【同步讲义】（苏教版2019）高中数学选修第一册：第12讲 直线与圆锥曲线的关系 讲义

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第三章 圆锥曲线与方程
第12讲 直线与圆锥曲线的关系
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课程标准
重难点
1.判断点与线与圆锥曲线的关系
2.通过线与圆锥曲线的关系求参数范围以及最值

1.韦达定理在圆锥曲线中的应用
2.设而不求思想

知识精讲

知识点01 点与圆锥曲线的位置关系
1.点与椭圆的位置关系
对于椭圆
当点在椭圆内部;
当点在椭圆外部;
当点在椭圆上.

2.点与双曲线的位置关系
对于双曲线
当在双曲线内部(与焦点共区域);
当在双曲线外部(与焦点不共区域).

3.点与抛物线的位置关系
对于抛物线
当点在抛物线内部,)在抛物线外部.

【即学即练1】直线y＝k（x﹣2）+1与椭圆的位置关系是（       ）
A．相离 B．相交 C．相切 D．无法判断
【即学即练2】直线y＝kx－k＋1与椭圆的位置关系为（       ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定
【即学即练3】直线与椭圆的位置关系是（       ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．以上三种关系都可能


知识点02 直线与圆锥曲线的位置关系
1.直线与椭圆的位置关系
联立直线与椭圆的方程, 得消去或,得到关于或的二次方程.
位置关系
解的个数
与0的关系
相交
2

相切
1

相离
0


【即学即练4】已知直线，椭圆，则直线与椭圆的位置关系是（       ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．相切或相交
【即学即练5】直线与椭圆的位置关系是（       ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法判断
【即学即练6】已知集合，，则中有几个元素（       ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【即学即练7】直线与抛物线的位置关系为（　　）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定


2.直线与双曲线的位置关系
研究直线与双曲线的位置关系时,一般解直线方程与双曲线方程 所组成的方程组
对解的个数进行讨论,消去一个末知数或得到关于(或)的方程,当二次项系数不为0时,有两个不同实数解时, 直线与双曲线相交;有两个相同实数解时,直线与双曲线相切;无实数解 时,直线与双曲线相离.
注意:当直线与双曲线有一个交点时,除了直线与双曲线相切,即的情况,还包括直线与渐近线相平行的情况
【即学即练8】“直线与双曲线有且仅有一个公共点”是“直线与双曲线相切”的（       ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
【即学即练9】已知双曲线与椭圆共焦点，且双曲线与直线相切，则（       ）
A． B． C． D．1
【即学即练10】过且与双曲线有且只有一个公共点的直线有（       ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【即学即练11】过点P（4，4）且与双曲线只有一个交点的直线有（       ）．
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【即学即练12】若过点的直线与双曲线:的右支相交于不同两点，则直线斜率的取值范围为（       ）
A． B． C． D．

3.直线与抛物线的位置关系
通过直线与抛物线的交点个数判断直线与抛物线的位置关系.
(1)直线与抛物线有两个公共点直线与抛物线相交;
(2)直线与抛物线有一个公共点直线与抛物线相切(直线与抛物线的对称轴相交)或相交(直线与抛物线 的对称轴平行或重合);
(3)直线与抛物线没有公共点直线与抛物线相离.

【即学即练13】过点与抛物线只有一个公共点的直线有（       ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．无数条
【即学即练14】已知直线l过点，且与抛物线有且只有一个公共点，则符合要求的直线l的条数为（       ）条
A．0 B．1 C．2 D．3
【即学即练15】已知抛物线，过点与抛物线C有且只有一个交点的直线有（       ）条．
A．0 B．1 C．2 D．3
【即学即练16】直线与抛物线有且只有一个公共点，则，满足的条件是（       ）
A． B．，
C．， D．或



知识点03 圆锥曲线中的弦中点问题(点差法)

1.椭圆的弦中点问题
(1)若是椭圆上两个不重合的点,
则,两式相减得是直线的斜率, 是线段的中点,可设为,
(2) 当椭圆的方程为时,
【即学即练17】已知椭圆的左焦点为，过作一条倾斜角为的直线与椭圆交于两点，若为线段的中点，则椭圆的离心率是（       ）
A． B． C． D．
【即学即练18】已知椭圆，则以点为中点的弦所在的直线方程为（　　）
A． B．
C． D．
【即学即练19】椭圆内有一点，过点的弦恰好以为中点，那么这条弦所在的直线方程为（       ）
A． B．
C． D．
【即学即练20】已知椭圆C∶经过点，O为坐标原点，若直线l与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，直线l与直线OM的斜率乘积为.求椭圆C的标准方程；


