【同步讲义】（人教A版2019）高中数学选修第三册：拓展二：二项式定理15种常见考法归类 讲义

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 拓展二：二项式定理15常见考法归类

考点一 求形如(a+b)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量
（一）求常数项
（二）求指定项系数
（三）求有理项
（四）求参数
考点二 求形如(a+b)m(c+d)n(m,n∈N*)型的展开式问题
考点三 求形如(a+b+c)n(n∈N*)展开式中特定项
考点四 求多个二项式的和或积展开式的问题
考点五 二项式系数的和问题
考点六 二项展开式中的系数的和问题
考点七 二项式系数的最值问题
考点八 项的系数的最值问题
考点九 整除和余数问题
考点十 近似计算问题
考点十一 证明组合恒等式
考点十二 杨辉三角问题
考点十三 与导数的综合问题
考点十四 与数列的综合问题
考点十五 与函数的综合问题

1. 二项式定理
概念
公式(a＋b)n＝Can＋Can－1b1＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)叫做二项式定理.
二项式
系数
各项的系数C(k＝0，1，2，…，n)叫做二项式系数.
通项
Can－kbk叫做二项展开式的通项，是展开式中的第k＋1项，可记做Tk＋1＝Can－k·bk(k＝0，1，2，…，n).
二项
展开式
Can＋Can－1b1＋Can－2b2＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)叫做(a＋b)n的二项展开式.
2. 二项式系数的性质
二项式系数是一组仅与二项式的幂指数n有关的n＋1个组合数，与a，b无关. 其性质如下：
(1)对称性：在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等. 事实上，这一性质可直接由C＝C得到. 直线r＝将函数f(r)＝C的图象分成对称的两部分，它是图象的对称轴.
(2)增减性与最大值：当k<时，C随k的增加而增大；当k>时，C随k的增加而减少. 如果二项式的幂指数n是偶数，那么其展开式中间一项，即的二项式系数最大；如果n是奇数，那么其展开式中间两项与的二项式系数相等且最大.
(3)各二项式系数的和：C＋C＋C＋…＋C＝2n，且奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和，即C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1.
3. 杨辉三角是二项式系数组成的三角形数表(如下)，是我国数学史上一个伟大成就，教材设专题“探究”，这里列出一些最基本的结论.

(1)最外层全是1，第二层(含1)是自然数列1，2，3，4，…，第三层(含1，3)是三角形数列1，3，6，10，15，….
(2)对称性：每行中与首末两端“等距离”之数相等，即C＝C.
(3)递归性：除1以外的数都等于肩上两数之和，即C＝C＋C.
(4)第n行奇数项之和与偶数项之和相等，即C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋….
(5)第n行所有数的和为2n，即C＋C＋C＋…＋C＝2n.
(6)自左(右)腰上的某个1开始平行于右(左)腰的一条线上的连续n个数的和等于最后一个数斜左(右)下方的那个数.
4. 求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略：①求展开式中的特定项，可依据条件写出第r＋1项，再由特定项的特点求出r值即可；②已知展开式的某项，求特定项的系数，可由某项得出参数项，再由通项写出第r＋1项，由特定项得出r值，最后求出其系数.
5. 求形如(a+b)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量的步骤
第一步,利用二项式定理写出二项展开式的通项Tr+1=Cnran-rbr,常把字母和系数分离开来(注意符号不要出错);
第二步,根据题目中的相关条件(如常数项要求指数为零,有理项要求指数为整数)先列出相应方程(组)或不等式(组),解出r;
第三步,把r代入通项中,即可求出Tr+1,有时还需要先求n,再求r,才能求出Tr+1或者其他量.
6. 对于两个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合定义求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏.
7. 求三项展开式中某些特定项的系数的方法：①两次利用二项式定理的通项公式求解；②由二项式定理的推证方法知，可用排列、组合的基本原理去求，即把三项式看作几个因式之积，要得到特定项看有多少种方法从这几个因式中取因式中的量.
8. 某些三项或三项以上的展开问题，根据式子的特点，可通过变形转化为二项式，再用二项式定理求解. 转化的方法通常为配方、因式分解.
9. “赋值法”普遍运用于恒等式，是一种处理二项式相关问题比较常用的方法. 对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝1即可；对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可. 若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝，偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝.
10. 赋值法是求解二项式系数和问题的基本方法，是常用的特殊化思想.如何赋值，需根据实际情况而定，如要求常数项，应赋为0；求所有项系数之和，应赋为1；要求奇次项系数和或偶次项系数和，还需赋为-1，再通过联立方程组求得.
11. 二项式系数与项的系数是两个不同的概念. 二项式系数最大的项就是二项展开式中的中间项；求展开式中系数最大的项，一般采用待定系数法．设展开式各项系数分别为A1,A2,…,An+1,且第k项系数最大,应用Ak≥Ak-1,Ak≥Ak+1,从而解出k来,即得.



