初中数学北师大版八年级下册1 平行四边形的性质精品达标测试

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平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
平行四边形的表示：用符号“▱”表示，平行四边形ABCD记作“▱ABCD”，读作“平行四边形ABCD”。
平行四边形的性质：1)对边平行且相等； 2)对角相等、邻角互补； 3)对角线互相平分；
4)平行四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形，平行四边形的对角线的交点是平行四边形的对称中心。
平行四边形的判定定理：
1)边：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
2)角：④两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
⑤任意两组邻角分别互补的四边形是平行四边形．
3)边与角：⑥一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；
4)对角线：⑦对角线互相平分的四边形是平行四边形.
平行四边形的面积公式：面积=底×高
平行线的性质：1）平行线间的距离都相等；
2）两条平行线间的任何平行线段都相等；

【题型一】利用平行线的性质求解
【典题】如图，在平行四边形ABCD中，DE平分∠ADC交BC边于点E，已知BE＝4cm，AB＝6cm，则AD的长度是（ ）
A．4cmB．6cmC．8cmD．10cm
【答案】D
【分析】由已知平行四边形ABCD，DE平分∠ADC可推出△DCE为等腰三角形，所以得CE=CD=AB=6，那么AD=BC=BE+CE，从而求出AD．
【详解】解：已知平行四边形ABCD，DE平分∠ADC，
∴AD∥BC，CD=AB=6cm，∠EDC=∠ADE，AD=BC，
∴∠DEC=∠ADE，
∴∠DEC=∠CDE，
∴CE=CD=6cm，
∴BC=BE+CE=4+6=10cm，
∴AD=BC=10cm，
故选：D．
【点睛】此题考查的知识点是平行四边形的性质及角平分线的性质，关键是由平行四边形的性质及角平分线的性质得等腰三角形通过等量代换求出AD．
巩固练习
1．（）如图，在ABCD中，AB=3，AD=5，∠ABC的平分线BE交AD于点E，则DE的长是（ ）．
A．4B．3C．3．5D．2
【答案】D
【分析】根据平行线定理和等腰三角形的性质即可求答；
【详解】解：∵ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AEB=∠CBE，
BE是∠ABC的角平分线，
∴∠ABE=∠CBE，
∴∠ABE=∠AEB，
∴三角形ABE是等腰三角形，
∴AE=AB=3，
∴DE=AD－AE=5－3=2，
故选：D．
【点睛】本题考查平行四边形的性质（两对边互相平行），平行线定理（两直线平行内错角相等），角平分线的定义（平分它所在的角），等腰三角形的性质；熟记其性质和定义是解题关键．
2．（）下列∠A：∠B：∠C：∠D的值中，能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．1：2：3：4B．1：4：2：3
C．1：2：2：1D．3：2：3：2
【答案】D
【分析】两组对角分别相等的四边形是平行四边形，所以∠A和∠C是对角，∠B和∠D是对角，对角的份数应相等．
【详解】解：根据平行四边形的判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边形，所以只有D符合条件．
故选：D．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定，在应用判定定理判定平行四边形时，应仔细观察题目所给的条件，仔细选择适合于题目的判定方法进行解答，避免混用判定方法．
3．（）平行四边形一边的长是10cm，那么这个平行四边形的两条对角线长可以是（ ）
A．4cm，6cmB．6cm，8cmC．8cm，12cmD．20cm，30cm
【答案】D
【分析】平行四边形的这条边和两条对角线的一半构成三角形，应该满足第三边大于两边之差小于两边之和才能构成三角形，从而可得答案．
【详解】解：由平行四边形的对角线互相平分，可得：
A、∵2+3＜10，
不能构成三角形，故不符合题意；
B、 4+3＜10，
不能构成三角形，故不符合题意；
C、 4+6＝10，
不能构成三角形，故不符合题意；
D、 ＞15，
能构成三角形，故符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形的三边之间的关系，解题的关键是掌握平行四边形的对角线互相平分．
4．（）如图，在平行四边形中，平分，则平行四边形的周长是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据角平分线的定义以及两直线平行，内错角相等求出∠CDE=∠CED，再根据等角对等边的性质可得CE=CD，然后利用平行四边形对边相等求出CD、BC的长度，再求出▱ABCD的周长．
【详解】解：∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE=∠CDE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，BC=AD=6，AB=CD，
∴∠ADE=∠CED，
∴∠CDE=∠CED，
∴CE=CD，
∵AD=6，BE=2，
∴CE=BC-BE=6-2=4，
∴CD=AB=4，
∴▱ABCD的周长=6+6+4+4=20．
