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数学七年级下册9.4 乘法公式精品课时训练
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这是一份数学七年级下册9.4 乘法公式精品课时训练，文件包含同步讲义苏科版数学七年级下册94乘法公式原卷版docx、同步讲义苏科版数学七年级下册94乘法公式解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共34页， 欢迎下载使用。
9.4 乘法公式
平方差公式：（a＋b）（a－b）＝a2－b2 (特征：用相同项的平方减相反项的平方。)
【扩展】常见平方差公式的变形
① 位置变化：如
② 系数变化：如
③ 指数变化：如
④ 符号变化：如（相同项为b,“相反项”为a）
⑤ 增项变化：如
⑥ 增因式变化：如
【注意事项】
1）对因式中各项的系数、符号要仔细观察、比较，不能误用公式．如：(a＋3b)(3a-b)，不能运用平方差公式。
2）公式中的字母a、b可以是一个数、一个单项式、一个多项式。所以，当这个字母表示一个负数、分式、多项式时，应加括号避免出现只把字母平方，而系数忘了平方的错误。
完全平方公式：（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2
（a－b）2＝a2－2ab＋b2
【扩展】
扩展一(公式变化)：
扩展二：
扩展三：
【补充】：
【题型一】运用平方差公式进行计算
【典题】（2022春·山东枣庄·七年级校考期中）在下列计算中，不能用平方差公式计算的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】关键平方差公式逐个判断即可．
【详解】解：A、不能用平方差公式进行计算，符合题意；
B、能用平方差公式进行计算，不符合题意；
C、能用平方差公式进行计算，不符合题意；
D、能用平方差公式进行计算，不符合题意
故选：A．
【点睛】本题考查了平方差公式，能熟记平方差公式的内容是解此题的关键
．
巩固练习
1（ê）（2022春·湖南常德·七年级统考期中）计算 等于 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据平方差公式即可完成．
【详解】
故选：C
【点睛】本题考查了平方差公式，掌握平方差公式的结构特点是本题的关键．
2（êê）（2022春·福建三明·七年级统考期中）化简的结果是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】将3转换成的形式，再利用平方差公式求解即可．
【详解】
故答案为：A．
【点睛】本题考查了实数的化简运算问题，掌握平方差公式是解题的关键．
3（ê）（2022春·陕西宝鸡·七年级统考期中）用简便方法计算，将99×101变形正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据平方差公式即可求解．
【详解】99×101=（100-1）（100+1）=
故选C．
【点睛】此题主要考查平方差公式，解题的关键是熟知平方差公式的应用．
4（ê）（2022春·安徽合肥·七年级校考期中）下列整式乘法中，能用平方差公式简便计算的有（ ）
（1）（2）（3）（4）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】B
【分析】根据平方差公式为两数之和与两数之差的积，逐项分析判断即可求解．
【详解】解：能用平方差公式计算的有；，
则能用平方差公式简便计算的有个．
故选：B．
【点睛】本题考查了平方差公式，掌握平方差公式的结构是解题的关键．
5（ê）（2022春·黑龙江绥化·七年级校考期末）若，，则的值为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【分析】根据平方差公式计算即可得到答案
【详解】解：∵，
∴，
∴．
故选B．
【点睛】此题考查平方差公式，熟记公式并熟练应用是解题的关键．
6（êê）（2022春·陕西西安·七年级高新一中校考期中）的个位数字为（ ）
A．5 B．1 C．2 D．4
【答案】B
【分析】将变形为，利用平方差公式求解．
【详解】解：
，
∵ ，，，，……
可知个位数变化规律为：3，9，7，1，4次一个循环，
∴的个位数为1，
∴的个位数为0，
∴的个位数可能是0或5，
∴的个位数可能是1或6，
观察选项可知，只有B选项为1，
故选B．
【点睛】本题考查平方差公式的应用，能够运用平方差公式对原式进行变形是解题的关键．
7（ê）（2022春·辽宁丹东·七年级统考期末）要求：利用乘法公式计算
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）原式变形后，利用完全平方公式计算即可求出值；
（2）原式利用平方差公式，以及完全平方公式计算即可求出值．
【详解】（1）解：原式=（2022+1）×（2022-1）-20222
=20222-1-20222
=-1．
（2）解：原式=（2x-y）2-9
=4x2-4xy+y2-9．
【点睛】本题考查了平方差公式，完全平方公式，熟练掌握平方差公式以及完全平方公式是解本题的关键．
8（êê）（2022春·安徽滁州·七年级校考期中）（1）计算并观察下列各式填空：
；
；
；
（2）从上面的算式及计算结果，你发现了什么？请根据你发现的规律直接填写下面的空格：
（ ）；
（3）利用你发现的规律计算： ；
（4）利用该规律计算：的值．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）
【分析】（1）利用上面等式的变化规律计算（x-1）（x3+x2+x+1）；
（2）利用（1）中三个等式的变化规律求解；
（3）利用（1）中三个等式的变化规律求解；
（4）将原式变形后再进行计算即可．
【详解】解：（1），
故答案为：；
（2）
故答案为：；
（3），
故答案为：；
（4）．
【点睛】本题考查了平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．也考查了规律型问题的解决方法．
【题型二】平方差公式与几何图形
【典题】（2022春·广东佛山·七年级校考期中）从边长为a的大正方形纸板中挖去一个边长为b 的小正方形纸板后将其裁成2个长方形，然后将这两个长方形拼成一个新的长方形（如图所示），那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证的等式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据两种方式求得阴影部分面积即可求解．
