苏教版 (2019)选择性必修第一册第2章 圆与方程2.3 圆与圆的位置关系精品综合训练题

这是一份苏教版 (2019)选择性必修第一册第2章 圆与方程2.3 圆与圆的位置关系精品综合训练题，文件包含同步讲义苏教版2019高中数学选修第一册第08讲圆与圆的位置关系学生版docx、同步讲义苏教版2019高中数学选修第一册第08讲圆与圆的位置关系教师版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共54页， 欢迎下载使用。

第二章 圆与方程
第08讲 圆与圆的位置关系

目标导航


课程标准
重难点
1.能根据给定圆的方程，判断圆与圆的位置关系．
2.能用圆的方程解决一些简单的问题，体会用代数方法处理几何问题的思想.

1.根据圆与圆的位置关系确定公切线个数
2.公共弦方程

知识精讲

知识点01 圆与圆的位置关系
1.圆与圆的位置关系
圆与圆的位置关系有五种，分别为相离、外切、相交、内切、内含．


注意:
事实上,外离和内含统称为相离, 外切和内切统称为相切, 则圆与圆的位置关系可分为三类:两圆相离----没有公共点,两圆相切----有唯一公共点,两 圆相交-----有两个不同的公共点.

2.圆与圆的位置关系的判断
(1)几何法
设两圆圆心分别为,半径分别为,且,则

位置关系
相离
外切
相交
内切
内含
图示





距离关系





公切线条数
4条
3条
2条
1条
无

(2)代数法 (利用判断).
设由两圆的方程组成的方程组为 由此方程组得:
有两组不同的实数解两圆相交;
有两组相同的实数解两圆相切;
无实数解两圆相离.

【即学即练1】已知圆与圆，若圆与圆有且仅有一个公共点，则实数r等于（       ）
A．7 B．3 C．3或7 D．5
【答案】C
【分析】根据两圆内切或外切即可求解.
【详解】，
因为圆与圆有且仅有一个公共点，
所以圆与圆相内切或外切，
所以或，
所以或，
故选：．
【即学即练2】设圆，圆，则圆，的公切线有（       ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【答案】B
【分析】先根据圆的方程求出圆心坐标和半径，再根据圆心距与半径的关系即可判断出两圆的位置关系，从而得解．
【详解】由题意，得圆，圆心，圆，圆心，∴，∴与相交，有2条公切线．
故选：B．
【即学即练3】若圆与圆有3条公切线，则正数（       ）
A．3 B．3 C．5 D．3或3
【答案】B
【分析】由题可知两圆外切，然后利用两点间的距离公式即得.
【详解】由题可知两圆外切，又圆的圆心为，半径为1，圆的圆心为，半径为4，
，
∴，又，
∴.
故选：B.

知识点02 圆系方程
1.经过圆与直线的两个交点的圆的方程可设为:
.整理得.
2.经过圆 与圆的两个交点的圆的方程可设为:.
【当时,即两圆相减时,分为以下三种情况】
（1）当两圆相交时, 它为公共弦所在直线方程;
（2）当两圆相切时, 它为公切线方程;
（3）当两圆相离或包含时，它为到两圆的切线段相等的点的集合; 显然, 当两圆相离且半径相等时, 它为两圆的对称轴.

3.与圆相切于点的圆的方程可设为:
【把切点当点圆就可理解此方程】

【即学即练4】求圆心在直线上,且经过两圆和的交点的圆的方程.
【详解】设经过两已知圆的交点的圆的方程为,
化简可得,
则其圆心坐标为.
所求圆的圆心在直线 上,
,解得.
经检验,是上述分式方程的解,且符合题意.
所求圆的方程为.

【即学即练5】(多选题)圆和圆的交点为A，B，则有（       ）
A．公共弦AB所在直线的方程为
B．公共弦AB所在直线的方程为
C．公共弦AB的长为
D．P为圆上一动点，则P到直线AB距离的最大值为
【答案】AD
【分析】对于AB，两圆方程相减消去二次项可求得公共弦AB所在直线的方程，对于C，求出圆心到公共弦的距离，然后利用弦心距，弦和半径的关系可求出公共弦的长，对于D，点P到直线AB距离的最大值为
【详解】由与作差可得，
即公共弦AB所在直线的方程为，故A正确，B错误；
对于C，圆心到直线的距离为，圆的半径，
所以，故C错误；
对于D，点P为圆上一动点，则点P到直线AB距离的最大值为，故D正确.
故选：AD.


