初中数学3 分式的加减法优秀课后测评

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通分的定义：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。
最简公分母的定义：各分母所有因式的最高次幂的积。
确定分式的最简公分母的方法：1）因式分解：当分母是多项式时，先因式分解；.
2）找系数：各分式分母系数的最小公倍数；
3）找字母：各分母中所有单个字母因式或多项式字母因式；
4）找指数：各分母所有多项式因式的最高次幂。
分式的加减法
1）同分母分式加减法：分母不变，把分子相加减。式子表示为：ac±bc=a±bc
2）异分母分式加减法：先通分，化为同分母的分式，然后再加减。式子表示为：ab±cd=ad±bcbd
分式混合运算运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减。有括号的，先算括号里的。

【题型一】判断最简公分母
【典题】分式，，的最简公分母是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据最简公分母的定义：最简公分母通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母，进行解答即可．
【详解】解：∵在中，分母的系数为，字母因式为，
在中，分母的系数为，字母因式为，
在中，分母的系数为，字母因式为，
∴各分母中系数的最小公倍数为，字母因式的最高次幂为，
∴各分母中因式的最高次幂的积为，
∴分式，，的最简公分母是．
故选：D
【点睛】本题考查了最简公分母，解本题的关键在熟练掌握最简公分母的定义．
巩固练习
1．（）分式与的最简公分母是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据最简公分母的定义即可求出答案．
【详解】解：两个分式可化为：
，
最简公分母：，
故选：D．
【点睛】本题考查了分式，解题的关键是掌握最简公分母的确定方法：数字取各分母系数的最小公倍数，同底数幂取次数最高的，凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式，得到的因式的积就是最简公分母．
2．（）的最简公分母是( )
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】确定最简公分母的一般方法：①如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各项系数的最小公倍数和所有字母的最高次幂的积，②如果各分母都是多项式，先把它们分解因式，然后把每个因式当做一个字母，再从系数、相同字母求最简公分母．
【详解】解：的最简公分母为：．
故选：D．
【点睛】本题考查了最简公分母，掌握求最简公分母的方法是解题的关键．
3．（）分式和的最简公分母是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】按照求最简公分母的方法计算即可．
【详解】解：分式和的最简公分母是，
故选：C．
【点睛】此题考查了最简公分母的取法，解题的关键是掌握确定最简公分母的方法有三步，分别为：（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；（3）同底数幂取次数最高的，三步得到的因式的积即为最简公分母．
4．（）在计算通分时，分母确定为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先将分母因式分解，进而确定公分母即可．
【详解】，
计算通分时，分母确定为．
故选B
【点睛】本题考查了找最简公分母，先将分母因式分解是解题的关键．
【题型二】分式加减法
【典题】计算的结果是（ ）
A．1B．C．D．
【答案】A
【分析】利用同分母分式的加法法则计算，约分得到结果即可．
【详解】解：．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了分式的加减，解题的关键是掌握分式加减运算顺序和运算法则．
巩固练习
1．（）化简的结果为（ ）
A．B．a﹣1C．aD．1
【答案】B
【分析】根据同分母分式加减法的运算法则进行计算即可求出答案．
【详解】解：原式=
=
=a－1
故选：B．
【点睛】本题考查了同分母分式加减法的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
2．（）若x是非负整数，则表示的值的对应点落在下图数轴上的范围是( )
A．①B．②C．③D．①或②
【答案】B
【分析】先对分式进行化简，然后问题可求解．
【详解】解：
=
=
=
=1；
故选B．
【点睛】本题主要考查分式的运算，熟练掌握分式的减法运算是解题的关键．
3．（）要比较与中的大小（x是正数），知道的正负就可以判断，则下列说法正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】将进行化简得到，利用x是正数，可得出，即可判断A和B的大小，进而可得答案．