【详解】解：阴影部分面积面积可以表示大正方形的面积减去小正方形的面积即：，
也可以表示为边长为与的长方形的面积，即,
∴，
故选B．
【点睛】本题考查了平方差公式与几何图形面积，数形结合是解题的关键．
巩固练习
1（ê）（2022秋·重庆九龙坡·七年级重庆市育才中学校考期中）如图，在边长为a的正方形中，剪去一个边长为x的小正方形，将余下部分对称剪开，拼成一个梯形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于a，x的恒等式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】分别列式表示出两图中阴影部分的面积，则可选出正确的结果．
【详解】解：由题意得，左图可表示阴影部分的面积为，
由右图可表示阴影部分的面积为，
∴，
故选：D．
【点睛】此题考查了平方差公式几何背景的应用能力，关键是能根据不同图形列式表示阴影部分的面积．
2（ê）（2022春·江西吉安·七年级统考期末）如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边的矩形．根据图形的变化过程写出的一个正确的等式（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】易求出图中拼接前阴影部分的面积＝a2−b2，阴影部分进行拼接后，长为a＋b，宽为a−b，面积等于，由于两图中阴影部分面积相等，即可得到结论．
【详解】图（1）中阴影部分的面积等于两个正方形的面积之差，即为a2−b2；
图（2）中阴影部分为矩形，其长为a＋b，宽为a−b，则其面积为，
∵前后两个图形中阴影部分的面积，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查了利用几何方法验证平方差公式：根据拼接前后不同的几何图形的面积不变得到等量关系．
3（êê）（2022春·江苏南京·七年级南京外国语学校校考期中）如图，阴影部分是边长是的大正方形剪去一个边长是的小正方形后所得到的图形，将阴影部分通过割、拼，形成新的图形，给出下列4幅图割拼方法中，其中能够验证平方差公式的有___________（填序号）
【答案】①②③④
【分析】分别在两个图形中表示出阴影部分的面积，进而可得出验证公式．
【详解】在图①中，左边的图形阴影部分的面积，右边的图形阴影部分的面积，故可得：，可以验证平方差公式；
在图②中，左边的图形阴影部分的面积，右边的图形阴影部分的面积，故可得：，可以验证平方差公式；
在图③中，左边的图形阴影部分的面积，右边的图形阴影部分的面积，故可得：，可以验证平方差公式；
在图④中，左边的图形阴影部分的面积，右边的图形阴影部分的面积，故可得：，可以验证平方差公式．
【点睛】本题主要考查了平方差公式，运用不同的方法表示出阴影部分的面积是解本题的关键．
4（êê）（2022春·安徽宿州·七年级校联考期中）如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）．
(1)上述操作能验证的等式是______；（请选择正确的选项）
A.；B．；C．
(2)请利用你从（1）选出的等式，完成下列各题：
①已知，，则______．
②计算：
【答案】(1)A
(2)①4；②
【分析】（1）根据图1和图2阴影部分面积相等可得到答案；
（2）①根据平方差公式，4a2-b2=（2a+b）（2a-b），已知2a+b=6代入即可求出答案；
②先利用平方差公式变形，再约分即可得到答案．
【详解】（1）解：图1阴影部分的面积为：a2-b2，
图2阴影部分的面积为：（a+b）（a-b），
∵图1和图2阴影部分面积相等，
∴a2-b2=（a+b）（a-b），
故选：A；
（2）解：①∵4a2-b2=24，
∴（2a+b）（2a-b）=24，
∵2a+b=6，
∴2a-b=4，
故答案为：4；
②
．
【点睛】本题主要考查了平方差公式的几何背景及其应用与拓展，熟练掌握公式并灵活运用是解题的关键．
5（êê）（2022秋·江苏南京·七年级校联考期末） 数学中的许多规律不仅可以通过数的运算发现，也可以通过图形的面积发现．
(1)填表：【数的角度】
a
b
a＋b
a－b
a2－b2
2
1
3
1
3
3
－2
1
5
(2)【形的角度】如图①，在边长为a的正方形纸片上剪去一个边长为b（b＜a）的小正方形，怎样计算图中阴影部分的面积？小明和小红分别用不同的方法计算图中阴影部分的面积．小明的方法：若阴影部分看成大正方形与小正方形的面积差，则阴影部分的面积用代数式表示为 ；小红的方法：若沿图①中的虚线将阴影部分剪开拼成新的长方形（图②），则阴影部分的面积用代数式表示为 ．
(3)【发现规律】猜想：a＋b、 a－b 、a2－b2这三个代数式之间的等量关系是 ．
(4)【运用规律】运用上述规律计算：502－492＋482－472＋462－452…＋22－1．
【答案】(1)5，
(2)
(3)
(4)1275
【分析】(1)a=3，b=-2时，;
时，a-b=．
(2)小空1 大正方形面积为a2，小正方形的面积为b2，作差即可．
小空2 把长方形的长和宽分别用含有a、b的代数式表示出来，再按照长方形面积公式计算即可．
(3)根据第(2)小题发现的规律写出等量关系即可．
(4)每两个数为一组按照根据第（3）小题写出的规律进行变形，问题即可解决．
【详解】（1）
a
b
a＋b
a－b
a2－b2
2
1
3
1
3
3
－2
1
5
5
（2）小明的方法:大正方形面积为a2，小正方形的面积为b2，，
∴阴影部分的面积为a2-b2；
小红的方法：长方形的长为a+b，宽为a-b，
∴阴影部分的面积为(a+b)(a-b)．
故答案为：
（3）a＋b、 a－b 、a2－b2这三个代数式之间的等量关系是．
（4）502－492＋482－472＋462－452…＋22－1
=(502－492)＋(482－472)＋(462－452 )…＋(22－1)
=(50+49) ×(50-49)+(48+47) ×（48-47）+(46+45) ×(46-45) …+(2+1) ×(2-1)
=50+49+48+47+46+45+…+2+1
=
=1275
【点睛】本题是一道综合性题目，通过代数计算填表和面积法两种方式发现规律：平方差公式．然后再运用规律进行计算，提高了学生应用数学的能力，解题的关键是发现规律．
【题型三】运用完全平方公式进行计算
【典题】（2022春·山东聊城·七年级校考期中）若,则A为( )
A．2ab B．-2ab C．4ab D．-4ab
【答案】C
【详解】试题解析：∵（a+b）2=a2+2ab+b2，（a-b）2=a2-2ab+b2，
∴A=（a+b）2-（a-b）2=4ab．
故选C．