知识点03 与圆结合的数形结合求范围与最值
1.与圆的代数结构有关的最值
(1) 形如形式的最值问题,可转化为动直线斜率的最值问题;
(2) 形如形式的最值问题,可转化为动直线截距的最值问题;
(3) 形如形式的最值问题,可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题.
(4)形如形式的最值问题,可转化为直线到圆的距离问题;

【即学即练6】已知点在圆上.
(1) 求的最大值与最小值;
(2) 求的最大值与最小值;
(3) 求的最大值与最小值.
(4) 求的最小值
【解析】即.圆心为,半径.
(1)表示圆上的点与原点连线的斜率,显然与圆相切时,斜率最大或最小.
设切线方程为,即,由圆心到切线的距离等于半径2,可得,解得,所以的最大值为,最小值为.
(2),它表示圆上的点到的距离的平方再加2 ,所以,当点 与点的距离最大或最小时,所求式子取最大值或最小值.显然,点与点的距离的最大值为 ,点与点的距离的最小值为.又,
所以的最大值为,最小值为.
(3)设,则表示动直线的纵截距,显然当动直线与圆 相切时,取最大值或最小值.由圆心到切线的距离等于圆的半径2 ,得,即,解得 ,所以的最大值为,最小值为.
(4)点到直线的距离公式为,可变形为.其中可表示为圆上的点到直线的距离.所以的最小值可转化为求圆上的点到直线的距离的5倍.通过计算圆心到直线的距离减半径得的最小值为20.

2.与圆的几何性质有关的最值问题
(1) 记为圆心,为圆的半径, 则圆外一点到圆上距离的最小值为,最大值为;
(2) 过圆内一点的最长弦为圆的直径, 最短弦是以该点为中点的弦;
(3) 记圆的半径为,圆心到直线的距离为,直线与圆相离, 则圆上的点到直线的最大距离为,最小距离为;
(4) 过两定点的所有圆中, 面积最小的圆是以这两个定点为直径端点的圆.

【即学即练7】设点是函数图象上的任意一点,点的坐标为, 则|PQ|的最小值为____________.
【解析】函数的图象表示圆的下半圆(包括与轴的交点).设点的坐标为, 则 得,即,所以点在直线上,如图所示.

由于圆心到直线的距离,所以直线与圆 相离,因此|P Q|的最小值为.

【即学即练8】已知M、N分别是圆和圆上的两个动点，点P在直线上，则的最小值是（       ）
A． B．10 C． D．12
【答案】C
【分析】计算圆心关于直线的对称点为，计算，得到最值.
【详解】圆的圆心为，圆的圆心为，
关于直线的对称点为，，
故的最小值是.
故选：C.


能力拓展

◆考点01 圆的公切线
【典例1】下列方程中，圆与圆的公切线方程是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】根据题意可知，，
如图，设公切线l与圆，圆分别相切于第一象限的A，B两点，与x轴相交于点P，
由几何关系可知，，，，
所以，，，，l的斜率为，
则l的方程为，即，
根据对称可得出另一条公切线方程为.
故选：B．

【典例2】已知点，则满足点到直线的距离为，点到直线距离为的直线的条数有（       ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】以为圆心，为半径，为圆心，为半径分别画圆，将所求转化为求圆与圆的公切线条数，判断两圆的位置关系，从而得公切线条数.
【详解】以为圆心，为半径，为圆心，为半径分别画圆，如图所示，
由题意，满足点到直线的距离为，点到直线距离为的直线的条数
即为圆与圆的公切线条数，
因为，所以两圆外离，
所以两圆的公切线有4条，即满足条件的直线有4条.
故选：D

