北师大版7 相似三角形的性质精品同步达标检测题

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第14讲 相似三角形的性质及应用
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课程标准
1、探索相似三角形的性质，能运用性质进行有关计算；
2、通过典型实例认识现实生活中物体的相似，能运用图形相似的知识解决一些简单的实际问题（如何把实际问题抽象为数学问题）.
知识精讲

知识点01 相似三角形的应用
1．测量高度
测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的原理解决.
测量旗杆的高度的几种方法：






平面镜测量法 影子测量法 手臂测量法 标杆测量法
2．测量距离
测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解。
（1）如甲图所示，通常可先测量图中的线段DC、BD、CE的距离（长度），根据相似三角形的性质，求出AB的长.
（2） 如乙图所示，可先测AC、DC及DE的长，再根据相似三角形的性质计算AB的长.

注意：
（1）比例尺：表示图上距离比实地距离缩小的程度，比例尺= 图上距离/ 实际距离;
（2）太阳离我们非常遥远，因此可以把太阳光近似看成平行光线．在同一时刻，两物体影子之比等于其对应高的比;
（3）视点：观察事物的着眼点（一般指观察者眼睛的位置）;
（4）仰（俯）角：观察者向上（下）看时，视线与水平方向的夹角．
知识点02 相似三角形的性质
1．相似三角形的对应角相等，对应边的比相等.
2. 相似三角形中的重要线段的比等于相似比.
相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.
注意：
要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段.
3. 相似三角形周长的比等于相似比.
∽，则
由比例性质可得：

4. 相似三角形面积的比等于相似比的平方.
∽，则分别作出与的高和，则






能力拓展

考法01 相似三角形的应用
【典例1】小明在测量楼高时，先测出楼房落在地面上的影长BA为15米（如图），然后在A处树立一根高2米的标杆，测得标杆的影长AC为3米，则楼高为

A．10米 B．12米 C．15米 D．22.5米
【答案】A
【解析】试题分析：在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．因此，
∵，即，∴楼高=10米．故选A．
【即学即练】已知如图，小明在打网球时，要使球恰好能打过网，而且落在离网5m的位置上，则球拍击球的高度h应为（    ）   

A．2.7m B．1.8m C．0.9m D．2.5m
【答案】A
【解析】由题意知，,
h=2.7m,选A.
【典例2】为测量一河两岸相对电线杆、之间的距离，有四位同学分别测量出了一下四组数据：
①，；②，，；③，，；④，，；
能根据所测数据，求出、间距离的共有（ ）

A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
【答案】C
【解析】①因为知道∠ACB和AC的长，所以可利用∠ACB的正切来求AB的长，故①正确；
②可利用∠ACB和∠ADB的正切由CD的长，得出关于AB，AC的比例式，利用方程求出AB即可，故②正确；
③因为△ABD∽△EFD可利用，求出AB即可，故③正确；
④无法求出A，B间距离，故④错误，
故共有3组可以求出A，B间距离，
故选C．
【即学即练】如图，在针孔成像问题中，根据图形尺寸可知像 的长是物AB长的（    ）   

A．3倍 B．不知AB的长度，无法计算 C． D．
【答案】C
【解析】如图，作OM⊥AB，ON⊥A′B′，

∵AB∥A′B′，
∴△OAB∽△OA′B′，
∴，
即，
∴A′B′=AB．
故选C.
考法02 相似三角形的性质
【典例3】如图，G是△ABC的重心，如果AB=AC=5，BC=8，那么AG的长是(     )

A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】解：如图所示：连接AG并延长交BC于点D，

∵G是△ABC的重心，AB＝AC＝5，BC＝8，
∴AD⊥BC，BD＝BC＝×8＝4，
∴AD＝ ＝ ＝3，
∴AG＝AD＝×3＝2．
故选：B．
【即学即练】如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝8．E是BC上一点，BE＝5，DE⊥AB，垂足为D，则DE的长为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝8，
∴AC6，
∵DE⊥AB，
∴∠EDB＝∠C＝90°，
又∵∠B＝∠B，
∴△DEB∽△CAB，
∴，
∴，
∴DE＝3，
故选：C．
【典例4】如图，在中，E为边上的点，若，交于F，则等于（       ）