【即学即练21】已知椭圆：的左､右焦点分别为，，离心率为，过点的直线交椭圆于两点，的中点坐标为.求椭圆的标准方程；



【即学即练22】已知椭圆：（）过点，直线：与椭圆交于两点，且线段的中点为，为坐标原点，直线的斜率为，求椭圆的标准方程；


2.双曲线的弦中点问题
(1)当双曲线的方程为时,
(2)当双曲线的方程为时,
【即学即练23】已知双曲线的离心率为，直线与交于两点，为线段的中点，为坐标原点，则与的斜率的乘积为（       ）
A． B． C． D．
【即学即练24】已知双曲线与斜率为1的直线交于A，B两点，若线段AB的中点为，则C的离心率（       ）
A． B． C． D．
【即学即练25】已知双曲线的左､右焦点分别为过左焦点作斜率为2的直线与双曲线交于A，B两点，P是AB的中点，O为坐标原点，若直线OP的斜率为，则b的值是（       ）
A．2 B． C． D．
【即学即练26】已知双曲线C的中心在坐标原点，其中一个焦点为，过F的直线l与双曲线C交于A、B两点，且AB的中点为，则C的离心率为(       )
A． B． C． D．
【即学即练27】已知倾斜角为的直线与双曲线，相交于，两点，是弦的中点，则双曲线的渐近线的斜率是（       ）
A． B．
C． D．



【即学即练28】已知双曲线的一条渐近线方程为，一个焦点到该渐近线的距离为1.
(1)求的方程；
(2)经过点的直线交于两点，且为线段的中点，求的方程.




【即学即练29】已知过点的直线与双曲线交于.
(1)求与双曲线共渐近线且过点的双曲线的方程；
(2)若线段的中点为，求直线的方程和三角形面积.






3.抛物线的弦中点问题
(1) 设抛物线的弦为,,弦的中点为,则有,两式相减,得,即.将代人上式并整理,得.
(2) 设抛物线的弦为,弦的中点为,则.
(2) 设抛物线的弦为,弦的中点为,则.
(3) 设抛物线的弦为,弦的中点为,则.
【即学即练30】已知抛物线，过点的直线与抛物线交于A，B两点，若点是线段AB的中点，则直线的斜率为（       ）
A．4 B．2 C．1 D．
【即学即练31】已知抛物线C：，直线l与C交于A，B两点，若弦的中点为，则直线l的斜率为（       ）
A． B．3 C． D．－3
【即学即练32】已知抛物线：，直线过点，且与抛物线交于，两点，若线段的中点恰好为点，则直线的斜率为（       ）
A． B．2 C．3 D．
【即学即练33】已知抛物线的焦点为F，过F且斜率为1的直线与抛物线C交于A，B两点，且的中点的纵坐标为2．求C的方程.






知识点04 圆锥曲线中的弦长公式

直线被圆锥曲线(椭圆,双曲线,抛物线)截得的弦长公式:
设直线与圆锥曲线交于两点,则
或
为直线斜率,.
【即学即练34】已知椭圆的左、右焦点分别为、，过且斜率为1的直线交椭圆于A、两点，则等于（       ）
A． B． C． D．
【即学即练35】斜率为1的直线l与椭圆相交于A，B两点，则的最大值为（       ）
A．2 B． C． D．
【即学即练36】直线y＝x+m与椭圆交于A，B两点，若弦长，则实数m的值为（       ）
A． B．±1 C． D．±2
【即学即练37】直线x＋y＝1与双曲线4x2－y2＝1相交所得弦长为（       ）
A． B． C． D．
【即学即练38】已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，椭圆C上点M满足．
(1)求椭圆C的标准方程：
(2)若过坐标原点的直线l交椭圆C于P，Q两点，求线段PQ长为时直线l的方程．




【即学即练39】已知双曲线与有相同的渐近线，点为的右焦点，，为的左右顶点．
(1)求双曲线的方程；
(2)过点倾斜角为的直线交双曲线于，两点，求．



【即学即练40】已知椭圆：，直线与椭圆相交于，两点，点为线段的中点.
(1)求直线的方程；
(2)若为坐标原点，求的面积.







知识点05 圆锥曲线的切线与切点弦
1.椭圆的切线及切点弦
(1)椭圆上一点处的切线方程为.
(2)椭圆外一点所引两条切线的切点弦方程是.

2.双曲线的切线及切点弦
(1)双曲线上一点处的切线方程是
(2)双曲线外一点所引两条切线的切点弦方程是

3.抛物线的切线及切点弦
(1)过抛物线上的点的切线方程是.
(2)过抛物线外一点的切线方程是.

