苏科版七年级下册9.4 乘法公式练习题

9.4  乘法公式（2）

一、单项选择题：（本题共6小题，每小题5分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.）

1．已知，，，则的值为　　

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】D

【分析】

根据，，分别求出a-b、a-c、b-c的值，然后利用完全平方公式将题目中的式子变形，即可完成.

【详解】

∵，，，

∴

故选D

【点睛】

本题考查完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题关键.

2．在矩形ABCD中，AD=3，AB=2，现将两张边长分别为a和b（a＞b）的正方形纸片按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2．则S1﹣S2的值为（　 　）

A．-1 B．b﹣a C．-a D．﹣b

【答案】D

【分析】

利用面积的和差分别表示出S1、S2，然后利用整式的混合运算计算它们的差.

【详解】

∵

∴

故选D.

【点睛】

本题考查了整式的混合运算，计算量比较大，注意不要出错，熟练掌握整式运算法则是解题关键.

3．已知是一个有理数的平方，则不能为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

分多项式的三项分别是乘积二倍项时，利用完全平方公式分别求出n的值，然后选择答案即可．

【详解】

2n是乘积二倍项时，2n+218+1=218+2•29+1=（29+1）2，
此时n=9+1=10，
218是乘积二倍项时，2n+218+1=2n+2•217+1=（217+1）2，
此时n=2×17=34，
1是乘积二倍项时，2n+218+1=（29）2+2•29•2-10+（2-10）2=（29+2-10）2，
此时n=-20，
综上所述，n可以取到的数是10、34、-20，不能取到的数是36．
故选：D．

【点睛】

本题考查了完全平方式，难点在于要分情况讨论，熟记完全平方公式结构是解题的关键．

4．若，则(        )

A．3 B．6 C．9 D．12

【答案】C

【分析】

由得x=3+y，然后，代入所求代数式，即可完成解答.

【详解】

解：由得x=3+y

代入

故答案为C.

【点睛】

本题主要考查了完全平方公式的应用，灵活对代数式进行变形是解答本题的关键.

5．若……，则A的值是

A．0 B．1 C． D．

【答案】D

【分析】

把变成然后利用平方差公式计算即可

【详解】

……

……

……

故选D

【点睛】

能够灵活运用平方差公式解题是本题关键

6．计算的值为（   ）

A．5048 B．50 C．4950 D．5050

【答案】D

【解析】

【分析】

把所求的式子的第一项与最后一项结合，第二项与倒数第二项结合，依次结合了50组，把结合后的偶次项提取-1，然后分别运用平方差公式变形，提取101后得到25个2相加，从而计算出结果．

【详解】

解：1002-992+982-972+…+22-12
=（1002-12）-（992-22）+（982-32）-…+（522-492）-（512-502）
=（100+1）（100-1）-（99+2）（99-2）+（98+3）（98-3）-…+（52+49）（52-49）-（51+50）（51-50）
=101×99-101×97+101×95-…+101×3-101×1
=101×（99-97+95-…+3-1）
=101×（2+2+…+2）
=101×25×2
=5050．

故答案为D.

【点睛】

此题考查了平方差公式的运用，技巧性比较强，要求学生多观察式子的特点，注意结合的方法，找到第一项与最后一项结合，第二项与倒数第二项结合，依此类推的结合方法是解本题的关键．

二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）

7．已知a2﹣4b＝﹣18，b2+10c＝7，c2﹣6a＝﹣27，则a+b+c的值是_____．

【答案】0

【分析】

由a2﹣4b＝﹣18，b2+10c＝7，c2﹣6a＝﹣27得a2﹣4b+b2+10c+c2﹣6a+38＝0，配方得（a﹣3）2+（b﹣2）2+（c+5）2＝0，根据非负数的性质得a＝3，b＝2，c＝﹣5，即可求得结果．

【详解】

解：由a2﹣4b＝﹣18，b2+10c＝7，c2﹣6a＝﹣27得

a2﹣4b+b2+10c+c2﹣6a+38＝0，

∴（a﹣3）2+（b﹣2）2+（c+5）2＝0，

∴a＝3，b＝2，c＝﹣5，

a+b+c＝0．

故答案为：0．

【点睛】

此题考查了配方法的应用，非负数的性质，解题时要注意配方法的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值．

8．已知x－＝5，则＋＝________

【答案】27

【分析】

根据题目将x－＝5两边平方，便可求解了.

【详解】

解：x－＝5

＋-2=25

＋=27

【点睛】

根据题目特点，进行平方运算，便可找到答案.务必熟悉这类题目，属于常考题.

9．已知求_________________。

【答案】47

【分析】

根据已知等式两边同时除以x，得到的值，然后利用完全平方公式求出的值，最后再利用完全平方公式求的值即可.

【详解】

∵，，

∴两边同时除以x得：，即，

∴，即，

∴，

∴.

【点睛】

本题考查已知式子的值求代数式的值，熟练应用等式的基本性质及完全平方公式是解题的关键.

10．已知：则代数式的值为________;

【答案】-70

【分析】

先由求出xy的值，然后再对因式分解即可完成解答.