【典例3】已知圆，圆，则下列是M，N两圆公切线的直线方程为（       ）
A．y＝0 B．3x－4y＝0 C． D．
【答案】ACD
【分析】先判断两圆的位置关系可知，两圆相离，公切线有四条，然后由圆的方程可知，两圆关于原点O对称，即可知有两条公切线过原点O，另两条公切线与直线MN平行，设出直线方程，再根据点到直线的距离公式求出直线方程，从而解出．
【详解】圆M的圆心为M（2，1），半径．圆N的圆心为N（－2，－1），半径．圆心距，两圆相离，故有四条公切线．又两圆关于原点O对称，则有两条切线过原点O，设切线方程为y＝kx，则圆心到直线的距离，解得k＝0或，对应方程分别为y＝0，4x－3y＝0．另两条切线与直线MN平行，而，设切线方程为，则，解得，切线方程为，．
故选：ACD．
【典例4】已知圆.若圆与圆有三条公切线，则的值为___________.
【答案】
【分析】根据已知条件得出两圆的位置关系，结合两点间的距离公式即可求解.
【详解】由，得，
所以圆的圆心为，半径为，
因为圆，所以圆的圆心为，半径为，
因为圆与圆有三条公切线，所以圆与圆相外切，
即，解得，
所以的值为.
故答案为：.

◆考点02 圆的公共弦
【典例5】圆与圆相交于两点．则弦长等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
由题意
化简可得的直线方程为，
圆心到直线的距离为，

故选：C．
【典例6】已知圆，，则这两圆的公共弦长为（ ）
A．4 B． C．2 D．1
【答案】C
【详解】
由题意知，，将两圆的方程相减，得，所以两圆的公共弦所在直线的方程为.
又因为圆的圆心为，半径，所以圆的圆心到直线的距离.所以这两圆的公共弦的弦长为.
故选：C.
【典例7】已知圆与圆的公共弦所在直线恒过点，且点在直线上，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
解：由圆，圆，
得圆与圆的公共弦所在直线方程为，求得定点，
又在直线上，，即.
∴，∴的取值范围是.
故选：A.
【典例8】已知圆和圆的公共弦所在的直线恒过定点，且点在直线上，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
由圆和圆，
可得圆和的公共弦所在的直线方程为，
联立，解得，即点
又因为点在直线上，即 ，
又由原点到直线的距离为 ，
即的最小值为.
故选：C.

◆考点03 圆系方程
【典例9】求过圆和圆的交点，且圆心在直线上的圆的方程.
【答案】
【详解】
由题意，设所求圆的方程为
，
即，
则其圆心为.
由题意，得，∴.
∴所求圆的方程是.
【典例10】已知圆与圆相交于A，B两点.
（1）求直线的方程；
（2）求经过A，B两点且面积最小的圆的方程；
【答案】（1）；（2）.
【详解】
（1）由题知：经过圆和圆的公共点的圆系方程为：
.
令，得公共弦方程为：.
（2），解得：或.
设，，
当为所求圆的直径时，圆的面积最小.
的中点为，，
则所求圆的方程为：
【典例11】已知圆C1：x2+y2-4x-3＝0和C2：x2+y2-4y-3＝0．
（1）求两圆C1和C2的公共弦方程；
（2）若圆C的圆心在直线x-y-4＝0上，并且通过圆C1和C2的交点，求圆C的方程．
【答案】
（1）x-y＝0
（2）x2+y2-6x+2y-3＝0
【分析】
（1）将圆C1和C2的方程相减即可得到公共弦的方程．
（2）设此圆的方程为：x2+y2-4x-3+λ(x2+y2-4y-3)＝0，求出圆心坐标(，)，代入直线x-y-4＝0，即可求出的值，从而可求出圆的方程．
（1）
将圆C1和C2的方程相减，得：x-y＝0，此即为公共弦的方程．
（2）
因为所求圆过已知两圆的交点，故设所求圆的方程为：x2+y2-4x-3+λ(x2+y2-4y-3)＝0，
即(1+λ)(x2+y2)-4x-4λy-3λ-3＝0，
即0，所以圆心坐标为 (，)，
由于圆心在直线x-y-4＝0上，
∴4＝0，解得
故所求圆的方程为：x2+y2-6x+2y-3＝0．

◆考点04 圆的数形结合思想
【典例12】若实数满足，则的最大值是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】
，表示以为圆心，3为半径的圆.
表示以圆上的任意一点到两点间距离，的最大值即为
故选：A
【典例13】直线与曲线有且仅有一个公共点．则b的取值范围是__________．
【答案】或.
【详解】
由曲线，可得，表示以原点为圆心，半径为的右半圆，
是倾斜角为的直线与曲线有且只有一个公共点有两种情况：
（1）直线与半圆相切，根据，所以，结合图像可得；
（2）直线与半圆的上半部分相交于一个交点，由图可知.
故答案为：或.

