【同步讲义】（苏教版2019）高中数学必修一：第19讲 函数的零点与用二分法求方程的近似解 讲义
展开第19讲 函数的零点与用二分法求方程的近似解
【知识梳理】
知识点一 函数的零点的概念
对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．
方程、函数、图象之间的关系：
方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．
知识点二 零点存在性定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．
知识点三 二分法
对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
由函数的零点与相应方程根的关系，可用二分法来求方程的近似解．
知识点四 用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤
给定精确度ε，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤：
(1)确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0，给定精确度ε；
(2)求区间(a，b)的中点c；
(3)计算f(c)；
①若f(c)＝0，则c就是函数的零点；
②若f(a)·f(c)<0，则令b＝c(此时零点x0∈(a，c))；
③若f(c)·f(b)<0，则令a＝c(此时零点x0∈(c，b))．
(4)判断是否达到精确度ε：即若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复(2)～(4)．
以上步骤可简化为：定区间，找中点，中值计算两边看；同号去，异号算，零点落在异号间；周而复始怎么办？精确度上来判断．
【典型例题】
考点一 求函数的零点
- 函数零点是__________．
- 已知函数的一个零点是，则它的另一个零点是__________．
考点二 判断函数的零点所在的区间
- 利用二分法求方程的近似解，可以取的一个区间是
A． B． C． D．
- 函数的零点在区间，内，则 1 ．
- 利用计算器，列出自变量和函数值的对应值如下表：
0 | ||||||||||
0.3299 | 0.3789 | 0.4353 | 0.5 | 0.5743 | 0.6598 | 0.7579 | 0.8706 | 1 | ||
2.56 | 1.96 | 1.44 | 1 | 0.64 | 0.36 | 0.16 | 0.04 | 0 |
若方程有一个根位于区间，在表格中第一栏里的数据中取值）内，则的值为 ．
- 用二分法研究函数的零点时，第一次计算，得，，第二次应计算，则等于
A．1 B． C．0.25 D．0.75
- 用二分法求方程的正实根的近似解（精确度时，如果我们选取初始区间是，，则要达到精确度至少需要计算的次数是
A．5 B．6 C．7 D．8
考点三 判断函数零点个数
- 求函数f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2的零点个数．
- 求函数f(x)＝ln x＋2x－6零点的个数．
考点四 零点之间的关系
- 已知函数，若存在，使得，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
- 设函数若关于的方程有四个实根，且，则的最小值为（ ）
A． B．8 C． D．16
- 已知，方程有四个不同的根，且满足，（1）___________；（2）的取值范围为：___________.
- （多选）已知函数若方程有四个不等实根.下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
- 已知定义在区间上的函数.
(1)求函数的零点；
(2)若方程有四个不相等的实数根，，证明：；
(3)设函数，，若对任意的，总存在，使得，求的取值范围.
考点五 根据零点分布求参数范围
- 若方程的两个根都在区间内，则实数m的取值范围为_________．
- 若函数在区间内恰有一个零点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
- 函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是 ．
考点六 根据零点个数求参数范围
- 设为实数，函数在上有零点，则实数的取值范围为________．
10．若方程有四个不同的根，则的取值范围是 _______．
- 设函数，若关于的函数恰好有六个零点，则实数的取值范围是_____________．
- 设m是不为0的实数，已知函数，若函数有7个零点，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
- 已知函数．（其中）
(1)若在上有两个零点，求实数的值；
(2)若对任意，使得恒成立，求实数的取值范围．
考点七 不动点
- 对于二次函数，若存在，使得成立，则称为二次函数的不动点.
(1)求二次函数的不动点；
(2)若二次函数有两个不相等的不动点、，且、，求的最小值．
(3)若对任意实数，二次函数恒有不动点，求的取值范围.
- 布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔，简单地讲就是对于满足一定条件的连续实函数，存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点"函数，而称为该函数的一个不动点． 现新定义： 若满足，则称为的次不动点．
(1)判断函数是否是“不动点”函数，若是，求出其不动点； 若不是，请说明理由
(2)已知函数，若是的次不动点，求实数的值：
(3)若函数在上仅有一个不动点和一个次不动点，求实数的取值范围．
数学必修 第一册4.5 函数的应用（二）精练： 这是一份数学必修 第一册4.5 函数的应用（二）精练，共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
高中数学4.5 函数的应用（二）课后复习题： 这是一份高中数学4.5 函数的应用（二）课后复习题，文件包含正文docx、答案docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共7页， 欢迎下载使用。
必修 第一册5.1 任意角和弧度制达标测试： 这是一份必修 第一册5.1 任意角和弧度制达标测试，共5页。