故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形对边平行，对边相等的性质，角平分线的定义，等角对等边的性质，熟练掌握平行四边形的性质，证明CE=CD是解题的关键．
5．（）如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC与BD交于点O，若，，则的度数为（ ）
A．157°B．147°C．137°D．127°
【答案】C
【分析】根据平行四边形的性质推出AO=AB，求出∠AOB的度数，即可得到的度数．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AC=2AO，
∵，
∴AO=AB，
∵，
∴，
∴=，
故选：C．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质，三角形的内角和，利用邻补角求角度，正确掌握平行四边形的性质是解题的关键．
6．（）如图，在平面直角坐标系中，A（1，2），B（﹣1，0），C（3，0），若四边形ABCD为平行四边形，则点D的坐标为（ ）
A．（4，2）B．（2，4）C．（2，5）D．（5，2）
【答案】D
【分析】根据平行四边形的性质即可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，点A（1，2），B（﹣1，0），C（3，0），
∴AD=BC=3+1=4，
故点D的坐标为（1+4，2），即（5，2）
故选：D．
【点睛】此题考查了坐标与图形，解题的关键是熟知平行四边形的性质．
【题型二】利用平行四边形的性质证明
【典题】如图，四边形是平行四边形，点E，B，D，F在同一条直线上，请添加一个条件使得，下列不正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据平行四边形的性质结合全等三角形的判定，逐项进行判断即可.
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠ABD=∠BDC，
∵∠ABE+∠ABD=∠BDC+∠CDF，
∴∠ABE=∠CDF，
A.若添加，则无法证明，故A错误；
B.若添加，运用AAS可以证明，故选项B正确；
C.若添加，运用ASA可以证明，故选项C正确；
D.若添加，运用SAS可以证明，故选项D正确．
故选：A．
【点睛】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
巩固练习
1．（）如图，点O是对角线的交点，EF过点O分别交AD，BC于点E，F．下列结论成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】首先可根据平行四边形的性质推出△AEO≌△CFO，从而进行分析即可．
【详解】∵点O是对角线的交点，
∴OA=OC，∠EAO=∠CFO，
∵∠AOE=∠COF，
∴△AEO≌△CFO（ASA），
∴OE=OF，A选项成立；
∴AE=CF，但不一定得出BF=CF，
则AE不一定等于BF，B选项不一定成立；
若，则DO=DC，
由题意无法明确推出此结论，C选项不一定成立；
由△AEO≌△CFO得∠CFE=∠AEF，但不一定得出∠AEF=∠DEF，
则∠CFE不一定等于∠DEF，D选项不一定成立；
故选：A．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，理解基本性质，利用全等三角形的判定与性质是解题关键．
2．（）如图，平行四边形纸片ABCD和EFGH上下叠放，AD∥EH且AD＝EH，CE交GH于点O，已知S▱ABCD＝a，S▱EFGH＝b（a＜b），则S阴影为（ ）
A．b﹣aB．（b﹣a）C．aD．b
【答案】D
【分析】先求证，得出图中阴影部分面积的是平行四边形EHGF的一半解答即可．
【详解】解：∵平行四边形纸片ABCD和EFGH上下叠放，AD∥EH且 ，
∴，EH∥BC，
∴ ，
在△EHO与△CBO中， ，
∴，
∴，
∴；
故选：D．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
3．（）如图，平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，且，延长AB与DE的延长线交于点F．下列结论中：①是等边三角形：②；③：④；⑤其中正确的是（ ）
A．①②③B．①④⑤C．①②⑤D．②③④
【答案】C
【分析】由AB=AE及平行四边形的性质、AE平分∠BAD，可得△ABE是等边三角形，即可判定①正确；由△ABE是等边三角形及平行四边形的性质可得，即可判定②正确；若点E是DF的中点，则可得AD=AF，否则AD与AF不相等，即可判定③错误；由，可对④作出判断；由及前一步的证明可判定⑤．
【详解】∵AB=AE
∴∠ABE=∠AEB
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC，AD=BC
∴∠DAE=∠AEB
∵AE平分∠BAD
∴∠DAE=∠BAE
∴∠BAE=∠AEB
∴∠BAE=∠AEB=∠ABE
∴△ABE是等边三角形
故①正确
∵△ABE是等边三角形
∴∠ABE=∠BAE=60°
∴ ∠ABE=∠DAE=60°
∵AB=AE，BC=AD
∴
故②正确
若点E是DF的中点，则可得AD=AF，否则AD与AF不相等
故③错误
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB∥CD，AD∥BC
∴，
∵
∴
∴
∵
∴
故④错误
∵AD∥BC
∴
由④知，
∴
即
故⑤正确
即正确的有①②⑤
故选：C.
