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北师大版八年级下册第一章 三角形的证明4 角平分线精品随堂练习题
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这是一份北师大版八年级下册第一章 三角形的证明4 角平分线精品随堂练习题，文件包含14角平分线原卷版docx、14角平分线解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共34页， 欢迎下载使用。
1.4 角平分线
角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。
几何描述：∵点P在∠AOB的平分线上，且PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D，E，
∴PD=PE。
角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上．
几何描述：∵PD⊥OA，PE⊥OB，且PD=PE，
∴ 点P在∠AOB的平分线上。
【题型一】角平分线的性质
【典题】（2022春·云南文山·八年级校联考期中）如图，E是∠AOB平分线上的一点．于点C，于点D，连结，则（ ）
A．50° B．45° C．40° D．25°
【答案】A
【分析】根据角平分线的性质得到ED=EC，得到∠EDC=，求出，利用三角形内角和定理求出答案．
【详解】解：∵OE是的平分线，，，
∴ED=EC，，
∴∠EDC=，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】此题考查了角平分线的性质定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟记角平分线的性质定理是解题的关键．
巩固练习
1．（ê）（2022春·湖南永州·八年级校考期中）如图，在中，，，，角平分线交于点，则点到的距离是（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】A
【分析】作DE⊥AC于E，作DF⊥BC于F，根据勾股定理可求AC，根据角平分线的性质可得DE=DF，再根据三角形面积公式即可求解．
【详解】解：作DE⊥AC于E，作DF⊥BC于F，
在Rt△ACB中，，
∵CD是角平分线，
∴DE=DF，
∴，即，
解得DE=．
故点D到AC的距离是．
故选：A．
【点睛】本题考查了勾股定理，角平分线的性质，关键是熟悉勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方；角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
2．（ê）（2022秋·黑龙江鸡西·八年级统考期末）如图，AD是△ABC 的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，且DE＝DG，则∠AED＋∠AGD和是（ ）
A．180° B．200° C．210° D．240°
【答案】A
【分析】过点作于，如图，根据角平分线的性质得到，则可根据“”判断，所以，然后利用得到．
【详解】解：过点作于，如图，
是的角平分线，，，
，
在和中，
，
，
，
，
．
故选：A．
【点睛】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了直角三角形全等的判定与性质．利用角平分线性质构造全等三角形是解题关键．
3．（ê）（2022春·山东枣庄·八年级统考期中）如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E．若DE=1，则BC的长为（ ）．
A．2+ B． C． D．3
【答案】A
【分析】过点D作DF⊥AC于F，由角平分线的性质可得DF=DE=1，在Rt△BED中，根据30度角所对直角边等于斜边一半可得BD长，在Rt△CDF中，由∠C=45°，可知△CDF为等腰直角三角形，利用勾股定理可求得CD的长，继而由BC=BD+CD即可求得答案．
【详解】如图，过点D作DF⊥AC于F，
∵AD为∠BAC的平分线，且DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴DF=DE=1，
在Rt△BED中，∠B=30°，
∴BD=2DE=2．
在Rt△CDF中，∠C=45°，
∴△CDF为等腰直角三角形，
∴CF=DF=1，
∴CD==，
∴BC=BD+CD=，
故选A．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．
4．（êê）（2022秋·全国·八年级期中）如图，的三边AB，BC，CA长分别是20，30，40，其三条角平分线将分为三个三角形，则等于（ ）．
A．1∶1∶1 B．1∶2∶3 C．2∶3∶4 D．3∶4∶5
【答案】C
【分析】过点分别作的垂线，垂足分别为点，先根据角平分线的性质定理可得，再根据三角形的面积公式即可得．
【详解】解：如图，过点分别作的垂线，垂足分别为点，
由角平分线的性质定理得：，
的三边长分别是20，30，40，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线的性质定理是解题关键．
5．（ê）（2022秋·天津·八年级天津市第五十五中学校考期中）如图，BO平分于点D，点E为射线BA上一动点，若，则OE的最小值为_______．
【答案】5
【分析】根据角平分线的性质即可求出．
【详解】解：当时，最小，
平分，，，
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查角平分线的性质，掌握角平分线的性质是解题的关键．
6．（ê）（2022春·江西吉安·八年级校考期中）如图，AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高．
（1）求证：AD垂直平分EF；
（2）若AB+AC＝10，S△ABC＝15，求DE的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）由角平分线的性质得DE＝DF，再根据HL证明Rt△AED≌Rt△AFD，得AE＝AF，从而证明结论；
（2）根据DE＝DF，得，代入计算即可．
【详解】（1）证明：∵AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高，
∴DE＝DF，
在Rt△AED与Rt△AFD中，
，
∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），
∴AE＝AF，
∵DE＝DF，
∴AD垂直平分EF；
（2）解：∵DE＝DF，
∴，
∵AB+AC＝10，
∴DE＝3．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，解题的关键是掌握这些知识点．
7．（ê）（2022秋·湖北黄石·八年级统考期末）如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC=CD．
（1）求证：△BCE≌△DCF；
（2）求证：AB+AD=2AE.
【答案】详见解析
【分析】（1）由角平分线定义可证△BCE≌△DCF（HL）；（2）先证Rt△FAC≌Rt△EAC，得AF=AE，由（1）可得AB+AD=（AE+BE）+（AF﹣DF）=AE+BE+AE﹣DF=2AE.
