高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册7.2 离散型随机变量及其分布列精品达标测试

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7.2 离散型随机变量及其分布列

课程标准
课标解读
1. 通过具体案例，了解离散型随机变量的
概念，理解随机变量的分布列及其性质；
2. 通过具体案例，了解两点分布的概念及
特点.
3. 会求离散型随机变量的分布列及两点
分布列的相关量.
通过本节课的学习，要求会求简单应用问题中的离散型随机变量的分布列，能应用分布列的相关性质求问题中的相关量，会应用两点分布的特点解决与两点分布有关的问题.




知识点1 随机变量的概念、表示及特征
1．概念：一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量．
2．表示：用大写英文字母表示随机变量，如X，Y，Z；用小写英文字母表示随机变量的取值，如x，y，z.
3．特征：随机试验中，每个样本点都有唯一的一个实数与之对应，随机变量有如下特征：
(1)取值依赖于样本点．
(2)所有可能取值是明确的．
4．随机变量与函数的关系
共同点：随机变量和函数都是一种映射
区别: 随机变量把试验的结果映为实数，函数把实数映为实数
联系：试验结果的范围相当于函数的定义域，随机变量的取值范围相当与函数的值域；
注意：所有随机变量的取值范围的集合叫做随机变量的值域.
【即学即练1】将一颗均匀骰子掷两次，不能作为随机变量的是（       ）
A．两次掷得的点数
B．两次掷得的点数之和
C．两次掷得的最大点数
D．第一次掷得的点数减去第二次掷得的点数的差

【即学即练2】10件产品中有3件次品,从中任取2件,可作为随机变量的是
A．取到产品的件数 B．取到正品的概率
C．取到次品的件数 D．取到次品的概率


知识点2 离散型随机变量
1．概念：可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，我们称之为离散型随机变量，通常用大写英文字母表示随机变量，例如X，Y，Z；用小写英文字母表示随机变量的取值，例如x，y，z.
2．特征：
(1)可以用数值表示；
(2)试验之前可以判断其可能出现的所有值，但不能确定取何值；
(3)试验结果能一一列出．
【即学即练3】给出下列各量：
①某机场候机室中一天的游客数量；
②某寻呼台一天内收到的寻呼次数；
③某同学离开自己学校的距离；
④将要举行的绘画比赛中某同学获得的名次；
⑤体积为8的正方体的棱长.
其中是离散型随机变量的是（       ）
A．①②④ B．①②③ C．③④⑤ D．②③④

【即学即练4】已知X，Y均为离散型随机变量，且X＝2Y，若X的所有可能取值为0,2,4，则Y的所有可能取值为________．

【即学即练5】在一次比赛中，需回答三个问题，比赛规定：每题回答正确得100分，回答不正确得分，则选手甲回答这三个问题的总得分的所有可能取值的个数为（       ）
A．2 B．4 C．6 D．8

知识点3　离散型随机变量的分布列及其性质
1．定义：若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1，2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则表
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列，有时为了表达简单，也用等式P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n表示X的分布列．
2．分布列的性质
(1)pi≥0，i＝1,2，…，n.
(2)p1＋p2＋…＋pn＝1.（pi＝1）
注：分布列的性质及其应用
(1)利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数．
(2)求随机变量在某个范围内的概率时，根据分布列，将所求范围内各随机变量对应的概率相加即可，其依据是互斥事件的概率加法公式．

【即学即练6】袋中有1个白球和4个黑球，每次从中任取一个球，每次取出的黑球不再放回，直到取出白球为止，求取球次数X的分布列．

【即学即练7】设随机变量X的分布列P＝ak(k＝1,2,3,4,5)．
(1)求常数a的值；
(2)求P.
(3)求P

知识点4　两点分布
对于只有两个可能结果的随机试验，用A表示“成功”，表示“失败”，定义X＝如果P(A)＝p，则P()＝1－p，那么X的分布列如表所示．
X
0
1
P
1－p
p
我们称X服从两点分布或0－1分布．
注：随机变量X只取0和1，才是两点分布，否则不是．
【即学即练8】篮球比赛中每次罚球命中得1分，不中得0分.已知某运动员罚球命中的概率为0.85，求他一次罚球得分的分布列.

【即学即练9】若随机变量X服从两点分布，且P(X＝0)＝0.8，P(X＝1)＝0.2.令Y＝3X－2，则P(Y＝－2)＝________.



考点一 离散随机变量的概念辨析
解题方略：
判断离散型随机变量的方法
(1)明确随机试验的所有可能结果；
(2)将随机试验的结果数量化；
(3)确定试验结果所对应的实数是否可以一一列出，如能一一列出，则该随机变量是离散型随机变量，否则不是．
【例1-1】指出下列随机变量是不是离散型随机变量，并说明理由．
(1)从10张已编好号码的卡片(1号到10号)中任取一张，被取出的卡片的号数；
(2)一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数；
(3)某林场的树木最高达30 m，则此林场中树木的高度；
(4)某加工厂加工的某种铜管的外径与规定的外径尺寸之差．

变式1：判断下列变量是否是随机变量，若是，是否为离散型随机变量.
（1）某市医院明天接到120急救电话的次数ξ；
（2）公交车司机下周一收取的费用ξ；
（3）某单位下个月的用水量ξ；
（4）某家庭上个月的电话费ξ.

