高中数学第6章 幂函数、指数函数和对数函数6.2 指数函数第2课时学案设计

这是一份高中数学第6章 幂函数、指数函数和对数函数6.2 指数函数第2课时学案设计，共11页。学案主要包含了与指数函数有关的图象变换，指数函数的实际应用等内容，欢迎下载使用。

一、与指数函数有关的图象变换
例1 利用函数f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x的图象，作出下列各函数的图象：①f(x－1)；②f(x)＋1；③－f(x)；④f(－x)；⑤－f(－x)；⑥f(|x|)；⑦|f(x)－1|.
解
反思感悟 图形变换
(1)平移变换
y＝f(x)eq \(―――――――――→,\s\up7(a>0左移a个单位长度),\s\d5(a<0右移|a|个单位长度))y＝f(x＋a)，
y＝f(x)eq \(―――――――――→,\s\up7(k>0上移k个单位长度),\s\d5(k<0下移|k|个单位长度))y＝f(x)＋k.
(2)对称变换
y＝f(x)eq \(―――→,\s\up7(关于x轴),\s\d5(对称))y＝－f(x)，
y＝f(x)eq \(―――→,\s\up7(关于y轴),\s\d5(对称))y＝f(－x)，
y＝f(x)eq \(―――→,\s\up7(关于原点),\s\d5(对称))y＝－f(－x)．
(3)翻折变换
y＝f(x)eq \(―――――――――――→,\s\up7(保留x轴上方的图象，把x轴),\s\d5(下方的图象翻折到x轴上方))y＝|f(x)|，
y＝f(x)eq \(―――――――――――→,\s\up7(保留y轴右侧的图象，把y轴),\s\d5(右侧的图象翻折到y轴左侧))y＝f(|x|)．
跟踪训练1 已知函数y＝3x的图象，怎样变换得到y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))x＋1＋2的图象？并画出相应图象．
解 y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))x＋1＋2＝3－(x＋1)＋2.
作函数y＝3x关于y轴的对称图象，得函数y＝3－x的图象，再向左平移1个单位长度就得到函数y＝3－(x＋1)的图象，最后再向上平移2个单位长度就得到函数y＝3－(x＋1)＋2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))x＋1＋2的图象，如图所示．
二、指数函数的实际应用
例2 某林区2021年木材蓄积量为200万立方米，由于采取了封山育林、严禁采伐等措施，使木材蓄积量的年平均递增率能达到5%.
(1)若经过x年后，该林区的木材蓄积量为y万立方米，求y＝f(x)的表达式，并写出此函数的定义域；
(2)求经过多少年后，林区的木材蓄积量能达到300万立方米．
解 (1)现有木材蓄积量为200万立方米，经过1年后木材蓄积量为200＋200×5%＝200(1＋5%)；
经过2年后木材蓄积量为200(1＋5%)＋200(1＋5%)×5%＝200×(1＋5%)2；
∴经过x年后木材蓄积量为200(1＋5%)x.
∴y＝f(x)＝200(1＋5%)x，函数的定义域为x∈N*.
(2)由绘图软件作函数y＝f(x)＝200(1＋5%)x(x≥0)图象如图．
作直线y＝300与函数y＝200(1＋5%)x的图象交于A点，则A(x0,300)，A点的横坐标x0的值就是函数值y＝300(木材蓄积量为300万立方米)时所经过的时间x年的值．
∵8反思感悟 解决有关增长(衰减)率问题的关键和措施
(1)解决这类问题的关键是理解增长(衰减)率的意义：增长(衰减)率是所研究的对象在“单位时间”内比它在“前单位时间”内的增长(衰减)率，切记并不总是只和开始单位时间内作比较．
(2)分析具体问题时，应严格计算并写出前3～4个单位时间的具体值，通过观察、归纳出规律后，再抽象为数学问题，最后求解数学问题即可．
(3)在实际问题中，有关人口增长、银行复利、细胞分裂等增长率问题常可以用指数函数模型表示，通常可以表示为y＝N(1＋p)x(其中N为基础数，p为增长率，x为时间)的形式．
跟踪训练2 酒驾是严重危害交通安全的违法行为，为了保障安全，根据国家有关规定：100 ml血液中酒精含量达到20～79 mg的驾驶员即为酒后驾车，80 mg及以上认定为醉酒驾车．某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中酒精含量上升到了0.6 mg/ml，如果停止饮酒后，他的血液中的酒精会以每小时25%的速度减少，那么他至少要经过几个小时后才能驾车( )
A．6 B．5 C．4 D．3
答案 C
解析 设他至少经过x个小时才能驾驶汽车，则60(1－25%)x<20，
∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)))x当x＝3时，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)))3＝eq \f(27,64)>eq \f(1,3)；
当x＝4时，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)))4＝eq \f(81,256)结合选项可知，他至少经过4个小时才能驾驶汽车．
1.知识清单：
(1)与指数函数有关的图象变换．
(2)指数型函数的实际应用．
2．方法归纳：数形结合法．
3．常见误区：混淆|f(x)|与f(|x|)两种变换．
1．函数y＝2x＋1的图象是( )
答案 A
解析 y＝2x＋1由y＝2x向左平移一个单位长度得到．
2．(多选)若a>1，－1A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案 ABC
解析 ∵a>1，且－1故图象过第一、二、三象限．
3．一种药在病人血液中的量低于80 mg时病人就有危险，现给某病人的静脉注射了这种药10 000 mg，如果药在血液中以每小时80%的比例衰减，那么应再向病人的血液中补充这种药不能超过的最长时间为( )
A．1.5小时 B．2小时
C．2.5小时 D．3小时
答案 D
解析 设时间为x，有10 000(1－0.8)x≥80，即0.2x≥0.008，解得x≤3.