【典例14】若实数x，y满足，则的取值范围为___________.
【答案】
【详解】
由题得，它表示以点为圆心，以1为半径的圆，
表示圆上的动点和点所在直线的斜率，
当直线和圆相切时，斜率最小，
设此时斜率为，直线方程为，即，
所以，.
所以的取值范围为.
故答案为：



分层提分


题组A 基础过关练
一、单选题
1．圆与圆的位置关系是（ ）
A．外离 B．外切 C．相交 D．内切
【答案】C
【详解】
圆的圆心为，半径为，
圆的圆心为，半径为，
圆心距为，，
所以两圆相交.
故选：C
2．已知圆与圆0相外切，则m的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【详解】
由圆可得
则，所以
所以圆的圆心为，半径
圆的圆心为 ，半径
圆与圆相外切，则
解得
故选：A
3．在平面直角坐标系中，已知圆，圆的公切线有2条，则m的取值范围为（ ）
A． B．或
C． D．或
【答案】B
【详解】
解：由题意，圆与圆有2条公切线，则两圆相交，
圆的圆心，半径为，
圆，
即，圆心，半径为1，
要使两圆相交，则，
解得：或，
故选：B．
4．圆与圆的公共弦长为（       ）
A．6 B． C．4 D．
【答案】A
【分析】根据圆与圆的方程相减得公共弦的方程，再根据垂径定理求解即可.
【详解】圆与圆的方程相减得，即．又到直线的距离为1，所以公共弦长为．
故选：A
5．已知圆和圆，分别是圆上的动点，为轴上的动点，则的最小值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求出圆关于轴的对称圆的圆心坐标，以及半径，然后求解圆与圆的圆心距减去两个圆的半径和，即可求出的最小值.
【详解】圆关于轴的对称圆的圆心坐标，半径为1，圆的圆心坐标为，半径为3，

∴若与关于x轴对称，则，即，
由图易知，当三点共线时取得最小值，
∴的最小值为圆与圆的圆心距减去两个圆的半径和，
∴.
故选：D.
6．如果圆上总存在两个点到原点的距离为，则实数的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】问题可转化为圆和圆相交，解不等式即得解.
【详解】解：问题可转化为圆和圆相交，
两圆圆心距，
由得，
解得，即.
故选：D

二、多选题
7．实数，满足，则的（ ）
A．最小值为 B．最小值为
C．最大值为 D．最大值为
【答案】AD
【详解】
设，则，
由得，
所以，解得，
故选：AD.
8．已知圆：和圆：相交于、两点，下列说法正确的为（       ）
A．两圆有两条公切线 B．直线的方程为
C．线段的长为 D．点在圆上，点在圆上，则的最大值为
【答案】AD
【分析】两圆相交，由两条外公切线，将两圆方程相减可求得交线方程，求公共弦长转化为求相交弦长，数形结合可求得两圆上动点距离的最大值.
【详解】解：因为圆O：和圆C：相交于A、B两点，
所以两圆有两条公切线，∴A正确；
圆O：和圆C：的方程相减得，
故直线AB的方程为，∴B错误；
圆O：的圆心为，，到直线AB的距离为，
所以线段AB的长为，∴C错误；
圆：的圆心为，，则两圆圆心距，
点E在圆上，点在圆上，则的最大值为，D正确．
故选：AD．

三、填空题
9．在平面直角坐标系中，已知圆的方程为，圆的方程为，则圆与公共弦长为________
【答案】
【详解】
圆的标准方程为，圆心为，半径为，
圆的标准方程为，圆心为，半径为，
圆心距为，所以，，
所以，两圆相交，将两圆方程作差可得相交弦所在直线方程为，
圆心到直线的距离为，
故两圆相交弦长为.
故答案为：.
10．曲线与直线有两个交点，则实数的取值范围是______.
【答案】
【详解】
由题意，直线可化为，可得直线过定点，
将曲线化为，
可得曲线表示以原点为圆心，半径为1，且位于轴上方的半圆，如图所示，