【详解】解：由题意可知：
∵，
∴，，
∴，即，
故选：C．
【点睛】本题考查比较分式大小，完全平方公式，解题的关键在于正确的通分化简．
4．（）﹣的计算结果为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据分式的加减运算可进行求解．
【详解】解：原式=
=
=；
故选C．
【点睛】本题主要考查分式的加减运算，熟练掌握分式的加减运算是解题的关键．
【题型三】分式加减法的混合运算
【典题】化简的结果是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．
【详解】解：
，
故选：B．
【点睛】本题考查了分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
巩固练习
1（）．已知分式，，其中x不等于2，则A与B的关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据分式的运算法则计算得到A+B=0即可判断．
【详解】∵，
∴A+B=
故
故选B．
【点睛】此题主要考查分式运算的应用，解题的关键是熟知分式加减的运算法则．
2．（）如果，，是正数，且满足，，那么的值为（ ）
A．B．C．2D．
【答案】C
【分析】先根据题意得出a=1-b-c，b=1-a-c，c=1-a-b，再代入原式进行计算即可．
【详解】解：∵a，b，c是正数，且满足a+b+c=1，
∴a=1-b-c，b=1-a-c，c=1-a-b，
∴
=
=
=
=2
故选：C
【点睛】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
3．（）数学课上，老师让计算．佳佳的解答如下：
解：原式①
②
③
＝3④
对佳佳的每一步运算，依据错误的是（ ）
A．①：同分母分式的加减法法则B．②：合并同类项法则
C．③：逆用乘法分配律D．④：等式的基本性质
【答案】D
【分析】根据分式的加减法法则计算即可．
【详解】解：①：同分母分式的加减法法则，正确；
②：合并同类项法则，正确；
③：提公因式法，正确；
④：分式的基本性质，故错误；
故选：D．
【点睛】此题考查了分式的加减，熟练掌握法则及运算律是解本题的关键．
【题型四】分式加减法的实际应用
【典题】某飞行器在相距为m的甲、乙两站间往返飞行一次，在没有风时，飞行器的速度为v，所需时间为t1；如果风速度为p时（0＜p＜v），飞行器顺风飞行速度为（v＋p），逆风飞行速度为（v﹣p），所需时间为t2．则t1、t2的大小关系为（ ）
A．t1＜t2B．t1≤t2C．t1≥t2D．t1＞t2
【答案】A
【分析】直接根据题意表示出t1、t2的值，进而利用分式的性质计算得出答案．
【详解】解∶∵，
，
∵，
∴
故选∶A．
【点睛】此题主要考查了列代数式，正确进行分式的加减运算法则是解题关键．
巩固练习
1．（）若 ，则 和 的值分别是（ ）
A．1 和B． 和 1C．3 和D．和 3
【答案】C
【分析】先根据分式的加减法运算法则，将左边的式子通分，然后组成的二元一次方程组，求解即可．
【详解】解：
联立可以得到：,
解得，
故选C．
【点睛】本题考查了分式的加减法和二元一次方程的求解，先通分，再联立方程组求解即可得到答案．
2．（）甲、乙两人分两次在同一粮店内买粮食，两次的单价不同，甲每次购粮100千克，乙每次购粮100元．若规定：谁两次购粮的平均单价低，谁的购粮方式就合算．那么这两次购粮（ ）
A．甲合算B．乙合算C．甲、乙一样D．无法确定
【答案】B
【分析】分别算出两次购粮的平均单价，用作差法比较即可．
【详解】解：设第一次购粮时的单价是x元/千克，第二次购粮时的单价是y元/千克，
甲两次购粮共花费：，一共购买了粮食：千克，甲购粮的平均单价是：；
乙两次购粮共花费：100+100=200元，一共购买粮食：（千克），乙购粮的平均单价是：；
甲乙购粮的平均单价的差是：，
即，
所以甲购粮的平均单价高于乙购粮的平均单价，乙的购粮方式更合算，故选B．
【点睛】本题考查分式的减法，解题关键是列出分式并作差，掌握分式的减法法则．
3．（）几个同学包租一辆面包车去旅游，面包车的租价为元，后来又增加了两名同学，租车价不变，若设原来参加旅游的同学共有人，结果每个同学比原来少分摊元车费（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】用总车费除以人数得每人分摊的车费数，两者相减，利用分式的通分进行加减并化简即可．
【详解】解：∵原来参加旅游的同学共有x人时，每人分摊的车费为元，
又增加了两名同学，租车价不变，则此时每人分摊的车费为元，
∴每个同学比原来少分摊元车费：
故选：C．
【点睛】本题考查了列分式并进行分式的加减计算，掌握利用通分方法进行分式的加减计算是解题的关键．
4．（）设，，当时，和的大小关系是（ ）
A．B．C．D．不能确定
【答案】A
【分析】用差值法比较大小，，进行通分，由可判断M、N的大小.