点睛：完全平方式：（a+b）2=a2+2ab+b2与（a-b）2=a2-2ab+b2两公式的联系，它们的差是两数乘积的四倍．
巩固练习
1（ê）（2022春·七年级统考期末）若等式成立，则的值为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】C
【分析】根据等式成立的条件，即等式两边各同类项的系数相等，即可求得．
【详解】解：，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了等式成立的条件，熟练掌握和运用等式成立的条件是解决本题的关键．
2（ê）（2022秋·上海·七年级期末）将多项式加上一个单项式后，使它能成为另一个整式的完全平方，下列添加单项式错误的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据完全平方公式进行解答即可．
【详解】解：分四种情况：
（1）添加中间项，故可添加2x或 -2x，构成完全平方式；
（2）添加左边项（视为中间项），则可添加；
（3）添加右边项（视1为中间项），则可添加，但不是单项式，故不符合题意；
（4）考虑到与1都是平方式，故可添加或-1；综上所述可以添加的单项式有2x或 -2x或或或-1；
故选：A．
【点睛】本题考查完全平方公式，解题的关键是熟练运用完全平方公式，本题属于基础题型．
3（ê）（2022春·江西抚州·七年级校联考期中）无论，为何值代数式的值总是（ ）
A．非负数 B． C．正数 D．负数
【答案】C
【分析】把含的放一块，配成完全平方公式，把含的放一块，配成完全平方公式，根据平方的非负性即可得出答案．
【详解】解：原式
，
，，
，
即原式的值总是正数．
故选：C．
【点睛】本题考查了配方法的应用，解题的关键是掌握对代数式进行正确变形．
4（ê）（2022秋·上海静安·七年级上海市市西中学校考期中）在下列多项式乘法中，能用完全平方公式计算的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用完全平方公式判断即可．
【详解】解：A、，能用平方差公式，故此选项不符合题意；
B、，能用平方差公式，故此选项不符合题意；
C、，能用完全平方公式，故此选项符合题意；
D、，能用平方差公式，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】此题考查了完全平方公式和平方差公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
5（ê）（2022春·湖南永州·七年级统考期中）先化简，再求值：，其中．
【答案】，7．
【分析】先计算完全平方公式、平方差公式，再计算整式的加减法，然后将代入求值即可得．
【详解】解：原式，
，
将代入得：原式．
【点睛】本题考查了整式的化简求值，熟记完全平方公式和平方差公式是解题关键．
6（êê）（2022春·江苏南京·七年级统考期末）将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和，这种方法称之为配方法．这种方法常常被用到式子的恒等变形中，以挖掘题目中的隐含条件，是解题的有力手段之一．
例如，求代数式的最小值．
解：原式．
∵，
∴．
∴当x＝－1时，的最小值是2
(1)请仿照上面的方法求代数式的最小值．
(2)已知△ABC的三边a，b，c满足，，．求△ABC的周长．
【答案】(1)-10
(2)9
【分析】（1）根据题干解题过程进行求解即可；
（2）由，，可得，，再化简即可得a，b，c，进而得周长；
【详解】（1）解：原式．
∵，
∴．
∴当x=-3时，的最小值是-10；
（2）解：由，，可得，
∴
∴△ABC的周长为：．
【点睛】本题主要考查完全平方公式的应用，正确理解题意是解题的关键．
【题型四】通过对完全平方公式变形求值
【典题】（2022春·甘肃酒泉·七年级统考期中）已知x+y=4 ，xy=3 ，则x2+ y2的值为（ ）
A．22 B．16 C．10 D．4
【答案】C
【分析】根据完全平方公式变形，整体代入求值即可．
【详解】解：．
故选择C．
【点睛】本题考查式子的值，求代数式的值，掌握完全平方公式变形的方法是解题关键．
巩固练习
1（ê）（2022春·湖南益阳·七年级统考期末）已知，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据方程可变形为，利用完全平方式将化成，从而整体代入计算即可．
【详解】解： 由方程两边同时除以得，变形为，
则，
故选：B．
【点睛】本题考查了代数式化简求值，利用完全平方公式变形并采用整体思想是解题关键．
2（ê）（2022春·江苏无锡·七年级校联考期中）已知（x－2021）2 +（x－2023）2 ＝50，则（x－2022）2的值为（ ）
A．24 B．23 C．22 D．无法确定
【答案】A
【分析】先变形为[（x-2022）+1]2+[（x-2022）-1]2=50，然后利用完全平方公式展开即可得到（x-2022）2的值．
【详解】解：∵（x-2021）2+（x-2023）2=50，
∴[（x-2022）+1]2+[（x-2022）-1]2=50，
∴（x-2022）2+2（x-2022）+1+（x-2022）2-2（x-2022）+1=50，
∴（x-2022）2=24．
故选：A．
【点睛】此题考查了完全平方公式的运用，解题的关键是能根据完全平方公式灵活变形．
3（ê）（2022春·山东枣庄·七年级统考期中）已知，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据完全平方公式进行计算即可．
【详解】解：，，
，
故选：A．
【点睛】此题主要考查了完全平方公式，解题的关键是掌握：．
4（êê）（2022春·广西贵港·七年级统考期中）若，则的值是（ ）
A．－3 B．3 C．6 D．9
【答案】D
【分析】把变形为，代入得到，根据非负数的性质求出a、b、c的值即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
把代入中得：
，
∴，
即，
∵，
∴，
即，
∴，
∴；
故选：D．
【点睛】本题考查完全平方公式的构造和非负数的性质，准确地对式子变形构造完全平方公式是解题的关键．
5（ê）（2022春·湖南邵阳·七年级统考期中）若a+b=3，，则ab等于（ ）
A．2 B．1 C．﹣2 D．﹣1
【答案】B
【详解】∵a+b=3，
∴（a+b）2=9
∴a2+2ab+b2=9
∵a2+b2=7
∴7+2ab=9，7+2ab=9
∴ab=1．
故选B．
6（ê）（2022春·山东枣庄·七年级校考期中）求和 的值.
【答案】(1)29； (2)33.