考点一 求形如(a+b)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量
（一）求常数项
1．（2023·山东济南·一模）展开式中的常数项为______．
【答案】160
【分析】由题意利用二项式定理可得解.
【详解】二项式的展开式的通项公式，
令，可得，
所以展开式中的常数项为.
故答案为：160.
2．（2023·贵州·统考模拟预测）的展开式中的常数项为___________.
【答案】
【分析】利用二项式定理得到展开式的通项公式，求出常数项.
【详解】的展开式通项公式为，
令，解得，
故，
所以展开式中常数项为.
故答案为：
3．（2023·天津河北·统考一模）的展开式中的常数项为______.
【答案】
【分析】首先写出展开式的通项，令求出，再代入计算可得.
【详解】二项式展开式的通项为，
令，解得，
常数项为.
故答案为：．
（二）求指定项系数
4．（2023春·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨德强学校校考阶段练习）在二项式的展开式中，第三项的系数是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据二项式展开式的通项公式：,第三项令求系数即可.
【详解】二项式展开式的通项公式：，
第三项则，可得第三项的系数是.
故选:D.
5．（2023春·天津宝坻·高二天津市宝坻区第一中学校考阶段练习）的展开式中含项的系数为______．（用数字作答）
【答案】
【分析】利用二项展开式的通项公式可求得结果.
【详解】由题可知展开式的通项公式，
令，此时，含的项为，
所以含项的系数为．
故答案为：
6．（2023春·河南郑州·高二郑州十九中校联考期中）在二项式的展开式中，含项的二项式系数为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先写出展开式的通项，再令求出，即可求出含项的二项式系数.
【详解】二项式的展开式的通项为，
令，解得，所以展开式中项的二项式系数为.
故选：A
7．（2023·北京·校考模拟预测）已知，则___________．
【答案】
【分析】利用二项式定理的通项公式即可求解.
【详解】的二项展开式的通项公式，
所以.
故答案为：.
8．（2023·湖北·荆州中学校联考二模）若，则______．
【答案】
【分析】令可得，分析可知为展开式中的系数，然后利用二项式定理可求得的值.
【详解】令可得，则，
所以，，
所以，为展开式中的系数，
的展开式通项为，
所以，.
故答案为：.
（三）求有理项
9．（2023·江苏·高二专题练习）二项式的展开式中系数为有理数的项共有（    ）
A．6项 B．7项 C．8项 D．9项
【答案】D
【分析】由二项式的通项公式结合有理项的性质即可求解.
【详解】二项式的通项，
若要系数为有理数，则，，，且，
即，，易知满足条件的，
故系数为有理数的项共有9项.
故选：D
10．（2023春·江西南昌·高二南昌市第三中学校考阶段练习）在的展开式中，系数为有理数的项是（    ）
A．第3项 B．第4项 C．第5项 D．第6项
【答案】C
【分析】根据二项式定理展开式的通项可确定系数为有理数时的取值，即可得出结果.
【详解】在的展开式中，根据通项可知，
时系数为有理数，即第五项为．
故选：C
11．（2023·全国·高三专题练习）的展开式中所有有理项的系数之和为__________.
【答案】
【分析】先根据二项式展开式通项，找出有理项，再计算有理项的系数之和.
【详解】由二项式定理，可得的展开式通项为，当，即时，为有理项，所以所有有理项的系数之和为.
故答案为：.
12．（2023·高二课时练习）在的展开式中，有理项恰有两项，则的可能取值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【分析】利用二项式定理的通项公式得到满足题意的项
【详解】展开式通项为，
对于A，展开式通项为，所以由可得或8，所以此时有两个有理项，故正确；
对于B，展开式通项为，所以由可得或6或12，所以此时有三个有理项，故错误；
对于C，展开式通项为，所以由可得或10，所以此时有两个有理项，故正确；
对于D，展开式通项为，所以由可得或6或12，所以此时有三个有理项，故错误；
故选：AC
（四）求参数
13．（2023·河南·校联考模拟预测）若二项式的常数项为－80，则______.
【答案】5
【分析】先求出二项式展开式的通项公式，然后令x的指数为零，求出r，从而利用常数项建立方程求解.
【详解】二项式的通项为，
由题意，且r，n为整数，解得，
故答案为：5
14．（2023春·江苏镇江·高二江苏省丹阳高级中学校考阶段练习）若的展开式中的常数项为，则（    ）
A． B． C．1 D．2
【答案】C
【分析】由二项式定理的通项公式求的展开式的常数项，由条件列方程求.
【详解】二项式的展开式的第项为，
令可得，
所以二项式的展开式的第项为常数项，常数项为，
所以，
所以，
故选：C.
15．（2023春·山东烟台·高二山东省招远第一中学校考期中）设，若，则（    ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】C
【分析】根据二项式定理展开表示对应项系数，再由组合数计算即可.
【详解】由二项式定理可得，
故，即，解之得：.
故选：C
16．（2023·全国·高三专题练习）若的展开式中含项的系数与含项的系数之比为，则n等于_________.
【答案】
【分析】先由题意得到二项展开式的通项，进而得到含项与含项的系数，然后根据题意得到关于的方程，解方程可得所求．
【详解】二项式的展开式的通项为，
令，得，
所以含项的系数为；
令，得，
所以含项的系数为．
由题意得，
整理得，
∴，
解得．
故答案为：．