【例1-2】一串钥匙有6枚，只有一枚能打开锁，依次试验，打不开的扔掉，直到找到能开锁的钥匙为止，则试验次数X的最大可能取值为（       ）
A．6 B．5 C．4 D．2

变式1：已知4支钢笔的单价分别为10元、20元、30元、40元．从中任取2支，若以表示取到的钢笔的较高单价（单位：元），则的取值范围为（       ）
A． B．
C． D．

【例1-3】某人进行射击，共有5发子弹，击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为ξ，则“ξ＝5”表示的试验结果是(　　)
A．第5次击中目标
B．第5次未击中目标
C．前4次均未击中目标
D．第4次击中目标

变式1：一木箱中装有8个同样大小的篮球，编号为1,2,3,4,5,6,7,8，现从中随机取出3个篮球，以ξ表示取出的篮球的最大号码，则ξ＝8表示的试验结果数为(　　)
A．18 B．21 C．24 D．10

考点二 求离散型随机变量的分布列
解题方略：
1、求离散型随机变量的分布列关键有三点
(1)随机变量的取值．
(2)每一个取值所对应的概率．
(3)用所有概率之和是否为1来检验．
2、写离散型随机变量的分布列的步骤
(1)找：理解并确定的意义，找出随机变量X的所有可能的取值 ()
(2)求：借助概率的有关知识求出随机变量X取每一个值的概率()注意应用计数原理、古典概型等知识
(3)列：列出表格并检验所求的概率是否满足分布列的两条性质.
注意：写出分布列时要注意将化为最简分式形式，但是在利用检验分布列是否正确时可利用化简前的分式结果.

【例2-1】一个箱子里装有5个大小相同的球，有3个白球，2个红球，从中摸出2个球．
(1)求摸出的2个球中有1个白球和1个红球的概率；
(2)用X表示摸出的2个球中的白球个数，求X的分布列．

变式1：从含有2名女生的10名大学毕业生中任选3人进行某项调研活动，记女生入选的人数为ξ，求ξ的分布列．

变式2：某校组织冬令营活动，有名同学参加，其中有名男同学，名女同学，为了活动的需要，要从这名同学中随机抽取名同学去执行一项特殊任务，记其中有名男同学．
（1）求的分布列；                                
（2）求去执行任务的同学中有男有女的概率．
变式3：某校为了普及环保知识，增强学生的环保意识，在全校组织了一次有关环保知识的竞赛，经过初赛、复赛，甲、乙两个代表队（每队人）进入了决赛，规定每人回答一个问题，答对为本队赢得分，答错得分，假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中人答对的概率分别为，且各人回答正确与否相互之间没有影响，用表示乙队的总得分．
（1）求的分布列；
（2）求甲、乙两队总得分之和等于分且甲队获胜的概率．

考点三 分布列的性质及应用
解题方略：
分布列的性质及其应用
(1)利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数．
(2)求随机变量在某个范围内的概率时，根据分布列，将所求范围内各随机变量对应的概率相加即可，其依据是互斥事件的概率加法公式．
【例3-1】如果X是一个离散型随机变量，那么下列命题中是真命题的为（       ）
A．X取每一个可能值的概率是正数
B．X取所有可能值的概率和为1
C．X取某两个可能值的概率等于取其中每个值的概率之和
D．X在某一范围内取值的概率大于它取这个范围内各个值的概率之和

【例3-2】设随机变量的分布列为，则（    ）
A． B． C． D．

变式1：已知随机变量X的概率分布为，则实数______．

【例3-3】设离散型随机变量X的分布列如下：
X
1
2
3
4
P



p

则p的值为(　　)
A. B. C. D.

变式1：设离散型随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
0.2
0.1
0.1
0.3
m

若随机变量Y＝X－2，则P(Y＝2)等于(　　)
A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7

变式2：若离散型随机变量X的分布列为
X
0
1
P
9c2－c
3－8c

试求出离散型随机变量X的分布列．

变式3：离散型随机变量X的分布列中部分数据丢失，丢失数据以x，y(x，y∈N)代替，分布列如下：
X
1
2
3
4
5
6
P
0.20
0.10
0.x5
0.10
0.1y
0.20

则P等于(　　)
A．0.25 B．0.35 C．0.45 D．0.55


变式4：【多选】已知随机变量X的分布列如下表所示，其中a，b，c成等差数列，则(　　)
X
－1
0
1
P
a
b
c

A.a＝ B．b＝
C．c＝ D．P(|X|＝1)＝

变式5：若随机变量X的分布列如下表所示：
X
0
1
2
3
P

a

b

则a2＋b2的最小值为________．

变式6：若随机变量X的分布列为
X
－2
－1
0
1
2
3
P
0.1
0.2
0.2
0.3
0.1
0.1
则当P(X＜a)＝0.8时，实数a的取值范围是（       ）
A．(－∞，2] B．[1，2]
C．(1，2] D．(1，2)


【例3-2】已知随机变量的分布列如下：
ξ
0
1
2
P
a
b
c
其中成等差数列，则函数有且只有一个零点的概率为（       ）
A． B． C． D．

考点四 两个相关随机变量的分布列
【例4-1】设随机变量等可能地取，又设随机变量，则（    ）
A． B． C． D．

变式1：若随机变量的分布列如下表：










则（       ）
A． B． C． D．

变式2：已知离散型随机变量的分布列，.令，则__________.