A．4：5 B．2：5 C．5：9 D．4：9
【答案】B
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵BE：EC＝2：3，
∴BE：AD＝2：5，
∵AD∥BC，
∴△ADF∽△EBF，
∴BF：FD＝BE：AD＝2：5，
故选：B．
【即学即练】如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，S△DEF：S△ABF＝4：25，则DE：DC＝(     )

A．2：5 B．3：5 C．5：2 D．5：3
【答案】A
【解析】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴DEAB，
∴△DEF∽△BAF，
∴，
∴，
故选：A．
分层提分

题组A 基础过关练
1．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ADC=90°，则△ABC斜边AB上的高为（　　）

A．CD B．AC C．BC D．BD
【答案】A
【解析】∵∠ADC=90°，
∴CD⊥AB，
∴CD是△ABC斜边上的高，
故选A．
2．小华同学的身高为米，某一时刻他在阳光下的影长为米，与他邻近的一棵树的影长为米，则这棵树的高为（   ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】B
【解析】据相同时刻的物高与影长成比例，
设这棵树的高度为xm，
则可列比例为
解得，x=4.8．
故选：B
3．如图，在中，是边上的高，，分别是，的角平分线，，，则的度数为（       ）

A．5° B．10° C．15° D．20°
【答案】A
【解析】解：在中，是边上的高，是的角平分线，，
∴∠BAE=，∠ADB=90°
又因为
∴∠BAD=180°-∠ADB-∠ABC=30°
∴=∠BAE-∠BAD=5°
故选：A．
4．如图，AB∥CD，，AB＝2，则CD的长为（　　）


A． B． C．3 D．4
【答案】B
【解析】解：∵，
∴△ABE∽△DEC，
∴ ， 而，AB＝2，
∴
∴，
故选：B．
5．已知ABC∽DEF，若AB：DE＝1：2，则ABC与DEF的面积之比是（　　）
A．1：3 B．1：4 C．1：9 D．1：16
【答案】B
【解析】解：∵△ABC∽△DEF，

∵ AB：DE＝1：2，，
∴△ABC与△DEF的面积比
故选：B．
6．如图，在△ABC中，D、E分别在BA、CA的延长线上，且DEBC，下列比例式成立的是（   ）

A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】解：∵DE∥BC，
∴，故C错误；
∴，故D错误；
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，故B正确，A错误，
故选：B．
7．如图，D、E分别是ABC的AC，AB边上的点，BD，CE相交于点O，若，那么S四边形ADOE＝_____．

【答案】
【解析】连接DE，
因为＝，＝，将已知数据代入可得S△DOE＝，
设S△ADE＝x，则由＝＝，＝＝，
得方程＝，
解得：x＝，
所以四边形ADOE的面积＝x+＝．
故四边形ADOE的面积是．
故答案为：．

8．如图，四边形是正方形，，E是中点，连接，的垂直平分线分别交于M、O、N，连接，过E作交于F，则______．

【答案】2
【解析】设，则
垂直平分

在中，

又∵E是中点
∴

解得
又∵







故答案为：2．
9．每年的秋冬季节，青竹湖湘一外国语学校的银杏大道是学校最为靓丽的一条风景线，数学彭老师有一天为了测量一棵高不可攀的银杏树高度，他利用了反射定律，利用一面镜子和皮尺，设计如图所示的测量方案：把镜子放在离银杏树m的点处，然后观测者沿着直线后退到点，这时恰好在镜子里看到树梢顶点，再用皮尺量得m，观测者目高m，则树高约是多少米？

