初中数学北师大版八年级下册1 平行四边形的性质学案及答案

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【学习目标】
1．理解平行四边形的概念，掌握平行四边形的性质定理和判定定理.
2．能初步运用平行四边形的性质进行推理和计算，并体会如何利用所学的三角形的知识解决四边形的问题．
3. 了解平行四边形的不稳定性及其实际应用．
4. 掌握两个推论：“夹在两条平行线间的平行线段相等”。“夹在两条平行线间的垂线段相等” ．
【要点梳理】
知识点一、平行四边形的定义
平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 平行四边形ABCD记作“ABCD”，读作“平行四边形ABCD”.
要点诠释：平行四边形的基本元素：边、角、对角线.相邻的两边为邻边，有四对；相对的边为对边，有两对；相邻的两角为邻角，有四对；相对的角为对角，有两对；对角线有两条.
知识点二、平行四边形的性质定理
平行四边形的对角相等；
平行四边形的对边相等；
平行四边形的对角线互相平分；
要点诠释：（1）平行四边形的性质定理中边的性质可以证明两边平行或两边相等；角的性质可以证明两角相等或两角互补；对角线的性质可以证明线段的相等关系或倍半关系.
（2）由于平行四边形的性质内容较多，在使用时根据需要进行选择.
（3）利用对角线互相平分可解决对角线或边的取值范围的问题，在解答时应联系三角形三边的不等关系来解决.
知识点三、平行线的性质定理
1.两条平行线间的距离：
（1）定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离.注：距离是指垂线段的长度，是正值.
2．平行线性质定理及其推论
夹在两条平行线间的平行线段相等.
平行线性质定理的推论：
夹在两条平行线间的垂线段相等.
【典型例题】
类型一、平行四边形的性质
1、如图，平行四边形ABCD的周长为60，对角线交于O，△AOB的周长比△BOC的周长大8，求AB，BC的长．

【答案与解析】
解： ∵四边形ABCD是平行四边形．
∴ AB＝CD，AD＝BC，AO＝CO，
∵ □ABCD的周长是60．
∴2AB＋2BC＝60，即AB＋BC＝30，①
又∵△ AOB的周长比△BOC的周长大8．
即（AO＋OB＋AB）－（BO＋OC＋BC）＝AB－BC＝8， ②
由①②有
解得
∴AB，BC的长分别是19和11．
【总结升华】根据平行四边形对角线互相平分，利用方程的思想解题.
举一反三：
【变式】如图：在平行四边形ABCD中，CE是∠DCB的平分线，F是AB的中点，AB＝6，BC＝4.求AE：EF：FB的值.

