【同步讲义】（苏教版2019）高中数学必修一：第18讲 三角函数的实际应用 讲义

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第18讲 三角函数的实际应用
【知识梳理】
　1.利用三角函数模型解决实际问题的一般步骤
第一步：阅读理解，审清题意．
读题要做到逐字逐句，读懂题中的文字，理解题目所反映的实际背景，在此基础上分析出已知什么、求什么，从中提炼出相应的数学问题．
第二步：收集、整理数据，建立数学模型．
根据收集到的数据找出变化规律，运用已掌握的三角函数知识、物理知识及相关知识建立关系式，将实际问题转化为一个与三角函数有关的数学问题，即建立三角函数模型，从而实现实际问题的数学化．
第三步：利用所学的三角函数知识对得到的三角函数模型予以解答．
第四步：将所得结论转译成实际问题的答案．
2.三角函数模型的建立程序
如图所示：






【典型例题】
一．y＝Asin（ωx+φ）中参数的物理意义
1．若y＝15sin[（x+1）]表示一个振动，则这个振动的初相是　　．
【分析】化简函数的解析式，即可求出初相．
【解答】解：y＝15sin[（x+1）]＝15sin（+），这个振动的初相是．
故答案为：．
2．已知简谐运动的图象经过点（0，1），则该简谐运动的最小正周期T＝　6　，初相＝　　．
【分析】根据已知过定点（0，1），代入并化简，求出φ，然后根据题意求出T．
【解答】解：∵的图象经过点（0，1）
∴代入得2sinφ＝1
又∵
∴φ＝
而根据题意，T＝6
故答案为：6；．
3．在电流强度I（A）与时间t（s）的关系I＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）中，要使t在任意的时间内电流强度I能取得最大值A与最小值﹣A，则正整数ω的最小值为　629　．
【分析】由题意得，代入正弦型函数的周期计算公式可求得ω≥200π，即可得解．
【解答】解：由题意得，即，
∴ω≥200π，
∴正整数ω的最小值为629．
故答案为：629
二．三角函数应用
4．如图所示，一个半径为4米的筒车绕其轴心O按逆时针方向匀速转动，每旋转1周恰需要30秒，轴心O距水面的高度为2米．设筒车上的某个盛水筒W到水面的距离为d（单位：米，W在水面下时d为负数）．将盛水筒W上浮到水面的一点设为起始位置，则d与时间t（单位：秒）之间的关系为 　d＝4sin（t﹣）+2　．（用t表示）

【分析】由图可知d的最大、最小值，列方程组求出A、B的值，求得函数的周期，利用周期公式求出ω、φ的值，即可得解．
【解答】解：由题意知，d＝Asin（ωt+φ）+B，
由图可知d的最大值为6，最小值为﹣2，
即，解得A＝4，B＝2，
因为每30秒转1圈，所以函数的周期为T＝＝30，
解得ω＝，所以d＝4sin（t+φ）+2，
当t＝0时，d＝0，即0＝4sinφ+2，可得sinφ＝﹣，
由﹣＜φ＜，可得φ＝﹣．
所以d＝4sin（t﹣）+2，（t≥0）．
故答案为：d＝4sin（t﹣）+2，（t≥0）．
5．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用（如图）．假设在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动．现有一半径为2米的筒车，在匀速转动过程中，筒车上一盛水筒M距离水面的高度H（单位：米）与转动时间t（单位：秒）满足函数关系式H＝2sin（）+，φ∈（0，），且t＝0时，盛水筒M与水面距离为2.25米，当筒车转动100秒后，盛水筒M与水面距离为 　0.25　米．