【详解】（1）证明：∵AC是角平分线，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，
∴CE=CF，∠F=∠CEB=90°，
在Rt△BCE和Rt△DCF中，
∴△BCE≌△DCF；
（2）解：∵CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，
∴∠F=∠CEA=90°，
在Rt△FAC和Rt△EAC中，，
∴Rt△FAC≌Rt△EAC，
∴AF=AE，
∵△BCE≌△DCF，
∴BE=DF，
∴AB+AD=（AE+BE）+（AF﹣DF）=AE+BE+AE﹣DF=2AE.
【点睛】本题考查了全等三角形的判定、性质和角平分线定义，注意：全等三角形的对应角相等，对应边相等，直角三角形全等的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，HL．
【题型二】角平分线的判定
【典题】（2022秋·甘肃定西·八年级统考期中）如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD，BE＝CF，则下列结论：①DE＝DF；②AD平分∠BAC；③AE＝AD；④AC－AB＝2BE中，正确的是（ ）
A．①②③ B．①②③④ C．①②④ D．②③④
【答案】C
【分析】利用“HL”证明Rt△BDE和Rt△CDF全等，根据全等三角形对应边相等可得DE＝DF；根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上判断出AD平分∠BAC；利用“HL”证明Rt△ADE和Rt△ADF全等，根据全等三角形对应边相等可得AE＝AF，即得出AB+BE＝AC-FC，从而即可得到AC-AB＝2BE；由垂线段最短可得AE＜AD．
【详解】解：在Rt△BDE和Rt△CDF中,
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴DE＝DF，故①正确；
又∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴AD平分∠BAC，故②正确；
在Rt△ADE和Rt△ADF中，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），
∴AE＝AF，
∴AB+BE＝AC-FC，
∴AC-AB＝BE+FC＝2BE，
即AC-AB＝2BE，故④正确；
由垂线段最短可得AE＜AD，故③错误，
综上所述，正确的是①②④．
故选C．
【点睛】本题主要考查了直角三角形全等的判定与角平分线的证明，熟练掌握相关概念是解题关键．
巩固练习
1（ê）（2022秋·河南开封·八年级统考期末）如图，四边形ABCD中，，，连接BD，BD⊥CD，垂足是D且，点P是边BC上的一动点，则DP的最小值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据等角的余角相等求出∠ABD＝∠CBD，再根据垂线段最短可知DP⊥BC时DP最小，然后根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DP＝AD.
【详解】解：∵BD⊥CD，∠A＝90°
∴∠ABD+∠ADB＝90°，
∠CBD+∠C＝90°，
∵∠ADB=∠C ，
∴∠ABD＝∠CBD，
由垂线段最短得，DP⊥BC时DP最小，
此时，DP＝AD＝3.
故选：C.
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质与判定，垂线段最短，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
2．（ê）（2022秋·河北沧州·八年级校考期末）如图，已知在中，，点D，E分别在边，上，，，若，则的度数为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【答案】C
【分析】过点D作于点F．由题意易证，即得出，说明AD为的角平分线，即可求出的大小，从而可求出的大小．
【详解】如图，过点D作于点F．
∴在和中，
∴，
∴，
∴AD为的角平分线，
∴，
∴．
故选C．
【点睛】本题考查三角形全等的性质和判定，角平分线的判定定理．作出常用的辅助线是解题关键．
3．（ê）（2022春·湖南娄底·八年级校考期中）如图，在中，，，，若，则_______．
【答案】##23度
【分析】根据题目所给条件，可以得到的度数，再根据题目所给条件以及角平分线的判定定理，可以得到是的角平分线，即可得到，再根据是直角三角形，从而得到最后的答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，，，
∴是的角平分线，
∴，
∴在中，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理，角平分线的判定定理与性质，解答本题的关键是熟练掌握角平分线的性质和判定定理．
4．（ê）（2022秋·全国·八年级期中）小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”小明的做法，其理论依据是__
【答案】在角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线上
【分析】根据角平分线的性质即可证明.
【详解】因为直尺的宽度一样，故点P到AO与BO的距离相等，故可知PO为角平行线.
【点睛】此题主要考查角平行线的性质，解题的关键是熟知角平分线的性质.
