数学选择性必修第一册3.2 双曲线优秀课时训练

这是一份数学选择性必修第一册3.2 双曲线优秀课时训练，文件包含同步讲义苏教版2019高中数学选修第一册第10讲双曲线的方程与几何性质学生版doc、同步讲义苏教版2019高中数学选修第一册第10讲双曲线的方程与几何性质教师版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共115页， 欢迎下载使用。

第三章 圆锥曲线与方程
第10讲 双曲线的方程与几何性质

目标导航


课程标准
重难点
1.掌握双曲线的定义与方程
2.了解双曲线的常见性质以及掌握椭圆的几何意义

1.双曲线几何意义的应用
2.离心率与渐近线

知识精讲

知识点01 双曲线的定义与方程
1.双曲线的定义
一般地,平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线(如图所示).
(1)两个定点叫做双曲线的焦点;
(2)叫做双曲线的焦距.

2.双曲线的标准方程
定义

图形


标准方程


焦点


a, b, c的关系


【即学即练1】设，分别是双曲线的左、右焦点，若点在双曲线上，且，则（       ）
A．5 B．1 C．3 D．1或5
【即学即练2】已知点，，动点满足条件.则动点的轨迹方程为（       ）
A． B．
C． D．
【即学即练3】双曲线C的两焦点分别为(－6，0)，(6，0)，且经过点(－5，2)，则双曲线的标准方程为（       ）
A． B．
C． D．
【即学即练4】已知双曲线.若矩形的四个顶点在E上，的中点为E的两个焦点，且，则双曲线E的标准方程是
A． B． C． D．
【即学即练5】平面内有两个定点和，动点满足，则动点的轨迹方程是（       ）．
A． B．
C． D．






3.双曲线的渐近线
如果曲线上的一点沿着趋于无穷远时，该点与某条直线的距离趋于零，则称此条直线为曲线的渐近线。
双曲线的渐近线与双曲线永不相交
双曲线的两条渐近线的斜率互为相反数
双曲线的渐近线方
程为,双曲线的
渐近线方程为.
【即学即练6】双曲线的渐近线方程为（　　）
A． B． C． D．
【即学即练7】若直线与双曲线的一条渐近线平行，则实数m的值为（       ）
A． B．9 C． D．3
【即学即练8】已知焦距为4的双曲线的一条渐近线与直线垂直，则该双曲线的方程为（       ）
A． B．
C． D．

4.双曲线的离心率
(1)定义:双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率,用表示,即.
(2)的几何意义:是表示双曲线张口大小的一个量,越大,张口越大.
(3)的范围: .

【即学即练9】若双曲线C两条渐近线方程是，则双曲线C的离心率是（       ）．
A． B． C．2 D．
【即学即练10】已知双曲线C：（，）的一条渐近线为y=2x，则C的离心率为（       ）
A． B． C． D．
【即学即练11】若双曲线(a＞0，b＞0)的离心率为2，则其两条渐近线所成的锐角为（       ）
A． B． C． D．


5.等轴双曲线
实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线,其方程为,其中离心率,渐近线方程为,它们互相垂直
【即学即练12】中心在原点，实轴在轴上，一个焦点在直线上的等轴双曲线方程是（       ）
A． B． C． D．
【即学即练13】已知双曲线的实轴和虚轴等长，且过点（5，3），则双曲线方程为（       ）
A． B．
C． D．


6.共轭双曲线
若一个双曲线的实轴和虚轴分别是另一个双曲线的虚轴和实轴,则这两个双曲线是共轭的,其中一个双曲线是另一个双曲线的共轭双曲线,双曲线的共轭双曲线方程为 ,它们有共同的渐近线,其方程为,它们的离心率满足关系式.
【即学即练14】定义：以双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴的双曲线与原双曲线互为共轭双曲线，以下关于共轭双曲线的结论正确的个数是（       ）
①与共轭的双曲线是；
②互为共轭的双曲线渐近线不相同；
③互为共轭的双曲线的离心率为，则；
④互为共轭的双曲线的4个焦点在同一圆上．
A．1 B．2 C．3 D．4
【即学即练15】若双曲线和它的共轭双曲线的离心率分别为，，则，应满足的关系是（       ）
A． B． C． D．
【即学即练16】以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线，称它们互为共轭双曲线．设双曲线：（，）与双曲线互为共轭双曲线，它们的离心率分别为、．以下说法错误的是
A．、的渐近线方程都是 B．的最小值是2
C． D．
【即学即练17】定义：以双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴的双曲线与原双曲线互为共轭双曲线．已知双曲线的一条渐近线过点，则的共轭双曲线的标准方程为_______________________．
【即学即练18】定义：以双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴的双曲线与原双曲线互为共轭双曲线．已知双曲线，则其共轭双曲线离心率为__________．