【分析】由已知函数解析式结合t＝0时的函数值求得φ，代入函数解析式，取t＝100求得H值得答案．
【解答】解：∵H＝2sin（）+，φ∈（0，），
当t＝0时，H＝2sinφ+＝2.25，则sinφ＝，
∵φ∈（0，），∴φ＝．
故H＝2sin（t+）+，
∴当t＝100时，盛水筒M与水面距离为：
H＝2sin（）+＝2×+＝0.25．
故答案为：0.25．
6．水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征．如图是一个半径为Rm的水车，当水车上水斗A从水中浮现时开始计算时间，点A沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒，经过t秒后，水斗旋转到点P，已知A（2，﹣2），设点P的坐标为（x，y），其纵坐标满足y＝f（t）＝Rsin（ωt+φ）（t≥0，ω＞0，|φ|＜）．
（1）求函数f（t）的解析式；
（2）当水车转动一圈时，求点P到水面的距离不低于4m的持续时间.
【分析】（1）根据OA求出R，根据周期T＝60求出ω，根据f（0）＝﹣2求出φ，从而求得解析式；
（2）问题等价于求y≥2时的间隔．
【解答】解：（1）由图可知：R＝OA＝4，
周期，
∵t＝0时，在，∴，
∴或，
∵，∴，且取k＝0，则．
∴．
（2）点P到水面的距离等于4m时，y＝2，
故或，
即t1＝10，t2＝30，t2﹣t1＝20，
∴当水车转动一圈时，点P到水面的距离不低于4m的持续时间为20秒．
7．如图，摩天轮的半径为40m，点O距地面的高度为50m，摩天轮做匀速转动，每30min转一圈，摩天轮上点P的起始位置在最低点处．
（1）试确定在时刻t（单位：min）时点P距离地面的高度；
（2）在摩天轮转动的一圈内，有多长时间点P距离地面超过70m？

【分析】（1）建立如图所示的平面直角坐标系，从而可得高度h与t的关系；
（2）令h＞70，从而可得所求的时间长．
【解答】解：（1）建立如图所示的平面直角坐标系，设P离地面的高度为h，

则以OP为终边的角为，
故，
所以．
（2）令，即，解得10＜t＜20，
故在摩天轮转动的一圈内，有10分钟时间长点P距离地面超过70m．
8．阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置．我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“镇楼神器”，如图1．由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移y（m）和时间t（s）的函数关系为y＝sin（ωt+φ）（ω＞0，|φ|＜π），如图2．若该阻尼器在摆动过程中连续三次到达同一位置的时间分别为t1，t2，t3（0＜t1＜t2＜t3），且t1+t2＝2，t2+t3＝6，则在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5m的总时间为（　　）

A．s B．s C．1s D．s
【分析】由三角函数的对称轴与周期的关系知函数y＝sin（ωt+φ）的周期为4，注意到位移大于0.5m及函数y＝sinx在周期[0，2π）内时，y＞0.5的区间为（，），从而求得．
【解答】解：∵（t1+t2）＝1，
（t2+t3）＝3，
∴函数y＝sin（ωt+φ）的周期为T＝2×（3﹣1）＝4，
∵y＝sinx在周期[0，2π）内时，
y＞0.5的区间为（，），
区间长度是周期的，
∴在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5m的总时间为×4＝s，
故选：D．
9．如图，某大风车的半径为2米，每12秒旋转一周，它的最低点O离地面1米，点O在地面上的射影为A．风车圆周上一点M从最低点O开始，逆时针方向旋转40秒后到达P点，则点P到点A的距离与点P的高度之和为（　　）

A．5 B．4 C．4 D．4
【分析】以圆心O为原点，以水平方向为x轴方向，以竖直方向为y轴方向建立平面直角坐标系，则根据大风车的半径为2m，圆上最低点O离地面1米，12s秒转动一圈，我们易得到f（t）与t间的函数关系式，求出P的坐标，即可求出点P到点A的距离与点P的高度之和．
【解答】解：以圆心O为原点，以水平方向为x轴方向，以竖直方向为y轴方向建立平面直角坐标系，则根据大风车的半径为2m，圆上最低点O离地面1米，12s秒转动一圈，
设∠OO1P＝θ，运动t（s）后与地面的距离为f（t）．
又T＝12，∴θ＝t，∴f（t）＝3﹣2cost，t≥0；
风车圆周上一点M从最低点O开始，逆时针方向旋转40秒后到达P点，θ＝6π+π，P（，1）
∴点P的高度3﹣2×（﹣）＝4
∵A（0，﹣3），∴AP＝＝，
∴点P到点A的距离与点P的高度之和为4+．
故选：D．