考点二 求形如(a+b)m(c+d)n(m,n∈N*)型的展开式问题
17．（2023·陕西西安·西北工业大学附属中学校考模拟预测）的展开式中的常数项为______________．
【答案】60
【分析】先求出展开式的通项，求出含项时的值，即可求出答案
【详解】的展开式的通项为，
令即，所以的展开式中的常数项
故答案为：60
18．（2023春·河南郑州·高二郑州十九中校联考期中）二项式的常数项为__________．
【答案】
【分析】先确定的展开式的通项公式，再由求解即可.
【详解】的展开式的通项公式为，
而，
令，得；令，得（舍）.
所以的展开式中的常数项为．
故答案为：
19．（2023·辽宁沈阳·沈阳二中校考三模）在的展开式中x的系数为______．
【答案】
【分析】利用二项式通项公式写出展开式中的项，即可得解．
【详解】的展开式中x的项为
，
所以展开式中的系数为．
故答案为：.
20．（2023·河北唐山·开滦第二中学校考一模）的展开式中项的系数为______ .
【答案】
【分析】根据已知条件，结合二项式定理，即可求解．
【详解】的展开式通项公式为，
令，解得，
令，解得，
故的展开式中项的系数为
故答案为：
21．（2023·全国·浮梁县第一中学校联考模拟预测）已知，则等于___________.
【答案】
【分析】要求，即求展开式中项的系数，进而根据二项式定理求解即可；
【详解】解:因为，
对于，其展开式通项为.
所以，中含的项为，
所以展开式中含的项系数为.
故答案为：.
22．（2023春·江西南昌·高二南昌十中校考阶段练习）的展开式中，的系数为___________．
【答案】145
【分析】根据题意得到，再求得展开式的通项，分别求，，，再利用多项式乘法即可得到的系数．
【详解】由，
其中展开式的通项，
令，得；
令，得；
令，得，
所以的展开式中，的系数为．
故答案为：145．
23．（2023·全国·模拟预测）的展开式中的系数是（    ）
A．9 B．-9 C．10 D．-10
【答案】B
【分析】，所以的展开式中的系数是展开式中的系数和的系数之和.
【详解】由于，
所以的展开式中的系数是展开式中的系数和的系数和，的展开式中第项为，
分别令和，得到的展开式中的系数和的系数，
因此的展开式中的系数是.
故选：B.
24．（2023·吉林·统考三模）的展开式中，的系数是______．
【答案】120
【分析】先找出中含的项，再在中找出含的项，相乘即可得到含的系数．
【详解】中含的项为，中含的项为，
的展开式中含的项为，其系数为.
故答案为：120．
25．（2023·四川广安·统考二模）已知的展开式中含项的系数为，则______.
【答案】##
【分析】求出的展开式通项，然后利用含项的系数为列方程求解.
【详解】，
又的展开式通项为，
的展开式通项为，
，解得.
故答案为：.
26．（2023·全国·模拟预测）已知的展开式中含有常数项，则的值及展开式中的常数项分别为（    ）
A．3， B．4， C．3， D．4，
【答案】A
【分析】利用二项式定理求的展开式的通项公式，根据多项式乘法法，结合条件关系求，由此求展开式中的常数项.
【详解】的展开式的通项为，
因为．
令，得，与矛盾，舍去．
因为．令，得，
此时，
所以，常数项为．
故选：A．

考点三 求形如(a+b+c)n(n∈N*)展开式中特定项
27．（2023·山东德州·统考一模）展开式中含项的系数为______．
【答案】－60
【分析】根据二项式的通项公式进行求解即可.
【详解】，
设该二项式的通项公式为，
因为的次数为，所以令，
二项式的通项公式为，
令，
所以项的系数为，
故答案为：
28．（2023·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）在的展开式中，项的系数为（    ）
A．60 B．30 C．20 D．
【答案】D
【分析】运用二项式定理的通项公式分别求、的通项，根据题意分析运算可得结果.
【详解】由，可得其二项展开式，
若先满足项中y的次数，则，可得，
其中展开式的通项为，
令，得，可得，
故项的系数为.
故选：D.
29．（2023·山东潍坊·统考模拟预测）的展开式中项的系数为______.
【答案】
【分析】令的通项公式为，令的通项公式为，由和的范围可得答案.
【详解】的通项公式为，
显然，展开式中要出现，必有，
令的通项公式为，
由，由，，所以，或，
所以的系数为.
故答案为：.
30．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校联考模拟预测）已知展开式的常数项为76，则（    ）
A．1 B．61 C．2 D．
【答案】A
【分析】由，利用二项式定理求其展开式，再求各部分的展开式，确定展开式的常数项表达式，列方程求.
【详解】因为，
所以，
的展开式的通项为，，
当时为常数项，常数项为，
的展开式的通项为，，
展开式没有常数项，
的展开式的通项为，，
展开式没有常数项，
的展开式的通项为，，
当时为常数项，常数项为，
的展开式的通项为，，
展开式没有常数项，
的展开式没有常数项，
又为常数，
所以常数项为，
所以，又，
解得．
故选：A.