【详解】

.
∵x>y>0
∴x(x+1)>0，x−y>0
∴M−N>0
故M>N.选A.
【点睛】本题考查分式加减的实际应用.异分母分式相减，先通分，再按照同分母分数减法法则进行计算.还需注意本题最终计算结果是分式，可分别判断分子和分母的符号，根据两数相除，同号为正，异号为负判断结果的符号.
5．（）已知分式，，当时，与的大小关系是（ ）
A．B．C．D．无法确定
【答案】A
【分析】根据分式的加减法法则化简，再根据判断的正负即可得．
【详解】解：因为，，
所以
，
因为，
所以，
所以，即，
故选：A．
【点睛】本题考查了分式加减法的应用，熟练掌握分式的运算法则是解题关键．
【题型五】分式加减乘除混合运算
【典题】先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】分式的混合运算，根据加减乘除的运算法则化简分式，代入求值即可求出答案．
【详解】解：原式
当时，原式，
故答案是： ．
【点睛】本题主要考查分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则即可，包括完全平方公式，能约分的要约分等，理解和掌握乘法公式，分式的乘法，除法法则是解题的关键．
巩固练习
1．（）以下是某同学化筒分式的部分运算过程：
(1)上面的运算过程中第__________步出现了错误；
(2)请你写出完整的解答过程．
【答案】(1)③
(2)见解析
【分析】根据分式的运算法则：先乘方，再加减，最后乘除，有括号先算括号里面的计算即可．
【详解】（1）第③步出现错误，原因是分子相减时未变号，
故答案为：③；
（2）解：原式＝
【点睛】本题主要考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的运算法则是解决本题的关键．
2．（）先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算可得．
【详解】解：原式
，
当时，原式．
【点睛】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
3．（）先化简,再求值,其中
【答案】
【分析】按照分式的加减乘除混合运算顺序，先算乘除，再算加减，分子分母能够因式分解的要因式分解，能够约分的要约分，将结果化为最简，再把a的值代入进行计算．
【详解】
＝
＝
=
=-a+1；
当a=3时，原式=-3+1=-2．
【点睛】本题考查了分式的混合运算，化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
4．（）先化简，再求值：，其中a，b满足．
【答案】
【分析】先利用非负数的性质求得a，b的值，然后代入化简后的代数式求值即可．
【详解】∵a，b满足．
∴a＋1＝0，b﹣＝0，解得a＝﹣1，b＝，
当a＝﹣1，b＝时，
∴原式．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，正确地把所求的代数式化简是解题的关键．
【题型六】分式化简求值
【典题】已知＝3，求分式的值．
【答案】
【分析】由已知可知x﹣y＝﹣3xy，然后代入所求的式子，进行约分就可求出结果．
【详解】解：∵
∴y﹣x＝3xy
∴x﹣y＝﹣3xy
∴
＝
＝
＝
＝．
【点睛】本题考查的是分式的化简求值，转化所求问题后将已知条件整体代入，正确的化简和已知条件转化是解答此题的关键．
巩固练习
1．（）先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】根据分式的混合运算的运算法则把原式化简为，再代入求值．
【详解】解：
．
当时，原式．
【点睛】本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．
2．（）先化简：，再从-1，0，1，2中选择一个适合的数代入求值．
【答案】，
【分析】先根据分式的混合运算法则化简，再取使得分式有意义的a的值代入计算即可．
【详解】解：
=
=
=
由原式可知，a不能取1，0，-1，
∴a=2时，原式=．
【点睛】此题考查了分式的化简求值，解题的关键是记住分式的混合运算，先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．
3．（）先化简，再求值：，其中m是已知两边分别为2和3的三角形的第三边长，且m是整数．
【答案】；
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，利用三角形三边的关系，求得m的值，代入计算即可求出值．
【详解】解：
，
∵m是已知两边分别为2和3的三角形的第三边长，
∴3-2＜m＜3+2，即1＜m＜5，
∵m为整数，
∴m=2、3、4，
又∵m≠0、2、3
∴m=4，
∴原式=．
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值以及三角形三边的关系，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则．
解：原式①②
③
…
解：