7.双曲线求标准方程常见结论
(1)与双曲线有共同渐近线的双曲线的方程可设为;
(2)若双曲线的渐近线方程是,则双曲线的方程可设为;
(3)与双曲线共焦点的双曲线的方程可设为;
(4)过两个已知点的双曲线的方程可设为;
(5)与椭圆有共同焦点的双曲线的方程可设为.
【即学即练19】过点且与椭圆有相同焦点的双曲线方程为（       ）
A． B． C． D．
【即学即练20】若双曲线经过点，且它的两条渐近线方程是，则双曲线的离心率是（       ）．
A． B． C．5 D．
【即学即练21】已知双曲线C的渐近线方程为，且焦距为10，则双曲线C的标准方程是（       ）
A． B．
C．或 D．或
【即学即练22】以为渐近线，且过点的双曲线的标准方程为______．
【即学即练23】已知双曲线与双曲线有共同的渐近线，则双曲线的离心率是______.



知识点02 双曲线的几何性质
1.双曲线的几何性质
图形


标准方程


范围
或
或
对称性
关于 轴、 轴对称, 关于原点中心对称
顶点


半长轴
实半轴长为 , 虚半轴长为
离心率

渐近线方程



【即学即练24】已知双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的焦距为（       ）
A． B． C． D．
【即学即练25】双曲线与有相同的（       ）
A．离心率 B．渐近线 C．实轴长 D．焦点
【即学即练26】已知双曲线的方程为，则下列关于双曲线说法正确的是（       ）
A．虚轴长为4 B．焦距为
C．焦点到渐近线的距离为4 D．渐近线方程为
【即学即练27】双曲线的渐近线方程为，实轴长为2，则为（       ）
A． B． C． D．
【即学即练28】曲线与曲线的（       ）
A．实轴长相等 B．虚轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等
【即学即练29】已知双曲线的左焦点为F，直线与C交于A，B两点（其中点A位于第一象限），，O为坐标原点，且的面积为，则C的离心率是（       ）
A． B．2 C． D．3
【即学即练30】已知双曲线，过原点的直线与双曲线交于A，B两点，以线段AB为直径的圆恰好过双曲线的右焦点F，若的面积为，则双曲线的离心率为（       ）
A． B． C．2 D．
【即学即练31】若双曲线的焦距等于虚轴长的3倍，则的值为______．
【即学即练32】已知A，B分别是双曲线的右顶点与虚轴的上端点，是双曲线C的右焦点，直线AB与双曲线C的一条渐近线垂直，则双曲线C的标准方程为___________.
【即学即练33】若双曲线的渐近线与圆相切，则该双曲线的实轴长为______．
【即学即练34】已知为双曲线的两个焦点，为上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为___________.



知识点03 双曲线拓展性质及常见重要结论
1. 双曲线的第二定义
平面内到定点的距离与到定直线(定点在定直线外)的距离之比为常数(其中)的点的轨迹是双曲线.常数是双曲线的离心率.定点是双曲线的焦点,定直线是双曲线相应于定点的准线.
(1)对于双曲线,左焦点对应的准线方程为;右焦点 对应的准线方程为.
(2)对于双曲线,下焦点, 对应的准线方程为;上焦点对应的准线方程为
2.焦半径
双曲线上任一点和双曲线的焦点的连线段的长度称为焦半径.
(1)若为焦点在轴上的双曲线上的任意一点，为双曲线的左、右焦点，则，,其中.
(2)若为焦点在轴上的双曲线上的任意一点,设点分别为双曲线的下、上焦点.，,其中.
【即学即练35】为双曲线的右支上一点，若点到右焦点的距离为，则_______
【即学即练36】已知双曲线的左右焦点分别为，在双曲线的右支上线点，使，则点的横坐标为________.
【即学即练37】双曲线的左右焦点为，点在双曲线上，若，则点到轴的距离为________.