【即学即练41】已知为椭圆的右焦点，点是直线上的动点，过点作椭圆的切线，，切点分别为，，则的值为（       ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【即学即练42】已知椭圆，圆，过椭圆上任一与顶点不重合的点引圆的两条切线，切点分别为，直线与轴，轴分别交于点，则（　　）
A． B． C． D．
【即学即练43】已知抛物线，点P为直线上的任意一点，过点P作抛物线C的两条切线，切点分别为A，B，则点到直线AB的距离的最大值为（       ）
A．1 B．4 C．5 D．
【即学即练44】如图，已知点是双曲线上的点，过点作椭圆的两条切线，切点为、，直线交的两渐近线于点、，是坐标原点，则的值为（       ）

A． B． C． D．
【即学即练45】已知椭圆E：，点P(2，t)，F为椭圆的左焦点，过点P作椭圆的切线PA、PB，切点分别为A、B，则ABF面积的范围是__________．（经过椭圆上一点(x0，y0)的椭圆的切线方程是：）
【即学即练46】已知椭圆E:的左焦点为F，过点P(2，t)作椭圆E的切线PA、PB，切点分别是A、B，则三角形ABF面积最大值为（       ）
A． B．1 C．2 D．
【即学即练47】过点作抛物线的两条切线，切点分别为，，，分别交轴于，两点，为坐标原点，则与的面积之比为___________．
【即学即练48】已知椭圆.
(1)定义：若某直线与椭圆有且仅有一个公共点，则称该直线与椭圆相切，该公共点为切点.若点在椭圆C上，证明，直线与椭圆C相切；




【即学即练49】在平面直角坐标系中，已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，且椭圆的四个顶点围成的四边形面积为．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)已知点P是直线上的动点，过点P做椭圆C的两条切线，切点分别为M，N，问直线MN是否过定点？若是，求出该定点；若不是，请说明理由．



【即学即练50】已知椭圆的左焦点，点在椭圆C上．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)经过圆上一动点P作椭圆C的两条切线，切点分别记为A，B，直线分别与圆O相交于异于点P的M，N两点．
（ⅰ）当直线的斜率都存在时，记直线的斜率分别．求证：；
（ⅱ）求的取值范围．


【即学即练51】已知抛物线的焦点为,过直线上任一点引抛物线的两条切线,切点为,,则点到直线的距离
A．无最小值 B．无最大值
C．有最小值,最小值为1 D．有最大值,最大值为
【即学即练52】已知抛物线，过点作抛物线的两条切线，点为切点.若的面积不大于，则的取值范围是（       ）
A． B． C． D．





能力拓展

◆考点01 韦达定理与设而不求思想
【典例1】已知抛物线的焦点F与椭圆的右焦点重合．斜率为直线l经过点F，且与C的交点为A，B．若，则直线l的方程是（       ）
A． B．
C． D．
【典例2】已知抛物线C：的焦点为F，若直线l过点F，且与抛物线C交于A、B两点，过点A作直线的垂线，垂足为点M，点N在y轴上，线段AF、MN互相垂直平分，则（          ）
A． B． C．16 D．32
【典例3】已知斜率为1的直线过椭圆的右焦点，交椭圆于两点，则弦的长为（   ）
A． B． C． D．

【典例4】在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线．
(1)设F是C的左焦点，M是C右支上一点，若，求点M的坐标；
(2)设斜率为的直线l交C于P、Q两点，若l与圆相切，求证：．





【典例5】已知抛物线上一点到焦点的距离为4.
(1)求实数的值；
(2)若直线过的焦点，与抛物线交于，两点，且，求直线的方程.





【典例6】在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的左，右顶点分别为A，B，过点M（-1，0）作直线l交椭圆于C，D两点，若直线AD，BC的斜率分别为k1，k2．求证：为定值．




分层提分


题组A 基础过关练
一、单选题
1．已知抛物线的焦点为，过点且倾斜角为的直线与抛物线分别交于两点，则（       ）
A．1 B．3 C．6 D．8
2．国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图1所示，其结构图如图2所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，且内层与外层的椭圆的长轴之比为，已知外层椭圆的方程为，若由外层椭圆长轴的一个端点向内层椭圆引切线，则切线的斜率为（       ）

A． B． C． D．
3．已知抛物线的方程为，若过点的直线与抛物线有公共点，则直线的斜率的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．
4．斜率为的直线过抛物线的焦点，且与C交于A，B两点，则三角形的面积是（O为坐标原点）（       ）
A． B． C． D．
5．已知抛物线​为原点，过​的任意直线​，与拋物线​交于点​两点，则​为（       ）
A．钝角三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．钝角、直角、锐角三角形均有可能
二、多选题
6．若双曲线的方程为，则下列说法正确的是（       ）
A．双曲线的离心率为 B．双曲线的焦点坐标为
C．双曲线的渐近线方程为 D．直线与双曲线有两个交点
7．过抛物线的焦点F的直线交抛物线于，两点，则以下结论中正确的是（       ）
A． B．
C． D．
三、填空题
8．直线与焦点在x轴上的椭圆总有公共点，则实数m的取值范围是______．
9．已知抛物线的方程是，直线交抛物线于两点，若弦的中点为，则直线的方程为______．
四、解答题
10．已知椭圆的离心率为，右焦点为.斜率为1的直线与椭圆交于两点，以为底边作等腰三角形，顶点为.
(1)求椭圆的方程；
(2)求直线的方程.