4．春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了______天．
答案 19
解析 假设第一天荷叶覆盖水面面积为1，则荷叶覆盖水面面积y与生长时间x的函数关系为y＝2x－1，当x＝20时，长满水面，所以生长19天时，荷叶刚好覆盖水面面积一半．
1．函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))|x|的图象是( )
答案 B
解析 当x>0时，y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x，
∴图象在(0，＋∞)上是减函数，
当x<0时，y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))－x，
又∵y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))－x与y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x关于y轴对称，
∴B选项正确．
2．函数y＝|2x－2|的图象是( )
答案 B
解析 y＝2x－2的图象是由y＝2x的图象向下平移2个单位长度得到的，故y＝|2x－2|的图象是由y＝2x－2的图象在x轴上方的部分不变，下方部分翻折到x轴的上方得到的．
3．为改善环境，某城市对污水处理系统进行改造．三年后，城市污水排放量由原来每年排放125万吨降到27万吨，那么污水排放量平均每年降低的百分率是( )
A．50% B．40% C．30% D．20%
答案 B
解析 设污水排放量平均每年降低的百分率为p，则有125(1－p)3＝27，
故p＝eq \f(2,5)＝0.4＝40%.
4．随着我国经济的不断发展，2018年年底某偏远地区农民人均年收入为3 000元，预计该地区今后农民的人均年收入将以每年6%的年平均增长率增长，那么2025年年底该地区的农民人均年收入为( )
A．3 000×1.06×7元
B．3 000×1.067元
C．3 000×1.06×8元
D．3 000×1.068元
答案 B
解析 设经过x年，该地区的农民人均年收入为y元，根据题意可得y＝3 000×1.06x，从2018年到2025年共经过了7年，2025年年底该地区的农民人均年收入为3 000×1.067元．
5．据报道，某淡水湖的湖水在50年内减少了10%，若每年以相同的衰减率呈指数衰减，按此规律，设2021年的湖水量为m，从2021年起，经过x年后湖水量y与x的函数关系为( )
A．y＝B．y＝
C．y＝ D．y＝(1－0.150x)m
答案 C
解析 设每年湖水量为上一年的q%，
则(q%)50＝0.9，所以q%＝，
所以x年后的湖水量为y＝.
6. 函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是( )
A．a>1，b<0
B．a>1，b>0
C．00
D．0答案 D
解析 从曲线的变化趋势，可以得到函数f(x)为减函数，从而有0又当x＝0时，f(x)<1，即a－b<1＝a0，
∴－b>0，即b<0.
7．若0答案 一
解析 函数y＝ax的图象过点(0,1)，向下平移|b|个单位长度，超过1个单位长度，所以函数f(x)＝ax＋b的图象一定不经过第一象限．
8．将甲桶中的a升水缓慢注入空桶乙中，t秒后甲桶剩余的水量符合指数衰减曲线y＝aSnt(S，n为常数)，假设5秒后甲桶和乙桶的水量相等，则当t＝________秒时，甲桶中剩余的水量只有eq \f(a,8)升．
答案 15
解析 当t＝5时，有eq \f(1,2)＝S5n，
令eq \f(1,8)a＝aSnt，
即eq \f(1,8)＝Snt，
因为eq \f(1,2)＝S5n，
故eq \f(1,8)＝(S5n)3＝S15n，故知t＝15.
9．画出函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))|x＋1|的图象．
解 方法一
y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))|x＋1|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))x＋1，x≥－1，,3x＋1，x<－1.))