变式3：设离散型随机变量的分布列为

0
1
2
3
4

0.2
0.1
0.1
0.3

求：（1）的分布列；
（2）求的值.

考点五 两点分布
【例5-1】下列选项中的随机变量不服从两点分布的是（       ）
A．抛掷一枚骰子，所得点数
B．某射击手射击一次，击中目标的次数
C．从装有除颜色外其余均相同的5个红球，3个白球的袋中任取1个球，设
D．某医生做一次手术，手术成功的次数

【例5-2】设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量ξ描述一次试验的成功次数，则P(ξ＝0)等于(　　)
A．0 B. C. D.

变式1：小明通过某次考试的概率是未通过的5倍，令随机变量，则（       ）
A． B． C． D．

变式2：设随机变量服从两点分布，若，则______．

【例5-3】某运动员命中10环的概率为0.9，求一次射击中命中10环的次数的分布列．

变式1：已知服从参数为0.3的两点分布．
(1)求；
(2)若，写出Y的分布列．


题组A 基础过关练
1、【多选】下面是离散型随机变量的是(　　)
A．某机场候机室中一天的游客数量X
B．某外卖员一天内收到的点餐次数X
C．某水文站观察到一天中长江的最高水位X
D．某立交桥一天经过的车辆数X

2、若随机变量ξ只能取两个值0，1，又知ξ取0的概率是取1的概率的3倍，写出ξ的分布列.

3、某一随机变量的概率分布如下表，且，则的值为（       ）










A． B． C． D．

4、袋中装有除颜色外其余均相同的10个红球，5个黑球，每次任取一球，若取到黑球，则放入袋中，直到取到红球为止.若抽取的次数为，则表示“放回4个球”的事件为（       ）
A． B． C． D．

5、一个袋中有4个红球，3个黑球，小明从袋中随机取球，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分，从袋中任取4个球，则小明得分大于6分的概率是（       ）
A． B． C． D．

6、已知随机变量X的分布列如下：
X
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
P









m

则P(X＝10)等于(　　)
A. B. C. D.

题组B 能力提升练
7、一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数为ξ.
(1)列表说明可能出现的结果与对应的ξ的值；
(2)若规定抽取3个球中，每抽到一个白球加5分，抽到黑球不加分，且最后不管结果都加上6分．求最终得分η的可能取值，并判定η的随机变量类型．

8、已知抛物线的对称轴在y轴的左侧，其中a，b，，在这些抛物线中，记随机变量，则（       ）
A． B． C． D．

9、某商店试销某种商品20天，获得如下数据：
日销售量(件)
0
1
2
3
频数
1
5
9
5
试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变)，设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率.
（1）求当天商店不进货的概率；
（2）记X为第二天开始营业时该商品的件数，求X的分布列.

10、袋子中装有大小相同的8个小球，其中白球5个，分别编号1，2，3，4，5；红球3个，分别编号1，2，3.现从袋子中任取3个小球，它们的最大编号为随机变量X，则P(X＝3)等于（       ）
A． B． C． D．

11、已知随机变量的分布列为



0
1
2
3







若，则实数的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．

12、已知随机变量ξ只能取三个值x1，x2，x3，其概率依次成等差数列，则该等差数列公差的取值范围是(　　)
A. B.
C．[－3,3] D．[0,1]

题组C 培优拔尖练

13、已知集合，，从集合中任取3个不同的元素，其中最小的元素用表示，从集合中任取3个不同的元素，其中最大的元素用表示，记，则为（       ）
A． B． C． D．4

14、设S是不等式x2－x－6≤0的解集，整数m，n∈S.
(1)设“使得m＋n＝0成立的有序数组(m，n)”为事件A，试列举A包含的基本事件；
(2)设ξ＝m2，求ξ的分布列．

15、某校为缓解学生压力，举办了一场趣味运动会，其中有一个项目为篮球定点投篮，比赛分为初赛和复赛．初赛规则为：每人最多投3次，每次投篮的结果相互独立．在处每投进一球得3分，在处每投进一球得2分，否则得0分．将学生得分逐次累加并用表示，如果的值不低于3分就判定为通过初赛，立即停止投篮，否则应继续投篮，直到投完三次为止．现甲先在处投一球，以后都在处投，已知甲同学在处投篮的命中率为，在处投篮的命中率为，求他初赛结束后所得总分的分布列．