人教版八年级上册13.1.2 线段的垂直平分线的性质教学设计

13.1.2.1《线段的垂直平分线的性质(1)》教案

一、教学目标

(一)知识与技能：理解和掌握线段垂直平分线的性质和判定，并会运用其性质和判定解诀有关问题.

(二)过程与方法：经历观察，猜想，论证，归纳等过程探究线段垂直平分线的性质，体会转化、归纳等数学思想，发展学生的推理能力.

(三)情感态度与价值观：通过对线段垂直平分线性质的探究，激发学生的好奇心和求知欲，在运用数学知识解答问题的活动中获得成功的体验，建立学习的自信心.

二、教学重点、难点

重点：线段垂直平分线的性质和判定的探究和运用.

难点：线段垂直平分线性质和判定的理解和准确运用.

三、教学过程

观察演示，动手操作

线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.

如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC=CB，点P在l上.求证PA=PB.

证明：∵ l ⊥AB

∴ ∠PCA=∠PCB=90°

又∵ AC=BC，PC=PC

∴ △PCA≌△PCB (SAS)

∴ PA=PB

定理应用格式：

∵ PC⊥AB，PC平分AB
∴ PA=PB

    如图，用一根木棒和一根弹性均匀的橡皮筋，做一个简易的“弓”，“箭”通过木棒中央的孔射出去，怎样才能保持射出去的箭的方向与木棒垂直呢？为什么？

如果PA=PB，那么点P是否在线段AB的垂直平分线上呢？

与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.

如图，线段AB，PA=PB. 求证：点P在AB的垂直平分线上.

证法1：过点P作线段AB的垂线PC.
∴ ∠PCA=∠PCB=90°

又∵ PA=PB，PC=PC

∴ Rt△PAC≌Rt△PBC (HL)

∴ AC=BC

∴ PC是线段AB的垂直平分线

∴ 点P在AB的垂直平分线上

证法2：取AB的中点C，过P，C作直线.

∴ AC=BC

又∵ PA=PB，PC=PC

∴ △PAC≌△PBC (SSS)

∴ ∠PCA=∠PCB=180°÷2=90°

即 PC⊥AB

∴ PC是线段AB的垂直平分线

∴ 点P在AB的垂直平分线上

定理应用格式：

∵ PA=PB

∴ 点P在AB的垂直平分线上

集合

线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.

与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.

    从上面两个结论可以看出：在线段AB的垂直平分线 l 上的点与点A、B的距离都相等；反过来，与A、B的距离相等的点都在直线 l 上，所以直线 l 可以看成与两点A、B的距离相等的所有点的集合.

例1 尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线.

已知：如图，直线AB和AB外一点C.
求作：AB的垂线，使它经过点C.

作法：(1)任意取一点K，使点K和点C在AB两旁.
(2)以点C为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D和E.
(3)分别以点D和点E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧相交于点F.
(4)作直线CF.
则：直线CF就是所求作的垂线.

想一想，为什么直线CF就是所求作的垂线？

∵ CD=CE，FD=FE
∴ C、F都在DE的垂直平分线上
∴ CF垂直平分DE
∴ CF⊥AB

练习

1.如图，AD⊥BC，BD=DC，点C在AE的垂直平分线上，AB、AC、CE的长度有什么关系？AB+BD与DE有什么关系？

解：AB=AC=CE，AB+BD=DE.
   

∵ AD⊥BC，BD=DC
   

∴ AB=AC
   

∵ 点C在AE的垂直平分线上
   

∴ AC=CE
∴ AB=AC=CE
∴ AB+BD=CE+DC
∴ AB+BD=DE

2.如图，AB=AC，MB=MC，直线AM是线段BC的垂直平分线吗？

解：直线AM是线段BC的垂直平分线.

∵ AB=AC，MB=MC

∴ 点A、M在线段BC的垂直平分线上

∴ 直线AM是线段BC的垂直平分线

课堂小结

1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？

四、教学反思

    本节课由于采用了直观操作以及讨论交流等教学方法，从而有效地增强了学生的感性认识，提高了学生对新知识的理解与感悟，因此本节课的教学效果较好，学生对所学的新知识掌握较好，达到了教学的目的. 不足之处是少数学生对线段垂直平分线性质定理的逆定理理解不透彻，还需在今后的教学和作业中进一步进行巩固和提高.