5．（ê）（2022秋·江苏南京·八年级统考期末）如图，在四边形ABCD中，AD＝CD，AB＝CB．下列结论：①BD垂直平分AC；②BD平分∠ADC；③ABCD；④ABD≌CBD．其中所有正确结论的序号是_______．
【答案】①②④
【分析】根据垂直平分线及全等三角形的判定和性质依次对各个结论进行判断即可得．
【详解】解：∵，，
∴BD垂直平分AC，①正确；
在与中，
，
∴，④正确；
由可得：
，
∴BD平分，②正确；
③无法证明；
故正确结论有：①②④，
故答案为：①②④．
【点睛】题目主要考查垂直平分线的性质和全等三角形的判定和性质，角平分线的判定等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
6．（ê）（2022秋·北京东城·八年级东直门中学校考期中）如图，∠B=∠C=90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC．求证：AE是∠DAB的平分线．
【答案】证明过程见详解
【分析】依据角平分线上的点到角两边的距离相等的性质构造EF⊥AD，从而得出EC=EF．再通过E是BC的中点，得出EF=EB，最终得出结论．
【详解】证明：过点E作EF⊥AD，垂足为F．
∵∠B=∠C=90°，
∴BC⊥CD，CB⊥AB．
∵DE平分∠ADC，
∴EC=EF．
∵E为BC的中点，
∴EC=EB，
∴EF=EB，
∵EF⊥AD，CB⊥AB，
∴AE平分∠DAB．
【点睛】本题考查角平分线的性质及判定方法，能熟记并运用角平分线上的点到角两边的距离相等，并以此判定角平分线是解题关键．
7．（êê）（2022秋·安徽芜湖·八年级统考期末）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，在△ADE中，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE，连接BD，CE交于点F，连接AF．
(1)求证：△ABD≌△ACE；
(2)求证：FA平分∠BFE．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据SAS证明结论即可；
（2）作AM⊥BD于M，作AN⊥CE于N．由（1）可得BD＝CE，S△BAD＝S△CAE，然后根据角平分线的性质即可解决问题．
【详解】（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，
即∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS）；
（2）证明：如图，作AM⊥BD于M，作AN⊥CE于N．
由△BAD≌△CAE，
∴BD＝CE，S△BAD＝S△CAE，
∵，
∴AM＝AN，
∴点A在∠BFE平分线上，
∴FA平分∠BFE．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、三角形的面积，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，学会转化的思想，巧用等积法进行证明．
【题型三】利用角平分线的性质解决实际生活问题
【典题】（2022秋·辽宁大连·八年级统考期末）如图，三条公路把A，B，C三个村庄连成一个三角形区域，某地区决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，则这个集贸市场应建在（ ）
A．三个角的角平分线的交点 B．三条边的垂直平分线的交点
C．三角形三条高的交点 D．三角形三条中线的交点
【答案】A
【分析】根据角平分线上的点到两边的距离相等即可解答．
【详解】根据题意要使集贸市场到三条公路的距离相等即集贸市场应建在三个角的角平分线的交点．
故本题选A．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，熟记角平分线的性质是解答本题的关键．
巩固练习
1（ê）（2022秋·四川宜宾·八年级统考期末）如图，三条笔直的公路两两相交，交点分别在点A、B、C处，有两户村民分别在点D和点E处，现准备建造一个蓄水池，要求水池到两条公路AB、BC的距离相等，且到两户村民D、E的距离相等，则水池修建的位置应该是（ ）
A．在∠B的平分线与DE的交点处
B．在线段AB、AC的垂直平分线的交点处
C．在∠B的平分线与DE的垂直平分线的交点处
D．在∠A的平分线与DE的垂直平分线的交点处
【答案】C
【分析】根据角平分线的性质得到水池修建在∠ABC的平分线上，根据线段的垂直平分线的性质得到水池修建在DE的垂直平分线上，从而可对各选项进行判断．
【详解】解：作∠ABC的平分线和DE的垂直平分线，它们相交于P点，如图，
则水池修建的位置应该为P点．
故选：C．
【点睛】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了线段垂直平分线的性质．
2．（ê）（2022秋·甘肃天水·八年级统考期末）如图所示，有三条道路围成，其中，一个人从处出发沿着行走了，到达处，恰为的平分线，则此时这个人到的最短距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】据角平分线上一点到角两边的距离相等，知此人此时到AB的最短距离即D到AB的距离，而D到AB的距离等于CD，而CD=BC-BD即得答案．
【详解】解：如下图，
过D作DE⊥AB于E，则此时此人到AB的最短距离即是DE的长．
∵AD平分∠CAB，AC⊥BC
∴DE=CD=BC-BD=1000-700=300（米）．
故选：C．
【点睛】本题考查角平分线性质定理和“垂线段最短” ．其关键是运用角平分线上一点到角两边的距离相等得出CD等于D到AB的距离．
3．（ê）（2022秋·天津和平·八年级校考期末）已知△ABC,两个完全一样的三角板如图摆放，它们的一组对应直角边分别在AB,AC上，且这组对应边所对的顶点重合于点M，点M一定在（ ）.
A．∠A的平分线上 B．AC边的高上 C．BC边的垂直平分线上 D．AB边的中线上
【答案】A
【分析】根据角平分线的判定推出M在∠BAC的角平分线上，即可得到答案．
【详解】如图，
∵ME⊥AB，MF⊥AC，ME=MF，
∴M在∠BAC的角平分线上，
故选：A．
【点睛】本题主要考查对角平分线的判定定理的理解和掌握，能熟练地利用角平分线的判定定理进行推理是解此题的关键．
4．（ê）（2022·福建福州·八年级福州日升中学校考期中）如图，O是△ABC的角平分线的交点，△ABC的面积和周长都为24，则点O到BC的距离为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】设点O到BC的距离为x，根据角平分线的性质定理可得点O到AB，BC，AC的距离相等，都等于x，再根据，即可求解．
【详解】解：设点O到BC的距离为x，
∵O是△ABC的角平分线的交点，
∴点O到AB，BC，AC的距离相等，都等于x，
∵△ABC的面积为24，周长为24，
∴，
解得：x=2．
即点O到BC的距离为2．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线上点到角两边的距离相等是解题的关键．