【分析】利用完全平方公式将已知条件变形，进而求出即可．
【详解】∵a+b=5，ab=-2，
∴a2+b2=（a+b）2-2ab=52-2×（-2）=29；
（a-b）2=a2+b2-2ab=29-2×（-2）=33．
【点睛】此题主要考查了完全平方公式的应用，熟练应用完全平方公式是解题关键．
7（ê）（2022春·湖南株洲·七年级校考期中）阅读下列材料并解答后面的问题：
完全平方公式 ，通过配方可对进行适当的变形，如或，从而使某些问题得到解决．
例：已知，求的值．
解：
通过对例题的理解解决下列问题：
(1)已知，求的值；
(2)已知，求的值．
【答案】(1)10
(2)34
【分析】（1）根据进行求解即可；
（2）根据进行求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴；
（2）解：∵，
∴．
【点睛】本题主要考查了完全平方的变形求值，正确理解题意熟知完全平方公式是解题的关键．
【题型五】求完全平方公式中字母的系数
【典题】（2022春·广东深圳·七年级校考期中）已知是完全平方式，则的值为（ ）
A．6 B． C．3 D．
【答案】D
【分析】根据完全平方公式的特点即可求解．
【详解】解：已知是完全平方式，
或，
故选：．
【点睛】本题考查了完全平方公式，注意符合条件的答案有两个，以防漏掉．
巩固练习
1（ê）（2022秋·上海·七年级校考期中）已知4x2-2（k+1）x+1是一个完全平方式，则k的值为（ ）
A．2 B．±2 C．1 D．1或-3
【答案】D
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出k的值．
【详解】解：∵4x2-2（k+1）x+1是关于x的完全平方式，
∴2（k+1）=±4，
解得：k=1或k=-3，
故选：D．
【点睛】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
2（ê）（2022春·广西梧州·七年级统考期中）若是完全平方式，则的值是（ ）
A．6 B．6或10 C．2 D．2或6
【答案】B
【分析】根据是完全平方式可得，据此 求出a的值是多少，再代入求值即可．
【详解】解：∵是完全平方式，
∴
当时，
当时，
综上，的值是6或10
故选B．
【点睛】本题考查了完全平方式和求一个数的绝对值，熟练掌握完全平方式的结构特征是解答本题的关键．
3（ê）（2022春·贵州毕节·七年级统考期末）若是一个用完全平方公式得到的结果，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据完全平方公式，即可求解．
【详解】解：∵，是一个用完全平方公式得到的结果，
∴．
故选：B
【点睛】本题主要考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
【题型六】利用完全平方公式解决几何问题
【典题】（2022春·江苏泰州·七年级泰州市第二中学附属初中校考期中）如图，长方形ABCD的周长是12cm，以AB，AD为边向外作正方形ABEF和正方形ADGH，若正方形ABEF和ADGH的面积之和为20cm2，那么长方形ABCD的面积是（ ）
A．6cm2 B．7cm2 C．8cm2 D．9cm2
【答案】C
【分析】用矩形的长和宽分别表示矩形的周长和面积，正方形的面积和，从而运用完全平方公式的变形计算即可．
【详解】解：设AB=x，AD=y，
∵长方形ABCD的周长是12cm，正方形ABEF和ADGH的面积之和为20 cm2，
∴x+y=6，x2+y2=20，
∴x2+y2=(x+y)2−2xy=20，
∴62−2xy=20，
∴xy=8，
故选：C．
【点睛】此题考查了图形与公式，解题的关键是熟练掌握矩形的面积，周长的计算公式，正方形的面积的个数，两数和的完全平方公式．
巩固练习
1（ê）（2022春·山东威海·七年级统考期中）如图，现有甲，乙，丙三种不同的纸片．贝贝要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，她先取甲纸片1块，再取乙纸片4块，则她还需取丙纸片的块数为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】C
【分析】由图可知：一块甲种纸片面积为a2，一块乙种纸片的面积为b2，一块丙种纸片面积为ab，利用完全平方公式可求解．
【详解】设取丙种纸片x块才能用它们拼成一个新的正方形，（x≥0）
∴a2＋4b2＋xab是一个完全平方式，
∴x为4，
故选C
【点睛】本题考查了完全平方式，掌握完全平方公式是解题的关键．
2（ê）（2022春·浙江宁波·七年级校联考期中）如图，在一块边长为的正方形花圃中，两纵两横的4条宽度为的人行道把花圃分成 9块，下面是四个计算种花土地总面积的代数式：（1）；（2）；（3）；（4），其中正确的有（ ）
A．（2） B．（1） （3） C．（1） （4） D．（4）
【答案】C
【分析】由平移法可得，种花土地总面积等于边长为（a-2b）的正方形的面积；由图可得，种花土地总面积=a2-4ab+4b2；据此得出结论．
【详解】解：由平移法可得，种花土地总面积=（a-2b）（a-2b）；
由图可得，种花土地总面积=a2-4ab+4b2；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式的几何背景的应用，解决此类问题的关键是运用几何直观理解，解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释．
3（ê）（2022秋·辽宁葫芦岛·七年级统考期末）如图，从边长为(a＋1)cm的正方形纸片中剪去一个边长为(a－1)cm的正方形(a>1)，剩余部分沿虚线又剪拼成一个长方形(不重叠无缝隙)，则长方形的长为( )
A．2 cm B．2a cm
C．4a cm D．(2a－2)cm
【答案】B
【分析】矩形的面积就是边长是a+1的正方形与边长是a-1的正方形的面积的差，列代数式进行化简后，求出长方形的宽和长即可．
【详解】矩形的面积是=4a()；
拼成的长方形的宽为（a+1）-（a-1）=2（cm）；
∴长方形的长为（cm）；
故答案为B.
【点睛】本题主要考查了平方差公式，掌握平方差公式是解题的关键.
4（ê）（2022春·四川成都·七年级校考期中）如图①，是一个长为2m、宽为2n的长方形，用剪刀沿图中的虚线(对称轴)剪开，把它分成四个形状和大小都相同的小长方形，然后按图②那样拼成一个正方形(中间是空的)．
(1)图②中画有阴影的小正方形的边长为__________(用含m，n的式子表示)；
(2)观察图②，写出代数式(m＋n)2，(m-n)2与mn之间的等量关系；
(3)根据(2)中的等量关系解决下面的问题：
①若m＋n=7，mn=5，求(m-n)2的值；
②若a＋=3，求a2＋的值．
【答案】(1)m-n
(2)(m＋n)2=(m-n)2＋4mn
(3)①29；②7
【分析】(1)结合图形即可求得；
(2)根据大正方形的面积=小正方形的面积+4个长方形的面积，即可写出；
(3)根据(2)中关系即可分别求得．
（1）
解：图②中画有阴影的小正方形的边长(m-n)；
（2）
解：∵大正方形的面积=小正方形的面积+4个长方形的面积，
∴(m＋n)2=(m-n)2＋4mn；
（3）
解：①由(2)得：(m＋n)2=(m-n)2＋4mn；
∵m＋n=7，mn=5，
∴(m-n)2=(m＋n)2-4mn=49-20=29；
②∵a＋=3，
∴．
【点睛】本题考查完全平方公式的意义和应用，理清面积之间的关系是得出等式的关键．
5（êê）（2022春·四川成都·七年级成都七中校考期中）数学活动课上，老师准备了图1中三种不同大小的正方形与长方形，拼成了一个如图2所示的正方形．
(1)请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积和．
方法1：_________；
方法2：__________．
(2)请你直接写出三个代数式：，，之间的等量关系．
(3)根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：
①已知，，求和的值．
②已知，求的值．
【答案】(1)；
(2)
(3)①15；②16
【分析】（1）利用阴影两部分直接求和与用总面积减去空白部分面积两种方法即可求解；
（2）由图2中阴影部分面积的表示即可得到答案；
（3）①由（2）的关系可得，进而求解即可；
②设，则，，依题意，得，
∴，利用整体思想求解即可．
（1）
阴影两部分求和为：；
用总面积减去空白部分面积为：，
故答案为：；；
（2）
由题意得，；
（3）
①由（2）得，
∴，
解得，
∴，
②设，则，，
依题意，得，
∴，
可求得.