10．分别以正三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形称为“勒洛三角形”，它在机械加工业上具有广泛用途．如图，放置在地面上的勒洛三角形ABC与地面的唯一接触点恰好是弧的中点D，已知正三角形ABC的边长为2cm，动点P从A处出发，沿着勒洛三角形按逆时针方向以每秒cm的速度匀速运动，点P在t（单位：秒）时距离地面的高度为y（单位：cm），则当t＝3秒时，y＝　3﹣　cm；当0≤t≤2时，y＝　2sint+2﹣　.（用t表示）

【分析】当t＝3时，P走到了的中点，计算可得y＝3﹣，当0≤t≤2时，P在 上移动，可求得∠ACP＝t，从而可求得 y＝2sint+2﹣．
【解答】解：＝×2＝cm，当t＝3时，P走过的路程为×3＝π，由于＝＝cm，
故此时P走到了的中点，则y＝PAsin∠PAC+OD，
又OD＝BD﹣BO＝2﹣＝2﹣，
所以y＝PAsin∠PAC+OD＝2×sin+2﹣＝（3﹣）cm，
当0≤t≤2时，P在 上移动，其路程为＝t，由l＝αr，可得∠ACP＝t，
所以P到AC边的距离为d＝PC×sin∠ACP＝2sint，
故y＝（2sint+2﹣）cm．
故答案为：3﹣；2sint+2﹣．