5（êê）（2022秋·天津南开·八年级南开翔宇学校校考期中）如图，是三条两两相交的公路，现需建一个仓库，要求仓库到三条公路距离相等，则仓库的可能地址有（ ）处．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】到三条相互交叉的公路距离相等的地点应是三条角平分线的交点，把三条公路的中心部位看作三角形，那么这个三角形两个内角平分线的交点以及三个外角两两平分线的交点都满足要求．
【详解】（1）三角形两个内角平分线的交点，共一处
（2）三个外角两两平分线的交点，共三处，
共四处，
故选：D．
．
【点睛】此题考查角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，熟记性质是正确解题的关键．
6．（ê）（2022秋·贵州遵义·八年级统考期末）如图，已知的周长是22，PB、PC分别平分和，于D，且，的面积是________．
【答案】33
【分析】连接AP，过点P分别作PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，根据角平分线的性质定理，可得PD=PE=PF=3，再根据三角形的面积等于三个小三角形的面积之和，即可求解．
【详解】解：如图，连接AP，过点P分别作PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，
∵PB、PC分别平分和，于D，
∴PD=PE，PD=PF，
∴PD=PE=PF=3，
∵的周长是22，
∴的面积是 ．
故答案为：33
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．
7．（ê）（2022秋·广东湛江·八年级校考期末）在△ABC中，AB＝5，BC＝8，AC＝6，AD平分∠BAC，则S△ABD：S△ACD＝___．
【答案】5：6
【分析】过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，根据角平分线的性质得出DE＝DF，根据三角形的面积公式求出答案即可．
【详解】解：过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∵AD平分∠BAC，
∴DE＝DF，
设DE＝DF＝R，
∵S△ABD＝＝R，S△ACD＝＝，
∴S△ABD：S△ACD＝5：6，
故答案为：5：6．
【点睛】本题考查了三角形的面积和角平分线的性质，注意：角平分线上的点到角的两边的距离相等．
8．（ê）（2022秋·北京西城·八年级北京育才学校校考期中）如图，要在河流的右侧、公路的左侧M区建一个工厂，位置的选择要满足到河流和公路的距离相等，小红说工厂应该建在河流与公路夹角的平分线上，请你帮小红说出她的理由__________________________________________________．
【答案】角平分线上的点到角两边的距离相等
【分析】根据角平分线性质定理求解即可．
【详解】解：角平分线上的点到角两边的距离相等．
故答案为：角平分线上的点到角两边的距离相等．
【点睛】本题考查角平分线性质，掌握角平分线性质是解题关键．
9．（ê）（2022秋·福建龙岩·八年级校考期中）如图，电信部门要在S区修建一座发射塔P．按照设计要求，发射塔P到两个城镇A、B的距离必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等，发射塔P应建在什么位置？在图上标出它的位置．（尺规作图：只保留作图痕迹，不写作图过程）
【答案】见解析
【分析】根据角平分线性质：角平分线上的点到角两边距离相等；线段垂直平分线性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，据此作图即可得答案．
【详解】解：连接AB，作线段AB的垂直平分线l，
作∠MON的平分线OQ，
OQ交直线l于P，
P点即为所求．
【点睛】本题考查了角平分线、线段垂直平分线的尺规作图方法，掌握这两种尺规作图方法是解题关键．
【题型四】画角平分线
【典题】（2022秋·吉林·八年级吉林省第二实验学校校考期末）观察下列作图痕迹，所作线段为的角平分线的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据角平分线画法逐一进行判断即可．
【详解】：所作线段为AB边上的高，选项错误；
B：做图痕迹为AB边上的中垂线，CD为AB边上的中线，选项错误；
C：CD为的角平分线，满足题意。
D：所作线段为AB边上的高，选项错误
故选：Ｃ.
【点睛】本题考查点到直线距离的画法，角平分线的画法，中垂线的画法，能够区别彼此之间的不同是解题切入点．
巩固练习
1．（ê）（2022秋·河北石家庄·八年级统考期末）如图1，已知，用尺规作它的角平分线．
如图2，步骤如下，
第一步：以为圆心，以为半径画弧，分别交射线，于点，；
第二步：分别以，为圆心，以为半径画弧，两弧在内部交于点；
第三步：画射线．射线即为所求．
下列正确的是（ ）
A．，均无限制 B．，的长
C．有最小限制，无限制 D．，的长
【答案】B
【分析】根据作角平分线的方法进行判断，即可得出结论．
【详解】第一步：以为圆心，适当长为半径画弧，分别交射线，于点，；
∴；
第二步：分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点；
∴的长；
第三步：画射线．射线即为所求．
综上，答案为：；的长，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了基本作图，解决问题的关键是掌握作角平分线的方法．
2．（ê）（2022秋·广西河池·八年级校考期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，且AC=AD．
（1）作∠BAC的平分线，交BC于点E；(要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)
（2）在（1）的条件下，连接DE，证明．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）首先以A为圆心，小于AC长为半径画弧，交AC、AB于N、M，再分别以N、M为圆心，大于MN长为半径画弧，两弧交于点Q，再画射线AQ交CB于E；
（2）依据证明得到，进一步可得结论．
【详解】解：（1）如图，为所作的平分线；
（2）证明：如图．连接DE，由(1)知：
在和中
∵
∴，
∴
又∵
∴，
∴
【点睛】此题主要考查了基本作图，以及全等三角形的判定和性质，关键是得到．
3．（ê）（2022秋·福建泉州·八年级校考期中）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高．
（1）尺规作图：作∠ABC的平分线（保留作图痕迹，不写作法，不写结论）；
（2）在已作图形中，若与AD交于点E，且BE=AC，BD=AD，求证：∠ABE=∠DAC．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）以B为圆心，任意长为半径画弧，得到与，的两个交点，分别以这两个交点为圆心，大于这两个交点间的距离的一半为半径画弧，得到两弧的交点，以为端点，过两弧的交点作射线即可；