3.通径
过双曲线的焦点且与双曲线实轴垂直的直线被双曲线截得的线段,称为双曲线的通径.通径长为.
【即学即练38】双曲线,的左焦点为,虚轴的一个㟨点为B, P为双曲线右支上的一点,若,则双曲线的离心率是( )
A． B． C．2 D．

4.焦点三角形
为双曲线的两个焦点,是双曲线上的动点,
则的面积 ,
通过余弦定理可得
【即学即练39】P是双曲线上的点,是其焦点,且,若 的面积是9,,则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【即学即练40】已知为双曲线的两个焦点,在双曲线上,若的面积是1 , 则的值是______.
【即学即练41】已知为双曲线的左、右焦点,点在上,,则 ( )
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8

5.焦点到渐近线距离


双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于虚半轴长,即.



【即学即练42】已知点是双曲线的右焦点，过F作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为M，若△OMF（点O为坐标原点）的面积为8，则C的实轴长为（       ）
A．8 B． C．6 D．
【即学即练43】已知双曲线的一条渐近线方程为，则下列说法正确的是（       ）
A．E的焦点到渐近线的距离为2 B．
C．E的实轴长为6 D．E的离心率为



6.斜率乘积为定值
(1) 双曲线长轴的两个端点与除这两个顶点外的任一点连线的斜率之积为;
(2)设,是双曲线上关于原点对称的两点,点为该双曲线上不同于,的任一点, 若直线, 的斜率分别为, 则.
【即学即练44】双曲线的离心率为，点，是双曲线上关于原点对称的两点，点是双曲线上异于点，的动点，若直线，的斜率都存在且分别为，则的值为___________．
【即学即练45】已知双曲线的两个顶点分别为，，点为双曲线上除，外任意一点，且点与点，连线的斜率为，，若，则双曲线的离心率为（       ）
A． B． C．2 D．3
【即学即练46】已知A，B，P是双曲线（，）上不同的三点，且点A，B连线经过坐标原点，若直线PA，PB的斜率乘积为，则该双曲线的离心率为（       ）
A． B． C． D．
【即学即练47】已知A，B，P是双曲线（，）上不同的三点，且A，B连线经过坐标原点，若直线PA，PB的斜率乘积为，则该双曲线的离心率为（       ）
A． B． C． D．
【即学即练48】已知双曲线：，，分别为的上、下顶点，点为上异于和的一点，直线，的斜率分别为，，若，则的渐近线方程为（       ）
A． B．
C． D．
【即学即练49】双曲线的左右顶点为，过原点的直线与双曲线交于两点，若的斜率满足，则双曲线的离心率为_________．




能力拓展

◆考点01 双曲线标准方程的应用
【典例1】对于常数a，b，“”是“方程对应的曲线是双曲线”的（       ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【典例2】若方程表示双曲线，则实数m满足（       ）
A．m≠1且m≠－3 B．m＞1
C．或 D．－3＜m＜1
【典例3】已知曲线C的方程为，若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则实数k的取值范围是（       ）．
A． B． C． D．或5
【典例4】关于，的方程（其中）表示的曲线可能是（       ）
A．圆心为非坐标原点的圆 B．焦点在轴上的双曲线
C．焦点在轴上的双曲线 D．长轴长为的椭圆
【典例5】经过点和的双曲线的标准方程是（       ）
A． B．
C． D．
【典例6】双曲线的离心率为，且过，则双曲线方程为（       ）
A． B． C． D．

◆考点02 双曲线的轨迹问题
【典例7】若动圆与圆和圆都外切，则动圆圆心的轨迹为（       ）
A．双曲线的一支 B．圆
C．抛物线 D．双曲线
【典例8】已知点的坐标满足，则动点P的轨迹是（       ）
A．双曲线 B．双曲线一支 C．两条射线 D．一条射线
【典例9】设点，，为动点，已知直线与直线的斜率之积为定值，点的轨迹是（       ）
A． B．
C． D．
【典例10】已知椭圆，作垂直于轴的直线交椭圆于、两点，作垂直于轴的直线交椭圆于、两点，且，直线与直线交于点，则点的轨迹为（       ）的一部分
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
【典例11】如图，圆，点，动圆P过点F，且与圆E内切于点M，则动圆P的圆心P的轨迹方程为______．