由整体思想，得．
【点睛】本题考查了完全平方公式的应用能力，关键是能根据完全平方公式的几何背景准确列式，并能运用公式解决相关问题．
9.4 乘法公式
平方差公式：（a＋b）（a－b）＝a2－b2 (特征：用相同项的平方减相反项的平方。)
【扩展】常见平方差公式的变形
① 位置变化：如
② 系数变化：如
③ 指数变化：如
④ 符号变化：如（相同项为b,“相反项”为a）
⑤ 增项变化：如
⑥ 增因式变化：如
【注意事项】
1）对因式中各项的系数、符号要仔细观察、比较，不能误用公式．如：(a＋3b)(3a-b)，不能运用平方差公式。
2）公式中的字母a、b可以是一个数、一个单项式、一个多项式。所以，当这个字母表示一个负数、分式、多项式时，应加括号避免出现只把字母平方，而系数忘了平方的错误。
完全平方公式：（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2
（a－b）2＝a2－2ab＋b2
【扩展】
扩展一(公式变化)：
扩展二：
扩展三：
【补充】：
【题型一】运用平方差公式进行计算
【典题】（2022春·山东枣庄·七年级校考期中）在下列计算中，不能用平方差公式计算的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】关键平方差公式逐个判断即可．
【详解】解：A、不能用平方差公式进行计算，符合题意；
B、能用平方差公式进行计算，不符合题意；
C、能用平方差公式进行计算，不符合题意；
D、能用平方差公式进行计算，不符合题意
故选：A．
【点睛】本题考查了平方差公式，能熟记平方差公式的内容是解此题的关键
．
巩固练习
1（ê）（2022春·湖南常德·七年级统考期中）计算 等于 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据平方差公式即可完成．
【详解】
故选：C
【点睛】本题考查了平方差公式，掌握平方差公式的结构特点是本题的关键．
2（êê）（2022春·福建三明·七年级统考期中）化简的结果是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】将3转换成的形式，再利用平方差公式求解即可．
【详解】
故答案为：A．
【点睛】本题考查了实数的化简运算问题，掌握平方差公式是解题的关键．
3（ê）（2022春·陕西宝鸡·七年级统考期中）用简便方法计算，将99×101变形正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据平方差公式即可求解．
【详解】99×101=（100-1）（100+1）=
故选C．
【点睛】此题主要考查平方差公式，解题的关键是熟知平方差公式的应用．
4（ê）（2022春·安徽合肥·七年级校考期中）下列整式乘法中，能用平方差公式简便计算的有（ ）
（1）（2）（3）（4）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】B
【分析】根据平方差公式为两数之和与两数之差的积，逐项分析判断即可求解．
【详解】解：能用平方差公式计算的有；，
则能用平方差公式简便计算的有个．
故选：B．
【点睛】本题考查了平方差公式，掌握平方差公式的结构是解题的关键．
5（ê）（2022春·黑龙江绥化·七年级校考期末）若，，则的值为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【分析】根据平方差公式计算即可得到答案
【详解】解：∵，
∴，
∴．
故选B．
【点睛】此题考查平方差公式，熟记公式并熟练应用是解题的关键．
6（êê）（2022春·陕西西安·七年级高新一中校考期中）的个位数字为（ ）
A．5 B．1 C．2 D．4
【答案】B
【分析】将变形为，利用平方差公式求解．
【详解】解：
，
∵ ，，，，……
可知个位数变化规律为：3，9，7，1，4次一个循环，
∴的个位数为1，
∴的个位数为0，
∴的个位数可能是0或5，
∴的个位数可能是1或6，
观察选项可知，只有B选项为1，
故选B．
【点睛】本题考查平方差公式的应用，能够运用平方差公式对原式进行变形是解题的关键．
7（ê）（2022春·辽宁丹东·七年级统考期末）要求：利用乘法公式计算
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）原式变形后，利用完全平方公式计算即可求出值；
（2）原式利用平方差公式，以及完全平方公式计算即可求出值．
【详解】（1）解：原式=（2022+1）×（2022-1）-20222
=20222-1-20222
=-1．
（2）解：原式=（2x-y）2-9
=4x2-4xy+y2-9．
【点睛】本题考查了平方差公式，完全平方公式，熟练掌握平方差公式以及完全平方公式是解本题的关键．
8（êê）（2022春·安徽滁州·七年级校考期中）（1）计算并观察下列各式填空：
；
；
；
（2）从上面的算式及计算结果，你发现了什么？请根据你发现的规律直接填写下面的空格：
（ ）；
（3）利用你发现的规律计算： ；
（4）利用该规律计算：的值．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）
【分析】（1）利用上面等式的变化规律计算（x-1）（x3+x2+x+1）；
（2）利用（1）中三个等式的变化规律求解；
（3）利用（1）中三个等式的变化规律求解；
（4）将原式变形后再进行计算即可．
【详解】解：（1），
故答案为：；
（2）
故答案为：；
（3），
故答案为：；
（4）．
【点睛】本题考查了平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．也考查了规律型问题的解决方法．
【题型二】平方差公式与几何图形
【典题】（2022春·广东佛山·七年级校考期中）从边长为a的大正方形纸板中挖去一个边长为b 的小正方形纸板后将其裁成2个长方形，然后将这两个长方形拼成一个新的长方形（如图所示），那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证的等式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据两种方式求得阴影部分面积即可求解．
【详解】解：阴影部分面积面积可以表示大正方形的面积减去小正方形的面积即：，
也可以表示为边长为与的长方形的面积，即,
∴，
故选B．
【点睛】本题考查了平方差公式与几何图形面积，数形结合是解题的关键．
巩固练习