（2）利用HL证出，再通过角平分线的性质和角的等量代换求证即可．
【详解】解：（1）如图所示即为所求：
（2）∵为的高
∴
∴在和中
∴
∴
又∵平分
∴
∴
【点睛】本题主要考查了角平分线的尺规作图和三角形全等的判定，熟悉掌握角平分线的作法和全等三角形的判定方法是解题的关键．
1.4 角平分线
角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。
几何描述：∵点P在∠AOB的平分线上，且PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D，E，
∴PD=PE。
角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上．
几何描述：∵PD⊥OA，PE⊥OB，且PD=PE，
∴ 点P在∠AOB的平分线上。
【题型一】角平分线的性质
【典题】（2022春·云南文山·八年级校联考期中）如图，E是∠AOB平分线上的一点．于点C，于点D，连结，则（ ）
A．50° B．45° C．40° D．25°
【答案】A
【分析】根据角平分线的性质得到ED=EC，得到∠EDC=，求出，利用三角形内角和定理求出答案．
【详解】解：∵OE是的平分线，，，
∴ED=EC，，
∴∠EDC=，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】此题考查了角平分线的性质定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟记角平分线的性质定理是解题的关键．
巩固练习
1．（ê）（2022春·湖南永州·八年级校考期中）如图，在中，，，，角平分线交于点，则点到的距离是（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】A
【分析】作DE⊥AC于E，作DF⊥BC于F，根据勾股定理可求AC，根据角平分线的性质可得DE=DF，再根据三角形面积公式即可求解．
【详解】解：作DE⊥AC于E，作DF⊥BC于F，
在Rt△ACB中，，
∵CD是角平分线，
∴DE=DF，
∴，即，
解得DE=．
故点D到AC的距离是．
故选：A．
【点睛】本题考查了勾股定理，角平分线的性质，关键是熟悉勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方；角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
2．（ê）（2022秋·黑龙江鸡西·八年级统考期末）如图，AD是△ABC 的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，且DE＝DG，则∠AED＋∠AGD和是（ ）
A．180° B．200° C．210° D．240°
【答案】A
【分析】过点作于，如图，根据角平分线的性质得到，则可根据“”判断，所以，然后利用得到．
【详解】解：过点作于，如图，
是的角平分线，，，
，
在和中，
，
，
，
，
．
故选：A．
【点睛】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了直角三角形全等的判定与性质．利用角平分线性质构造全等三角形是解题关键．
3．（ê）（2022春·山东枣庄·八年级统考期中）如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E．若DE=1，则BC的长为（ ）．
A．2+ B． C． D．3
【答案】A
【分析】过点D作DF⊥AC于F，由角平分线的性质可得DF=DE=1，在Rt△BED中，根据30度角所对直角边等于斜边一半可得BD长，在Rt△CDF中，由∠C=45°，可知△CDF为等腰直角三角形，利用勾股定理可求得CD的长，继而由BC=BD+CD即可求得答案．
【详解】如图，过点D作DF⊥AC于F，
∵AD为∠BAC的平分线，且DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴DF=DE=1，
在Rt△BED中，∠B=30°，
∴BD=2DE=2．
在Rt△CDF中，∠C=45°，
∴△CDF为等腰直角三角形，
∴CF=DF=1，
∴CD==，
∴BC=BD+CD=，
故选A．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．
4．（êê）（2022秋·全国·八年级期中）如图，的三边AB，BC，CA长分别是20，30，40，其三条角平分线将分为三个三角形，则等于（ ）．
A．1∶1∶1 B．1∶2∶3 C．2∶3∶4 D．3∶4∶5
【答案】C
【分析】过点分别作的垂线，垂足分别为点，先根据角平分线的性质定理可得，再根据三角形的面积公式即可得．
【详解】解：如图，过点分别作的垂线，垂足分别为点，
由角平分线的性质定理得：，
的三边长分别是20，30，40，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线的性质定理是解题关键．
5．（ê）（2022秋·天津·八年级天津市第五十五中学校考期中）如图，BO平分于点D，点E为射线BA上一动点，若，则OE的最小值为_______．
【答案】5
【分析】根据角平分线的性质即可求出．
【详解】解：当时，最小，
平分，，，
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查角平分线的性质，掌握角平分线的性质是解题的关键．
6．（ê）（2022春·江西吉安·八年级校考期中）如图，AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高．
（1）求证：AD垂直平分EF；
（2）若AB+AC＝10，S△ABC＝15，求DE的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）由角平分线的性质得DE＝DF，再根据HL证明Rt△AED≌Rt△AFD，得AE＝AF，从而证明结论；
（2）根据DE＝DF，得，代入计算即可．
【详解】（1）证明：∵AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高，
∴DE＝DF，
在Rt△AED与Rt△AFD中，
，
∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），
∴AE＝AF，
∵DE＝DF，
∴AD垂直平分EF；
（2）解：∵DE＝DF，
∴，
∵AB+AC＝10，
∴DE＝3．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，解题的关键是掌握这些知识点．
7．（ê）（2022秋·湖北黄石·八年级统考期末）如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC=CD．
（1）求证：△BCE≌△DCF；
（2）求证：AB+AD=2AE.
【答案】详见解析
【分析】（1）由角平分线定义可证△BCE≌△DCF（HL）；（2）先证Rt△FAC≌Rt△EAC，得AF=AE，由（1）可得AB+AD=（AE+BE）+（AF﹣DF）=AE+BE+AE﹣DF=2AE.