11．随着私家车的逐渐增多，居民小区“停车难“问题日益突出．本市某居民小区为缓解“停车难”问题，拟建造地下停车库，建筑设计师提供了该地下停车库的入口和进入后的直角转弯处的平面设计示意图．
（1）按规定，地下停车库坡道口上方要张贴限高标志，以便告知停车人车辆能否安全驶入，为标明限高，请你根据该图1所示数据计：算限定高度CD的值．（精确到0.1m）
（下列数据提供参考：sin20°＝0.3420，cos20°＝0.9397，tan20°＝0.3640）
（2）在车库内有一条直角拐弯车道，车道的平面图如图2所示，车道宽为3米，现有一辆转动灵活的小汽车，其水平截面图为矩形ABCD，它的宽AD为1.8米，直线CD与直角车道的外壁相交于E、F．
①若小汽车卡在直角车道内（即点A、B分别在PE、PF上，点O在CD上）∠PAB＝θ（rad），求水平截面的长（即AB的长，用θ表示）
②若小汽车水平截面的长为4.4米，问此车是否能顺利通过此直角拐弯车道？
备注：以下结论可能用到，此题可以直接运用．
结论1 ；
结论2 若函数f（x）和函数g（x）都在区间I上单调递增，则函数f（x）+g（x）在区间I上单调递增．
【分析】（1）在△ABE中，由已知可得BE，再求得CE，由CD＝CE•cos∠ECD可得CD的值；
（2）①延长CD与直角走廊的边相交于E，F，求得EF＝OE+OF，再求出DE，CF，得到AB＝DC＝EF﹣（DE+CF），由此可得AB的长f（θ）的表达式；
②由①知f（θ）＝，其中0＜θ＜，令sinθ+cosθ＝t，1＜t≤，可得f（θ）＝g（t）＝，1＜t≤，再由导数求最值，与4.4比较大小得结论．
【解答】解：（1）在△ABE中，∠ABE＝90°，∠BAE＝20°，
则tan，又AB＝10，
∴BE＝AB•tan∠BAE＝10tan20°≈3.6m，
∵BC＝0.6m，∴CE＝BE﹣BC＝3m，
在△CED中，∵CD⊥AE，∠ECD＝∠BAE＝20°，
∴cos，
∴CD＝CE•cos∠ECD＝3cos20°≈3×0.94≈2.8m；
（2）①延长CD与直角走廊的边相交于E，F，
则EF＝OE+OF＝，其中0＜θ＜，
∴DE＝，CF＝BC•tanθ＝1.8tanθ，
又∵AB＝DC＝EF﹣（DE+CF），
∴AB的长f（θ）＝＝，其中0＜θ＜；
②由①知f（θ）＝，其中0＜θ＜，
令sinθ+cosθ＝t，则t＝，∴1＜t≤，
则sinθcosθ＝．
故f（θ）＝g（t）＝，1＜t≤，
g′（t）＝﹣，
当t∈（1，]时，g′（t）＜0恒成立，则g（t）在（1，]上为减函数，
∴＞4.4．
∴此车能顺利通过此直角拐弯车道．
三．三角函数的最值
12．已知f（x）＝2sin（ωx+φ）（|φ|＜，ω＞0），f（0）＝，f（）＝2，且f（x）在（，）上无最小值，则ω＝（　　）
A． B．1 C． D．2
【分析】先代点求出φ值，再代点求出ω＝+6k，k∈Z，最后求出ωx+的范围即可．
【解答】解：∵f（0）＝，∴sinφ＝，∵|φ|＜，∴φ＝，
∴f（x）＝2sin（ωx+），
∵f（）＝2sin（+）＝2，∴sin（+）＝1，
∴+＝+2kπ，k∈Z，∴ω＝+6k，k∈Z，
∵x∈（， ），∴ωx+∈（+kπ， +3kπ），k∈Z，
∵f（x）在 （， ）上无最小值且ω＞0，∴k＝0，即ω＝，
故选：A．