考点四 求多个二项式的和或积展开式的问题
31．（2023·辽宁·鞍山一中校联考模拟预测）在的展开式中，含的项的系数是______．
【答案】
【分析】由二项式的展开式即可求得答案.
【详解】因为，所以含的项为：，
所以含的项的系数是．
故答案为：．
32．（2023春·福建泉州·高二校考阶段练习）若，则（    ）
A．45 B．27 C．15 D．3
【答案】D
【分析】将转化为，再利用二项展开式的通项公式，即可求得答案．
【详解】因为，
所以，
故选：D．
33．（2023春·福建泉州·高二福建省德化第一中学校考阶段练习）若多项式，则______.
【答案】
【分析】赋值，即可求得.
【详解】因为
令，可得.
故答案为：.
34．（2023春·江苏连云港·高二校考阶段练习）在的展开式中，含的项的系数是___________.
【答案】
【分析】从的6个因式中，其中5个选x，余下的一个选常数相乘，即可得到项，由此可求得答案.
【详解】由题意可知从题中的6个因式中，
其中5个选x，余下的一个选常数相乘，即可得到项，
比如都选x，此时系数为，
都选x，此时系数为，
依此类推，
直到都选x，此时系数为，
共6种情况，将这6项合并，即可得，
故含的项的系数是，
故答案为：

考点五 二项式系数的和问题
35．（2023春·福建泉州·高二福建省德化第一中学校考阶段练习）的展开式中二项式系数和为（    ）
A． B．24 C． D．16
【答案】D
【分析】由二项式系数的性质求解.
【详解】的展开式中二项式系数和为.
故选：D
36．（2023春·高二课时练习）已知的展开式中前三项的二项式系数之和等于79，求展开式中系数最大的项.
【答案】
【分析】根据题意得到且，先求得的值.化简二项式为，得到展开式的通项为，设展开式的第项的系数最大，列出不等式组，求得，进而求得展开式中系数最大的项.
【详解】由已知得可得且，解得.
二项式
则展开式的通项为，
设展开式的第项的系数最大，则，
解得，又,所以，
所以展开式中系数最大的项为，
所以其展开式中系数最大的项为.
37．（2023·江西吉安·江西省万安中学校考一模）已知的展开式中二项式系数和为32，则项系数是_______________．
【答案】10
【分析】利用二项式系数和和二项展开式的通项公式即可.
【详解】因为二项式系数和为32，
；

当时，
故答案为：10
38．（2023春·山西运城·高二康杰中学校考阶段练习）已知展开式的二项式系数和为512，．则=_______．
【答案】
【分析】根据二项式系数和可得，则，利用项的通项公式即可求解．
【详解】展开式的二项式系数和为，则
所以，则
所以
故答案为：

考点六 二项展开式中的系数的和问题
39．（2023·陕西汉中·统考二模）已知的展开式中各项系数的和为，则该展开式中的常数项为________.
【答案】
【分析】赋值令，根据展开式中各项系数的和求得，再结合的二项展开式的通项公式分析运算.
【详解】令，可得展开式中各项系数的和为，解得，
可得，
其中的展开式的通项公式为，
令，则；
令，则；
故该展开式中的常数项为.
故答案为：.
40．（2023春·浙江杭州·高二浙江大学附属中学期中）已知二项式的展开式所有项的系数之和为，则的展开式中的常数项为___________.
【答案】
【分析】利用二项式的展开式所有项的系数和可求得的值，写出的展开式通项，令的指数为零，求出参数的值，代入通项即可得解.
【详解】已知二项式的展开式所有项的系数之和为，解得，
的展开式通项为
，
由可得，
所以，展开式中的常数项为.
故答案为：.
41．（2023·北京海淀·统考一模）若，则（    ）
A． B．1 C．15 D．16
【答案】C
【分析】利用赋值法结合条件即得.
【详解】因为，
令得，，
令得，，
所以，．
故选：C.
42．【多选】（2023春·山东烟台·高二山东省招远第一中学校考期中）已知，则（    ）
A．展开式中所有项的二项式系数的和为
B．展开式中所有奇数次项系数的和为
C．展开式中所有偶数次项系数的和为
D．
【答案】ABD
【分析】由展开式中所有项的二项式系数的和为可判断A项，令与代入计算，两式相加、相减可判断B、C项，令与代入计算可判断D项.
【详解】对于A项，展开式中所有项的二项式系数的和为，故A项正确；
对于B项，令，，
令，，
两式相减得展开式中所有奇数次项系数的和为，故B项正确；
对于C项，由B项可知，两式相加得展开式中所有偶数次项系数的和为，故C项错误；
对于D项，令，则，
令，则，
所以，故D项正确.
故选：ABD.
43．（2023春·河北保定·高二校考阶段练习）已知.求：
(1)；
(2)；
(3)；
【答案】(1)1
(2)
(3)
【分析】（1）赋值法，令，即得解；
（2）赋值法，分别令，联立，即得解；
（3）相当于的展开式中各项系数之和，令，即得解.
【详解】（1）令，得①.
（2）令，得②.
由①-②得，
.
（3）相当于求展开式的系数和，
令，得.
44．【多选】（2023·广东佛山·佛山一中校考一模）若，其中为实数，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【分析】根据给定的条件，把写成，再利用二项式定理结合赋值法，逐项计算判断作答.
【详解】依题意，令，
对于A，，A错误；
对于B，是按展开的第4项系数，因此，B正确；
对于C，，，
所以，C正确；
对于D，，D错误.
故选：BC
45．（2023·安徽蚌埠·统考三模）已知，则___________.
【答案】
【分析】设，利用赋值法求出即可求解.
【详解】设，
则，
，
所以
故答案为：.
46．（2023·重庆万州·重庆市万州第二高级中学校考模拟预测）若，则_________.
【答案】34
【分析】令，得，令，得，即可得到答案.
【详解】依题意，
令，得，
令，得.
故.
故答案为：34
47．（2023春·山西太原·高二山西实验中学校考阶段练习）设的展开式的各项系数和为M，二项式系数和为N，若，则展开式中有理项共有（    ）
A．1项 B．2项 C．3项 D．4项
【答案】C
【分析】根据二项式系数和公式，结合赋值法、二项式的通项公式进行求解即可.
【详解】二项式系数和为，
在中，令，得，
由，
二项式的通项公式为，
令，则，所以展开式中有理项共有3项，
故选：C