11．已知是双曲线上关于原点对称的两个点，点P在双曲线上．当PA和PB斜率存在时，求证：为定值．




12．已知椭圆，左焦点为，点在椭圆上．
(1)求椭圆的标准方程．
(2)若直线和椭圆交于两点，设点为线段的中点，为坐标原点，求线段长度的取值范围．



13．已知，是过点的两条互相垂直的直线，且与椭圆相交于A，B两点，与椭圆相交于C，D两点．
(1)求直线的斜率k的取值范围；
(2)若线段，的中点分别为M，N，证明直线经过一个定点，并求出此定点的坐标．




题组B 能力提升练
一、 单选题
1．若斜率为的直线与椭圆交于，两点，且的中点坐标为，则（       ）
A． B． C． D．
2．过抛物线的焦点且斜率为的直线交抛物线于、两点，抛物线的准线为，于，于，则四边形的面积为（       ）

A．32 B． C．64 D．
3．已知双曲线，若过点能作该双曲线的两条切线，则该双曲线离心率取值范围为（       ）
A． B． C． D．以上选项均不正确
4．已知直线l的方程为，双曲线C的方程为.若直线l与双曲线C的右支相交于不同的两点，则实数k的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
5．已知为坐标原点，直线与抛物线交于两点，以为直径的圆经过，则直线恒过（       ）
A． B． C． D．
6．椭圆的左右焦点为为椭圆上一点，直线分别交椭圆于M，N两点，则当直线的斜率为时，（       ）
A．2 B．3 C．4 D．5

二、多选题
7．已知椭圆：内一点，直线与椭圆交于，两点，且点是线段的中点，则（       ）
A．椭圆的焦点坐标为，
B．椭圆的长轴长为4
C．直线的方程为
D．
8．过抛物线的焦点的直线交抛物线于，两点，为线段的中点，则（       ）
A．以线段为直径的圆与直线相切
B．以线段为直径的圆与轴相切
C．当时，
D．的最小值为6
三、填空题
9．已知直线与焦点在x轴上的椭圆相交于P、Q两点，且，则m＝______．
10．若过原点的直线与椭圆交于A、B两点，则的最大值为______．
四、解答题
11．已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点.

(1)求椭圆的方程；
(2)已知点，（）在椭圆上，点，是椭圆上不同于，的两个动点，且满足：，试问：直线的斜率是否为定值？请说明理由.
12．已知双曲线的离心率为，右焦点到一条渐近线的距离为.
(1)求双曲线的方程；
(2)若分别是的左､右顶点，过的直线与交于两点（不同于）.记直线的斜率分别为，请问是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是，请说明理由.






13．已知抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，椭圆的长轴长为.

(1)求椭圆的方程；
(2)过点且斜率为的直线交椭圆于两点，交抛物线于两点，请问是否存在实常数，使为定值？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.







14．已知椭圆的左、右焦点分别为， 离心率为为上一点，为坐标原点，轴，且．
(1)求的标准方程;
(2)若直线与交于两点，过点作直线的垂线，垂足为，当直线与轴的交点为定点时，求的值．




15．已知点是抛物线与椭圆的公共焦点，椭圆上的点到点的最大距离为3.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点作的两条切线，记切点分别为，求面积的最大值.















题组C 培优拔尖练
1．已知椭圆，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．
(1)证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；
(2)若l过点，延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，请说明理由．





2．已知椭圆的离心率为，短轴长为2．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)在圆上取一动点P作椭圆C的两条切线，切点分别记为M，N，（与PN的斜率均存在），求△OMN面积的取值范围．


3．在圆：上取一动点作椭圆：的两条切线，切点分别记为，，（与的斜率均存在），直线，分别与圆O相交于异于点P的A、B两点.
(1)求证：；
(2)求面积的取值范围.






4．已知点P为椭圆上一动点，，为左右两焦点，点P到坐标原点的最大距离为，的最大面积为1.


(1)求椭圆C的方程；
(2)过动点P（不在坐标轴上）作圆的两条切线，切点分别为A，B，直线AB交椭圆于M，N两点，求的面积S的最大值.