【详解】（1）证明：∵AC是角平分线，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，
∴CE=CF，∠F=∠CEB=90°，
在Rt△BCE和Rt△DCF中，
∴△BCE≌△DCF；
（2）解：∵CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，
∴∠F=∠CEA=90°，
在Rt△FAC和Rt△EAC中，，
∴Rt△FAC≌Rt△EAC，
∴AF=AE，
∵△BCE≌△DCF，
∴BE=DF，
∴AB+AD=（AE+BE）+（AF﹣DF）=AE+BE+AE﹣DF=2AE.
【点睛】本题考查了全等三角形的判定、性质和角平分线定义，注意：全等三角形的对应角相等，对应边相等，直角三角形全等的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，HL．
【题型二】角平分线的判定
【典题】（2022秋·甘肃定西·八年级统考期中）如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD，BE＝CF，则下列结论：①DE＝DF；②AD平分∠BAC；③AE＝AD；④AC－AB＝2BE中，正确的是（ ）
A．①②③ B．①②③④ C．①②④ D．②③④
【答案】C
【分析】利用“HL”证明Rt△BDE和Rt△CDF全等，根据全等三角形对应边相等可得DE＝DF；根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上判断出AD平分∠BAC；利用“HL”证明Rt△ADE和Rt△ADF全等，根据全等三角形对应边相等可得AE＝AF，即得出AB+BE＝AC-FC，从而即可得到AC-AB＝2BE；由垂线段最短可得AE＜AD．
【详解】解：在Rt△BDE和Rt△CDF中,
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴DE＝DF，故①正确；
又∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴AD平分∠BAC，故②正确；
在Rt△ADE和Rt△ADF中，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），
∴AE＝AF，
∴AB+BE＝AC-FC，
∴AC-AB＝BE+FC＝2BE，
即AC-AB＝2BE，故④正确；
由垂线段最短可得AE＜AD，故③错误，
综上所述，正确的是①②④．
故选C．
【点睛】本题主要考查了直角三角形全等的判定与角平分线的证明，熟练掌握相关概念是解题关键．
巩固练习
1（ê）（2022秋·河南开封·八年级统考期末）如图，四边形ABCD中，，，连接BD，BD⊥CD，垂足是D且，点P是边BC上的一动点，则DP的最小值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据等角的余角相等求出∠ABD＝∠CBD，再根据垂线段最短可知DP⊥BC时DP最小，然后根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DP＝AD.
【详解】解：∵BD⊥CD，∠A＝90°
∴∠ABD+∠ADB＝90°，
∠CBD+∠C＝90°，
∵∠ADB=∠C ，
∴∠ABD＝∠CBD，
由垂线段最短得，DP⊥BC时DP最小，
此时，DP＝AD＝3.
故选：C.
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质与判定，垂线段最短，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
2．（ê）（2022秋·河北沧州·八年级校考期末）如图，已知在中，，点D，E分别在边，上，，，若，则的度数为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【答案】C
【分析】过点D作于点F．由题意易证，即得出，说明AD为的角平分线，即可求出的大小，从而可求出的大小．
【详解】如图，过点D作于点F．
∴在和中，
∴，
∴，
∴AD为的角平分线，
∴，
∴．
故选C．
【点睛】本题考查三角形全等的性质和判定，角平分线的判定定理．作出常用的辅助线是解题关键．
3．（ê）（2022春·湖南娄底·八年级校考期中）如图，在中，，，，若，则_______．
【答案】##23度
【分析】根据题目所给条件，可以得到的度数，再根据题目所给条件以及角平分线的判定定理，可以得到是的角平分线，即可得到，再根据是直角三角形，从而得到最后的答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，，，
∴是的角平分线，
∴，
∴在中，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理，角平分线的判定定理与性质，解答本题的关键是熟练掌握角平分线的性质和判定定理．
4．（ê）（2022秋·全国·八年级期中）小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”小明的做法，其理论依据是__
【答案】在角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线上
【分析】根据角平分线的性质即可证明.
【详解】因为直尺的宽度一样，故点P到AO与BO的距离相等，故可知PO为角平行线.
【点睛】此题主要考查角平行线的性质，解题的关键是熟知角平分线的性质.