考点七 二项式系数的最值问题
48．（2023·安徽宣城·统考二模）的展开式中二项式系数最大的一项是________（用数字作答）．
【答案】70
【分析】利用二项式系数的性质直接求得.
【详解】的二项展开式有9项，其每项的二项式系数为.
由二项式系数的性质可得：当时，最大.
故答案为：70.
49．（2023春·福建泉州·高二福建省德化第一中学校考阶段练习）已知展开式中各项系数之和等于16.
(1)求展开式的第二项；
(2)若的展开式的二项式系数最大的项的系数等于54，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由二项式系数的性质求得，再由二项式展开式通项公式求得第2 项；
（2）根据二项式系数的性质得二项式系数最大的项是第几项，然后求得其系数，再由已知求得参数值．
【详解】（1）展开式的各项系数之和等于，
由题意得，∴，
∴展开式的第二项为；
（2）由（1）可得，由二项式系数的性质知，展开式中二项式系数最大的项是第三项，
∴，
∴.
50．（2023春·重庆沙坪坝·高二重庆一中校考阶段练习）在的展开式中，第3项和第4项的二项式系数最大，则展开式中含项的系数为_____.
【答案】10
【分析】先求得二项式幂次n的值，再利用二项展开式的通项公式即可求得展开式中含项的系数.
【详解】在的展开式中，第3项和第4项的二项式系数最大，
则的展开式共6项，则
则
令，则，则展开式中含项的系数为
故答案为：10
51．（2023·江苏苏州·苏州中学校考模拟预测）已知的展开式中，仅有第5项的二项式系数最大，则展开式中有理项的个数为___________．
【答案】2
【分析】先算出，再写出通项公式，确定的次数为整数即可
【详解】的展开式有项,因为仅有第5项的二项式系数最大,所以