【答案】树高约是7m．
【解析】根据题意，易得，，
则，
则，即，
解得：AB=7m，
答：树高AB约是7m．
10．如图，在矩形ABCD中，AB：BC＝1：2，点E在AD上，BE与对角线AC交于点F．

(1)求证：△AEF∽△CBF；
(2)若BE⊥AC，求AE：ED．
【答案】(1)见解析
(2)1：3
【解析】(1)解：证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，
∴△AEF∽△CBF；
(2)设AB=x，则BC=2x，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD=BC=2x，∠BAD=∠ABC=90°，
∵BE⊥AC，
∴∠AFB=90°，
∵∠ABF+∠BAF=90°，∠BAC+∠ACB=90°，
∴∠ABF=∠ACB，
∵∠BAE=∠ABC，∠ABE=∠BCA，
∴△ABE∽△BCA，
∴，即，
∴AE=x，
∴DE=AD-AE=，
∴AE：DE==1：3．
题组B 能力提升练
1．如图，的高、相交于O，如果，那么的大小为（       ）

A．35° B．105° C．125° D．135°
【答案】C
【解析】解：∵∠A=55°，CD、BE是高
∴∠ABC+∠ACB=125°，∠AEB=∠ADC=90°
∴∠ABE=180°－∠AEB－∠A=35°，∠ACD=180°－∠ADC－∠A=35°
∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB）－（∠ABE＋∠ACD）=55°
∴∠BOC=180º－（∠OBC+∠OCB）=125°
故选C．
2．如图，在△ABC中，AD、AE分别是边BC上的中线与高，AE=4，△ABC的面积为12，则CD的长为（     ）

A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解析】解：∵，，
∴，
∵AD是BC上的中线，
∴．
故选：B．
3．如图，△ABC的面积计算方法是（　　）

A．ACBD B．BCEC C．ACBD D．ADBD
【答案】C
【解析】解：由图可得：线段BD是△ABC底边AC的高线，EC不是△ABC的高线，
所以△ABC的面积为，
故选C．
4．如图，△ABC的两条中线BE、CD交于点O，则下列结论不正确的是（　　）

A． B． C．S△DOE：S△BOC＝1：2 D．△ADE∽△ABC
【答案】C
【解析】解：∵BE和CD是△ABC的中线，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DEBC，，
∴，故A选项不符合题意；
∵，
∴，故B选项不符合题意；
∵，
∴△DOE∽△COB，
∴（）2＝（）2，故C选项符合题意；
∵，
∴△ADE∽△ABC，故D选项不符合题意；
故选：C．
5．如图，平行四边形ABCD中，G、H分别是AD，BC的中点，AE⊥BD，CF⊥BD，四边形GEHF是矩形，若，，则BD的长为（       ）

A． B． C．8 D．
【答案】A
【解析】解：解：如图，连接GH，

在矩形GEHF中，∠EHF=90°，EF=GH，
∵CF⊥BD，
∴∠EHF=∠BFC=90°，
∵点H是BC的中点，
∴FH=BH=CH=4，
∴∠FBH=∠BFH，
∴△EFH~△CBF，
∴，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AG∥BH，AD=BC，AB=CD，AB∥CD，
∴∠ABE=∠CDF，
∵点G、H分别为AD、BC的中点，
∴AG=BH，
∴四边形ABHG是平行四边形，
∴EF=GH=AB=5，
∴，解得：，
∴，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF，
∴，
∴．
故选：A
6．如图，在中，AD，BE是两条中线，则为（　　）

A．1：2 B．1：4 C．1：3 D．1：6
【答案】B
【解析】解：∵AD，BE是两条中线，
∴点D，E分别为BC，AC的中点，
∴DE∥AB且，
∴△EDC∽△ABC，
∴．
故选：B
7．如图，小颖同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，她调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知纸板的两条边DE＝8cm，DF＝10cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝8m，则树高AB＝________m．