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等底等高的两个三角形面积相等，其中平行四边形的性质是解题的关键．
4．（）如图，在平行四边形ABCD中，BD为对角线，下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．与大小关系无法确定A
【答案】B
【分析】利用平行四边形对边平行的性质得到，，再根据平行线的性质得到内错角相等，即可得到结论．
【详解】四边形ABCD是平行四边形
，
，
即
故选：B．
【点睛】本题考查平行四边形的性质及平行线的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
【题型三】判断能否构成平行四边形
【典题】下列四组条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）．
A．AB＝DC，AD＝BCB．
C．，AB＝DCD．，AD＝BC
【答案】D
【分析】根据平行四边形的判定定理判断即可．
【详解】解：A．∵AB=DC，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形），故该选项不符合题意；
B．∵，
∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形），故该选项不符合题意；
C．∵，AB=DC，
∴四边形ABCD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），故该选项不符合题意；
D．由，AD=BC不能判定四边形ABCD是平行四边形，故该选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定条件是解题的关键．
巩固练习
1．（）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，则不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．OB＝OD，OA＝OCB．AD∥BC，AB＝CD
C．AB∥CD，AD∥BCD．AB∥CD，AB=CD
【答案】B
【分析】根据平行四边形的判定定理逐项判断即可得出答案．
【详解】解：选项A，由OB＝OD，OA＝OC知对角线互相平分，可以判断四边形ABCD是平行四边形；
选项B，由AD∥BC，AB＝CD知一组对边平行，另一组对边相等，这样的四边形有可能是等腰梯形，不可以判断四边形ABCD是平行四边形；
选项C，由AB∥CD，AD∥BC知两组对边分别平行，可以判断四边形ABCD是平行四边形；
选项D，由AB∥CD，AB=CD知一组对边平行且相等，可以判断四边形ABCD是平行四边形；
故答案为：B．
【点睛】本题考查平行四边形的判定方法，需要熟练掌握平行四边形的判定定理：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
2．（）▱ABCD中，E、F是对角线BD上不同的两点，下列条件中，不能得出四边形AECF一定为平行四边形的是（ ）
A．BE＝DFB．AF∥CE
C．CE＝AFD．∠DAF＝∠BCE
【答案】C
【分析】连接AC与BD相交于O,根据平行四边形的对角线互相平分可得OA=OC，OB=OD，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，只要证明得到OE=OF即可，后根据各选项的条件分析判断即可得解．
【详解】如图，连接AC与BD相交于O，
在▱ABCD中，OA＝OC，OB＝OD，要使四边形AECF为平行四边形，只需证明得到OE＝OF即可；
A、若BE＝DF，则OB﹣BE＝OD﹣DF，即OE＝OF，故本选项不符合题意；
B、AF∥CE能够利用“角角边”证明△AOF和△COE全等，从而得到OE＝OF，故本选项不符合题意；
C、若CE＝AF，则无法判断OE＝OE，故本选项符合题意；
D、由∠DAF＝∠BCE，从而可得△DAF≌△BCE，然后得出∠DFA＝∠BEC，
∴∠AFE＝∠CEF，
∴AF∥CE，
结合选项B可证明四边形AECF是平行四边形，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
3．（）已知四边形ABCD，有以下四个条件：①；②；③；④．从这四个条件中任选两个，能使四边形ABCD成为平行四边形的选法种数共有（ ）
A．6种B．5种C．4种D．3种
【答案】C
【分析】根据平行四边形的判定定理判断即可．
【详解】根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可构成①③；
根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可构成②④；
根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可构成①②或③④，
一共有4种组合，
故选C．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键．
【题型四】证明四边形是平行四边形
【典题】如图，点、、、在同一条直线上，，，．
求证：（1）；
（2）四边形是平行四边形．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）已知，可得到，由得到，可证明出；
（2）由（1）得，得到，，，推出，即可证明．
【详解】证明：（1），
，
即，
，
，
在与中，
，
；
（2）由（1）得：，
，，
，
，
四边形是平行四边形．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质以及平行四边形的判定，属于基础题，熟练掌握全等三角形的判定和性质以及平行四边形的判定是解题关键．
巩固练习
1．（）如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，延长CE，BA交于点F，连接AC，DF．
（1）求证：四边形ACDF是平行四边形；
（2）当CF平分∠BCD时，写出BC与CD的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）BC=2CD，理由见解析.