【典例12】已知点，，，动圆与直线切于点，过与圆相切的两直线（非轴）相交于点，则点的轨迹方程为______．


◆考点03 双曲线的几何性质求最值
【典例13】设P是双曲线上一点，M､N分别是两圆和上的点，则的最大值为（       ）
A．6 B．9 C．12 D．14
【典例14】已知双曲线的左焦点为，M为双曲线C右支上任意一点，D点的坐标为，则的最大值为（       ）
A．3 B．1 C． D．
【典例15】已知双曲线：的左､右焦点分别为，，点在的左支上，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，则当取最小值10时，面积的最大值为（       ）
A．25 B． C． D．
【典例16】已知平面上定点和，又点为双曲线右支上的动点，则的最大值为（       ）.
A．8 B．10 C．11 D．13
【典例17】已知分别是双曲线的左、右焦点，动点P在双曲线的左支上，点Q为圆上一动点，则的最小值为（       ）
A．6 B．7 C． D．5
【典例18】已知椭圆的一个焦点为F，双曲线的左、右焦点，分别为，，点P是双曲线左支上一点，则周长的最小值为（       ）
A．5 B． C．10 D．14
【典例19】已知点在双曲线的右支上，，动点满足，是双曲线的右焦点，则的最大值为___________.
【典例20】P是双曲线的右支上一点，M、N分别是圆和上的点，则|PM|－|PN|的最大值为_________ .
【典例21】已知双曲线的左、右焦点分别为，，点，且线段的中点在的渐近线上，当点在的右支上运动时，的最小值为6，则双曲线的实轴长为______.
【典例22】已知双曲线的方程为，如图所示，点，是圆上的点，点为其圆心，点在双曲线的右支上，则的最小值为______



◆考点04 双曲线的离心率
【典例23】设双曲线的左､右焦点分别为F1，F2，P是C上一点，且，若的面积为4，则双曲线C的离心率为（       ）
A． B．2 C．3 D．
【典例24】已知双曲线的焦点到渐近线的距离为2，则该双曲线的离心率为（       ）
A． B． C． D．
【典例25】已知双曲线的左、右焦点分别为，过作直线与的左、右两支分别交于两点，且是以为顶角的等腰直角三角形，若的离心率为，则（       ）
A． B． C． D．
【典例26】双曲线C：的左焦点为F，过原点作一条直线分别交C的左右两支于A，B两点，若，，则此双曲线的离心率为（       ）
A． B． C． D．3
【典例27】已知，分别为双曲线（，）的左、右焦点，以为直径的圆与双曲线在第一象限和第三象限的交点分别为，，设四边形的周长为，面积为S，且满足，则该双曲线的离心率为（       ）
A． B．2 C． D．
【典例28】已知双曲线的左、右焦点分别为，点在的过第二、四象限的渐近线上，且，若，且，则的离心率为（       ）
A． B． C． D．
【典例29】设双曲线的左､右焦点分别为为坐标原点，若双曲线上存在点满足，则双曲线的离心率为（       ）
A．6 B．3 C． D．
【典例30】已知双曲线：的右焦点为F，P为右支上一点，与 x 轴切于点 F 与 y 轴交于点 A，B，，则的离心率为_____________.


◆考点05 双曲线的离心率的取值范围
【典例31】已知双曲线（，）的左右焦点分别为，，O为坐标原点，点P为双曲线C中第一象限上的一点，的平分线与x轴交于Q，若，则双曲线的离心率范围为（       ）
A． B． C． D．
【典例32】已知，分别为双曲线的左、右焦点，P为双曲线右支上任意一点，若的最小值为，则该双曲线的离心率的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【典例33】已知点F为双曲线的右焦点，过F作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为A．若△OAF（点O为坐标原点）的面积为4，双曲线的离心率，则的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
【典例34】已知双曲线的上顶点为P，（O为坐标原点），若在双曲线的渐近线上存在点M，使得，则双曲线C的离心率的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
【典例35】已知双曲线的左，右焦点分别为，点，若C的右支上的任意一点M满足，则C的离心率的取值范围为（       ）
A． B．
C． D．
【典例36】过双曲线的右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于A，两点，若双曲线的对称中心不在以线段为直径的圆内部，则双曲线离心率的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
【典例37】已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过作轴的垂线与双曲线交于，两点，且，则双曲线的离心率的取值范围是__________.
【典例38】已知双曲线的左、右焦点分别为，，在双曲线的右支上，，则双曲线离心率的取值范围是____________.



