第03讲 三角恒等变换(三角函数的化简)-2023-2024高一数学下学期考点分类培优讲义(苏教版必修第二册)

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第03讲 三角函数的化简【必备知识】1.公式总结1.两角和与差的公式                             2.降幂公式将倍角公式变形可得到半角公式:由,3.辅助角公式, 其中.4.半角正切公式的有理化. 5.万能公式 2.三角函数式化简“三看”原则                            (1)一看“角”, 这是最重要的一环,通过看角之间的差别与联系, 把角进行合理拆分,从而正确使用公式.(2)二看“函数名称”,看函数名称之间的差异,从而确定使用的公式,常见的有“切化弦”.(3)三看“结构特征”,分析结构特征可以帮助我们找到变形的方向,常见的有“遇到分式要通分”.根式的化简常常需要升幂去根号, 在化简中注意角的范围以确定三角函数值的正负.   【典例剖析】类型一:化简1．化简：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)   (2)0   (3)【解析】(1)(2)(3) 2．已知，化简：.【答案】.【解析】解：原式.因为，所以，所以，.所以上式. 3．化简：.【答案】1【详解】原式.4．化简：＋.【答案】【解析】解：原式 类型二:化简求值1．求值：（1）；（2）．【答案】（1）；（2）-2.【详解】（1）原式．（2）（方法一）原式．（方法二）原式．2．化简，求值：（I）已知，求；（II）.【答案】（I）；（II）16.【详解】（I）原式化简得：将代入，原式；（II）原式3．求值：．【答案】【详解】，，因此，.4．化简求值：；.【答案】；.【详解】解：.. 类型三:化简证明1．求证：．【解析】证明：左边右边原式成立2．求证：(1)；(2)．【解析】(1)(2)3．已知，，且，，求证：.【解析】证明：因为，，所以，又因为，，所以，所以.4．求证：【解析】证明：右边左边所以原等式成立. 类型四:化简比较大小1．设 ，，则有A． B． C． D．【答案】A【详解】试题分析：因为，，，，由正弦函数在为增函数，所以，在上，所以，所以可得，故选择A2．设，，，则有（       ）A． B． C． D．【答案】C【详解】解： ，，，因为在上为增函数，所以，所以，故选：C3．设，，，则有（       ）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：， ，，因为在上为增函数，且，所以，即可，故选：B4．设，，，则（ ）A． B． C． D．【答案】C【详解】，，，又在上单调递增，且，∴故选C  【过关检测】一、单选题1．4cos10°=A．1 B． C． D．2【答案】C【详解】原式.故选：C.2．化简等于A．1 B．－1C．cos α D．－sin α【答案】A【详解】原式====1．故选A.3．若，则（       ）A． B．C． D．【答案】D【详解】由二倍角公式可知，，，从而，又因为，所以，，从而.故选：D.4．（       ）A．1 B． C． D．【答案】C【详解】.故选：C5．A．- B． C． D．【答案】C【详解】,所以故选：C.6．计算的值为A． B．2 C． D．1【答案】D【详解】∵α与α互余，∴cos（α）＝sin（α）∴原式＝tan（α）••∵sin（α）＝cosα，∴1，即原式＝1故选D．二、解答题7．化简下列各式： (1)；(2)；(3).【答案】(1)；  (2)；   (3).【解析】(1)原式=.(2)原式.(3)原式.8．化简：(1)；(2).【答案】(1)1  (2)1【解析】(1)原式====1故答案：1(2)原式====1故答案：19．化简：(1)；(2)；(3)；(4).【答案】(1)  (2)   (3)  (4)【解析】(1)解：；(2)解：；(3)解：因为，所以，所以原式；(4)解：．10．（1）求值：；（2）化简：.【答案】（1）4；（2）【详解】解：（1）. ；（2）∵，∴， .11．求证：＝.【答案】证明见解析.【详解】证明：左边＝＝＝＝＝＝＝右边.所以原等式成立. 12．化简并求值.（1）；（2）；（3）；（4）.【答案】（1）；（2）；（3）；（4）32.【详解】（1）原式.（2）原式.（3）原式.（4）原式.