1（ê）（2022秋·重庆九龙坡·七年级重庆市育才中学校考期中）如图，在边长为a的正方形中，剪去一个边长为x的小正方形，将余下部分对称剪开，拼成一个梯形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于a，x的恒等式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】分别列式表示出两图中阴影部分的面积，则可选出正确的结果．
【详解】解：由题意得，左图可表示阴影部分的面积为，
由右图可表示阴影部分的面积为，
∴，
故选：D．
【点睛】此题考查了平方差公式几何背景的应用能力，关键是能根据不同图形列式表示阴影部分的面积．
2（ê）（2022春·江西吉安·七年级统考期末）如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边的矩形．根据图形的变化过程写出的一个正确的等式（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】易求出图中拼接前阴影部分的面积＝a2−b2，阴影部分进行拼接后，长为a＋b，宽为a−b，面积等于，由于两图中阴影部分面积相等，即可得到结论．
【详解】图（1）中阴影部分的面积等于两个正方形的面积之差，即为a2−b2；
图（2）中阴影部分为矩形，其长为a＋b，宽为a−b，则其面积为，
∵前后两个图形中阴影部分的面积，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查了利用几何方法验证平方差公式：根据拼接前后不同的几何图形的面积不变得到等量关系．
3（êê）（2022春·江苏南京·七年级南京外国语学校校考期中）如图，阴影部分是边长是的大正方形剪去一个边长是的小正方形后所得到的图形，将阴影部分通过割、拼，形成新的图形，给出下列4幅图割拼方法中，其中能够验证平方差公式的有___________（填序号）
【答案】①②③④
【分析】分别在两个图形中表示出阴影部分的面积，进而可得出验证公式．
【详解】在图①中，左边的图形阴影部分的面积，右边的图形阴影部分的面积，故可得：，可以验证平方差公式；
在图②中，左边的图形阴影部分的面积，右边的图形阴影部分的面积，故可得：，可以验证平方差公式；
在图③中，左边的图形阴影部分的面积，右边的图形阴影部分的面积，故可得：，可以验证平方差公式；
在图④中，左边的图形阴影部分的面积，右边的图形阴影部分的面积，故可得：，可以验证平方差公式．
【点睛】本题主要考查了平方差公式，运用不同的方法表示出阴影部分的面积是解本题的关键．
4（êê）（2022春·安徽宿州·七年级校联考期中）如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）．
(1)上述操作能验证的等式是______；（请选择正确的选项）
A.；B．；C．
(2)请利用你从（1）选出的等式，完成下列各题：
①已知，，则______．
②计算：
【答案】(1)A
(2)①4；②
【分析】（1）根据图1和图2阴影部分面积相等可得到答案；
（2）①根据平方差公式，4a2-b2=（2a+b）（2a-b），已知2a+b=6代入即可求出答案；
②先利用平方差公式变形，再约分即可得到答案．
【详解】（1）解：图1阴影部分的面积为：a2-b2，
图2阴影部分的面积为：（a+b）（a-b），
∵图1和图2阴影部分面积相等，
∴a2-b2=（a+b）（a-b），
故选：A；
（2）解：①∵4a2-b2=24，
∴（2a+b）（2a-b）=24，
∵2a+b=6，
∴2a-b=4，
故答案为：4；
②
．
【点睛】本题主要考查了平方差公式的几何背景及其应用与拓展，熟练掌握公式并灵活运用是解题的关键．
5（êê）（2022秋·江苏南京·七年级校联考期末） 数学中的许多规律不仅可以通过数的运算发现，也可以通过图形的面积发现．
(1)填表：【数的角度】
a
b
a＋b
a－b
a2－b2
2
1
3
1
3
3
－2
1
5
(2)【形的角度】如图①，在边长为a的正方形纸片上剪去一个边长为b（b＜a）的小正方形，怎样计算图中阴影部分的面积？小明和小红分别用不同的方法计算图中阴影部分的面积．小明的方法：若阴影部分看成大正方形与小正方形的面积差，则阴影部分的面积用代数式表示为 ；小红的方法：若沿图①中的虚线将阴影部分剪开拼成新的长方形（图②），则阴影部分的面积用代数式表示为 ．
(3)【发现规律】猜想：a＋b、 a－b 、a2－b2这三个代数式之间的等量关系是 ．
(4)【运用规律】运用上述规律计算：502－492＋482－472＋462－452…＋22－1．
【答案】(1)5，
(2)
(3)
(4)1275
【分析】(1)a=3，b=-2时，;
时，a-b=．
(2)小空1 大正方形面积为a2，小正方形的面积为b2，作差即可．
小空2 把长方形的长和宽分别用含有a、b的代数式表示出来，再按照长方形面积公式计算即可．
(3)根据第(2)小题发现的规律写出等量关系即可．
(4)每两个数为一组按照根据第（3）小题写出的规律进行变形，问题即可解决．
【详解】（1）
a
b
a＋b
a－b
a2－b2
2
1
3
1
3
3
－2
1
5
5
（2）小明的方法:大正方形面积为a2，小正方形的面积为b2，，
∴阴影部分的面积为a2-b2；
小红的方法：长方形的长为a+b，宽为a-b，
∴阴影部分的面积为(a+b)(a-b)．
故答案为：
（3）a＋b、 a－b 、a2－b2这三个代数式之间的等量关系是．
（4）502－492＋482－472＋462－452…＋22－1
=(502－492)＋(482－472)＋(462－452 )…＋(22－1)
=(50+49) ×(50-49)+(48+47) ×（48-47）+(46+45) ×(46-45) …+(2+1) ×(2-1)
=50+49+48+47+46+45+…+2+1
=
=1275
【点睛】本题是一道综合性题目，通过代数计算填表和面积法两种方式发现规律：平方差公式．然后再运用规律进行计算，提高了学生应用数学的能力，解题的关键是发现规律．
【题型三】运用完全平方公式进行计算
【典题】（2022春·山东聊城·七年级校考期中）若,则A为( )
A．2ab B．-2ab C．4ab D．-4ab
【答案】C
【详解】试题解析：∵（a+b）2=a2+2ab+b2，（a-b）2=a2-2ab+b2，
∴A=（a+b）2-（a-b）2=4ab．
故选C．
点睛：完全平方式：（a+b）2=a2+2ab+b2与（a-b）2=a2-2ab+b2两公式的联系，它们的差是两数乘积的四倍．
巩固练习