5．（ê）（2022秋·江苏南京·八年级统考期末）如图，在四边形ABCD中，AD＝CD，AB＝CB．下列结论：①BD垂直平分AC；②BD平分∠ADC；③ABCD；④ABD≌CBD．其中所有正确结论的序号是_______．
【答案】①②④
【分析】根据垂直平分线及全等三角形的判定和性质依次对各个结论进行判断即可得．
【详解】解：∵，，
∴BD垂直平分AC，①正确；
在与中，
，
∴，④正确；
由可得：
，
∴BD平分，②正确；
③无法证明；
故正确结论有：①②④，
故答案为：①②④．
【点睛】题目主要考查垂直平分线的性质和全等三角形的判定和性质，角平分线的判定等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
6．（ê）（2022秋·北京东城·八年级东直门中学校考期中）如图，∠B=∠C=90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC．求证：AE是∠DAB的平分线．
【答案】证明过程见详解
【分析】依据角平分线上的点到角两边的距离相等的性质构造EF⊥AD，从而得出EC=EF．再通过E是BC的中点，得出EF=EB，最终得出结论．
【详解】证明：过点E作EF⊥AD，垂足为F．
∵∠B=∠C=90°，
∴BC⊥CD，CB⊥AB．
∵DE平分∠ADC，
∴EC=EF．
∵E为BC的中点，
∴EC=EB，
∴EF=EB，
∵EF⊥AD，CB⊥AB，
∴AE平分∠DAB．
【点睛】本题考查角平分线的性质及判定方法，能熟记并运用角平分线上的点到角两边的距离相等，并以此判定角平分线是解题关键．
7．（êê）（2022秋·安徽芜湖·八年级统考期末）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，在△ADE中，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE，连接BD，CE交于点F，连接AF．
(1)求证：△ABD≌△ACE；
(2)求证：FA平分∠BFE．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据SAS证明结论即可；
（2）作AM⊥BD于M，作AN⊥CE于N．由（1）可得BD＝CE，S△BAD＝S△CAE，然后根据角平分线的性质即可解决问题．
【详解】（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，
即∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS）；
（2）证明：如图，作AM⊥BD于M，作AN⊥CE于N．
由△BAD≌△CAE，
∴BD＝CE，S△BAD＝S△CAE，
∵，
∴AM＝AN，
∴点A在∠BFE平分线上，
∴FA平分∠BFE．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、三角形的面积，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，学会转化的思想，巧用等积法进行证明．
【题型三】利用角平分线的性质解决实际生活问题
【典题】（2022秋·辽宁大连·八年级统考期末）如图，三条公路把A，B，C三个村庄连成一个三角形区域，某地区决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，则这个集贸市场应建在（ ）
A．三个角的角平分线的交点 B．三条边的垂直平分线的交点
C．三角形三条高的交点 D．三角形三条中线的交点
【答案】A
【分析】根据角平分线上的点到两边的距离相等即可解答．
【详解】根据题意要使集贸市场到三条公路的距离相等即集贸市场应建在三个角的角平分线的交点．
故本题选A．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，熟记角平分线的性质是解答本题的关键．
巩固练习
1（ê）（2022秋·四川宜宾·八年级统考期末）如图，三条笔直的公路两两相交，交点分别在点A、B、C处，有两户村民分别在点D和点E处，现准备建造一个蓄水池，要求水池到两条公路AB、BC的距离相等，且到两户村民D、E的距离相等，则水池修建的位置应该是（ ）
A．在∠B的平分线与DE的交点处
B．在线段AB、AC的垂直平分线的交点处
C．在∠B的平分线与DE的垂直平分线的交点处
D．在∠A的平分线与DE的垂直平分线的交点处
【答案】C
【分析】根据角平分线的性质得到水池修建在∠ABC的平分线上，根据线段的垂直平分线的性质得到水池修建在DE的垂直平分线上，从而可对各选项进行判断．
【详解】解：作∠ABC的平分线和DE的垂直平分线，它们相交于P点，如图，
则水池修建的位置应该为P点．
故选：C．
【点睛】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了线段垂直平分线的性质．
2．（ê）（2022秋·甘肃天水·八年级统考期末）如图所示，有三条道路围成，其中，一个人从处出发沿着行走了，到达处，恰为的平分线，则此时这个人到的最短距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】据角平分线上一点到角两边的距离相等，知此人此时到AB的最短距离即D到AB的距离，而D到AB的距离等于CD，而CD=BC-BD即得答案．
【详解】解：如下图，
过D作DE⊥AB于E，则此时此人到AB的最短距离即是DE的长．
∵AD平分∠CAB，AC⊥BC
∴DE=CD=BC-BD=1000-700=300（米）．
故选：C．
【点睛】本题考查角平分线性质定理和“垂线段最短” ．其关键是运用角平分线上一点到角两边的距离相等得出CD等于D到AB的距离．
3．（ê）（2022秋·天津和平·八年级校考期末）已知△ABC,两个完全一样的三角板如图摆放，它们的一组对应直角边分别在AB,AC上，且这组对应边所对的顶点重合于点M，点M一定在（ ）.
A．∠A的平分线上 B．AC边的高上 C．BC边的垂直平分线上 D．AB边的中线上
【答案】A
【分析】根据角平分线的判定推出M在∠BAC的角平分线上，即可得到答案．
【详解】如图，
∵ME⊥AB，MF⊥AC，ME=MF，
∴M在∠BAC的角平分线上，
故选：A．
【点睛】本题主要考查对角平分线的判定定理的理解和掌握，能熟练地利用角平分线的判定定理进行推理是解此题的关键．
4．（ê）（2022·福建福州·八年级福州日升中学校考期中）如图，O是△ABC的角平分线的交点，△ABC的面积和周长都为24，则点O到BC的距离为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】设点O到BC的距离为x，根据角平分线的性质定理可得点O到AB，BC，AC的距离相等，都等于x，再根据，即可求解．
【详解】解：设点O到BC的距离为x，
∵O是△ABC的角平分线的交点，
∴点O到AB，BC，AC的距离相等，都等于x，
∵△ABC的面积为24，周长为24，
∴，
解得：x=2．
即点O到BC的距离为2．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线上点到角两边的距离相等是解题的关键．
5（êê）（2022秋·天津南开·八年级南开翔宇学校校考期中）如图，是三条两两相交的公路，现需建一个仓库，要求仓库到三条公路距离相等，则仓库的可能地址有（ ）处．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】到三条相互交叉的公路距离相等的地点应是三条角平分线的交点，把三条公路的中心部位看作三角形，那么这个三角形两个内角平分线的交点以及三个外角两两平分线的交点都满足要求．