【答案】7.5
【解析】解：∵∠DEF＝∠BCD＝90°，∠D＝∠D，
∴△DEF∽△DCB，
∴，
∵DE＝8cm＝0.08m，DF＝10cm＝0.1m，AC＝1.5m，CD＝8m，
∴由勾股定理求得EF＝0.06m，
∴，
∴BC＝6米，
∴AB＝AC+BC＝1.5+6＝7.5（米）．
故答案为：7.5．
8．为了测量河宽AB，某同学采用以下方法：如图，取一根标尺，把它横放，使CD∥AB，并使点B，D，O和点A，C，O分别在同一条直线上，量得CD＝10米，OC＝15米，OA＝45米，则河宽AB＝______米．

【答案】30
【解析】解：∵CD∥AB，
∴△OCD∽△OAB．
∴，
∵CD=10米，OC=15米，OA=45米，
∴，
∴AB=30．
故答案为：30．
9．如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，AB=13cm，BC=12cm，AC=5cm，求：
（1）求△ABC的面积
（2）求CD的长；
（3）作出△ABC的边AC上的中线BE，并求出△ABE的面积．

【答案】（1）30cm2；（2）cm；（3）见解析，15cm2
【解析】（1）∵∠ACB＝90°，BC＝12cm，AC＝5cm，
∴S△ABC＝BC×AC＝30cm2，
（2）∵S△ABC＝AB×CD＝30cm2，
∴CD＝30÷AB＝cm，
（3）如图，BE是△ABC的边AC上的中线，
∴S△ABE＝S△ABC＝×30＝15cm2．

10．如图，在中，C，D分别是上的点．若．

(1)求证：；
(2)求的长．
【答案】(1)见解析
(2)AB＝8
【解析】(1)证明：∵CD＝CP＝4，DP＝5，AC＝6，BD＝3，
∴AP＝AC+CP＝6+4＝10，BP＝BD+DP＝3+5＝8，
∴，，
∴，即，
∵∠DPC＝∠APB，
∴△ABP∽△DCP；
(2)解：∵△ABP∽△DCP，
∴，即，
∴AB＝8．
题组C 培优拔尖练
1．如图，AE、AD分别是的高和角平分线，且，，则的度数为（       ）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵，，
∴∠BAC=，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=，
∴∠ADC=∠B+∠BAD=，
∵AE⊥BC，
∴∠AED=，
∴∠DAE=-∠ADE=，
故选：B．
2．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝2，过A点作AD∥BC；AE⊥AC，AC＝AE，AD＝3，连接DE，则△ADE的面积为（       ）

A．3 B．6 C．12 D．18
【答案】A
【解析】过E作EF⊥DA，交DA延长于F，
∵AE⊥AC，
∴∠EAF+∠FAC=90º，
∵AD∥BC，∠B＝90°，
∴∠BAF+∠B=180º，
∴∠BAF=90º，
∴∠BAC+∠FAC=90º，
∴∠EAF=∠BAC，
∠F=∠B，
AE=AC，
∴△AEF≌△ACB(AAS)，
∴EF=BC=2，
∴S△ADE==3，
故选择：A．

3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线．若AC＝6，AB＝10，则S△ABD：S△ACD为（　　）

A．5：3 B．5：4 C．4：3 D．3：5
【答案】A
【解析】解：作DE⊥AB交AB于E点，

∵AD是∠BAC的平分线，∠C＝90°，DE⊥AB，
∴DE=DC，
∵AC＝6，AB＝10，
∴S△ABD=×AB×DE=×10×DE=5DE，
S△ACD=×AC×DC=×6×DC=3DC，
∴S△ABD：S△ACD=5DE:3DC=5:3．
故选A．
4．如图，在中，//，//，下列结论一定正确的是（       ）