1（ê）（2022春·七年级统考期末）若等式成立，则的值为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】C
【分析】根据等式成立的条件，即等式两边各同类项的系数相等，即可求得．
【详解】解：，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了等式成立的条件，熟练掌握和运用等式成立的条件是解决本题的关键．
2（ê）（2022秋·上海·七年级期末）将多项式加上一个单项式后，使它能成为另一个整式的完全平方，下列添加单项式错误的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据完全平方公式进行解答即可．
【详解】解：分四种情况：
（1）添加中间项，故可添加2x或 -2x，构成完全平方式；
（2）添加左边项（视为中间项），则可添加；
（3）添加右边项（视1为中间项），则可添加，但不是单项式，故不符合题意；
（4）考虑到与1都是平方式，故可添加或-1；综上所述可以添加的单项式有2x或 -2x或或或-1；
故选：A．
【点睛】本题考查完全平方公式，解题的关键是熟练运用完全平方公式，本题属于基础题型．
3（ê）（2022春·江西抚州·七年级校联考期中）无论，为何值代数式的值总是（ ）
A．非负数 B． C．正数 D．负数
【答案】C
【分析】把含的放一块，配成完全平方公式，把含的放一块，配成完全平方公式，根据平方的非负性即可得出答案．
【详解】解：原式
，
，，
，
即原式的值总是正数．
故选：C．
【点睛】本题考查了配方法的应用，解题的关键是掌握对代数式进行正确变形．
4（ê）（2022秋·上海静安·七年级上海市市西中学校考期中）在下列多项式乘法中，能用完全平方公式计算的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用完全平方公式判断即可．
【详解】解：A、，能用平方差公式，故此选项不符合题意；
B、，能用平方差公式，故此选项不符合题意；
C、，能用完全平方公式，故此选项符合题意；
D、，能用平方差公式，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】此题考查了完全平方公式和平方差公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
5（ê）（2022春·湖南永州·七年级统考期中）先化简，再求值：，其中．
【答案】，7．
【分析】先计算完全平方公式、平方差公式，再计算整式的加减法，然后将代入求值即可得．
【详解】解：原式，
，
将代入得：原式．
【点睛】本题考查了整式的化简求值，熟记完全平方公式和平方差公式是解题关键．
6（êê）（2022春·江苏南京·七年级统考期末）将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和，这种方法称之为配方法．这种方法常常被用到式子的恒等变形中，以挖掘题目中的隐含条件，是解题的有力手段之一．
例如，求代数式的最小值．
解：原式．
∵，
∴．
∴当x＝－1时，的最小值是2
(1)请仿照上面的方法求代数式的最小值．
(2)已知△ABC的三边a，b，c满足，，．求△ABC的周长．
【答案】(1)-10
(2)9
【分析】（1）根据题干解题过程进行求解即可；
（2）由，，可得，，再化简即可得a，b，c，进而得周长；
【详解】（1）解：原式．
∵，
∴．
∴当x=-3时，的最小值是-10；
（2）解：由，，可得，
∴
∴△ABC的周长为：．
【点睛】本题主要考查完全平方公式的应用，正确理解题意是解题的关键．
【题型四】通过对完全平方公式变形求值
【典题】（2022春·甘肃酒泉·七年级统考期中）已知x+y=4 ，xy=3 ，则x2+ y2的值为（ ）
A．22 B．16 C．10 D．4
【答案】C
【分析】根据完全平方公式变形，整体代入求值即可．
【详解】解：．
故选择C．
【点睛】本题考查式子的值，求代数式的值，掌握完全平方公式变形的方法是解题关键．
巩固练习
1（ê）（2022春·湖南益阳·七年级统考期末）已知，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据方程可变形为，利用完全平方式将化成，从而整体代入计算即可．
【详解】解： 由方程两边同时除以得，变形为，
则，
故选：B．
【点睛】本题考查了代数式化简求值，利用完全平方公式变形并采用整体思想是解题关键．
2（ê）（2022春·江苏无锡·七年级校联考期中）已知（x－2021）2 +（x－2023）2 ＝50，则（x－2022）2的值为（ ）
A．24 B．23 C．22 D．无法确定
【答案】A
【分析】先变形为[（x-2022）+1]2+[（x-2022）-1]2=50，然后利用完全平方公式展开即可得到（x-2022）2的值．
【详解】解：∵（x-2021）2+（x-2023）2=50，
∴[（x-2022）+1]2+[（x-2022）-1]2=50，
∴（x-2022）2+2（x-2022）+1+（x-2022）2-2（x-2022）+1=50，
∴（x-2022）2=24．
故选：A．
【点睛】此题考查了完全平方公式的运用，解题的关键是能根据完全平方公式灵活变形．
3（ê）（2022春·山东枣庄·七年级统考期中）已知，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据完全平方公式进行计算即可．
【详解】解：，，
，
故选：A．
【点睛】此题主要考查了完全平方公式，解题的关键是掌握：．
4（êê）（2022春·广西贵港·七年级统考期中）若，则的值是（ ）
A．－3 B．3 C．6 D．9
【答案】D
【分析】把变形为，代入得到，根据非负数的性质求出a、b、c的值即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
把代入中得：
，
∴，
即，
∵，
∴，
即，
∴，
∴；
故选：D．
【点睛】本题考查完全平方公式的构造和非负数的性质，准确地对式子变形构造完全平方公式是解题的关键．
5（ê）（2022春·湖南邵阳·七年级统考期中）若a+b=3，，则ab等于（ ）
A．2 B．1 C．﹣2 D．﹣1
【答案】B
【详解】∵a+b=3，
∴（a+b）2=9
∴a2+2ab+b2=9
∵a2+b2=7
∴7+2ab=9，7+2ab=9
∴ab=1．
故选B．
6（ê）（2022春·山东枣庄·七年级校考期中）求和 的值.
【答案】(1)29； (2)33.