其图象由两部分组成：
一部分：
y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))x(x≥0)的图象eq \(―――――――――→,\s\up7(向左平移1个单位长度))
y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))x＋1(x≥－1)的图象；
另一部分：
y＝3x(x<0)的图象eq \(―――――――――→,\s\up7(向左平移1个单位长度))y＝3x＋1(x<－1)的图象．
得到的函数图象如图中实线部分所示．
方法二 ①可知函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))|x|是偶函数，
其图象关于y轴对称，
故先作出y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))x(x≥0)的图象，
当x<0时，其图象与y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))x(x≥0)的图象关于y轴对称，从而得出y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))|x|的图象．
②将y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))|x|的图象向左平移1个单位长度，即可得y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))|x＋1|的图象，如图中实线部分所示．
10．有一种树栽植5年后可成材．在栽植后5年内，该种树的产量年增长率为20%，如果不砍伐，从第6年到第10年，该种树的产量年增长率为10%，现有两种砍伐方案：
甲方案：栽植5年后不砍伐，等到10年后砍伐．
乙方案：栽植5年后砍伐重栽，然后过5年再砍伐一次．
请计算后回答：10年内哪一个方案可以得到较多的木材？
解 设该种树的最初栽植量为a，甲方案在10年后的木材产量为
y1＝a(1＋20%)5(1＋10%)5＝a(1.2×1.1)5≈4.01a.
乙方案在10年后的木材产量为
y2＝2a(1＋20%)5＝2a·1.25≈4.98a.
∵a>0，∴4.98a>4.01a，即y2>y1，
∴10年内乙方案能获得更多的木材．
11．某工厂去年十二月份的产量为a，已知月平均增长率为b，则今年十二月份的产量比去年同期增加的倍数为( )
A．(1＋b)12－1 B．a(1＋b)12
C．(1＋b)11－1 D．12b
答案 A
解析 由于去年十二月份的产量为a，且月平均增长率为b，则今年十二月份的产量为a(1＋b)12，比去年同期增加的倍数为eq \f(a1＋b12－a,a)＝(1＋b)12－1.
12．某股民购买一公司股票10万元，在连续十个交易日内，前5个交易日内平均每天上涨5%，后5个交易日内平均每天下跌4.9%，则股民的股票盈亏情况(不计其他成本，精确到元)为( )
A．赚723元 B．赚145元
C．亏145元 D．亏723元
答案 D
解析 由题意，得10×(1＋5%)5×(1－4.9%)5
≈10×0.992 77＝9.927 7，
100 000－99 277＝723(元)，
故股民亏723元．
13. 由于疫情防控需要，某地铁站每天都对站内进行消毒工作，设在药物释放过程中(如图)，站内空气中的含药量y(毫克/立方米)与时间xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0答案 50
解析 由于函数y＝9b－x的图象过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，1))，
则＝1，
可得b＝eq \f(1,3)，
故当x≥eq \f(1,3)时，y＝，
由y＝<3－1，
可得eq \f(2,3)－2x<－1，解得x>eq \f(5,6)，
此时x>eq \f(5,6).
故地铁站应安排工作人员至少提前eq \f(5,6)×60＝50(分钟)进行消毒工作．
14．方程|2x－1|＝a有唯一实数解，则a的取值范围是________．
答案 a≥1或a＝0
解析 作出函数y＝|2x－1|和直线y＝a的图象，如图，由题意知，直线y＝a与函数y＝|2x－1|的图象的交点只有一个，∴a≥1或a＝0.
15．已知函数f(x)＝(x－a)(x－b)(其中a>b)的图象如图所示，则函数g(x)＝ax＋b的图象是( )
答案 A
解析 由函数f(x)＝(x－a)(x－b)(其中a>b)的图象可知016．已知函数f(x)＝ax＋b(a>0，且a≠1)．
(1)若f(x)的图象如图①所示，求a，b的值；
(2)若f(x)的图象如图②所示，求a，b的取值范围；
(3)在(1)中，若|f(x)|＝m有且仅有一个实数根，求m的取值范围．
解 (1)由图①知f(x)的图象过点(2,0)，(0，－2)，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＋b＝0，,a0＋b＝－2，))
又因为a>0，且a≠1，所以a＝eq \r(3)，b＝－3.
(2)由图②知f(x)单调递减，所以0又f(0)<0，即a0＋b<0，所以b<－1.
故a的取值范围为(0,1)，b的取值范围为(－∞，－1)．
(3)由(1)知f(x)＝(eq \r(3))x－3，
则画出|f(x)|＝|(eq \r(3))x－3|的图象，如图所示，要使|f(x)|＝m有且仅有一个实数根，则m＝0或m≥3.故m的取值范围为[3，＋∞)∪{0}．