当直线过点时，直线与曲线有两个不同的交点，此时，
当直线过点时，此时直线与曲线相切，直线与曲线只有一个交点，
由得，即，
曲线与直线有两个交点，结合图形，
可得，即实数的取值范围是.
故答案为：.
四、解答题
11．已知实数x，y满足方程，求：
（1）的最大值；
（2）的最小值．
【答案】
（1）（2）
【分析】
（1）首先根据题意得到，再根据的几何意义求解即可。
（2）根据的几何意义求解即可。
（1）
，圆心，半径。
表示与构成的斜率。

设直线，则到直线的距离为，
，解得，
所以，即的最大值为。
（2）
表示与距离的平方。
如图所示：

则的最小值为

12．已知两个条件：①圆心在直线上，直线与圆相交所得的弦长为4；②圆过圆和圆的公共点.在这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答问题.
问题：是否存在唯一的圆过点且___________，并说明理由.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】答案见解析
【详解】
选择①，不存在唯一的圆，理由如下：
设圆的方程为，
因为圆心在直线上，所以，（1）
圆心到直线的距离，则，（2）
又因为圆过点，则，（3）
由（1）（2）（3）解得，，或者，，，
所以方程为或者.
故不存在唯一的圆.
选择②，存在唯一的圆，理由如下：
设圆的方程为，
又因为圆过点，则，即.
所以圆的方程为即.
故存在唯一的圆.
13．已知圆与圆．
(1)求证：圆与圆相交；
(2)求两圆公共弦所在直线的方程；
(3)求经过两圆交点，且圆心在直线上的圆的方程．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）将两圆方程化成标准式，即可得到圆心坐标与半径，再求出圆心距，即可证明；
（2）将两圆方程作差，即可求出公共弦方程；
（3）首先求出两圆的交点坐标，设圆心为，根据得到方程，即可求出，从而求出圆心坐标与半径，从而得到圆的方程.
（1）
证明：圆：化为标准方程为，
，
圆的圆心坐标为，半径为，
，
，两圆相交；
（2）
解：由圆与圆，
将两圆方程相减，可得，
即两圆公共弦所在直线的方程为；
（3）
解：由，解得，
则交点为，，
圆心在直线上，设圆心为，
则，即，解得，
故圆心，半径，
所求圆的方程为．
14．已知圆心在直线上且过点的圆与直线相切，其半径小于5,若圆与圆关于直线对称．
(1)求圆的方程；
(2)过直线上一点作圆的切线，切点为，当四边形面积最小时，求直线的方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，设，列出方程组求得，求得圆，再利用点关于直线的对称，求得圆的圆心坐标，即可求得圆的方程；
（2）根据题意求得，当时，取得最小值，得到，确定的以为直径的圆的方程，结合圆的方程，两式相减求得公共弦的方程即可.
（1）
解：由题意，圆心在直线上，可设，
因为圆过点，且与直线相切，
可得，整理得，
因为圆的半径小于5，所以，即，且半径
所以圆的方程为，
设圆，因为圆与圆关于直线对称，
可得，解得，所以圆的方程为．
（2）
解：圆，可得，
则四边形的面积，
设，因为，
所以当时，，
此时四边形的面积最小，最小值为，且，
由，可得以为直径的圆的方程为
因为在以为直径的圆上，且在上，且圆，
两圆的方程相减，可得直线的方程为．