【分析】利用完全平方公式将已知条件变形，进而求出即可．
【详解】∵a+b=5，ab=-2，
∴a2+b2=（a+b）2-2ab=52-2×（-2）=29；
（a-b）2=a2+b2-2ab=29-2×（-2）=33．
【点睛】此题主要考查了完全平方公式的应用，熟练应用完全平方公式是解题关键．
7（ê）（2022春·湖南株洲·七年级校考期中）阅读下列材料并解答后面的问题：
完全平方公式 ，通过配方可对进行适当的变形，如或，从而使某些问题得到解决．
例：已知，求的值．
解：
通过对例题的理解解决下列问题：
(1)已知，求的值；
(2)已知，求的值．
【答案】(1)10
(2)34
【分析】（1）根据进行求解即可；
（2）根据进行求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴；
（2）解：∵，
∴．
【点睛】本题主要考查了完全平方的变形求值，正确理解题意熟知完全平方公式是解题的关键．
【题型五】求完全平方公式中字母的系数
【典题】（2022春·广东深圳·七年级校考期中）已知是完全平方式，则的值为（ ）
A．6 B． C．3 D．
【答案】D
【分析】根据完全平方公式的特点即可求解．
【详解】解：已知是完全平方式，
或，
故选：．
【点睛】本题考查了完全平方公式，注意符合条件的答案有两个，以防漏掉．
巩固练习
1（ê）（2022秋·上海·七年级校考期中）已知4x2-2（k+1）x+1是一个完全平方式，则k的值为（ ）
A．2 B．±2 C．1 D．1或-3
【答案】D
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出k的值．
【详解】解：∵4x2-2（k+1）x+1是关于x的完全平方式，
∴2（k+1）=±4，
解得：k=1或k=-3，
故选：D．
【点睛】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
2（ê）（2022春·广西梧州·七年级统考期中）若是完全平方式，则的值是（ ）
A．6 B．6或10 C．2 D．2或6
【答案】B
【分析】根据是完全平方式可得，据此 求出a的值是多少，再代入求值即可．
【详解】解：∵是完全平方式，
∴
当时，
当时，
综上，的值是6或10
故选B．
【点睛】本题考查了完全平方式和求一个数的绝对值，熟练掌握完全平方式的结构特征是解答本题的关键．
3（ê）（2022春·贵州毕节·七年级统考期末）若是一个用完全平方公式得到的结果，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据完全平方公式，即可求解．
【详解】解：∵，是一个用完全平方公式得到的结果，
∴．
故选：B
【点睛】本题主要考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
【题型六】利用完全平方公式解决几何问题
【典题】（2022春·江苏泰州·七年级泰州市第二中学附属初中校考期中）如图，长方形ABCD的周长是12cm，以AB，AD为边向外作正方形ABEF和正方形ADGH，若正方形ABEF和ADGH的面积之和为20cm2，那么长方形ABCD的面积是（ ）
A．6cm2 B．7cm2 C．8cm2 D．9cm2
【答案】C
【分析】用矩形的长和宽分别表示矩形的周长和面积，正方形的面积和，从而运用完全平方公式的变形计算即可．
【详解】解：设AB=x，AD=y，
∵长方形ABCD的周长是12cm，正方形ABEF和ADGH的面积之和为20 cm2，
∴x+y=6，x2+y2=20，
∴x2+y2=(x+y)2−2xy=20，
∴62−2xy=20，
∴xy=8，
故选：C．
【点睛】此题考查了图形与公式，解题的关键是熟练掌握矩形的面积，周长的计算公式，正方形的面积的个数，两数和的完全平方公式．
巩固练习
1（ê）（2022春·山东威海·七年级统考期中）如图，现有甲，乙，丙三种不同的纸片．贝贝要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，她先取甲纸片1块，再取乙纸片4块，则她还需取丙纸片的块数为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】C
【分析】由图可知：一块甲种纸片面积为a2，一块乙种纸片的面积为b2，一块丙种纸片面积为ab，利用完全平方公式可求解．
【详解】设取丙种纸片x块才能用它们拼成一个新的正方形，（x≥0）
∴a2＋4b2＋xab是一个完全平方式，
∴x为4，
故选C
【点睛】本题考查了完全平方式，掌握完全平方公式是解题的关键．
2（ê）（2022春·浙江宁波·七年级校联考期中）如图，在一块边长为的正方形花圃中，两纵两横的4条宽度为的人行道把花圃分成 9块，下面是四个计算种花土地总面积的代数式：（1）；（2）；（3）；（4），其中正确的有（ ）
A．（2） B．（1） （3） C．（1） （4） D．（4）
【答案】C
【分析】由平移法可得，种花土地总面积等于边长为（a-2b）的正方形的面积；由图可得，种花土地总面积=a2-4ab+4b2；据此得出结论．
【详解】解：由平移法可得，种花土地总面积=（a-2b）（a-2b）；
由图可得，种花土地总面积=a2-4ab+4b2；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式的几何背景的应用，解决此类问题的关键是运用几何直观理解，解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释．
3（ê）（2022秋·辽宁葫芦岛·七年级统考期末）如图，从边长为(a＋1)cm的正方形纸片中剪去一个边长为(a－1)cm的正方形(a>1)，剩余部分沿虚线又剪拼成一个长方形(不重叠无缝隙)，则长方形的长为( )
A．2 cm B．2a cm
C．4a cm D．(2a－2)cm
【答案】B
【分析】矩形的面积就是边长是a+1的正方形与边长是a-1的正方形的面积的差，列代数式进行化简后，求出长方形的宽和长即可．
【详解】矩形的面积是=4a()；
拼成的长方形的宽为（a+1）-（a-1）=2（cm）；
∴长方形的长为（cm）；
故答案为B.
【点睛】本题主要考查了平方差公式，掌握平方差公式是解题的关键.
4（ê）（2022春·四川成都·七年级校考期中）如图①，是一个长为2m、宽为2n的长方形，用剪刀沿图中的虚线(对称轴)剪开，把它分成四个形状和大小都相同的小长方形，然后按图②那样拼成一个正方形(中间是空的)．
(1)图②中画有阴影的小正方形的边长为__________(用含m，n的式子表示)；
(2)观察图②，写出代数式(m＋n)2，(m-n)2与mn之间的等量关系；
(3)根据(2)中的等量关系解决下面的问题：
①若m＋n=7，mn=5，求(m-n)2的值；
②若a＋=3，求a2＋的值．
【答案】(1)m-n
(2)(m＋n)2=(m-n)2＋4mn
(3)①29；②7
【分析】(1)结合图形即可求得；
(2)根据大正方形的面积=小正方形的面积+4个长方形的面积，即可写出；
(3)根据(2)中关系即可分别求得．
（1）
解：图②中画有阴影的小正方形的边长(m-n)；
（2）
解：∵大正方形的面积=小正方形的面积+4个长方形的面积，
∴(m＋n)2=(m-n)2＋4mn；
（3）
解：①由(2)得：(m＋n)2=(m-n)2＋4mn；
∵m＋n=7，mn=5，
∴(m-n)2=(m＋n)2-4mn=49-20=29；
②∵a＋=3，
∴．
【点睛】本题考查完全平方公式的意义和应用，理清面积之间的关系是得出等式的关键．
5（êê）（2022春·四川成都·七年级成都七中校考期中）数学活动课上，老师准备了图1中三种不同大小的正方形与长方形，拼成了一个如图2所示的正方形．
(1)请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积和．
方法1：_________；
方法2：__________．
(2)请你直接写出三个代数式：，，之间的等量关系．
(3)根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：
①已知，，求和的值．
②已知，求的值．
【答案】(1)；
(2)
(3)①15；②16
【分析】（1）利用阴影两部分直接求和与用总面积减去空白部分面积两种方法即可求解；
（2）由图2中阴影部分面积的表示即可得到答案；
（3）①由（2）的关系可得，进而求解即可；
②设，则，，依题意，得，
∴，利用整体思想求解即可．
（1）
阴影两部分求和为：；
用总面积减去空白部分面积为：，
故答案为：；；
（2）
由题意得，；
（3）
①由（2）得，
∴，
解得，
∴，
②设，则，，
依题意，得，
∴，
可求得.
由整体思想，得．
【点睛】本题考查了完全平方公式的应用能力，关键是能根据完全平方公式的几何背景准确列式，并能运用公式解决相关问题．
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