当时,,当时,,符合题意
所以展开式中有理项的个数为2
故答案为：2

考点八 项的系数的最值问题
52．（2023·河南安阳·统考二模）的展开式中各项系数的最大值为（    ）．
A．112 B．448 C．896 D．1792
【答案】D
【分析】根据二项式的通项公式，结合展开式系数最大的性质进行求解即可.
【详解】该二项式的通项公式为，
由，可得．
因为，所以展开式中各项系数的最大值为．
故选：D
53．（2023春·江苏南通·高二江苏省通州高级中学校考阶段练习）已知的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比为2:5.
(1)求n的值；
(2)系数最大的项．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）第二项与第三项的二项式系数之比为；
（2）求二项式系数的最大项，即这一项大于前一项，也大于后一项，列式即可.
【详解】（1）因为第二项与第三项的二项式系数之比是，
则，即，解得(舍)或，
所以n的值为6.
（2）的展开式的通项为，
令，解得，
又，，
展开式中系数最大的项为第项，且．
54．（2023春·湖北武汉·高二武钢三中校考阶段练习）已知的展开式中的二项式系数之和比各项系数之和大.
(1)求展开式所有的有理项；
(2)求展开式中系数最大的项.
【答案】(1)、
(2)
【分析】（1）根据已知条件可得出关于的方程，解出的值，利用二项式定理可求得展开式中所有的有理项；
（2）设第项最大，且为偶数，可得出，根据解出的值，即可得出展开式中系数最大的项.
【详解】（1）解：令可得，展开式中各项系数之和为，而展开式中的二项式系数之和为，
由题意可得，解得.
展开式通项为，
当为整数时，为有理项，则或，
所以展开式所有的有理项为，
.
（2）解：设第项最大，且为偶数，则，
可得，因为，解得，
所以展开式中系数最大的项为：.
55．【多选】（2023春·福建泉州·高二校考阶段练习）若二项式的展开式中二项式系数之和为64，则下列结论正确的是（    ）
A．二项展开式中各项系数之和为 B．二项展开式中二项式系数最大的项为第4项
C．二项展开式中无常数项 D．二项展开式中系数最大的项为240
【答案】BD
【分析】由二项式系数和求得n，令可求得各项系数之和即可判断A，由二项式系数的性质可得二项式系数最大的项即可判断B，由展开式的通项中x的指数确定有无常数项即可判断C，列不等式组求得系数最大的项即可判断D．
【详解】因为二项式的展开式中二项式系数之和为64，
所以，得，所以二项式为，
则二项式展开式的通项，.
对于A，令，可得二项展开式中各项系数之和为，故A错误；
对于B，第4项的二项式系数最大，即二项展开式中二项式系数最大的项为第4项，故B正确；
对于C，令，则，所以二项展开式中的常数项为，故C错误；
对于D，令第项的系数最大，则，解得，
因为，所以，则二项展开式中系数最大的项为，所以D正确.
故选：BD．
56．（2023春·河南郑州·高二郑州十九中校联考期中）已知的展开式中第3项与第6项的二项式系数相等，求的展开式中：
(1)所有二项式系数之和．
(2)系数绝对值最大的项．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据二项式系数相等关系可求得，根据二项式系数和的结论可直接求得结果；
（2）根据展开式通项公式，设第项的系数的绝对值最大，采用不等式法可求得的取值，代入展开式通项公式即可求得结果.
【详解】（1）因为的展开式中第3项与第6项的二项式系数相等，
所以且，解得，
所以展开式的二项式系数之和为；
（2）展开式的通项为，
设展开式第项的系数的绝对值最大，
则，解得，
又因，所以，
所以展开式中，系数绝对值最大的项为．
57．【多选】（2023春·贵州·高二遵义一中校联考阶段练习）已知二项式，定义为取整函数，当时，，则（    ）
A．若的展开式中二项式系数之和为128，则此展开式中第5项是
B．若的展开式中系数之和为2187，则此展开式中二项式系数最大的项为第3项与第4项
C．若，则的展开式中系数最大项是第项或第1项
D．若，则的展开式中系数最大项是第项
【答案】ACD
【分析】由二项式系数之和得出，进而由通项公式判断A；由系数之和得出，再由通项判断B；根据最大项的特点结合通项公式判断CD.
【详解】对于A：若的展开式中二项式系数之和为128，则，解得，
的展开式的通项为，则此展开式中第5项是，故A正确；
对于B：若的展开式中系数之和为2187，则，解得，
的展开式的通项为，其中展开式中二项式系数最大的是和，是第项
与第项，故B错误；
对于C：的展开式的通项为，设第项系数最大，则，
即，解得，即，
当时，的展开式中系数最大项是项或项，故C正确；
对于D：若时，的展开式中系数最大项为第项，故D正确；
故选：ACD
考点九 整除和余数问题
58．（2023·高二课时练习）被7除的余数为（    ）
A．1 B．3 C．5 D．6
【答案】A
【分析】先将转化为，再利用二项式定理求出余数．
【详解】，
因为21是7的倍数，只有最后一项1不能被7整除，故余数为1，
故选：A．
59．（2023春·高二课时练习）（1）试求除以8的余数；
（2）求证：能被64整除.
【答案】（1）1；（2）证明见解析
【分析】（1）把拆分为，得出与余数相同，再把化为，利用二项式定理可得答案；
（2）把化为，利用二项式定理展开可得答案.
【详解】（1）.
∵其展开式中除末项为外，其余的各项均含有8这个因数，
∴除以8的余数与除以8的余数相同.
又∵，其展开式中除末项为1外，其余的各项均含有8这个因数，
∴除以8的余数为1，即除以8的余数也为1.
（2）证明：


.①
①式中的每一项都含有82这个因数，故原式能被64整除.
60．（2023·高二课时练习）求证：
(1)能被7整除；
(2)能被64整除．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）（2）根据二项式展开式的特征，提取公因数即可求证.
【详解】（1）,
易知除以外各项都能被7整除．
又显然能被7整除，
所以能被7整除．
（2）是64的倍数，
故原式可被64整除．
61．（2023·高二课时练习）利用二项式定理证明()能被25整除.
【答案】证明见解析
【分析】由，利用二项式定理展开即得，进而可证结论.
【详解】因为
，
所以，
当时，能被25整除；
当时，能被25整除；
所以，当时能被25整除.
62．（2023春·江苏常州·高二江苏省前黄高级中学校考阶段练习）设，若，则实数m＝________.
【答案】
【分析】利用赋值法求出，再由得到被除余，从而得到能被整除，即可求出的取值.
【详解】因为，
令得①，
令得②，
①②得，
所以，
其中


因为，
所以，
即能被整除，
又，
又被除余，所以能被整除，即，
所以.
故答案为：.