13．若函数在区间内存在最小值，则θ的值可以是（　　）
A． B． C． D．
【分析】求出函数在x＞0时，第一次取得最小值时的x值，即可判断选项．
【解答】解：函数，在x＝时，＝，函数在x＞0时，第一次取得最小值，
所以，
故选：B．
（多选）14．已知，，且f（x）在区间内有最大值，无最小值，则ω可能的取值有（　　）
A． B． C． D．
【分析】直接利用三角函数关系式的变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．
【解答】解：＝cos（ωx）＝cos[ωx+）]＝sin（ωx+）；
由于；
且f（x）在区间内有最大值，无最小值，
故函数f（x）关于x＝对称；
且；
整理得ω＜12；
由于函数图像关于直线关于x＝对称时，函数达到最值；
故；或（k∈Z）；
由于0＜ω＜12；
所以或或；
故选：ABC．
（多选）15．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0）满足f（x0）＝f（x0+1）＝﹣，且f（x）在（x0，x0+1）上有最小值，无最大值．则下列说法正确的是（　　）
A．f（x0+）＝﹣1
B．若x0＝0，则f（x）＝sin（2πx﹣）
C．f（x）的最小正周期为3
D．f（x）在（0，303）上的零点个数最少为202个
【分析】根据正弦函数图象的对称性可判断A，利用特殊值法可判断B，根据已知三角函数值求角的方法，可得，ωx0+φ＝﹣+2kπ①，ω（x0+1）+φ＝﹣+2kπ②，k∈Z，两式相减可求出ω，进而求得周期，从而可判断C选项，因为T＝3，所以函数f（x）在区间（0，303）上的长度恰好为101个周期，为了算出零点“最小”有多少个，可取f（0）＝0，进而可判断D．
【解答】解：A：（x0，x0+1）的中点为x0+，根据函数的对称性知f（x0+）＝﹣1，∴A正确．
B：若x0＝0，f（x）＝sin（2πx﹣），则f（）＝sin＝1，
∴f（）为 （0，1）上的最大值，与题意不符，∴B错误．
C：∵f（x0）＝f（x0+）＝﹣，
∴ωx0+φ＝﹣+2kπ①，ω（x0+1）+φ＝﹣+2kπ②，k∈Z，
②﹣①得，ω＝，∴T＝＝3，∴C正确．
D：∵T＝3，f（x）在（0，303）区间的长度恰好有101个周期，
当f（0）＝0时，即φ＝kπ时，
f（x）在区间上零点个数最小为 101×2﹣1＝201，∴D错误．
故选：AC．
16．已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π），在同一周期内，当时，f（x）取得最大值3；当时，f（x）取得最小值﹣3．
（1）求函数f（x）的单调递减区间；
（2）若，求f（x）的最值，并写出取得最值时x的值．
【分析】（1）由三角函数图象的性质求三角函数解析式即可；
（2）先由，则2x，然后求解即可．
【解答】解：（1）由同一周期内，当时，f（x）取得最大值3；当时，f（x）取得最小值﹣3，
则，即T＝π，即ω＝2，
由题意有A＝3，2×φ＝2kπ+，又|φ|＜，则φ＝，
即f（x）＝3sin（2x+），
令2k，
则k，k∈Z，
即函数f（x）的单调递减区间为[k]，k∈Z；
（2）由，
则2x，
则当2x，即x＝时，f（x）取最大值3，则当2x，即x＝时，f（x）取最小值．

