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】

由题，则，即，所以．

故选：B

6．已知则（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

∵

∴

∴，

∴，

∴

．

故选：D

二、填空题

7．已知cos(α＋)＝，则sin(2α－)的值为________.

【答案】

【详解】

解：由cos(α＋)＝，得cos(2α＋)＝2×()2－1＝－.

所以sin(2α－)＝sin(2α＋－)＝－cos(2α＋)＝.

故选：.

8．已知，，则_________.

【答案】

【详解】

由，

得，又，

所以.

故答案为：.

9．若，则__________.

【答案】

【详解】

因为，所以，所以，所以.

故答案为：

10．已知，又，，则______.

【答案】

【详解】

∵，又，

∴，，又，

∴，

当时，

，

当时，

，此时不合题意.

故答案为：.

三、解答题

11．已知为锐角，，．

(1)求和的值；

(2)求和的值．

【答案】(1)，

(2)，

【解析】

(1)因为为锐角，且，

所以．

所以．

(2)因为为锐角，所以．

所以．

所以

．

12．已知：，求的值．

【答案】答案见解析．

【详解】

因为，

所以.

因为，所以为第一象限或第二象限的角，

因为，所以为第二象限或第三象限的角，

当在第一象限而在第二象限时，

.

当在第一象限而在第三象限时，

.

当在第二象限而在第二象限时，

.

当在第二象限而在第三象限时，

.

13．设，，其中，，求的值．

【答案】

【解析】

，，

，

，

，

，，

所以，

，

所以

.

14．已知 cos (−α) =，sin (+β)= −，α(，)，β(，).

(1)求sin 2α 的值；

(2)求cos (α + β )的值.

【答案】(1)  (2)

【解析】

(1)∵，

∴，∴，

∴．

(2)，，，

则．

又，，

则．

故

．