考点十 近似计算问题
63．（2023春·山东烟台·高二山东省招远第一中学校考期中）（1）证明：能被整除；
（2）求的近似值（精确到0.001）.
【答案】（1）证明见解析；（2）
【分析】（1）利用二项式展开式证明即可；
（2）构造二项式展开式进行求解即可.
【详解】（1）证明：因为


所以能被整除；
（2）



64．（2023·高二课时练习）求下列各数的近似值（精确到0.001）：
(1)；
(2)．
【答案】(1)1.008
(2)0.990
【分析】（1）（2）根据二项式定理展开式的性质，即可求解近似值.
【详解】（1）由二项式定理展开式得

由于精确到0.001，所以
（2）由二项式定理展开式得 ，
由于精确到0.001，所以
65．（2023·全国·高三专题练习）已知，，，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据对数运算以及作差法，整理代数式，构造函数，利用函数单调性，可得的大小关系；根据二项式定理以及中间执法，整理，可得答案.
【详解】由，，则，
令，，
当时，，则单调递增，即，
故，可得，即；
由，
且，则，即.
综上，.
故选：C.
66．（2023春·辽宁·高三朝阳市第一高级中学校联考阶段练习）已知，，，则下列排序正确的是（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先直接计算得的值，构造函数，利用导数研究其单调性得到，再利用二项式定理求得的值，从而得解.
【详解】因为，，
令，则，
故在上单调递减，
所以，即，故，
因为
，
所以，即.
故选：A.
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是构造函数证得，再利用二项式定理求得，从而得解.

考点十一 证明组合恒等式
67．（2023·全国·高二专题练习）求证：．
【答案】证明见解析
【分析】利用二项式定理的展开式再令可证明.
【详解】由二项式定理：，
令得：
，
化简得：.
68．（2023·全国·高二专题练习）求证：.
【答案】证明见解析.
【分析】利用二项式定理直接证明.
【详解】左边=

=1=右边.
即证.
69．（2023春·上海青浦·高二校考阶段练习）（1）设、，，求证：；
（2）请利用二项式定理证明：.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】（1）根据组合数公式证明即可；
（2）由于，利用二项式定理将展开，然后利用放缩法可证得结果.
【详解】证：（1）；
（2）当，时，
,
所以结论成立.
【点睛】此题考查了组合数公式和二项式定理的应用，考查了计算能力，属于基础题.

考点十二 杨辉三角问题
70．（2023·高二课时练习）如图，在“杨辉三角”中，斜线AB的上方，从1开始箭头所指的数组成一个锯齿形数列：1，2，3，3，6，4，10，5，···，记其前n项和为Sn，求S19的值.

【答案】274
【分析】观察数列的各项在杨辉三角中的位置，联系二项式系数的性质，直接对数列求和即可．
【详解】由图知，数列的首项是，第2项是，第3项是，第4项是，…，第18项是，第19项是，
∴




，
故答案为：274.
71．（2023春·福建泉州·高二校考阶段练习）“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中的组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示，则下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（    ）
杨辉三角

A．在第10行中第5个数最大
B．第2023行中第1011个数和第1012个数相等
C．
D．第6行的第7个数、第7行的第7个数及第8行的第7个数之和等于9行的第8个数
【答案】D
【分析】A、B选项由二项式系数的增减性即可判断；C选项，由及即可判断；D选项，由及即可判断.
【详解】A选项，第10行，10是偶数，所以在时取得最大值，也就是在第10行中第6个数最大，故选项A错误；
B选项，第2023行是奇数，中间两项最大，即和，也就是第2023行中第1012个数和第1013个数相等，故选项B错误；
C选项，由可得，故选项C错误；
D选项，，故选项D正确.
故选：D.
72．【多选】（2023春·江苏常州·高二华罗庚中学校考阶段练习）“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现.如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和.则下列命题中正确的是（    ）

A．
B．在第2022行中第1011个数最大
C．记“杨辉三角”第行的第i个数为，则
D．第34行中第15个数与第16个数之比为
【答案】AC
【分析】利用二项式定理，结合组合数运算性质逐一判断即可.
【详解】A：所以本选项正确；
B：第2022行是二项式的展开式的系数，故第2022行中第个数最大，所以本选项不正确；
C：“杨辉三角”第行是二项式的展开式系数，
所以，
，
因此本选项正确；
D：第34行是二项式的展开式系数，
所以第15个数与第16个数之比为，因此本选项不正确，
故选：AC
73．【多选】（2023春·湖南·高二浏阳一中校联考阶段练习）“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉年所著的《详解九章算法》一书中就有出现，比欧洲发现早年左右．如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第行的为第行中两个的和．则下列命题中正确的是（    ）

A．在“杨辉三角”第行中，从左到右第个数是
B．由“第行所有数之和为”猜想：
C．在“杨辉三角”中，从第行起，前行每一行的第个数之和为
D．存在，使得为等差数列
【答案】BD
【分析】根据“杨辉三角”与组合数的关系可判断AC选项；利用二项式系数的性质可判断B选项；取，利用组合数的性质可判断D选项.
【详解】对于A选项，在“杨辉三角”第行中，从左到右第个数是，A错；
对于B选项，由二项式系数的性质知，B对；
在“杨辉三角”中，当时，从第行起，
每一行的第个数之和为，C错；
对于D选项，取，则，
因为，所以数列为公差为的等差数列，D对．
故选：BD．