17．设．
（1）若函数f（x）的最大值是最小值的3倍，求b的值；
（2）当b＝时，函数f（x）的正零点由小到大依次为x1，x2，x3，…，若x1+x2+x3＝，求ω的值．
【分析】（1）根据三角函数的最值，列出关于b的方程求解；
（2）根据函数的零点的和、结合函数的对称性，列出ω的方程即可．
【解答】解：（1）因为，
故最大值为b+1，最小值为b﹣1，则，
解得b＝2．
（2）令sin（）得sin（）＝，
根据题意得，，，
则，结合x1+x2+x3＝，
解得ω＝5．
四．换元法求最值
18．函数f（x）＝sin2x+cosx﹣（x∈[0，]）的最大值是　1　．
【分析】同角的三角函数的关系以及二次函数的性质即可求出．
【解答】解：f（x）＝sin2x+cosx﹣＝1﹣cos2x+cosx﹣，
令cosx＝t且t∈[0，1]，
则y＝﹣t2+t+＝﹣（t﹣）2+1，
当t＝时，f（t）max＝1，
即f（x）的最大值为1，
故答案为：1
19．函数的最小值为 　　．
【分析】设t＝cos2x，则sin2x＝1﹣t，其中t∈[0，1]，原式化为y＝+﹣6，运用不等式中的“乘1法”即可求得答案．
【解答】解：设t＝cos2x，则sin2x＝1﹣t，其中t∈[0，1]，
原式可化为y＝+＝+
＝（t+2）+﹣6+（2﹣t）+﹣4
＝+﹣6
＝[（t+2）+（2﹣t）]（+）﹣6
＝（9+4++）﹣6
≥（13+2）﹣6
＝（13+12）﹣6
＝（当且仅当＝，即t＝时取等号），
故答案为：．
20．已知函数f（x）＝，则f（x）的最大值为　1　．
【分析】由三角函数的有界性得：设t＝sinx+2，则t∈[1，3]，
由“对勾函数”的单调性得：g（t）＝＝t+（1≤t≤3），在[1，2）为减函数，在（2，3]为增函数，可得解
【解答】解：设t＝sinx+2，则t∈[1，3]，
则sin2x＝（t﹣2）2，
则g（t）＝＝t+（1≤t≤3），
由“对勾函数”的性质可得：
g（t）在[1，2）为减函数，在（2，3]为增函数，又g（1）＝1，g（3）＝，
所以g（t）max＝g（1）＝1，
故答案为：1
21．已知函数f（x）＝acosx﹣sin2x﹣2a﹣9，．
（1）若a＜0，求f（x）的最小值g（a）；
（2）若关于x的方程f（x）＝a在上有解，求a的取值范围．
【分析】（1）化简得出f（x）＝（cosx+）2﹣﹣2a﹣10，令t＝cosx，则t∈[0，1]，可得f（x）＝h（t）＝（t+）2﹣﹣2a﹣10，分0＜﹣＜1，﹣≥1两种情况讨论，利用二次函数的基本性质可求得g（a）的表达式；
（2）分析可知关于x的方程a＝在上有解，令p＝3﹣cosx∈[2，3]，则a＝＝p﹣﹣6，利用函数的单调性求出函数H（p）＝p﹣﹣6在[2，3]上的值域，即可求得a的取值范围．
【解答】解：因为函数f（x）＝acosx﹣sin2x﹣2a﹣9＝cos2x+acosx﹣2a﹣10＝（cosx+）2﹣﹣2a﹣10，
因为，所以cosx∈[0，1]，令t＝cosx，则t∈[0，1]，
则f（x）＝h（t）＝（t+）2﹣﹣2a﹣10，
又因为a＜0，所以﹣＞0，
当0＜﹣＜1，即﹣2＜a＜0时，则h（t）在[0，﹣]上单调递减，在[﹣，1]上单调递增，
故h（t）在[0，1]上的最小值为g（a）＝h（﹣）＝﹣﹣2a﹣10，
当﹣≥1即a≤﹣2时，h（t）在[0，1]上单调递减，
故h（t）在[0，1]上的最小值为g（a）＝h（1）＝﹣a﹣9，
综上所述：g（a）＝g（a）＝；
（2）因为关于x的方程f（x）＝a在上有解，
即关于x的方程cos2x+acosx﹣3a﹣10＝0在上有解，
所以a＝在上有解，
因为，所以cosx∈[0，1]，令p＝3﹣cosx∈[2，3]，
则a＝＝p﹣﹣6，
因为H（p）＝p﹣﹣6在[2，3]上单调递增，则H（p）∈[﹣，﹣]，
故a的取值范围是[﹣，﹣]．
五．新定义
（多选）22．已知函数f（x）＝sin[cosx]+cos[sinx]，其中[x]表示不超过实数x的最大整数，下列结论中不正确的是（　　）
A．f（x）的一个周期是2π B．f（x）是偶函数
C．f（x）在（0，π）单调递减 D．f（x）的最大值不大于
【分析】A．利用周期函数的定义判断；B．利用f（1），f（﹣1）的关系判断；C．由时判断；D．由f（0）判断．
【解答】解：A．f（x+2π）＝sin[cos（x+2π）]+cos[sin（x+2π）]＝sin[cosx]+cos[sinx]＝f（x），T＝2π，故正确；
B．f（1）＝sin[cos1]+cos[sin1]＝sin0+cos0＝1，f（﹣1）＝sin[cos（﹣1）]+cos[sin（﹣1）]＝sin0+cos（﹣1）＝cos1≠f（1），故错误；
C．当时，sinx∈（0，1），cosx∈（0，1），则f（x）＝sin[cosx]+cos[sinx]＝sin0+cos0＝1，∴f（x）在无单调性，故错误；
D．，故错误；
故选：BCD．
（多选）23．已知函数f（x）＝sin（cosx），则（　　）
A．f（x）的一个周期是2π
B．f（x）的图象关于直线对称
C．f（x）的最大值小于
D．f（x）＝x在区间内有唯一的根
【分析】根据f（x+2π）＝f（x）判断A正确；根据f（）＝0判断B错误；利用三角函数的性质求出f（x）的值域可判断C；由函数图象可判断D．
【解答】解：因为f（x）＝sin（cosx），
所以f（x+2π）＝sin[cos（x+2π）]＝sin（cosx）＝f（x），故A正确；
当时，f（）＝sin（cos）＝sin0＝0，
所以f（x）的图象关于（，0）中心对称，故B错误；
由于x∈R，函数的cosx的值域为[﹣1，1]，所以f（x）∈[﹣sin1，sin1]，
所以f（x）的最大值sin1＜，故C正确；
因为函数y＝cosx在区间上单调递减，y＝sinx区间上单调递增，
所以y＝sin（cosx）单调递减，
作出f（x）与y＝x的图象，如图所示，