【分析】（1）利用矩形的性质，即可判定△FAE≌△CDE，即可得到CD=FA，再根据CD∥AF，即可得出四边形ACDF是平行四边形；
（2）先判定△CDE是等腰直角三角形，可得CD=DE，再根据E是AD的中点，可得AD=2CD，依据AD=BC，即可得到BC=2CD．
【详解】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠FAE=∠CDE，
∵E是AD的中点，
∴AE=DE，
又∵∠FEA=∠CED，
∴△FAE≌△CDE，
∴CD=FA，
又∵CD∥AF，
∴四边形ACDF是平行四边形；
（2）BC=2CD．
证明如下：∵CF平分∠BCD，
∴∠DCE=45°，
∵∠CDE=90°，
∴△CDE是等腰直角三角形，
∴CD=DE，
∵E是AD的中点，
∴AD=2CD，
∵AD=BC，
∴BC=2CD．
【点睛】方法点睛：本题主要考查了矩形的性质以及平行四边形的判定与性质，要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考虑将要证的直线、线段、角、分别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目的．
2．（）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC=60°，△ACD是等边三角形，E是AC的中点，连接BE并延长，交DC于点F，求证：
(1)△ABE≌△CFE；
(2)四边形ABFD是平行四边形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）利用等边三角形的性质得出∠DCA=60°，即可得出∠BAC=∠DCA=60°，再结合中点的定义和对等角相等即可证明；
（2）利用平行线的判定方法以及直角三角形的性质得出AB∥FD、AD//BF即可求证．
（1）
证明：∵E是AC中点，
∴AE=CE，
∵△ACD是等边三角形，
∴∠CAD=∠ACD=60°，
∵∠BAC=60°，
∴∠BAC=∠ACD =60°，
在△ABE和△CFE中
，
∴△ABE≌△CFE（ASA）；
（2）
证明：∵∠CAB=60°，∠ABC=90°
∴∠ACB=30°，
∵∠ACD=60°,∠BCD=∠BCA+∠ACD，,
∴∠BCD=90°，
∴AB∥CD，即AB//DF
∵E是AC的中点，∠ABC=90°，∠ACB=30°，
∴EC=AE=AB，
∴∠ABF=∠BAC=60°，∠CAD=60°，
∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=120°，
∴∠ABF+∠BAD=180°
∴AD∥BF，
∴四边形BCFD是平行四边形．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及平行四边形的判定等知识点，灵活运用全等三角形的判定与性质成为解答本题的关键．
3．（）如图，点E，F是对角线上的两点，且．
(1)求证：四边形是平行四边形．
(2)若．
①线段长为____________；
②四边形的面积为_______．
【答案】(1)证明见解析
(2)①2；②．
【分析】（1）利用平行四边形性质证明，进而可得， ，由一组对边平行且相等得四边形是平行四边形即可得出结论．
（2）①由勾股定理可求，根据即可计算出EF长；②由，可得，求出，由四边形的面积为的两倍即可解题．
（1）
证明：∵，
∴，即，
∵在中，，，
∴，
在和中

∴，，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）
解：①∵，，
∴，
∵，，
∴；
②∵，，，
∴，
又∵，，
∴，
∵．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质和勾股定理的应用，掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键．
【题型五】利用平行线的性质与判定求解
【典题】如图，在四边形ABCD中，ADBC，对角线AC、BD交于点O，且AO=OC，过点O作EF⊥BD，交AD于点E，交BC于点F．
(1)求证：四边形ABCD为平行四边形；
(2)连接BE，若∠BAD=100°，∠DBF=2∠ABE，求∠ABE的度数．
【答案】(1)见解析
(2)16°
【分析】（1）通过ADBC，AO=OC，证明△AOD≌△COB（ASA），推出AD＝CB，结合ADBC，即可证明四边形ABCD为平行四边形；
（2）设∠ABE＝x，先证EF为BD的垂直平分线，推出BE＝DE，再利用平行线性质、等腰三角形的性质证明∠EBD＝∠EDB＝∠DBF＝2x，即可求解．
【详解】（1）证明：∵ADBC，
，
又∵AO=OC，
∴△AOD≌△COB（ASA），
∴AD＝CB，
又∵ADBC，
∴四边形ABCD为平行四边形；
（2）解：设∠ABE＝x，则∠DBF＝2x，
由（1）得：四边形ABCD为平行四边形，
∴OB＝OD，
∵EF⊥BD，
∴EF为BD的垂直平分线，
∴BE＝DE，
∴∠EBD＝∠EDB，
∵ADBC，