考点十三 与导数的综合问题
74．（2023春·江苏南京·高二南京大学附属中学校考阶段练习）二项展开式，则___________.
【答案】
【分析】等式的两边同时求导数得到，令，即可求解.
【详解】因为，
等式的两边同时求导数，可得，
令，可得.
故答案为：
75．（2023·全国·高三专题练习）设，则＝________，＝________.
【答案】     －4     31
【分析】即为中系数，
又，分别求与一次项即可.注意到
，令，结合可得答案.
【详解】因，
则.
注意到
，令，
得，又，得.
故答案为：；.
76．（2023·全国·高三专题练习）若，则______，___________.
【答案】         
【分析】空1：根据与的二项展开式分析运算；空2：对题设等式两边同时求导，再令即可求出结果.
【详解】空1：
的二项展开式为，①
的二项展开式为，②
若对①令，得，则对②令，得，可得；
若对①令，得，则对②令，得，可得；
故.
空2：
∵，两边求导得，
令，可得.
故答案为：；.
77．【多选】（2022秋·浙江·高三校联考阶段练习）设，其中，则（    ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】直接采用赋值法即可判断A、B、C，构造函数，求导，然后采用赋值法即可判断D．
【详解】，其中
令，得，故A正确；
令，得，则，故B错误；
令，，即，故C正确；
令，

令，得，即，故D正确．
故选：ACD．
78．【多选】（2023·全国·高三专题练习）已知，则（    ）
A．展开式中所有项的系数和为 B．展开式中二项系数最大项为第1010项
C． D．
【答案】AC
【分析】逐一验证，对A，代入即可；对B，计算即可；对C，分别令，，代入计算即可;对D，两边求导即可得到结果.
【详解】当时，，展开式中所有项的系数和为，A对.
展开式中第项二项式系数，
，则，∴.
展开式中第1011和1012项二项式系数最大，B错.
，
令，则，令，则，
∴，C对.
对等式两边求导，，
，∴，D错.
故选：AC

考点十四 与数列的综合问题
79．（2023·浙江金华·浙江金华第一中学校考模拟预测）记为数列的前项和，已知.
(1)求的通项公式；
(2)令，记数列的前项和为，试求除以3的余数.
【答案】(1)
(2)2
【分析】（1）根据等差数列的定义及通项公式求出，再根据求出；
（2）利用等比数列前n项和公式求出，然后应用二项式展开式求余数
【详解】（1）由有，即，
又，故，
所以数列是以1为首项，为公差的等差数列，
所以，即，
故，两式相减得，即，
所以，
因此的通项公式为.
（2）由（1）及，有，所以，
又，
因为均为正整数，所以存在正整数使得，
故，
所以除以3的余数为2.
80．（2023春·河北邯郸·高二校考阶段练习）在的展开式中，前三项系数成等差数列，求：
(1)展开式中所有项的系数之和；
(2)展开式中的有理项；
(3)展开式中系数最大的项．
【答案】(1)
(2)，，
(3)最大的项为，
【分析】（1）根据展开式的通项公式，再根据等差中项的性质即可求出的值，再令，即可求得展开式中所有项的系数之和；
（2）根据展开式的通项公式，的指数为整数可得有理项；
（3）设第项的系数最大，则有，从而求得的范围，再结合，即可求得展开式中系数最大的项．
【详解】（1）展开式通项为，
则前三项的系数分别为1，，，
又展开项的前三项系数成等差数列，
则有，即，解得或者（舍去）；
故展开式的通项公式为，
令，得展开式中所有项的系数之和为．
（2）结合（1）有，
当为整数时，为有理项，则，4，8，
所以当时，；当时，；当时，，
所以展开式中的有理项为，，．
（3）设第项的系数最大，则，解得，
因为，所以或，所以展开式中系数最大的项为，．
81．（2023春·江西·高二江西师大附中校考阶段练习）已知是数列的前项和，若，数列的首项，则（    ）
A． B． C．2023 D．
【答案】A
【分析】通过对二项展开式赋值求解出的值，然后通过所给的条件变形得到为等差数列，从而求解出的通项公式，进而即得.
【详解】令，得.
又因为，所以.
由，得，所以，
所以数列是首项为，公差为的等差数列，
所以，
所以，所以.
故选：A.
82．（2022·湖北·校联考模拟预测）已知数列前项和，的前项之积.
(1)求与的通项公式.
(2)把数列和的公共项由小到大排成的数列为，求的值.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据，，即可得出答案；
（2）由（1），设，结合二项式定理可得数列的通项，再根据等比数列前项和公式即可得解.
(1)
解：（1）由，
当时，
当时，，
当时，上式也成立，
所以，
由，
当时，，
当时，，
当时，上式也成立，
所以；
(2)
解：设

，，为得正整数倍，
故当为奇数时，，故公共项为，
∴，，，，…构成首项为2，公比为4的等比数列，
则.

考点十五 与函数的综合问题
83．（2023春·山东淄博·高三山东省淄博实验中学校联考阶段练习）已知函数则当时，的展开式中的系数为_________．
【答案】270
【分析】由分段函数解析式可得，应用二项式定理求出的系数即可.
【详解】时，，，
展开式第项，故时，，
∴的系数270．
故答案为：270