题组B 能力提升练
一、单选题
1．已知圆和圆恰有三条公共切线，则的最小值为（ ）
A．6 B．36 C．10 D．
【答案】B
【详解】
圆标准方程为，，半径为，
圆标准方程为，，半径为，
两圆有三条公切线，则两圆外切，
所以，即，
点在以原点为圆心，4为半径的圆上，记，
，所以，
所以的最小值为．
故选：B．
2．若圆：上存在点P，且点P关于直线的对称点Q在圆上，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
圆：的圆心为，半径为，
其关于的对称圆方程为：，
根据题意，圆与圆有交点，即可以是外切，也可以是相交，也可以是内切.
又两圆圆心距，
要满足题意，只需，
解得：.
故选：A.
3．已知圆的面积被直线平分，圆，则圆与圆的位置关系是（       ）
A．外离 B．相交 C．内切 D．外切
【答案】B
【分析】由圆的面积被直线平分，可得圆心在直线上，求出，进而利用圆心距与半径和以及半径差的关系可得圆与圆的位置关系．
【详解】因为圆的面积被直线平分，所以圆的圆心在直线上，
所以，解得，所以圆的圆心为，半径为．
因为圆的圆心为，半径为，所以，
故，所以圆与圆的位置关系是相交．
故选：B．
4．设实数，满足，则的最小值为（ ）
A． B．4 C． D．8
【答案】C
【详解】
，
所以表示直线上的点与点的距离，
所以最小值为.
故选：C.
5．已知点在直线上运动，点是圆上的动点，点是圆上的动点，则的最大值为（       ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【分析】作出关于直线的对称圆，把转化到与直线同侧的，数形结合找到取最大值的位置，求出的最大值.
【详解】如图所示，

圆的圆心为，半径为3，圆关于直线的对称圆为圆B，其中设圆心B坐标为，则 ，解得：，故圆B的圆心为，半径为1，由于此时圆心A与圆心B的距离为4，等于两圆的半径之和，所以两圆外切，此时点的对称点为，且，所以，在P点运动过程中，当P，B，A，，F五点共线时，且在圆B左侧，点F在圆A右侧时，最大，最大值为

故选：C

6．设点P是函数图象上任意一点，点Q坐标为，当取得最小值时圆与圆相外切，则的最大值为
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意，分析函数y的解析式可得（x﹣1）2+y2＝4，（y≤0），分析可得其对应的曲线为圆心在C（1，0），半径为2的圆的下部分，由Q的坐标可得Q在直线x﹣2y﹣6＝0上，据此分析可得当|PQ|取得最小值时，PQ与直线x﹣2y﹣6＝0垂直，此时有2，解可得a的值，即可得圆C1的方程，结合两圆外切的性质可得3+2＝5，变形可得（m+n）2＝25，由基本不等式的性质分析可得答案．
【详解】根据题意，函数y，即（x﹣1）2+y2＝4，（y≤0），
对应的曲线为圆心在C（1，0），半径为2的圆的下半部分，
又由点Q（2a，a﹣3），则Q在直线x﹣2y﹣6＝0上，
当|PQ|取得最小值时，PQ与直线x﹣2y﹣6＝0垂直，此时有2，解可得a＝1，
圆C1：（x﹣m）2+（y+2）2＝4与圆C2：（x+n）2+（y+2）2＝9相外切，
则有3+2＝5，
变形可得：（m+n）2＝25，
则mn，
故选C．


二、多选题
7．在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，点 ，若圆上存在动点M满足，则r的值可能为（       ）
A．3 B．5 C．7 D．9
【答案】ABC
【分析】根据条件列出等式化简可得动点M坐标满足，结合圆与圆的位置关系列出不等式，即可求得答案.
【详解】设，因为动点M满足，所以，
化简得，即；
又动点M在圆C上，所以圆与圆C有公共点，
所以，解得，
可以看到，选项中的3，5，7适合题意，
故选：ABC．
8．已知两圆的方程分别为，，则下列说法正确的是（       ）
A．若两圆内切，则r＝9
B．若两圆的公共弦所在直线的方程为8x－6y－37＝0，则r＝2
C．若两圆在交点处的切线互相垂直，则r＝3
D．若两圆有三条公切线，则r＝2
【答案】ABC
【分析】根据两圆内，外切切的条件可确定AD的正误，由两圆方程作差可得公共弦所在直线方程确定B的正误，根据两圆交点处的切线垂直可知两圆圆心距，半径可构成直角三角形即可判断D.
【详解】圆的圆心为（0，0），半径为4，圆的圆心为（4，－3），半径为r，两圆的圆心距．
对于A，若两圆内切，则，则r＝9，故A正确；
对于B，联立两圆的方程可得，令，得r＝2，故B正确；对于C，若两圆在交点处的切线互相垂直，则一个圆的切线必过另一个圆的圆心，
（圆的切线与经过切点的半径垂直，又∵两圆切线相互垂直且交于一公共切点，所以两切线分别与另一圆的半径重合，半径经过圆心，所以此时两切线经过圆心）
分别设两圆的圆心为,则
如图，所以，解得r＝3，故C正确；