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】解：∵EG∥BD，∴，故错误；
∵//，∴，故错误；
∵FG∥AC，∴△DFG∽△DCA，∴，故错误；
∵//，//，∴，故正确；
故选：D．
5．如图，在菱形中，，交BC的延长线于点E．连接AE交BD于点F，交CD于点G、于点H，连接CF．有下列结论：①；②；③；④．其中正确结论个数为（       ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴对角线BD所在直线是菱形ABCD的对称轴， A与C关于对称，
，， 故①正确，
，
，
，
又 ，
，
，
，
， 故②正确，
菱形中，，
，，，
设 ，
，
，
Rt中，，
，
，

，
设，则，
，
又，
，
，
，
， 故③正确，

Rt中，，
，
Rt中，，
，

，

Rt中，，
Rt中，，
，
，
，
， 故④正确，
故正确的为∶ ①②③④．
故选D
6．如图，在菱形ABCD中，，点E、F分别为边AB、BC上的点，且，连接CE、AF交于点H，连接DH交AC于点O．下列结论：①；②；③；④．其中结论正确的是（       ）

A．①② B．①③④ C．②③④ D．①②③④
【答案】D
【解析】解：①四边形ABCD是菱形，



是等边三角形，


与


故①正确；
②








故②正确；
③在HD上截取HP=AH，连接AP,如图，

点A、H、C、D四点共圆

是等边三角形






故③正确；

④过点D作于点，作交的延长线于点，如图












平分




故④正确，

即正确的有①②③④
故选：D
7．如图，在中，于点，于点，且，，，则_________．

【答案】
【解析】解：根据三角形面积公式可得，，
∵AB=3，BC=6，CE=5，
∴，
解得．
故答案为：．
8．如图，中，，连接交于点E，，垂足为点G，交的延长线于点F，连接，若，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的序号是___________．

【答案】①②④
【解析】解：∵
∴，
∴，
∵，
∴，
∵
∴，
∴，
∴
∴
∴，
故①正确；
延长AC，作CM=EC，过点M作,垂足为N，连接CN，

∵，CM=EC，，
∴，
∴，
∵，，
∴
∵ ，
∴,
∴,,
又∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵
∴，
故②正确；
∵，
∴，
∵CF于CN相交于点N，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴于不相似，
故③错误；
∵
∴,
又∵
∴
∴
设
∵，
∴
∵，，，
∴，
∴，
解方程得（负数舍去），
∴，
故④正确；
综上所述①②④正确，
故答案为：①②④．
9．如图，四边形ABCD为正方形，且E是边BC延长线上一点，过点B作BF⊥DE于F点，交AC于H点，交CD于G点．

(1)求证：△BGC∽△DGF；
(2)求证：；
(3)若点G是DC中点，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形∴∵∴∴，又∵，∴△BGC∽△DCF．
（2）证明：由（1）知△BGC∽△DGF，∴，∴∵四边形ABCD是正方形，∴∴．
（3）解：由（1）知△BCC∽△DGF，∴，在△BGC与△DEC中，∴△BGC≌△DEC（ASA）∴∵G是CD中点∴∴∵△BGC∽△DGF∴在Rt△BGC中，设，则，∴∴
10．将一副三角尺如图1放置，其中AD为Rt△ABC中BC边上的高，DE，DF分别交AB，AC于点M和N．

(1)求证：△AMD∽△CND；
(2)如图2，将Rt△DEF绕点D旋转，此时EF∥BC，且E，A，F共线，判断是否成立，并给出证明．
【答案】(1)见解析
(2)成立，证明见解析
【解析】(1)解：证明：∵AD为Rt△ABC中BC边上的高，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∴∠ADN+∠CDN=90°，
∵∠ADN+∠ADM=90°，
∴∠CDN=∠ADM，
又∵∠BAC=90°，
∴∠MAD+∠DAC=90°，
∵∠DAC+∠ACD=90°，
∴∠MAD=∠ACD，
∴△AMD∽△CND；
(2)解：成立．
证明：∵EF∥BC，
∴∠EAD=∠ADC=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠EAM=∠DAN，
∵△EDF为等腰直角三角形，
∴∠E=45°，
∴∠ADE=∠ADF=45°，
∴△AEM∽△ADN，
∴．