◆考点06 余弦定理在双曲线中的应用
【典例39】如图，，分别是双曲线（，）的左、右焦点，且，过的直线与双曲线的左、右两支分别交于点，．若为等边三角形，则双曲线的方程为（       ）

A． B．
C． D．
【典例40】双曲线C：的左焦点为F，过原点作一条直线分别交C的左右两支于A，B两点，若，，则此双曲线的离心率为（       ）
A． B． C． D．3
【典例41】已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则双曲线C的离心率为（       ）
A． B． C． D．
【典例42】已知双曲线的左、右焦点分别为，一条渐近线为，过点且与平行的直线交双曲线于点，若，则双曲线的离心率为（       ）
A． B．
C． D．
【典例43】已知，分别是双曲线C：的左、右两个焦点，点M在双曲线的右支上，且，则（       ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【典例44】在平面直角坐标中，双曲线：的右焦点为，点是在第一象限内的点，延长交于另一点，使得，，则的离心率为（       ）
A． B． C． D．3
【典例45】已知，分别为双曲线的两个焦点，双曲线上的点P到原点的距离为b，且，则该双曲线的离心率为（       ）
A．2 B． C． D．
【典例46】(多选题)已知，是双曲线的左右焦点，过的直线l与双曲线C交于，M、N两点，且，则下列说法正确的是（       ）
A．是等边三角形 B．双曲线C的离心率为
C．双曲线C的渐近线方程为 D．点到直线的距离为
【典例47】已知焦点为，的双曲线的离心率为，点为上一点，且满足，若的面积为，则双曲线的实轴长为________
【典例48】如图所示，已知双曲线的右焦点为，双曲线的右支上一点，它关于原点的对称点为，满足，且，则双曲线的离心率是________．

【典例49】设，是双曲线的两个焦点，是该双曲线上一点，且，求的面积．


分层提分


题组A 基础过关练
一、单选题
1．已知两定点，，曲线上的点到、的距离之差的绝对值是8，则曲线的方程为（        ）
A． B． C． D．
2．已知双曲线，则该双曲线的渐近线方程为（       ）
A． B． C． D．
3.已知双曲线C：的一条渐近线过点P（1，2），则它的离心率为（       ）
A． B．2 C． D．3
4.过点且与双曲线有相同渐近线的双曲线方程为（       ）
A． B． C． D．
5.若等轴双曲线的焦距为4，则它的一个顶点到一条渐近线的距离为（       ）
A．1 B． C．2 D．3
6．已知点是双曲线右支上一点，为坐标原点，为虚轴的上端点，若为等腰直角三角形，点为直角顶点，则该双曲线的离心率为（       ）
A． B． C． D．

二、多选题
7．已知双曲线的焦距为4，两条渐近线的夹角为，则下列说法正确的是（       ）
A．M的离心率为 B．M的标准方程为
C．M的渐近线方程为 D．直线经过M的一个焦点
8．已知点P在双曲线C：上，，分别是双曲线C的左、右焦点，若的面积为20，则（       ）
A．点P到x轴的距离为 B．
C．为钝角三角形 D．

三、填空题
9．双曲线的共轭双曲线方程是_____．
10.已知F为双曲线的右焦点，A为C的左顶点，B为C上的点，且垂直于x轴，若C的离心率为5，则的斜率为______________．
11．已知双曲线的左､右焦点分别为､，点､分别为渐近线和双曲线左支上的动点，则取得最小值为___________.

四、解答题
12．求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)，经过点；
(2)焦点轴上，且过点，.