对于D，若两圆有三条公切线，则两圆外切，则，得r＝1，故D错误．
故选：ABC

三、填空题
9．已知圆，圆，若两圆外切，则实数________.
【答案】
【详解】
由圆可得圆心为，圆可得圆心为，，因两圆外切，故，解得.
故答案为：
10．已知实数，满足，则的最大值为___________.
【答案】34
【详解】
设，则，，
又，所以，化简可得，
其中，表示以为圆心，为半径的圆的一部分，
代表圆上一点到原点距离平方的一半，如图所示，

的最大值为.
故答案为：34

四、解答题
11．已知点在圆上运动.
（1）求的最大值；
（2）求的最小值.
【答案】（1）； （2）.
【详解】
（1）由题意，点在圆上运动，
设，整理得，则表示点与点连线的斜率，
当该直线与圆相切时，取得最大值和最小值，
又由，解得，所以
所以的最大值为.
（2）设，整理得，
则表示直线在轴上的截距，
当该直线与圆相切时，取得最大值和最小值，
由，解得，所以
所以的最小值为.
12．已知圆：与：相交于A、B两点．
(1)求公共弦AB所在的直线方程；
(2)求圆心在直线y＝－x上，且经过A、B两点的圆的方程；
(3)求经过A、B两点且面积最小的圆的方程．
【答案】(1)x－2y＋4＝0
(2)
(3)
【分析】（1）两圆相减，可得公共弦所在直线方程；
（2）首先设圆系方程（为常数），根据圆心在直线上，求，即可求得圆的方程；
（3）面积最小的圆，就是以线段AB为直径的圆，即可求得圆心和半径.
(1)
将两圆方程相减得x－2y＋4＝0，此即为所求直线方程．
(2)
设经过A、B两点的圆的方程为（为常数），
则圆心坐标为；又圆心在直线y＝－x上，故，
解得，故所求方程为．
(3)
由题意可知以线段AB为直径的圆面积最小．两圆心所在直线方程为2x＋y＋3＝0，
与直线AB方程联立得所求圆心坐标为，由弦长公式可知所求圆的半径为．
故面积最小的圆的方程为．
13．已知圆．
(1)若直线过定点，且与圆C相切，求直线的方程；
(2)若圆D的半径为3，圆心在直线上，且与圆C相切，求圆D的方程．
【答案】(1)或；
(2)或或或．
【分析】(1)设的直线方程为(可以避开斜率为0和不存在情况)，再用圆心到直线距离等于半径找出关系即可；
(2)讨论圆D与圆内切还是外切，分别计算出两种情况时的圆心坐标即可.
（1）
圆的圆心，半径，
因为直线过定点，所以可设直线的方程为，
因为直线与圆C相切，所以，整理得，则或，
当时，直线的方程为；
当时，直线的方程为．所以直线的方程为或.
（2）
因为圆D的圆心在直线上，所以可设，则．
当圆D与圆C外切时，，
即，解得或，所以圆D的方程为或．
当圆D与圆C内切时，，即，解得或，所以圆D的方程为或．
综上，圆D的方程为或或或．
14．已知圆和圆．
(1)若圆与圆相交，求r的取值范围；
(2)若直线与圆交于P、Q两点，且，求实数k的值；
(3)若，设P为平面上的点，且满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线和，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）利用相交时圆心距的位置关系可求的取值范围；
（2）联立直线与圆，写出韦达定理，结合数量积代换可求实数k的值；
（3）由两圆半径相等，两直线和截得圆和圆弦长相等可得弦心距相等，得，转化为求方程组的解即可.
（1）
圆的圆心为，圆的圆心为，因为圆与圆相交，故圆心距满足，，即，解得
（2）
设，则，联立直线与圆方程得，，即，，
因为
，解得，又因为，故，
（3）
设，因为两圆半径相等，由题可知直线和斜率均存在且不为0，不妨设直线的方程为，的方程为，
因为直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，故圆到的距离和圆到距离相等，即，
整理得，所以，
即或，因为的取值有无穷多个，所以满足
或，解得或，故点的坐标为或.