由图可知，f（x）与y＝x在区间上只有一个交点，
所以f（x）＝x在区间内有唯一的根，故D正确．
故选：ACD．
24．定义：正割secα＝，余割cscα＝．已知m为正实数，且m•csc2x+tan2x≥15对任意的实数x均成立，则m的最小值为（　　）
A．1 B．4 C．8 D．9
【分析】先将原不等式化简，再利用均值不等式求最值即可．
【解答】解：由已知得≥15，
即m≥15sin2x﹣．
因为x≠kπ+（k∈Z），所以cos2x∈（0，1]，
则15sin2x﹣＝15（1﹣cos2x）﹣＝15﹣15cos2x﹣＝15﹣15cos2x+2﹣＝17﹣（+16cos2x）≤17﹣2＝9，
当且仅当cos2x＝时等号成立，故m≥9．
故选：D．
25．正割（secant）及余割（cosecant）这两个概念是由伊朗数学家、天文学家阿布尔•威发首先引入．sec，csc这两个符号是荷兰数学家基拉德在《三角学》中首先使用，后经欧拉采用得以通行．在三角中，定义正割，余割．已知m为正实数，且sec2x+mcsc2x≥9对任意的实数均成立，则m的最小值为 　4　．
【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式化简可得（）2+2﹣8≥0，解方程即可得解m的最小值．
【解答】解：因为sec2x+mcsc2x≥9，
可得（sec2x+mcsc2x）（sin2x+cos2x）≥9，
可得1+m++≥1+m+2，
所以1+m+2≥9，
可得（）2+2﹣8≥0，
可得≥2，可得m≥4，即m的最小值为4．
故答案为：4．
26．悬索桥（如图）的外观大漂亮，悬索的形状是平面几何中的悬链线．1691年莱布尼兹和伯努利推导出某链线的方程为，其中c为参数．当c＝1时，该方程就是双曲余弦函数，类似的我们有双曲正弦函数．
（1）诸从下列三个结论中选择一个进行证明，并求函数y＝cosh（2x）+sinh（x）的最小值；
①[cosh（x）]2﹣[sinh（x）]2＝1；
②sinh（2x）＝2sinh（x）cosh（x）；
③cosh（2x）＝[cosh（x）]2+[sinh（x）]2．
（2）求证：．

【分析】（1）由三角函数的新定义，进行分析即可，
（2）由题意，代入三角函数的解析式，进行证明即可．
【解答】证明：（1）①；
②；
③，，，则，所以cosh（2x）＝2t2+1，
所以，时取“＝”，
所以y＝cosh（2x）+sinh（x）的最小值为．
证明：（2），cosh（cosx）＞sinh（sinx）≡，
当x∈[﹣π，0]时，ecosx+e﹣cosx＞0，sinx≤0≤﹣sinx，所以esinx≤e﹣sinx，所以esinx﹣e﹣sinx≤0，所以ecosx+e﹣cosx＞esinx﹣e﹣sinx成立：
当时，，所以ecosx＞esinx，﹣e﹣x＜0＜e﹣cosx，
所以ecosx+e﹣cosx＞esinx﹣e﹣sinx成立，
综上，∀x∈[﹣π，]，cosh（cosx）＞sinh（sinx）．
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