13．中心在原点，焦点在x轴上的椭圆与双曲线有共同的焦点、且，椭圆的长半轴长与双曲线的实半轴长之差为6，离心率之比为1:4．

(1)求椭圆和双曲线的方程；
(2)若点P是椭圆和双曲线的一个交点，求．




14．已知双曲线的离心率等于，且点在双曲线上.
(1)求双曲线的方程；
(2)若双曲线的左顶点为，右焦点为，P为双曲线右支上任意一点，求的最小值.




15．已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，P是双曲线的右支上一点．
(1)求的最小值；
(2)若右支上存在点P满足，求双曲线的离心率的取值范围．



题组B 能力提升练
一、单选题
1.双曲线与椭圆有相同的焦点，它的一条渐近线为，则该双曲线方程为（       ）
A． B． C． D．
2.已知双曲线满足，且与椭圆有公共焦点，则双曲线的方程为（       ）
A． B．
C． D．
3．过等轴双曲线的右焦点F作两条渐近线的垂线，垂足分别为M，N，若的面积为2，则a的值为（       ）
A． B．2 C． D．4
4．双曲线的渐近线方程为，一个焦点为，点，点为双曲线第一象限内的点，则当点的位置变化时，周长的最小值为（     ）
A． B． C． D．
5．一对共轭双曲线的离心率分别是e1和e2，则e1+e2的最小值为（        ）
A． B．2 C．2 D．4
6．已知双曲线左顶点为，左、右焦点分别为，以为直径的圆交双曲线一条渐近线于两点，若，则该双曲线离心率的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
7．己知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为、，过的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若，，则C的离心率为（       ）
A． B． C． D．


二、多选题
8．已知双曲线的左、右两个顶点分别是，左、右两个焦点分别是，是双曲线上异于的任意一点，给出下列结论，其中正确的是（       ）
A．
B．直线，的斜率之积等于定值
C．使得为等腰三角形的点P有且仅有四个
D．若，则
9．已知为坐标原点，双曲线的右焦点为，是的一条渐近线，以为圆心，为半径的圆与交于，两点，则（       ）
A．过点且与圆相切的直线与双曲线没有公共点
B．的离心率的最大值是
C．若，则的离心率的取值范围是
D．若，则的离心率为

三、填空题
10．以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫作原双曲线的共轭双曲线.已知双曲线C的焦距为10，一个顶点坐标为（3，0），则其共轭双曲线的离心率为___________.
11．已知双曲线，直线l交双曲线两条渐近线于点A、B，M为线段的中点，设直线l、的斜率分别为，若，则渐近线方程为________．
12.已知椭圆，作垂直于x轴的直线l交椭圆于A，B两点，作垂直于y轴的直线m交椭圆于C，D两点，且，直线l与直线m交于P点，则点P的轨迹方程为______．



四、解答题
13．求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)焦点在轴上，虚轴长为，离心率为；
(2)顶点间的距离为，渐近线方程为．




14．已知双曲线，为上的任意点．
(1)求证：点到双曲线的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；
(2)设、分别为双曲线的两个焦点，若为钝角，求点的横坐标的取值范围．






15．双曲线的左、右焦点分别为，直线l过且与双曲线交于A、B两点．
(1)若l的倾斜角为，是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；
(2)若点P为双曲线上任一点，求证点P到双曲线两渐近线的距离之积为定值，并求出该定值（用含有b的代数式表示）．






16．如图，，是双曲线的左右顶点，，是该双曲线上关于轴对称的两点，直线与的交点为．

(1)求点的轨迹的方程；
(2)设点，过点两条直线分别与轨迹交于点，和，．若，求直线的斜率．









题组C 培优拔尖练
1．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作直线垂直于双曲线的一条渐近线，直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，若，则双曲线的离心率为______．
2．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与C的右支交于A，B两点，若，，则C的离心率为______.

3．已知双曲线的离心率为，且点在上.
(1)求双曲线的方程：
(2)试问：在双曲线的右支上是否存在一点，使得过点作圆的两条切线，切点分别为，直线与双曲线的两条渐近线分别交于点，且？若存在，求出点；若不存在，请说明理由.







4．已知点为双曲线右支上的点，双曲线在点处的切线交渐近线于点，.
(1)证明：为中点；
(2)若双曲线上存在点使的垂心恰为原点，求的取值范围.