【答案】
解：∵ ABCD是平行四边形，所以AB∥CD，∠ECD＝∠CEB
∵CE为∠DCB的角平分线，
∴∠ECD＝∠ECB，
∴∠ECB＝∠CEB，
∴BC＝BE
∵BC＝4，所以BE＝4
∵AB＝6，F为AB的中点，所以BF＝3
∴EF＝BE－BF＝1，AE＝AB－BE＝2
∴AE：EF：FB＝2：1：3.
2、平行四边形ABCD的对角线相交于点O，且AD≠CD，过点O作OM⊥AC，交AD于点M，如果△CDM的周长是40cm，求平行四边形ABCD的周长．
【思路点拨】由四边形ABCD是平行四边形，即可得AB=CD，AD=BC，OA=OC，又由OM⊥AC，根据垂直平分线的性质，即可得AM=CM，又由△CDM的周长是40cm，即可求得平行四边形ABCD的周长．
【答案与解析】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，OA=OC，
∵OM⊥AC，
∴AM=CM，
∵△CDM的周长是40，
即：DM+CM+CD=DM+AM+CD=AD+CD=40，
∴平行四边形ABCD的周长为：2（AD+CD）=2×40=80（cm）．
∴平行四边形ABCD的周长为80cm．
【总结升华】此题考查了平行四边形的性质与线段垂直平分线的性质．解题的关键是注意数形结合思想的应用．
举一反三：
【变式】（2020•本溪）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF过点O且与AB、CD分别相交于点E、F，连接EC．
（1）求证：OE=OF；
（2）若EF⊥AC，△BEC的周长是10，求平行四边形ABCD的周长．
【答案】
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OD=OB，DC∥AB，
∴∠FDO=∠EBO，
在△FDO和△EBO中
∵
∴△FDO≌△EBO（AAS），
∴OE=OF；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，OA=OC，
∵EF⊥AC，
∴AE=CE，
∵△BEC的周长是10
∴BC+BE+CE=BC+AB=10，
∴平行四边形ABCD的周长=2（BC+AB）=20．
3、（2020春•白云区期末）如图，口ABCD的周长为52cm，AB边的垂直平分线经过点D，垂足为E，口ABCD的周长比△ABD的周长多10cm．∠BDE=35°．
（1）求∠C的度数；
（2）求AB和AD的长．
【思路点拨】（1）由于DE是AB边的垂直平分线，得到∠ADE=∠BDE=35°，于是推出∠A═55°，根据平行四边形的性质得到∠C=55°；（2）由DE是AB边的垂直平分线，得到DA=DB，根据平行四边形的性质得到AD=BC，AB=DC，由于口ABCD的周长为52，于是得到AB+AD=26，根据口ABCD的周长比△ABD的周长多10，得到BD=16，AD=16（cm），于是求出结论．
【答案与解析】解：（1）∵DE是AB边的垂直平分线，
∴∠ADE=∠BDE=35°，
∴∠A=90°﹣∠ADE=55°，
∵口ABCD，
∴∠C=∠A=55°；
（2）∵DE是AB边的垂直平分线，
∴DA=DB，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AB=DC，
∵口ABCD的周长为52，
∴AB+AD=26，
∵口ABCD的周长比△ABD的周长多10，
∴52﹣（AB+AD+BD）=10，
∴BD=16，
∴AD=16（cm），
∴AB=26﹣16=10（cm）．
【总结升华】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，平行四边形的性质，能综合应用这两个性质是解题的关键．
4、如图1，P为Rt△ABC所在平面内任一点（不在直线AC上），∠ACB=90°，M为AB的中点．
操作：以PA、PC为邻边作平行四边形PADC，连接PM并延长到点E，使ME=PM，连接DE．
（1）请你猜想与线段DE有关的三个结论，并证明你的猜想；
（2）若将“Rt△ABC”改为“任意△ABC”，其他条件不变，利用图2操作，并写出与线段DE有关的结论（直接写答案）．
【思路点拨】（1）连接BE，证△PMA≌△EMB，推出PA=BE，∠MPA=∠MEB，推出PA∥BE．根据平行四边形的性质得出PA∥DC，PA=DC，推出BE∥DC，BE=DC，得出平行四边形CDEB即可；
（2）连接BE，证△PMA≌△EMB，推出PA=BE，∠MPA=∠MEB，推出PA∥BE．根据平行四边形的性质得出PA∥DC，PA=DC，推出BE∥DC，BE=DC，得出平行四边形CDEB即可．
【答案与解析】
DE∥BC，DE=BC，DE⊥AC，
证明：连接BE，
∵M为AB中点，
∴AM=MB，
在△PMA和△EMB中
∵，
∴△PMA≌△EMB（SAS），
∴PA=BE，∠MPA=∠MEB，
∴PA∥BE．
∵四边形PADC是平行四边形，
∴PA∥DC，PA=DC，
∴BE∥DC，BE=DC，
∴四边形DEBC是平行四边形，
∴DE∥BC，DE=BC．
∵∠ACB=90°，
∴BC⊥AC，
∴DE⊥AC．
（2）解：DE∥BC，DE=BC．
【总结升华】本题考查了平行四边形性质和判定，全等三角形的性质和判定，平行线的性质和判定的综合运用．
举一反三：
【变式】已知：如图，在平行四边形ABCD中，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，∠DAB的平分线交DE于点M，交DF于点N，交DC于点P．
（1）求证：∠ADE=∠CDF；
（2）如果∠B=120°，求证：△DMN是等边三角形．
【答案】
证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠DAB=∠C，DC∥AB，
∵DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，
∴∠ADE=90°-∠DAB，∠CDF=90°-∠C，
∴∠ADE=∠CDF．
（2）证明：∵∠DAB的平分线交DE于点M，交DF于点N，交DC于点P，
∴∠DAP=∠BAP，
∵DC∥AB，
∴∠DPA=∠BAP，
∴∠DAP=∠DPA，
∴DA=DP，
∵∠ADE=∠CDF，∠DAP=∠DPA，DA=DP，
∴△DAM≌△DPN，
∴DM=DN，
∵∠B=120°，
∴∠MDN=360°-∠DEB-∠EFB-∠B=360°-90°-90°-120°=60°，
∴△DMN是等边三角形．
类型二、平行线性质定理及其推论
5、如图1，已知直线m∥n，点A、B在直线n上，点C、P在直线m上；
（1）写出图1中面积相等的各对三角形：△CAB与△PAB、△BCP与△APC、△ACO与△BOP__________________；
（2）如图①，A、B、C为三个顶点，点P在直线m上移动到任一位置时，总有__________△PAB与△ABC的面积相等；
（3）如图②，一个五边形ABCDE，你能否过点E作一条直线交BC（或延长线）于点M，使四边形ABME的面积等于五边形ABCDE的面积．
【思路点拨】（1）找出图①中同底等高的三角形，这些三角形的面积相等；
（2）因为两平行线间的距离是相等的，所以点C、P到直线n间的距离相等，也就是说△ABC与△PAB的公共边AB上的高相等，所以总有△PAB与△ABC的面积相等；
（3）只要作一个三角形CEM与三角形CED的面积相等即可．
【答案与解析】
解：（1）∵m∥n，
∴点C、P到直线n间的距离与点A、B到直线m间的距离相等；
又∵同底等高的三角形的面积相等，
∴图①中符合条件的三角形有：△CAB与△PAB、△BCP与△APC，△ACO与△BOP；
（2）∵m∥n，
∴点C、P到直线n间的距离是相等的，
∴△ABC与△PAB的公共边AB上的高相等，
∴总有△PAB与△ABC的面积相等；
（3）连接EC，过点D作直线DM∥EC交BC延长线于点M，连接EM，线段EM所在的直线即为所求的直线．
【总结升华】本题主要考查了三角形的面积及平行线的性质，利用平行线间的距离相等得到同底等高的三角形是解题的关键．