【详解】（1）三角形两个内角平分线的交点，共一处
（2）三个外角两两平分线的交点，共三处，
共四处，
故选：D．
．
【点睛】此题考查角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，熟记性质是正确解题的关键．
6．（ê）（2022秋·贵州遵义·八年级统考期末）如图，已知的周长是22，PB、PC分别平分和，于D，且，的面积是________．
【答案】33
【分析】连接AP，过点P分别作PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，根据角平分线的性质定理，可得PD=PE=PF=3，再根据三角形的面积等于三个小三角形的面积之和，即可求解．
【详解】解：如图，连接AP，过点P分别作PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，
∵PB、PC分别平分和，于D，
∴PD=PE，PD=PF，
∴PD=PE=PF=3，
∵的周长是22，
∴的面积是 ．
故答案为：33
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．
7．（ê）（2022秋·广东湛江·八年级校考期末）在△ABC中，AB＝5，BC＝8，AC＝6，AD平分∠BAC，则S△ABD：S△ACD＝___．
【答案】5：6
【分析】过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，根据角平分线的性质得出DE＝DF，根据三角形的面积公式求出答案即可．
【详解】解：过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∵AD平分∠BAC，
∴DE＝DF，
设DE＝DF＝R，
∵S△ABD＝＝R，S△ACD＝＝，
∴S△ABD：S△ACD＝5：6，
故答案为：5：6．
【点睛】本题考查了三角形的面积和角平分线的性质，注意：角平分线上的点到角的两边的距离相等．
8．（ê）（2022秋·北京西城·八年级北京育才学校校考期中）如图，要在河流的右侧、公路的左侧M区建一个工厂，位置的选择要满足到河流和公路的距离相等，小红说工厂应该建在河流与公路夹角的平分线上，请你帮小红说出她的理由__________________________________________________．
【答案】角平分线上的点到角两边的距离相等
【分析】根据角平分线性质定理求解即可．
【详解】解：角平分线上的点到角两边的距离相等．
故答案为：角平分线上的点到角两边的距离相等．
【点睛】本题考查角平分线性质，掌握角平分线性质是解题关键．
9．（ê）（2022秋·福建龙岩·八年级校考期中）如图，电信部门要在S区修建一座发射塔P．按照设计要求，发射塔P到两个城镇A、B的距离必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等，发射塔P应建在什么位置？在图上标出它的位置．（尺规作图：只保留作图痕迹，不写作图过程）
【答案】见解析
【分析】根据角平分线性质：角平分线上的点到角两边距离相等；线段垂直平分线性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，据此作图即可得答案．
【详解】解：连接AB，作线段AB的垂直平分线l，
作∠MON的平分线OQ，
OQ交直线l于P，
P点即为所求．
【点睛】本题考查了角平分线、线段垂直平分线的尺规作图方法，掌握这两种尺规作图方法是解题关键．
【题型四】画角平分线
【典题】（2022秋·吉林·八年级吉林省第二实验学校校考期末）观察下列作图痕迹，所作线段为的角平分线的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据角平分线画法逐一进行判断即可．
【详解】：所作线段为AB边上的高，选项错误；
B：做图痕迹为AB边上的中垂线，CD为AB边上的中线，选项错误；
C：CD为的角平分线，满足题意。
D：所作线段为AB边上的高，选项错误
故选：Ｃ.
【点睛】本题考查点到直线距离的画法，角平分线的画法，中垂线的画法，能够区别彼此之间的不同是解题切入点．
巩固练习
1．（ê）（2022秋·河北石家庄·八年级统考期末）如图1，已知，用尺规作它的角平分线．
如图2，步骤如下，
第一步：以为圆心，以为半径画弧，分别交射线，于点，；
第二步：分别以，为圆心，以为半径画弧，两弧在内部交于点；
第三步：画射线．射线即为所求．
下列正确的是（ ）
A．，均无限制 B．，的长
C．有最小限制，无限制 D．，的长
【答案】B
【分析】根据作角平分线的方法进行判断，即可得出结论．
【详解】第一步：以为圆心，适当长为半径画弧，分别交射线，于点，；
∴；
第二步：分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点；
∴的长；
第三步：画射线．射线即为所求．
综上，答案为：；的长，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了基本作图，解决问题的关键是掌握作角平分线的方法．
2．（ê）（2022秋·广西河池·八年级校考期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，且AC=AD．
（1）作∠BAC的平分线，交BC于点E；(要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)
（2）在（1）的条件下，连接DE，证明．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）首先以A为圆心，小于AC长为半径画弧，交AC、AB于N、M，再分别以N、M为圆心，大于MN长为半径画弧，两弧交于点Q，再画射线AQ交CB于E；
（2）依据证明得到，进一步可得结论．
【详解】解：（1）如图，为所作的平分线；
（2）证明：如图．连接DE，由(1)知：
在和中
∵
∴，
∴
又∵
∴，
∴
【点睛】此题主要考查了基本作图，以及全等三角形的判定和性质，关键是得到．
3．（ê）（2022秋·福建泉州·八年级校考期中）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高．
（1）尺规作图：作∠ABC的平分线（保留作图痕迹，不写作法，不写结论）；
（2）在已作图形中，若与AD交于点E，且BE=AC，BD=AD，求证：∠ABE=∠DAC．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）以B为圆心，任意长为半径画弧，得到与，的两个交点，分别以这两个交点为圆心，大于这两个交点间的距离的一半为半径画弧，得到两弧的交点，以为端点，过两弧的交点作射线即可；
（2）利用HL证出，再通过角平分线的性质和角的等量代换求证即可．
【详解】解：（1）如图所示即为所求：
（2）∵为的高
∴
∴在和中
∴
∴
又∵平分
∴
∴
【点睛】本题主要考查了角平分线的尺规作图和三角形全等的判定，熟悉掌握角平分线的作法和全等三角形的判定方法是解题的关键．
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