【详解】

解：∵

∴

∴xy=7

=

=

=7×（11-3×7）

=-70

【点睛】

本题考查了完全平方公式、因式分解和代数式求值，解题的关键是通过完全平方公式的变形以及因式分解寻求条件之间的关系.

三、解答题：（本题共4小题，共50分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

11．两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图①），其未叠合部分（阴影）面积为；若再在图①中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图②），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为．

（1）用含a、b的代数式分别表示、；

（2）若，，求的值；

（3）用a、b的代数式表示；并当时，求出图③中阴影部分的面积．

【答案】（1）， ；（2）77；（3）17

【分析】

（1）由图中正方形和长方形的面积关系，可得答案；

（2）根据，将a-b＝8，ab＝13代入进行计算即可；

（3）根据和 ，可求得图 中阴影部分的面积 ．

【详解】

解：（1）由图可得，， ．

（2），

所以的值为77．

（3）由图可得：

所以图中阴影部分的面积为17．

【点睛】

本题考查了完全平方公式的几何背景，数形结合、恰当进行代数式变形是解答本题的关键．

12．阅读理解：

已知a+b＝﹣4，ab＝3，求+的值．

解：∵a+b＝﹣4，

∴＝．

即+＝16．

∵＝3，

∴+＝10．

参考上述过程解答：

（1）已知＝﹣3，＝﹣2．求式子（）（+）的值；

（2）若，＝﹣12，求式子的值．

【答案】(1)-15    (2)76

【分析】

（1）利用完全平方公式，先求出（a2+b2）的值，再计算（a-b）（a2+b2）的值；
（2）把m-n-P=-10变形为[（m-p）-n]，利用完全平方公式仿照例题计算得结论．

【详解】

解：（1）因为（a-b）2=（-3）2，
所以a2-2ab+b2=9，
又∵ab=-2
∴a2+b2=9-4=5，
∴（a-b）（a2+b2）
=（-3）×5
=-15
（2）∵（m-n-p）2=（-10）2=100，
即[（m-p）-n]2=100，
∴（m-p）2-2n（m-p）+n2=100，
∴（m-p）2+n2=100+2n（m-p）
=100+2（-12）
=76．

【点睛】

本题主要考查了整式乘法的完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的变形是解决本题的关键．

13．若满足，求的值：

解：设，则

所以

请仿照上面的方法求解下面的问题

（1）若满足，求的值；

（2）已知正方形的边长为分别是上的点，且，长方形的面积是28，分别以为边作正方形，求阴影部分的面积．

【答案】（1）19；（2）33．

【分析】

（1）设，从而可得，再利用完全平方公式进行变形运算即可得；

（2）先根据线段的和差、长方形的面积公式可得，再利用正方形MFRN的面积减去正方形DFGH的面积可得阴影部分的面积，然后仿照（1）的方法思路、结合平方差公式进行变形求解即可得．

【详解】

（1）设，则，

所以，

，

，

；

（2）由题意得：，，

因为阴影部分的面积等于正方形MFRN的面积减去正方形DFGH的面积，

所以阴影部分的面积为，

设，则，

所以，

由平方根的性质得：或（不符题意，舍去），

所以，

，

，

，

故阴影部分的面积为33．

【点睛】

本题考查了乘法公式与图形面积，熟练掌握并灵活运用乘法公式是解题关键．

14．阅读材料：我们把多项式及叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值，最小值等．

例如：分解因式：；

又例如：求代数式的最小值：∵；

又∵；当时，有最小值，最小值是-8．

根据阅读材料，利用“配方法”，解决下列问题：

（1）分解因式：__________；

（2）已知的三边长a、b、c都是正整数，且满足，求边长c的最小值；

（3）当x、y为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值．

【答案】（1）；（2）边长c的最小值是5；（3）时，取得最大值为16

【分析】

（1）根据阅读材料，先将变形为a2-4a+4-9，再根据完全平方公式写成（m-2）2-9，然后利用平方差公式分解即可；

（2）根据配方法得出两个完全平方式，再根据两个非负数的和为0时，每一部分为0可得a，b的值，最后根据三角形三边的关系，可得c的取值范围和最小值；

（3）根据题目中的例子，先将所求式子配方，再根据完全平方式的非负性即可得到当x、y为何值时，所求式子取得最大值，并求出这个最大值；

【详解】

解：（1）a2-4a-5

= a2-4a+4-9

=（a-2）2-9
=（a-2+3）（a-2-3）

=（a+1）（a-5）．

故答案为：（a+1）（a-5）．

（2）∵，

∴，

∴，

∴，

∴解得：，

∵a、b、c是的三边长，∴，又∵c是整数，，6，7；

∴边长c的最小值是5；

（3）

，

∵，；

∴，

∴当时，即：时，取得最大值为16．

【点睛】

本题考查配方法和因式分解的应用：通过配方，把已知条件变形为几个非负数的和的形式，然后利用非负数的性质得到几个等量关系，建立方程求得数值解决问题．