题组C 培优拔尖练
一、单选题
1．已知实数，，，满足，，，则的最大值是（ ）
A．6 B．8 C． D．12
【答案】D
【详解】

由，，，可知，点在圆上，由，即为等腰直角三角形，结合点到直线距离公式可理解为点到直线的距离，变形得，即所求问题可转化为两点到直线的距离和的倍，作于于，中点为，中点为，由梯形中位线性质可得，，作于，于，连接，则，当且仅当与重合，三点共线时，有最大值，由点到直线距离公式可得，由几何性质可得，，此时，故的最大值为.
故选：D
2．若圆）与圆交于A、B两点，则tan∠ANB的最大值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分析出AB为圆M与圆N的公共弦，且圆M的半径为1，，
当的坐标为时，，
由余弦函数的单调性确定时，最大，此时最大，最大值为.
【详解】可化为，
故圆N的圆心为，半径为，

由题意可知：AB为圆M与圆N的公共弦，且圆M的半径为1，
所以且，故，
当的坐标为时，，
在△NAB中，，
又，在上单调递减，
故为锐角，且当时，最大，
又在上单调递增，
所以当最大时，取得最大值，且最大值为，
故选：D
3．已知点在直线上，过点作圆的两条切线，切点分别为，，点在圆上，则点到直线距离的最大值为（       ）
A．4 B．6 C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，设为直线上的一点，由切线的性质得点、在以为直径的圆上，求出该圆的方程，与圆的方程联立可得直线的方程，将其变形分析可得直线恒过的定点，由点到直线的距离分析可得答案．
【详解】根据题意，设为直线上的一点，则，
过点作圆的切线，切点分别为、，则有，，
则点、在以为直径的圆上，
以为直径的圆的圆心为C，，半径，
则其方程为，变形可得，
联立，可得圆C和圆O公共弦AB为：，
又由，则有，变形可得，
则有，解可得，故直线恒过定点，
点在圆上，
则点到直线距离的最大值为．
故选：B．


4．若圆与圆相外切．
(1)求m的值；
(2)若圆与x轴的正半轴交于点A，与y轴的正半轴交于点B，P为第三象限内一点且在圆上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值．
【答案】(1)4
(2)证明见解析
【分析】（1）分别求得圆、的圆心坐标和半径，根据两圆外切，可得圆心距等于两圆半径和，列出方程，即可得答案.
（2）由题意求得A、B点坐标，设P点坐标为，即可求得直线PA的、PB的方程，进而可求得M、N点坐标，即可求得四边形ABNM的面积表达式，化简整理，即可得证.
(1)
由题意得：圆的圆心坐标，半径为，
圆整理可得，其圆心坐标，半径为3，
由两圆外切得，解得；
(2)
由题意得：点A坐标为，点B坐标为，
设P点坐标为，
则直线PA的方程为，直线PB的方程为，
所以点M的坐标为，点N的坐标为，
则四边形ABNM的面积
，
由点P在圆上，可得，代入上式，
所以四边形ABNM的面积，
即四边形ABNM的面积为定值4．
5．在平面直角坐标系xOy中，圆C：与圆：相切于点，且直线l：与圆C有公共点．
(1)求圆C的方程；
(2)设点P为圆C上的动点，直线l分别与x轴和y轴交于点M，N．
①求证：存在定点B，使得；
②求当取得最小值时，直线PN的方程．
【答案】(1)
(2)①证明见解析；②.
【分析】本题考查圆的标准方程，直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系，与圆有关的最值，
（1）由两圆的位置关系求圆C方程；
（2）①由，直接法得，由点P为圆C上的动点得，求B点坐标；
，在圆C外，在圆C内，点P为线段BN与圆C的公共点时“”能成立．从而得直线方程．
(1)
圆，即，
所以圆心为，圆的半径．
由圆与圆相切于点 ，
得，，即
解得或
由直线l：与圆C有公共点，，
所以
所以圆C的方程为.
(2)
直线l分别与x轴和y轴交点，．
：设点，，则，
由得，，
即，由点P为圆C上的动点得，即
故存在定点，使得．
：由得，，所以，
易知，在圆C外，在圆C内，
所以线段BN与圆C有公共点，即中“”能成立．
所以当点P为线段BN与圆C的公共点时，取得最小值，
此时，直线PN的方程为，即．