∴∠EDB＝∠DBF，
∴∠EBD＝∠EDB＝∠DBF＝2x，
∵∠BAD+∠ABE+∠EBD+∠EDB＝180°，
∴100°+x+2x+2x＝180°，
解得：x＝16°，
即∠ABE＝16°．
【点睛】本题考查平行线的性质、平行四边形的判定和性质、垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等知识，结合题意综合运用上述知识是解题的关键．
巩固练习
1．（）在四边形中，、交于点，，．
(1)证明：四边形是平行四边形；
(2)过点作交于点，连接．若，求的度数．
【答案】(1)证明见解析；
(2)．
【分析】（1）由平行线的性质可得，即可利用“ASA”证明，即得出，由此可利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形是平行四边形；
（2）根据题意易证，即得出，从而可求出．再由平行四边形的性质可得，从而可求出．
【详解】（1）∵，
∴．
即在和中，，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）∵，即，
∴在和中，，
∴
∴，即．
∵，
∴，
∴．
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴．
【点睛】本题考查平行线的性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质．掌握三角形全等的判定方法是解题关键．
2．（）在平行四边形ABCD中，E，F分别是AB，DC上的点，且AE＝CF，连接DE，BF，AF．
（1）求证：四边形DEBF是平行四边形；
（2）若AF平分∠DAB，AE＝3，DE＝4，BE＝5，求AF的长．
【答案】（1）见解析；（2）4
【分析】（1）根据平行四边形的性质得到∠A＝∠C，AD＝CB，根据全等三角形的性质和平行四边形的判定定理即可得到结论；
（2）根据平行线的性质和角平分线的定义得到∠DAF＝∠AFD，求得AD＝DF，根据勾股定理的逆定理和勾股定理即可得到结论．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，AD＝CB，
在△DAE和△BCF中
∴△DAE≌△BCF（SAS），
∴DE＝BF，
∵AB＝CD，AE＝CF，
∴AB-AE＝CD-CF，
即DF＝BE，
∵DE＝BF，BE＝DF，
∴四边形DEBF是平行四边形；
（2）解：∵AB∥CD，
∴∠DFA＝∠BAF，
∵AF平分∠DAB，
∴∠DAF＝∠BAF，
∴∠DAF＝∠AFD，
∴AD＝DF，
∵四边形DEBF是平行四边形，
∴DF＝BE＝5，BF＝DE＝4，
∴AD＝5，
∵AE＝3，DE＝4，
∴AE2+DE2＝AD2，
∴∠AED＝90°，
∵DE∥BF，
∴∠ABF＝∠AED＝90°，
∴AF＝．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质和判定，勾股定理及逆定理，能综合运用知识点进行推理是解题的关键．
3．（）如图，在平行四边形ABCD中，AB⊥AC，对角线AC，BD相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转一个角度α（0°＜α≤90°），分别交线段BC，AD于点E，F，连接BF．
（1）如图1，在旋转的过程中，求证：OE＝OF；
（2）如图2，当旋转至90°时，判断四边形ABEF的形状，并证明你的结论；
（3）若AB＝1，BC＝，且BF＝DF，求旋转角度α的大小．
【答案】（1）证明见解析；（2）平行四边形，理由见解析；（3）45°
【分析】（1）由平行四边形的性质得出∠OAF＝∠OCE，OA＝OC，进而判断出△AOF≌△COE，即可得出结论；
（2）先判断出∠BAC＝∠AOF，得出AB∥EF，即可得出结论；
（3）先求出AC＝2，进而得出A＝1＝AB，即可判断出△ABO是等腰直角三角形，进一步判断出△BFD是等腰三角形，利用等腰三角形的三线合一得出∠BOF＝90°，即可得出结论．
【详解】（1）证明：在▱ABCD中，AD∥BC，
∴∠OAF＝∠OCE，
∵OA＝OC，∠AOF＝∠COE，
∴△AOF≌△COE（ASA），
∴OE＝OF；
（2）当旋转角为90°时，四边形ABEF是平行四边形，理由：
∵AB⊥AC，
∴∠BAC＝90°，
∵∠AOF＝90°，
∴∠BAC＝∠AOF，
∴AB∥EF，
∵AF∥BE，
∴四边形ABEF是平行四边形；
（3）在Rt△ABC中，AB＝1，BC＝，
∴AC＝＝2，
∴OA＝1＝AB，
∴△ABO是等腰直角三角形，
∴∠AOB＝45°，
∵BF＝DF，
∴△BFD是等腰三角形，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，
∴OF⊥BD（等腰三角形底边上的中线是底边上的高），
∴∠BOF＝90°，
∴∠α＝∠AOF＝∠BOF﹣∠AOB＝45°．
【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，判断出△ABO是等腰直角三角形是解本题的关键．